Home / Kaidah Pencacahan

Kumpulan Soal Kombinasi dan Pembahasan

Post a Comment
Soal Kombinasi dan Pembahasan
Berikut ini adalah Kumpulan Soal KOMBINASI dan Pembahasannya. Silakan dimanfaatkan sebaik mungkin.
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik "Lihat/Tutup".

Soal No. 1
Nilai dari C(8,3) + C(8,4) + C8,5) + C(8,6) + C(8,7) = …
A. 215
B. 218
C. 840
D. 900
E. 950
Solusi: Lihat/Tutup C(8,3) + C(8,4) + C8,5) + C(8,6) + C(8,7)
= $\frac{8!}{3!.5!}+\frac{8!}{4!.4!}+\frac{8!}{5!.3!}+\frac{8!}{6!.2!}+\frac{8!}{7!.1!}$
= $\frac{8.7.6.\cancel{5!}}{3.2.1.\cancel{5!}}$ + $\frac{8.7.6.5.\cancel{4!}}{4.3.2.1.\cancel{4!}}$ + $\frac{8.7.6.\cancel{5!}}{\cancel{5!}.3.2.1}$ + $\frac{8.7.\cancel{6!}}{\cancel{6!}.2.1}$ + $\frac{8.\cancel{7!}}{\cancel{7!}.1}$
= 56 + 70 + 56 + 28 + 8
= 218
Jawaban: B
Soal No. 2
Nilai dari C(10,2).C(6,3) = …
A. 720
B. 780
C. 840
D. 900
E. 1.000
Solusi: Lihat/Tutup $\begin{align}C(10,2).C(6,3) &= \frac{10!}{2!.8!}.\frac{6!}{3!.3!} \\ &= \frac{10.9.\cancel{8!}}{2.1.\cancel{8!}}.\frac{6.5.4\cancel{3!}}{3.2.1.\cancel{3!}} \\ &= 45.20 \\ &= 900 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 3
Dari 8 pelajar akan dipilih 5 pelajar untuk mengikuti Jambore Pramuka. Banyak cara memilih kelima pelajar tersebut adalah …
A. 56
B. 64
C. 72
D. 84
E. 96
Solusi: Lihat/Tutup Kombinasi 5 pelajar dari 8 pelajar:
$C_5^8=\frac{8!}{5!.3!}=\frac{8.7.6.\cancel{5!}}{\cancel{5!}.3.2.1}=56$
Jawaban: A
Soal No. 4
Banyaknya segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dari segi sepuluh adalah …
A. 98
B. 112
C. 120
D. 150
E. 158
Solusi: Lihat/Tutup Segi sepuluh terdiri dari 10 titik.
Untuk membuat sebuah segitiga dibutuhkan 3 titik yang tidak segaris.
Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari 10 titik adalah kombinasi 3 titik dari 10 titik:
$C_3^{10}=\frac{10!}{3!.7!}=\frac{10.9.8.\cancel{7!}}{3.2.1.\cancel{7!}}$ = 120 segitiga.
Jawaban: C
Soal No. 5
Banyak cara 12 buku dapat dibagi antara A dan B sedemikian rupa sehingga salah satu mendapat 9 buku dan yang lainnya mendapat 3 buku adalah …
A. 220
B. 240
C. 260
D. 280
E. 440
Solusi: Lihat/Tutup • Banyak cara membagi 12 buku dimana A mendapat 9 buku dan B mendapat 3 buku.
$\begin{align}C_9^{12}\times C_3^3 &= \frac{12!}{9!.3!}\times \frac{3!}{3!.0!} \\ &= \frac{12.11.10.\cancel{9!}}{\cancel{9!}.3.2.1}\times \frac{\cancel{3!}}{\cancel{3!}.1} \\ &= 220 \end{align}$
• Banyak cara membagi 12 buku dimana A mendapat 3 buku dan B mendapat 9 buku.
$\begin{align}C_3^{12}\times C_9^9 &= \frac{12!}{3!.9!}\times \frac{9!}{9!.0!} \\ &= \frac{12.11.10.\cancel{9!}}{3.2.1.\cancel{9!}}\times \frac{\cancel{9!}}{\cancel{9!}.1} \\ &= 220 \end{align}$
Banyak cara membagi buku seluruhya = 220 + 220 = 440.
