PK5. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

A. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$ dan $D=b^2-4ac$ memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1. Akar-akar positif ($x_1 >0$ dan $x_2 >0$), maka $x_1+x_2 >0$, $x_1.x_2 >0$, dan $D\ge 0$.
2. Akar-akar positif dan berbeda ($x_1 >0$, $x_2 >0$, dan $x_1\ne x_2$), maka $x_1+x_2 >0$, $x_1.x_2 >0$, dan $D >0$.
3. Akar-akar negatif ($x_1 < 0$ dan $x_2 < 0$), maka $x_1+x_2 < 0$, $x_1.x_2 >0$, dan $D\ge 0$.
4. Akar-akar negatif dan berbeda ($x_1 < 0$, $x_2 < 0$, dan $x_1\ne x_2$), maka $x_1+x_2 < 0$, $x_1.x_2 >0$, dan $D >0$.
5. Akar-akar berbeda tanda ($x_1 >0$ dan $x_2 < 0$ atau $x_1 < 0$ dan $x_2 >0$), maka $x_1.x_2 < 0$ dan $D >0$.
6. Akar-akar berlawanan ($x_1=-x_2$ atau $x_2=-x_1$), maka $a\ne 0$ dan $b=0$.
7. Akar-akar berkebalikan ($x_1=\frac{1}{x_2}$ atau $x_2=\frac{1}{x_1}$), maka $x_1.x_2=1$ dan $D >0$

Contoh 1.
Persamaan kuadrat $mx^2+(m-5)x-20=0$ mempunyai akar-akar real berlawanan. Nilai $m$ yang memenuhi adalah …
Penyelesaian:
$mx^2+(m-5)x-20=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$.
$a=m$, $b=m-5$, $c=-20$
(1) $a\ne 0\to m\ne 0$
(2) Akar-akar berlawanan, maka:
$\begin{align}b &= 0 \\ m-5 &= 0 \\ m &= 5 \end{align}$
(3) Akar-akar real maka $D\ge 0$
$\begin{align}D & \ge 0 \\ b^2-4ac & \ge 0 \\ (m-5)^2-4.m.(-20) & \ge 0 \\ (5-5)^2-4.5.(-20) & \ge 0 \\ 400 &\ge 0\,(\text{memenuhi}) \end{align}$
Jadi, nilai $m=5$.

Contoh 2.
Kedua akar persamaan $p^2x^2-4px+1=0$ berkebalikan, maka nilai $p$ = …
Penyelesaian:
$p^2x^2-4px+1=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$.
$a=p$, $b=-4p$, $c=1$
Akar-akar berkebalikan, maka:
$\begin{align}x_1.x_2 &= 1 \\ \frac{c}{a} &= 1 \\ \frac{1}{p} &= 1 \\ p &= 1 \end{align}$
Cek syarat diskriminan:
$\begin{align}D & >0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (-4p)^2-4.p.1 & >0 \\ (-4.1)^2-4.1.1 & >0 \\ 16-4 & >0 \\ 12 & >0\,(\text{memenuhi}) \end{align}$
Jadi, $p=1$

Contoh 3.
Persamaan kuadrat $x^2+kx+2k-3=0$ memiliki akar-akar negatif dan berbeda. Nilai $k$ yang memenuhi adalah …
Penyelesaian:
$x^2+kx+2k-3=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$.
$a=1$, $b=k$, $c=2k-3$
Akar-akar negatif maka $x_1+x_2 < 0$, $x_1.x_2 >0$, dan $D >0$.
(1) $x_1+x_2 < 0$
$-\frac{b}{a} < 0\to -\frac{k}{1} < 0\to k >0$
(2) $x_1.x_2 >0$
$\begin{align}\frac{c}{a} & >0 \\ \frac{2k-3}{1} & >0 \\ 2k & >3 \\ k & >\frac{3}{2} \end{align}$
(3) $D >0$
$\begin{align}b^2-4ac & >0 \\ k^2-4.1.(2k-3) & >0 \\ k^2-8k+12 & > 0 \\ (k-6)(k-2) & > 0 \end{align}$
Nilai $k$ pembuat nol:
$k-6=0\to k=6$
$k-2=0\to k=2$
Garis bilangan:

$k < 2$ atau $k >6$
Dari (1), (2), dan (3): $k >0$, $k >\frac{3}{2}$, $k < 2$ atau $k >6$

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k >6$.

Contoh 4.
Persamaan kuadrat $x^2-px+4=0$ memiliki akar-akar positif dan berbeda. Nilai $p$ yang memenuhi adalah …
Penyelesaian:
$x^2-px+4=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$.
Akar-akar positif dan berbeda, maka: $x_1+x_2 >0$, $x_1.x_2 >0$, dan $D >0$.
(1) $x_1+x_2 >0$
$-\frac{b}{a} >0\to -\frac{-p}{1} >0\to p >0$
(2) $x_1.x_2 >0$
$\frac{c}{a} >0\to \frac{4}{1} >0\to 4 >0\,(\text{benar})$
(3) $D >0$
$\begin{align}b^2-4ac & >0 \\ (-p)^2-4.1.4 & >0 \\ p^2-16 & >0 \\ (p+4)(p-4) & >0 \end{align}$
Nilai $p$ pembuat nol:
$p+4=0\to p=-4$
$p-4=0\to p=4$
Garis bilangan:

$p < -4$ atau $p >4$
Dari (1), (2) dan (3): $p >0$, $p < -4$ atau $p >4$:

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p >4$.
Contoh 5.
Persamaan kuadrat $x^2-px+3-p=0$ memiliki akar-akar berbeda tanda. Nilai $p$ yang memenuhi adalah …
Penyelesaian:
$x^2-px+3-p=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$.
$a=1$, $b=-p$, $c=3-p$
Akar-akar berbeda tanda, maka $x_1.x_2 < 0$ dan $D >0$.
(1) $x_1.x_2 < 0$
$\begin{align}\frac{c}{a} & < 0 \\ \frac{3-p}{1} & < 0 \\ 3-p & < 0 \\ -p & < -3 \\ p & >3 \end{align}$
(2) $D >0$
$\begin{align}b^2-4ac & >0 \\ (-p)^2-4.1.(3-p) & >0 \\ p^2-12+4p & >0 \\ p^2+4p-12 & >0 \\ (p+6)(p-2) & >0 \end{align}$
Nilai $p$ pembuat nol:
$p+6=0\to p=-6$
$p-2=0\to p=2$
Garis bilangan:

$p < -6$ atau $p >2$
Dari (1) dan (2): $p >3$, $p < -6$ atau $p >2$diperoleh:

Nilai $p$ yang memenuhi adalah $p >3$.

B. Soal Latihan

1. Persamaan kuadrat $x^2+(2m-2)x-4=0$ mempunyai akar-akar real berlawanan. Nilai $m$ yang memenuhi adalah …
2. Persamaan $(2m-4)x^2+5x+2=0$ mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai $m$ = …
3. Persamaan kuadrat $2x^2-(m+1)x-m=0$ memiliki akar-akar berbeda tanda. Nilai $m$ yang memenuhi adalah …
4. Persamaan kuadrat $x^2-(k+5)x+2k-k^2=0$ memiliki akar-akar positif. Nilai $k$ yang memenuhi adalah …
5. Persamaan kuadrat $x^2+(m+4)x+3m-m^2=0$ memiliki akar-akar negatif. Nilai $m$ yang memenuhi adalah …

Share :