PK6. Menyusun Persamaan Kuadrat

A. Menyusun Persamaan Kuadrat

1) Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$:
     $(x-x_1)(x-x_2)=0$
2) Persamaan kuadat umum:
     $x^2-Jx+K=0$
     dengan:
     $J$ = jumlah akar-akar
     $K$ = perkalian akar-akar

Contoh 1.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $3$ dan $-5$.
Penyelesaian:
Akar-akar: $x_1=3$, $x_2=-5$
Persamaan kuadrat:
$\begin{align}(x-x_1)(x-x_2) &= 0 \\ (x-3)(x-(-5)) &= 0 \\ (x-3)(x+5) &= 0 \\ x^2+5x-3x-15 &= 0 \\ x^2+2x-15 &= 0 \end{align}$

Contoh 2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2+\sqrt{3}$ dan $2-\sqrt{3}$
Penyelesaian:
Akar-akar: $2+\sqrt{3}$ dan $2-\sqrt{3}$
$\begin{align}J &= \text{jumlah akar-akar} \\ &= 2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3} \\ J &= 4 \end{align}$
$\begin{align}K &= \text{perkalian akar-akar} \\ &= (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \\ &= 4-3 \\ K &= 1 \end{align}$
Persamaan kuadrat:
$\begin{align}x^2-Jx+K &= 0 \\ x^2-4x+1 &= 0 \end{align}$

Contoh 3.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+5x-1=0$.
Penyelesaian:
$2x^2+5x-1=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$
$a=2$, $b=5$, $c=-1$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$
$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}$
Persamaan kuadrat, akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+5x-1=0$, artinya akar-akarnya $x_1+2$ dan $x_2+2$.
$\begin{align}J &= \text{jumlah akar-akar} \\ &= x_1+2+x_2+2 \\ &= x_1+x_2+4 \\ &= -\frac{5}{2}+4 \\ J &= \frac{3}{2} \end{align}$
$\begin{align}K &= \text{perkalian akar-akar} \\ &= (x_1+2)(x_2+2) \\ &= x_1x_2+2x_1+2x_2+4 \\ &= x_1x_2+2(x_1+x_2)+4 \\ &= -\frac{1}{2}+2.\left( -\frac{5}{2} \right)+4 \\ &= -\frac{1}{2}-1 \\ K &= -\frac{3}{2} \end{align}$
Persamaan kuadrat:
$\begin{align}x^2-Jx+K &= 0 \\ x^2-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} &= 0 \\ 2x^2-3x-3 &= 0 \end{align}$

Contoh 4.
Akar-akar persamaan $x^2+4x-1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(2x_1-3)$ dan $(2x_2-3)$
Penyelesaian:
$x^2+4x-1=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$
$a=1$, $b=4$, $c=-1$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$
$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(2x_1-3)$ dan $(2x_2-3)$.
$\begin{align}J &= \text{jumlah akar-akar} \\ &= 2x_1-3+2x_2-3 \\ &= 2(x_1+x_2)-6 \\ &= 2.(-4)-6 \\ J &= -14 \end{align}$
$\begin{align}K &= \text{perkalian akar-akar} \\ &= (2x_1-3)(2x_2-3) \\ &= 4x_1x_2-6x_1-6x_2+9 \\ &= 4x_1x_2-6(x_1+x_2)+9 \\ &= 4(-1)-6(-4)+9 \\ &= -4+24+9 \\ K &= 29 \end{align}$
Persamaan kuadrat:
$\begin{align}x^2-Jx+K &= 0 \\ x^2-(-14)x+29 &= 0 \\ x^2+14x+29 &= 0 \end{align}$

B. Soal Latihan

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-3$ dan 2.
2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $1+\sqrt{2}$ dan $-1+\sqrt{2}$.
3. Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2+2x-2$. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $3x_1$ dan $3x_2$.
4. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2-x-4=0$, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(x_1-2)$ dan $(x_2-2)$.
5. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya tiga lebihnya dari akar persamaan kuadrat $3x^2-x-5=0$.

Share :