Jawaban: E
Soal No. 6
Dari 12 orang yang terdiri dari 8 putra dan 4 putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, banyak cara membentuk tim tersebut adalah …
A. 654
B. 672
C. 712
D. 754
E. 772
Solusi: Lihat/Tutup Kemungkinan-kemungkinan cara membentuk tim:
• Memilih 2 putri dan 3 putra:
$\begin{align}C_2^4\times C_3^8 &= \frac{4!}{2!.2!}\times \frac{8!}{3!.5!} \\ &= \frac{4.3.\cancel{2!}}{2.1.\cancel{2!}}\times \frac{8.7.6.\cancel{5!}}{3.2.1.\cancel{5!}} \\ &= 6\times 56 \\ &= 336 \end{align}$
• Memilih 1 putri dan 4 putra:
$\begin{align}C_1^4\times C_4^8 &= \frac{4!}{1!.3!}\times \frac{8!}{4!.4!} \\ &= \frac{4.\cancel{3!}}{1.\cancel{3!}}\times \frac{8.7.6.5.\cancel{4!}}{4.3.2.1.\cancel{4!}} \\ &= 4\times 70 \\ &= 280 \end{align}$
• Memilih 0 putri dan 5 putra:
$\begin{align}C_0^4\times C_5^8 &= \frac{4!}{0!.4!}\times \frac{8!}{5!.3!} \\ &= \frac{\cancel{4!}}{1.\cancel{4!}}\times \frac{8.7.6.\cancel{5!}}{\cancel{5!}.3.2.1} \\ &= 56 \end{align}$
Banyak cara seluruhnya = 336 + 280 + 56 = 672
Jawaban: B
Soal No. 7
Ada 7 siswa putra dan 4 siswa putri, akan dibentuk tim yang terdiri dari 5 orang. Banyak cara membentuk tim jika harus 3 putra dan 2 putri adalah …
A. 210
B. 240
C. 270
D. 300
E. 330
Solusi: Lihat/Tutup Banyak cara memilih 3 putra dari 7 putra dan 2 putri dari 4 putri:
$\begin{align}C_3^7\times C_2^4 &= \frac{7!}{3!.4!}\times \frac{4!}{2!.2!} \\ &= \frac{7.6.5.\cancel{4!}}{3.2.1.\cancel{4!}}\times \frac{4.3.\cancel{2!}}{2.1.\cancel{2!}} \\ &= 35\times 6 \\ &= 210 \end{align}$
Jawaban: A
Soal No. 8
Suatu tim lomba Pesona Kimia yang terdiri dari 3 orang akan dipilih dari 5 siswa putra dan 4 siswa putri. Jika setiap siswa mempunyai hak yang sama untuk dipilih, maka banyaknya cara memilih anggota tim adalah …
A. 113
B. 97
C. 92
D. 84
E. 77
Solusi: Lihat/Tutup Total siswa = 5 + 4 = 9 orang.
Banyak cara memilih 3 orang dari 9 orang:
$C_3^9=\frac{9!}{3!.6!}=\frac{9.8.7.\cancel{6!}}{3.2.1.\cancel{6!}}=84$
Jawaban: D
Soal No. 9
Nilai C(7,5) adalah …
A. 7
B. 21
C. 35
D. 840
E. 2.520
Solusi: Lihat/Tutup $C(7,5)=\frac{7!}{5!.2!}=\frac{7.6.\cancel{5!}}{\cancel{5!}.2.1}=21$
Jawaban: B
Soal No. 10
Diketahui C(n,3) = C(n,6). Nilai n yang memenuhi persamaan tersebut adalah …
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
E. 18
Solusi: Lihat/Tutup Ingat: $C(n,k)=C(n,n-k)$
$C(n,k)=C(n,3)\to k=3$
$\begin{align}C(n,n-k) &= C(n,6) \\ n-k &= 6 \\ n-3 &= 6 \\ n &= 9 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 11
Seorang saudagar akan membeli 3 ekor kambing dan 8 ekor sapi dari pedagang hewan yang memiliki 8 ekor kambing dan 10 ekor sapi. Banyaknya cara yang dapat dipilih oleh saudagar tersebut adalah …
A. 64
B. 101
C. 1.280
D. 2.520
E. 3.720
Solusi: Lihat/Tutup Banyak cara memilih 3 ekor kambing dari 8 ekor kambing dan 8 ekor sapi dari 10 ekor sapi:
$\begin{align}C_3^8\times C_8^{10} &= \frac{8!}{3!.5!}\times \frac{10!}{8!.2!} \\ &= \frac{8.7.6.\cancel{5!}}{3.2.1.\cancel{5!}}\times \frac{10.9.\cancel{8!}}{\cancel{8!}.2.1} \\ &= 56\times 45 \\ &= 2520 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 12
Dalam suatu ulangan seorang siswa harus menjawab 8 soal dari 10 soal yang diberikan dengan 5 soal di antaranya wajib dikerjakan. Banyaknya cara mmilih soal-soal tersebut adalah …
A. 10
B. 25
C. 45
D. 56
E. 252
Solusi: Lihat/Tutup Awalnya siswa memilih 8 soal dari 10 soal yaitu $C_{8}^{10}$.
Karena 5 soal di antara 10 soal wajib dikerjakan, maka banyak cara memilih menjadi:
$C_{8-5}^{10-5}=C_3^5=\frac{5!}{3!.2!}=\frac{5.4.\cancel{3!}}{\cancel{3!}.2.1}=10$
Jawaban: A
Soal No. 13
Hasil seleksi terhadap semua siswa kelas XII dalam bidang matematika dan kimia diperoleh 6 siswa calon utusan kompetisi bidang matematika dan 6 siswa lain calon utusan kompetisi bidang kimia. Jika suatu kompetisi sekolah hanya dapat mengirimkan 3 siswa di bidang matematika dan 2 siswa di bidang kimia. Banyak susunan utusan yang dapat dibentuk adalah …
A. 84
B. 120
C. 300
D. 450
E. 792
Solusi: Lihat/Tutup Banyak susunan utusan 3 bidang matematika dari 6 siswa dan 2 bidang kimia dari 6 siswa:
$\begin{align}C_3^6\times C_2^6 &= \frac{6!}{3!.3!}\times \frac{6!}{2!.4!} \\ &= \frac{6.5.4.\cancel{3!}}{3.2.1.\cancel{3!}}\times \frac{6.5.\cancel{4!}}{2.1.\cancel{4!}} \\ &= 20\times 15 \\ &= 300 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 14
Dari 16 orang yang terdiri dari 10 siswa laki-laki dan 6 siswa perempuan akan dibentuk kelompok yang beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok tersebut terdapat paling sedikit 2 siswa laki-laki, banyak cara membentuk kelompok tersebut adalah …
A. 988
B. 1.395
C. 1.605
D. 2.070
E. 2.280
Solusi: Lihat/Tutup Kemungkinan-kemungkinan kelompok yang dibentuk:
• 2 laki-laki dan 2 perempuan.
$\begin{align}C_2^{10}\times C_2^6 &= \frac{10!}{2!.8!}\times \frac{6!}{2!.4!} \\ &= \frac{10.9.\cancel{8!}}{2.1.\cancel{8!}}\times \frac{6.5.\cancel{4!}}{2.1.\cancel{4!}} \\ &= 45\times 15 \\ &= 675 \end{align}$
• 3 laki-laki dan 1 perempuan
$\begin{align}C_3^{10}\times C_1^6 &= \frac{10!}{3!.7!}\times \frac{6!}{1!.5!} \\ &= \frac{10.9.8.\cancel{7!}}{3.2.1.\cancel{7!}}\times \frac{6.\cancel{5!}}{1.\cancel{5!}} \\ &= 120\times 6 \\ &= 720 \end{align}$
• 4 laki-laki dan 0 perempuan
$\begin{align}C_4^{10}\times C_0^6 &= \frac{10!}{4!.6!}\times \frac{6!}{0!.6!} \\ &= \frac{10.9.8.7.\cancel{6!}}{4.3.2.1.\cancel{6!}}\times \frac{\cancel{6!}}{1.\cancel{6!}} \\ &= 210 \end{align}$
Banyak cara membentuk kelompok seluruhnya = 675 + 720 + 210 = 1.605
Jawaban: C
Soal No. 15
Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola yang terdiri dari 5 bola putih, 2 bola merah, 4 bola hijau, dan 1 bola biru yang akan diambil 4 bola secara acak. Banyak cara pengambilan paling sedikit 1 bola merah adalah …
A. 120
B. 165
C. 240
D. 285
E. 495
Solusi: Lihat/Tutup Banyak bola merah = 2
Banyak bola yang bukan merah = 5 bola putih + 4 bola hijau + 1 bola biru = 10
Kemungkinan-kemungkinan pengambilan (paling sedikit 1 bola merah):
• 1 bola merah dan 3 bola selain merah
$\begin{align}C_1^2\times C_3^{10} &= \frac{2!}{1!.1!}\times \frac{10!}{3!.7!} \\ &= \frac{2.1}{1.1}\times \frac{10.9.8.\cancel{7!}}{3.2.1.\cancel{7!}} \\ &= 2\times 120 \\ &= 240 \end{align}$
• 2 bola merah dan 2 bola selain merah
$\begin{align}C_2^2\times C_2^{10} &= \frac{2!}{2!.0!}\times \frac{10!}{2!.8!} \\ &= 1\times \frac{10.9.\cancel{8!}}{2.1.\cancel{8!}} \\ &= 45 \end{align}$
Banyak cara pengambilan paling sedikit 1 bolah merah = 240 + 45 = 285
Jawaban: D
Soal No. 16
Jika $C(k+1,3)=4.C(k,2)$ maka nilai $k$ = …
A. 6
B. 9
C. 11
D. 13
E. 15
Solusi: Lihat/Tutup $\begin{align}C(k+1,3) &= 4.C(k,2) \\ \frac{(k+1)!}{3!.(k+1-3)!} &= 4.\frac{k!}{2!.(k-2)!} \\ \frac{(k+1).\cancel{k!}}{3.\cancel{2!}.\cancel{(k-2)!}} &= \frac{4.\cancel{k!}}{\cancel{2!}.\cancel{(k-2)!}} \\ \frac{k+1}{3} &= 4 \\ k+1 &= 12 \\ k &= 11 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 17
