Soal Aturan Cosinus dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal-Soal Aturan Kosinus dan Pembahasan, yaitu salah satu sub materi TRIGONOMETRI pada mata pelajaran Matematika. Silahkan dipelajari dan jangan lupa share/bagikan ke media sosial kalian, agar manfaat postingan ini dapat dirasakan oleh siswa/i yang lain. Terima kasih.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".

Soal No. 1

Diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi PQ, QR, dan PR berturut-turut adalah 5 cm, 6 cm, dan 7 cm. Nilai $\cos \angle P$ adalah …
A. $\frac{7}{35}$
B. $\frac{14}{35}$
C. $\frac{19}{35}$
D. $\frac{25}{35}$
E. $\frac{28}{35}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

PQ = r = 5
QR = p = 6
PR = q = 7
$\begin{align}\cos P &= \frac{q^2+r^2-p^2}{2qr} \\ &= \frac{7^2+5^2-6^2}{2.7.5} \\ &= \frac{49+25-36}{70} \\ &= \frac{38}{70} \\ \cos P &= \frac{19}{35} \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 2

Perhatikan gambar berikut!

A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = $45^\circ $. Apabila jarak CB = p dan CA = 2p$\sqrt{2}$, maka panjang terowongan adalah …
A. $5p\sqrt{5}$
B. $4p\sqrt{5}$
C. $3p\sqrt{5}$
D. $2p\sqrt{5}$
E. $p\sqrt{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

CB = a = p
CA = b = $2p\sqrt{2}$
$\angle C=45^\circ $
Panjang terowongan = AB = c
$\begin{align}c^2 &= a^2+b^2-2ab.\cos C \\ &= p^2+(2p\sqrt{2})^2-2.p.2p\sqrt{2}.\cos 45^\circ \\ &= p^2+8p^2-4\sqrt{2}.p^2.\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ c^2 &= 5p^2 \\ c &= p\sqrt{5} \end{align}$
Jawaban: E

Soal No. 3

Diketahui segitiga ABC dengan sisi BC = 7, sisi AC = 6, dan sisi AB = 5. Nilai $\sin A$ adalah ….
A. $\frac{5}{12}\sqrt{6}$
B. $\frac{2}{5}\sqrt{6}$
C. $\frac{1}{15}\sqrt{6}$
D. $\frac{1}{12}\sqrt{6}$
E. $\frac{3}{4}\sqrt{6}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

BC = a = 7
AC = b = 6
AB = c = 5
$\begin{align}\cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &= \frac{6^2+5^2-7^2}{2.6.5} \\ &= \frac{36+25-49}{60} \\ &= \frac{12}{60} \\ \cos A &= \frac{1}{5} \end{align}$
$\cos A =\frac{sa}{mi}=\frac{1}{5}$
$\begin{align}de &= \sqrt{mi^2-sa^2} \\ &= \sqrt{5^2-1^2} \\ &= \sqrt{24} \\ de &= 2\sqrt{6} \end{align}$
$\sin A =\frac{de}{mi}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$
Jawaban: B

Soal No. 4

Diketahui panjang sisi segitiga ABC adalah a = $2\sqrt{61}$ cm, b = 10 cm, dan c = 8 cm. Nilai $\cos A$ = …
A. $-\frac{5}{8}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{8}$
E. $\frac{4}{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

a = $2\sqrt{61}$ cm, b = 10 cm, dan c = 8 cm
$\begin{align}\cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &= \frac{10^2+8^2-(2\sqrt{61})^2}{2.10.8} \\ &= \frac{100+64-244}{160} \\ &= \frac{80}{160} \\ \cos A &= \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 5

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AC = 3 cm, AB = 2 cm, dan $\angle A=60^\circ $. Nilai $\cos C$ adalah …
A. $\frac{3}{7}\sqrt{7}$
B. $\frac{2}{7}\sqrt{7}$
C. $\frac{1}{7}\sqrt{7}$
D. $\frac{2}{7}\sqrt{6}$
E. $\frac{1}{7}\sqrt{6}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

AC = b = 3 cm, AB = c = 2 cm, dan $\angle A=60^\circ $
$\begin{align}a^2 &= b^2+c^2-2bc.\cos A \\ &= 3^2+2^2-2.3.2.\cos 60^\circ \\ &= 9+4-12.\frac{1}{2} \\ a^2 &= 7 \\ a &= \sqrt{7} \end{align}$
$\begin{align}\cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ &= \frac{(\sqrt{7})^2+3^2-2^2}{2.\sqrt{7}.3} \\ &= \frac{7+9-4}{6\sqrt{7}} \\ &= \frac{12}{6\sqrt{7}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \\ \cos C &= \frac{2}{7}\sqrt{7} \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 6