Diketahui himpunan $A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$. Banyaknya himpunan bagian dari A yang terdiri dari 3 anggota adalah …
A. 23
B. 32
C. 35
D. 42
E. 45
Solusi: Lihat/Tutup Banyaknya himpunan bagian dari $A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ yang terdiri dari 3 anggota:
$C_3^7=\frac{7!}{3!.4!}=\frac{7.6.5.\cancel{4!}}{3.2.1.\cancel{4!}}=35$
Jawaban: C
Soal No. 18
Dari 6 warna yang berlainan, diketahui setiap campuran dari 4 warna menghasilkan satu warna tertentu. Banyak warna tertentu yang dapat dibentuk dari 6 warna yang tersedia tersebuh adalah ….
A. 5
B. 6
C. 10
D. 15
E. 30
Solusi: Lihat/Tutup Banyak warna tertentu dengan mencampur 4 warna dari 6 warna:
$C_4^6=\frac{6!}{4!.2!}=\frac{6.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}.2.1}=15$
Jawaban: D
Soal No. 19
Dari 10 laki-laki dan 6 perempuan akan dibentuk tim penyelamat yang terdiri dari 4 laki-laki dan 2 perempuan. Banyak semua tim berbeda yang dapat dibentuk adalah …
A. 111
B. 141
C. 1.280
D. 1.890
E. 3.150
Solusi: Lihat/Tutup Banyak tim yang terbentuk dengan memilih 4 laki-laki dari 10 laki-laki dan 2 perempuan dari 6 perempuan:
$\begin{align}C_4^{10}\times C_2^6 &= \frac{10!}{4!.6!}\times \frac{6!}{2!.4!} \\ &= \frac{10.9.8.7.\cancel{6!}}{4.3.2.1.\cancel{6!}}\times \frac{6.5.\cancel{4!}}{2.1.\cancel{4!}} \\ &= 210\times 15 \\ &= 3150 \end{align}$
Jawaban: E
Soal No. 20
Dalam suatu kantong terdapat 8 manik-manik putih dan 5 manik-manik merah. Dari kantong tersebut diambil 6 buah manik-manik yang terdiri dari 4 putih dan 2 merah. Banyak cara pengambilan tersebut adalah …
A. 300 cara
B. 400 cara
C. 600 cara
D. 700 cara
E. 900 cara
Solusi: Lihat/Tutup Banyak cara mengambil 4 putih dari 8 manik-manik putih dan 2 merah dari 5 manik-manik merah:
$\begin{align}C_4^8\times C_2^5 &= \frac{8!}{4!.4!}\times \frac{5!}{2!.3!} \\ &= \frac{8.7.6.5.\cancel{4!}}{4.3.2.1.\cancel{4!}}\times \frac{5.4.\cancel{3!}}{2.1.\cancel{3!}} \\ &= 70\times 10 \\ &= 700 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 21
Sebanyak 9 orang akan bepergian menggunakan 2 mobil yang masing-masing berkapasitas 6 orang. Banyak cara menempatkan kesembilan orang tersebut dengan syarat pemilik mobil menyetir mobinya sendiri adalah …
A. 112
B. 70
C. 42
D. 35
E. 21
Solusi: Lihat/Tutup Soal Kombinasi dan Pembahasan
Jawaban: A
Soal No. 22
Delegasi Indonesia pada pertemuan Hari Pramuka Internasional trdiri dari 5 orang siswa. Terdapat 5 orang siswa laki-laki dan 7 orang siswa perempuan yang mencalonkan diri untuk menjai anggota delegasi. Jika disyaratkan anggota delegasi paling banyak tiga perempuan, banyak cara memilih anggota delegasi tersebut adalah …
A. 515
B. 560
C. 596
D. 760
E. 781
Solusi: Lihat/Tutup Banyak cara memilih 5 orang dari 5 laki-laki dan 7 perempuan dengan syarat paling banyak 3 perempuan
= $C_3^7\times C_2^5+C_2^7\times C_3^5+C_1^7\times C_4^5+C_0^7\times C_5^5$
= $35\times 10+21\times 10+7\times 5+1\times 1$
= $350+210+35+1$
= 596
Jawaban: C
Soal No. 23
Sepuluh tim sepak bola mengikuti suatu turnamen. Setiap tim bertemu satu kali dengan tim lainnya. Pemenang setiap pertandingan memperoleh poin 3, sedangkan tim yang kalah memperoleh 0. Untuk pertandingan yang berakhir seri, kedua tim memperoleh 1 poin. Di akhir turnamen, jumlah poin seluruh tim adalah 128. Banyak pertandingan yang berakhir seri adalah …
A. 5
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
Solusi: Lihat/Tutup Total pertandingan = Banyak 2 tim bertanding dari 10 tim = $C_2^{10}$ = 45 pertandingan.
Misalkan:
$m$ = banyak pertandingan menang/kalah.
$s$ = banyak pertandingan seri
$m+s=45$
$3m+2s=128$
$\left. \begin{align}3m+2s &= 128 \\ m+s &= 45 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 3 \\ \end{matrix}$
$\frac{\begin{align}3m+2s &= 128 \\ 3m+3s &= 135 \end{align}}{\begin{align}-s &= -7 \\ s &= 7 \end{align}}-$
Jawaban: B
Soal No. 24
Pada hari Jumat, 28 September 2018 telah terjadi gempa dengan kekuatan 7,4 SR yang mengguncang hingga ke Kota Palu dan Mamuju. Pemerintah Republik Indonesia membentuk dua tim rehabilitasi bencana alam yang akan dikirim k Kota Palu dan Mamuju. Terdapat 10 orang tenaga ahli yang siap diberangkatkan, terdiri atas 5 dokter, 2 guru, dan 3 TNI. Setiap tim rehabilitasi bencana alam terdiri atas 4 orang. Jika pada setiap tim rehabilitasi harus ada dokter, TNI, dan guru, banyak cara penyusunan kedua tim yang mungkin terjadi adalah …
Solusi: Lihat/Tutup Kasus 1. 2 dokter di kota Palu dan 2 dokter di kota Mamuju
Soal Kombinasi
Kasus 2. 2 dokter di kota Palu dan 2 TNI di kota Mamuju
Soal Kombinasi
Kasus 3. 2 TNI di kota Palu dan 2 dokter di kota Mamuju
Soal Kombinasi
Seluruhnya = 360 + 180 + 180 = 720
Jawaban: E
Soal No. 25
Dalam turnamen bulu tangkis beregu putra, dengan permainan pertama tunggal, kedua tunggal, ketiga ganda, keempat ganda, dan kelima tunggal, setiap pemain boleh bermain tunggal satu kali dan boleh bermain ganda. Dalam setiap tim hanya boleh mendaftarkan tujuh nama peserta. Menjelang pertandingan dimulai, tim peserta dari negara “XX” yang merupakan salah satu peserta dari tujuh nama peserta yang terdaftar sakit. Oleh karena pemain tunggal boleh merangkap menjadi pemain ganda, pelatih tim menetapkan bahwa hanya pemain tunggal pertama yang bermain dua kali, yaitu akan dijadikan pemain ganda pada permainan kedua. Banyak susunan yang dapat disusun dari tim tersebut adalah …
A. 120
B. 150
C. 360
D. 540
E. 720
Solusi: Lihat/Tutup Jumlah peserta = 7 – 1 sakit = 6 orang.
Soal Kombinasi
Banyak susunan yang dapat disusun dari tim tersebut
= $6\times 5\times 6\times 3\times 1$ = 540
Jawaban: D
Soal No. 26
Seorang pelukis mempunyai 5 cat dengan warna yang berbeda. Agar mempunyai banyak warna cat, pelukis tersebut melakukan pencampuran cat-cat tersebut dengan perbandingan yang sesuai (sama). Banyak warna cat baru dari hasil campuran cat-cat yang tersedia adalah …
A. 10
B. 25
C. 26
D. 200
E. 320
Solusi: Lihat/Tutup Kemungkinan-kemungkinan campuran cat:
• Mencampur 2 cat dari 5 cat: $C_2^5$ = 10
• Mencampur 3 cat dari 5 cat: $C_3^5$ = 10
• Mencampur 4 cat dari 5 cat: $C_4^5$ = 5
• Mencampur 5 cat dari 5 cat: $C_5^5$ = 1
Seluruhnya = 10 + 10 + 5 + 1 = 26
Jawaban: C
Soal No. 27
$C(n+1,n-1)=28$, maka nilai $n$ = ...
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
E. 7
Solusi: Lihat/Tutup Syarat:
1) $n+1\ge 0\to n\ge -1$
2) $n-1\ge 0\to n\ge 1$
Dari 1) dan 2) diperoleh syarat $n\ge 1$
$\begin{align}C(n+1,n-1) &= 28 \\ \frac{(n+1)!}{(n-1)!.2!} &= 28 \\ \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!.2} &= 28 \\ (n+1)n &= 56 \\ n^2+n-56 &= 0 \\ (n+8)(n-7) &= 0 \end{align}$
$n+8=0\to n=-8$ (tidak memenuhi)
$n-7=0\to n=7$ (memenuhi)
Jadi, $n=7$
Jawaban: E
Soal No. 28
Jika $C_r^n$ menyatakan banyaknya kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen dan $C_r^n=2n$, maka $C_7^{2n}$ adalah ....
A. 80
B. 90
C. 116
D. 120
E. 160
Solusi: Lihat/Tutup Untuk $r=1$ maka $C_r^n=C_1^n=n$.
Agar $C_r^n=2n$ haruslah $r\ge 2$ maka:
$\begin{align}C_2^n &\le C_r^n \\ \frac{n!}{2!.(n-2)!} &\le 2n \\ \frac{n.(n-1).(n-2)!}{2.1.(n-2)!} &\le 2n \\ \frac{n.(n-1)}{2} &\le 2n \\ n^2-n &\le 4n \\ n^2-5n &\le 0 \\ n-5 &\le 0 \\ n &\le 5 \end{align}$
Cek $n=5$ dan $r=2$ ke persamaan:
$\begin{align}C_r^n &= 2n \\ C_2^5 &= 2.5 \\ \frac{5!}{2!.(5-2)!} &= 10 \\ \frac{5!}{2!.3!} &= 10 \\ \frac{5.4.3!}{2.1.3!} &= 10 \\ 10 &= 10\,(\text{memenuhi}) \end{align}$
Diperoleh: $n=5$ dan $r=2$ maka:
$\begin{align}C_7^{2n} &= C_7^{2.5} \\ &= C_7^{10} \\ &= \frac{10!}{7!.(10-7)!} \\ &= \frac{10!}{7!.3!} \\ &= \frac{10.9.8.7!}{7!.3.2.1} \\ &= 120 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 29
Jika didefinisikan $_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ maka nilai $_6C_4$ = ...
A. 12
B. 15
C. 24
D. 30
E. 60
Solusi: Lihat/Tutup $\begin{align}_6C_4 &= \frac{6!}{4!(6-4)!} \\ &= \frac{6!}{4!.2!} \\ &= \frac{6.5.4!}{4!.2.1} \\ &= \frac{6.5}{2.1} \\ _6C_4 &= 15 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 30
Jika didefinisikan $_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ maka nilai $_{11}C_7$ = ...
A. 1320
B. 720
C. 330
D. 30
E. 18
Solusi: Lihat/Tutup $\begin{align}_{11}C_7 &= \frac{11!}{7!(11-7!} \\ &= \frac{11!}{7!.4!} \\ &= \frac{11.10.9.8.7!}{7!.4.3.2.1} \\ &= \frac{11.10.9.8}{4.3.2.1} \\ _{11}C_7 &= 330 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 31
Jika didefinisikan $_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ maka nilai $_{12}{{C}_{3}}$ = ...
A. 1320
B. 820
C. 220
D. 130
E. 15
Solusi: Lihat/Tutup $\begin{align}_{12}C_3 &= \frac{12!}{3!(12-3)!} \\ &= \frac{12!}{3!.9!} \\ &= \frac{12.11.10.9!}{3.2.1.9!} \\ &= \frac{12.11.10}{3.2.1} \\ _{12}C_3 &= 220 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 32
Jika didefinisikan $_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ maka nilai $n$ yang memenuhi persamaan $_nC_2=28$ adalah ...