Nilai tangen sudut terkecil dari segitiga yang mempunyai panjang sisi masing-masing 4 cm, 6 cm, dan 8 cm adalah …
A. $\frac{5\sqrt{3}}{17}$
B. $\frac{\sqrt{7}}{15}$
C. $\frac{3\sqrt{5}}{11}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{7}$
E. $\sqrt{15}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal:
Segitiga ABC dengan panjang sisinya a = 4, b = 6, c = 8, sudut terkecil terletak pada titik A.
$\begin{align}\cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &= \frac{6^2+8^2-{{4}^{2}}}{2.6.8} \\ &= \frac{36+64-16}{96} \\ &= \frac{84}{96} \\ \cos A &= \frac{7}{8} \end{align}$
$\cos A=\frac{sa}{mi}=\frac{7}{8}$
$\begin{align}de &= \sqrt{mi^2-sa^2} \\ &= \sqrt{8^2-7^2} \\ &= \sqrt{64-49} \\ de &= \sqrt{15} \end{align}$
$\tan A =\frac{de}{sa}=\frac{\sqrt{15}}{7}$
Jawaban: D

Soal No. 7

Perhatikan gambar berikut ini!

Panjang AC = …
A. $\frac{1}{3}a\sqrt{13}$
B. $a\sqrt{13}$
C. $\frac{1}{2}a\sqrt{17}$
D. $\frac{13}{7}a\sqrt{7}$
E. $a\sqrt{7}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}A{{C}^{2}} &= A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AB.BC.\cos B \\ &= a^2+{{(3a)}^{2}}-2.a.3a.\cos 120^\circ \\ &= a^2+9a^2-6a^2\left( -\frac{1}{2} \right) \\ &= 10a^2+3a^2 \\ AC^2 &= 13a^2 \\ AC &= a\sqrt{13} \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 8

Nilai tangen sudut terbesar dari segitiga yang mempunyai panjang sisi masing-masing 4 cm, 6 cm, dan 8 cm adalah …
A. $-\frac{1}{15}\sqrt{15}$
B. $-\frac{1}{15}\sqrt{3}$
C. $-\sqrt{15}$
D. $\frac{1}{15}\sqrt{15}$
E. $\frac{1}{15}\sqrt{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal:
Segitiga ABC dengan panjang sisinya: a = 4, b = 6, c = 8 maka sudut terbesar terletak di titik C.
$\begin{align}\cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ &= \frac{4^2+6^2-8^2}{2.4.6} \\ &= \frac{16+36-64}{48} \\ &= -\frac{12}{48} \\ \cos C &= -\frac{1}{4} \end{align}$
Karena nilai cos C < 0, maka C adalah sudut tumpul, sehingga tan C bernilai negatif.
$\cos C=\frac{sa}{mi}=-\frac{1}{4}$
$\begin{align}de &= \sqrt{mi^2-sa^2} \\ &= \sqrt{4^2-1^2} \\ de &= \sqrt{15} \end{align}$
$\tan C=-\frac{de}{sa}=-\frac{\sqrt{15}}{1}=-\sqrt{15}$
Jawaban: C

Soal No. 9 (Soal HOTS)

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka $045^\circ $ sejauh 800 km, kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan $315^\circ $ sejauh 600 km. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah …
A. 600 km
B. 800 km
C. 1.000 km
D. 1.200 km
E. 2.400 km

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca Juga Teori: Jurusan Tiga Angka
Perhatikan sketsa berikut!

Karena pelabuhan ABC membentuk segitiga siku-siku di B maka dengan teorema pythagoras diperoleh jarak pelabuhan A dan C adalah:
$\begin{align}AC &= \sqrt{AB^2+BC^2} \\ &= \sqrt{800^2+600^2} \\ &= \sqrt{640000+360000} \\ &= \sqrt{1000000} \\ AC &= 1000 \end{align}$
Jadi, jarak pelabuhan A dan C adalah 1000 km.
Jawaban: C

Soal No. 10

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 9, b = 7, dan c = 8. Nilai cos A adalah ….
A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{5}{12}$
C. $\frac{13}{28}$
D. $\frac{11}{21}$
E. $\frac{33}{56}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}\cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &= \frac{7^2+8^2-9^2}{2.7.8} \\ &= \frac{49+64-81}{112} \\ &= \frac{32}{112} \\ \cos A &= \frac{2}{7} \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 11