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Solusi: Lihat/Tutup Dari $_nC_2$ maka $n\ge 2$
$\begin{align}_nC_2 &= 28 \\ \frac{n!}{2!(n-2)!} &= 28 \\ \frac{n(n-1)(n-2)!}{2.(n-2)!} &= 28 \\ n(n-1) &= 56 \\ n^2-n-56 &= 0 \\ (n-8)(n+7) &= 0 \end{align}$
$n-8=0\to n=8$ (memenuhi)
$n+7=0\to n=-7$ (tidak memenuhi)
Jadi, $n=8$
Jawaban: D
Soal No. 33
Jika didefinisikan $_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ maka nilai $n$ yang memenuhi persamaan $_nC_{n-2}=21$ adalah ...
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
E. 7
Solusi: Lihat/Tutup Dari $_nC_{n-2}$ maka $n-2\ge 0\to n\ge 2$
$\begin{align}_nC_{n-2} &= 21 \\ \frac{n!}{(n-2)[n-(n-2)]!} &= 21 \\ \frac{n!}{(n-2)!.2!} &= 21 \\ \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!.2.1} &= 21 \\ n(n-1) &= 42 \\ n^2-n-42 &= 0 \\ (n-7)(n+6) &= 0 \end{align}$
$n-7=0\to n=7$ (memenuhi)
$n+6=0\to n=-6$ (tidak memenuhi)
Jadi, $n=7$
Jawaban: E
Soal No. 34
Jika didefinisikan $_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ maka nilai $n^2$ yang memenuhi persamaan $_nC_4=35$ adalah ...
A. 25
B. 36
C. 49
D. 64
E. 81
Solusi: Lihat/Tutup $\begin{align}_nC_4 &= 35 \\ \frac{n!}{4!(n-4)!} &= 35 \\ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{4.3.2.1.(n-4)!} &= 35 \\ n(n-1)(n-2)(n-3) &= 35\times 4.6 \\ n(n-1)(n-2)(n-3) &= 7.5.4.6 \\ n(n-1)(n-2)(n-3) &= 7.6.5.4 \end{align}$
Diperoleh n = 7 maka $n^2=7^2=49$
Jawaban: C
Soal No. 35
Jika didefinisikan $_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ maka nilai $n$ yang memenuhi persamaan $3.{_{n+1}C_3}=7.{_nC_2}$ adalah ...
A. 2
B. 4
C. 6
D. 7
E. 8
Solusi: Lihat/Tutup Dari $_{n+1}C_3\to n+1\ge 3\to n\ge 2$
$\begin{align}3.{_{n+1}C_3} &= 7.{_nC_2} \\ 3.\frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!} &= 7.\frac{n!}{2!(n-2)!} \\ \frac{3.(n+1)!}{3.2.1(n-2)!} &= \frac{7.n!}{2.1.(n-2)!} \\ (n+1)! &= 7.n! \\ (n+1)n! &= 7.n! \\ n+1 &= 7 \\ n &= 6 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 36
Seorang pelatih basket akan menyusun tim basket dari sejumlah 8 orang pemain. Banyaknya susunan tim yang bisa dibentuk adalah ...
A. 40
B. 56
C. 168
D. 336
E. 672
Solusi: Lihat/Tutup 1 tim pemain basket terdiri dari 5 orang.
Banyak susunan tim yang bisa dibentuk = banyak kombinasi memilih 5 pemain basket dari 8 orang.
$\begin{align}C_5^8 &= \frac{8!}{5!(8-5)!} \\ &= \frac{8!}{5!.3!} \\ &= \frac{8.7.6.5!}{5!.3.2.1} \\ &= 56 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 37
Untuk memenuhi kebutuhan perusahaan seorang kepala seksi ditugaskan oleh pimpinan perusahaan untuk pengadaan 2 unit mobil dan 3 unit sepeda motor. Pada suatu dealer mobil dan sepeda motor tersedia 6 unit mobil dan 10 unit sepeda motor. Banyaknya cara kepala seksi tersebut memilih mobil dan sepeda motor pada dealer tersebut adalah ...
A. 600
B. 1.200
C. 1.800
D. 2.000
E. 2.400
Solusi: Lihat/Tutup Banyak kombinasi memilih 2 mobil dari 6 mobil dan memilih 3 sepeda motor dari 10 sepeda motor:
$\begin{align}C_2^6 \times C_3^{10} &= \frac{6!}{2!(6-2)!}\times \frac{10!}{3!(10-3!} \\ &= \frac{6!}{2!.4!}\times \frac{10!}{3!.7!} \\ &= \frac{6.5.4!}{2.1.4!}\times \frac{10.9.8.7!}{3.2.1.7!} \\ &= 15\times 120 \\ &= 1800 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 38
Seorang siswa diminta mengerjakan 8 soal dari 10 soal, tetapi soal nomor 3 dan 6 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil oleh siswa itu adalah ...
A. 90
B. 80
C. 45
D. 28
E. 8
Solusi: Lihat/Tutup Banyak kombinasi memilih 8 soal dari 10 soal, tetapi 2 soal (no. 3 dan no. 6) harus dikerjakan:
$C_{8-2}^{10-2}$ = $C_{6}^{8}$ = $\frac{8!}{6!.2!}$ = $\frac{8.7.6!}{6!.2.1}$ = 28.
Jawaban: D
Soal No. 39
Dalam suatu pertemuan, setiap orang saling melakukan jabat tangan satu dengan yang lain. Jika banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah 190 kali, maka jumlah orang yang menghadiri pertemuan itu adalah ...
A. 10
B. 15
C. 20
D. 24
E. 30
Solusi: Lihat/Tutup Banyak kombinasi 2 orang berjabat tangan dari n orang adalah 190, maka:
$\begin{align}C_2^n &= 190;\,n\ge 2 \\ \frac{n!}{2!.(n-2)!} &= 190 \\ \frac{n(n-1)(n-2)!}{2.1.(n-2)!} &= 190 \\ n(n-1) &= 380 \\ n^2-n-380 &= 0 \\ (n-20)(n+19) &= 0 \end{align}$
$n-20=0\to n=20$ (memenuhi)
$n+19=0\to n=-19$ (tidak memenuhi)
Jadi, banyak orang yang menghadiri pertemuan adalah 20.
Jawaban: C
Soal No. 40
Dari 10 siswa yang terdiri dari 7 putra dan 3 putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tersebut paling banyak 2 putri, maka banyak tim yang dapat dibentuk adalah ...
A. 168
B. 189
C. 210
D. 231
E. 252
Solusi: Lihat/Tutup Kemungkinan-kemungkinan tim yang dibentuk: • 2 putri dan 3 putra: $\begin{align}C_2^3\times C_3^7=\frac{3!}{2!.1!}\times \frac{7!}{3!.4!} \\ &= \frac{3.\cancel{2!}}{\cancel{2!}.1}\times \frac{7.6.5.\cancel{4!}}{3.2.1.\cancel{4!}} \\ &= 3\times 35 \\ &= 105 \end{align}$ • 1 putri dan 4 putra: $\begin{align}C_1^3\times C_4^7 &= \frac{3!}{1!.2!}\times \frac{7!}{4!.3!} \\ &= \frac{3.\cancel{2!}}{1.\cancel{2!}}\times \frac{7.6.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}.3.2.1} \\ &= 3\times 35 \\ &= 105 \end{align}$ • 0 putri dan 5 putra: $\begin{align}C_0^3\times C_5^7 &= \frac{3!}{0!.3!}\times \frac{7!}{5!.2!} \\ &= \frac{\cancel{3!}}{1.\cancel{3!}}\times \frac{7.6.\cancel{5!}}{\cancel{5!}.2.1} \\ &= 21 \end{align}$ Banyak tim yang dapat dibentuk = 105 + 105 + 21 = 231 Jawaban: D
Soal No. 41
Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah ...
A. 150
B. 180
C. 200
D. 270
E. 300
Solusi: Lihat/Tutup $\begin{align}C_2^{25} &= \frac{25!}{2!.(25-2)!} \\ &= \frac{25!}{2!.23!} \\ &= \frac{25.24.23!}{2.1.23!} \\ &= 25.12 \\ &= 300 \end{align}$
Jawaban: E
Soal No. 42
Lima pasang suami istri pergi ke suatu pesta pernikahan dengan menumpang 2 mobil yang masing-masing berkapasitas 6 orang. Jika setiap pasang harus naik pada mobil yang sama, maka banyaknya cara pengaturan penumpang kedua mobil tersebut adalah ...
A. 2
B. 14
C. 16
D. 20
E. 24
Solusi: Lihat/Tutup Soal Kombinasi
Jawaban: D
Soal No. 43
Banyak cara dari 12 buku dapat dibagi kepada 4 siswa sehingga setiap siswa menerima 3 buku adalah ...
A. 250
B. 265
C. 369.600
D. 362.880
E. 181.440
Solusi: Lihat/Tutup $C_3^{12}\times C_3^9\times C_3^6\times C_3^3$
= $\frac{12.11.10}{3.2.1}\times \frac{9.8.7}{3.2.1}\times \frac{6.5.4}{3.2.1}\times 1$
= $220\times 84\times 20\times 1$
= 369.600
Jawaban: C

Post a Comment for "Kumpulan Soal Kombinasi dan Pembahasan"

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.