Dalam segitiga ABC diketahui b = 8 cm, c = 5 cm, dan sudut A = $60^\circ $, maka a = … cm
A. $\sqrt{7}$
B. $7$
C. $89$
D. $49$
E. $\sqrt{129}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}a^2 &= b^2+c^2-2bc.\cos A \\ &= 8^2+5^2-2.8.5.\cos 60^\circ \\ &= 64+25-80.\frac{1}{2} \\ &= 89-40 \\ a^2 &= 49 \\ a &= 7 \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 12

Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan $\sqrt{21}$ cm adalah ….
A. $\frac{1}{5}\sqrt{21}$
B. $\frac{1}{6}\sqrt{21}$
C. $\frac{1}{5}\sqrt{5}$
D. $\frac{1}{6}\sqrt{5}$
E. $\frac{1}{3}\sqrt{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal segitiga ABC dengan:
a = 5, b = 6, dan c = $\sqrt{21}$
TIPS:
Pada segitiga, jika sisi di depan sudut adalah sisi terpendek maka sudut tersebut adalah sudut terkecil, sebaliknya jika sisi di depan sudut adalah sisi terpanjang maka sudut tersebut adalah sudut terbesar.
Jadi, dari informasi soal yang diketahui maka diperoleh sudut terkecil terletak pada titik C maka:
$\begin{align}\cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ &= \frac{5^2+6^2-(\sqrt{21})^2}{2.5.6} \\ &= \frac{25+36-21}{60} \\ &= \frac{40}{60} \\ \cos C &= \frac{2}{3} \end{align}$
$\cos C=\frac{2}{3}=\frac{sa}{mi}$
$\begin{align}de &= \sqrt{mi^2-sa^2} \\ &= \sqrt{3^2-2^2} \\ de &= \sqrt{5} \end{align}$
$\sin C=\frac{de}{mi}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Jawaban: E

Soal No. 13

Nilai sinus sudut A dalam segitiga ABC yang panjang sisi-sisinya: a = $\sqrt{7}$, b = 3, dan c = 2 adalah ….
A. $\frac{1}{4}\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{6}\sqrt{35}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

a = $\sqrt{7}$, b = 3, dan c = 2
$\begin{align}\cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &= \frac{3^2+2^2-(\sqrt{7})^2}{2.3.2} \\ &= \frac{9+4-7}{12} \\ &= \frac{6}{12} \\ \cos A &= \frac{1}{2} \\ A &= 60^\circ \end{align}$
$\sin A=\sin 60^\circ =\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Jawaban: D

Soal No. 14

Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8 cm, dan BC = 7 cm. Nilai sin A adalah ….
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{5}$
C. $\frac{2}{5}\sqrt{5}$
D. $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
E. $\frac{3}{5}\sqrt{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

AB = c = 9
AC = b = 8
BC = a = 7
$\begin{align}\cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &= \frac{8^2+9^2-7^2}{2.8.9} \\ &= \frac{64+81-49}{144} \\ &= \frac{96}{144} \\ \cos A &= \frac{2}{3} \end{align}$
$\cos A=\frac{2}{3}=\frac{sa}{mi}$
$\begin{align} de &= \sqrt{mi^2-sa^2} \\ &= \sqrt{3^2-2^2} \\ de &= \sqrt{5} \end{align}$
$\sin A=\frac{de}{mi}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Jawaban: B

Soal No. 15 (Soal HOTS)

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah $044^o$ sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah $104^o$ sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah … cm.
A. $10\sqrt95$
B. $10\sqrt91$
C. $10\sqrt85$
D. $10\sqrt71$
E. $10\sqrt61$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Baca Juga Teori: Jurusan Tiga Angka
Perhatikan gambar sketsa rute kapal dari permasalahan di atas adalah:

$\angle UAB+\angle ABU'=180^\circ$
${{44}^{o}}+\angle ABU'=180^\circ$
$\angle ABU'=180^\circ-44^\circ$
$\angle ABU'=136^\circ$
$\angle ABC=360^\circ -\angle ABU'-\angle U'BC$
$\angle ABC=360^\circ-136^\circ-104^\circ$
$\angle ABC=240^\circ=\angle B$
Dengan aturan cosinus:
Jarak Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah AC = $b$ = …?
$\begin{align} b^2 &= a^2+c^2-2ac.\cos B \\ &= {{40}^{2}}+{{50}^{2}}-2.40.50.\cos {{120}^{o}} \\ &= 1600+2500-2.40.50.\left( -\frac{1}{2} \right) \\ &= 1600+2500+2000 \\ b^2 &= 6100 \\ b &= \sqrt{6100} \\ b &= \sqrt{100\times 61} \\ b &= 10\sqrt{61} \end{align}$
Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah $10\sqrt{61}$ km.
Jawaban: E

Untuk lebih jelasnya tonton videonya DISINI.

Semoga postingan: Soal Aturan Cosinus dan Pembahasan ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :