Matematika IPA UM-UGM 2014 Kode 532 [Soal dan Pembahasan]

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2014 Kode 532. Saya berharap kiranya pembahasan ini kiranya berguna bagi adik-adik yang berkeingin melanjutkan pendidikan tinggi ke salah satu PTN (Perguruan Tinggi Negeri) yang terletak di Daerah Istimewa Yogyakarta yaitu Universitas Gadjah Mada (UGM). Agar adik-adik dapat diterima sebagai mahasiswa/i baru di UGM maka perlu mempersiapkan diri dengan melatih diri menjawab soal-soal ujian tulis (UTUL) UGM tahun-tahun sebelumnya. Mari kita belajar dan berdiskusi melalui kolom komentar yang ada.

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 1
Tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan adalah ...
A. 24   B. 49   C. 144   D. 288   E. 5040
Pembahasan:
L = pria
P = wanita

P

L

P

L

P

L

P

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 2
Untuk setiap bilangan asli $n$ didefinisikan ${{A}_{n}}=\left( \begin{matrix}  n & 2n  \\  3n & 4n  \\  \end{matrix} \right)$. Jika $det(A_1+A_2+...+A_k)$ = -4050, maka $det(A_{2k})$ = ...
A. -800   B. -648   C. -512   D. -392   E. -288
Pembahasan:
${{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}}$ = $\left( \begin{matrix}  1+2+...+k & 2(1+2+...+k)  \\  3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k)  \\  \end{matrix} \right)$
$\det \left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}} \right)$ = $\left( \begin{matrix}
   1+2+...+k & 2(1+2+...+k)  \\  3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k)  \\  \end{matrix} \right)$
$-4050$ = $4{{(1+2+...+k)}^{2}}-6{{(1+2+...+k)}^{2}}$
$-4050$ = $-2{{(1+2+...+k)}^{2}}$
$2025$ = ${{\left( 1+2+...+k \right)}^{2}}$
$2025$ = ${{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}$
$45$ = $\frac{k(k+1)}{2}$
$90=k(k+1)\Rightarrow k=9$
$\det {{A}_{2k}}=-2{{(-2k)}^{2}}$
$\det {{A}_{2k}}=-8{{k}^{2}}=-8.81=-648$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 3
Diketahui persamaan $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar positif $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1$, 6, $x_2$ adalah tiga suku pertama barisan geometri dan $x_1$, $x_2$, 14 tiga suku pertama barisan aritmetika, maka $p+q$ = ...
A. 23   B. 24   C. 25   D. 26   E. 27
Pembahasan:
$x^2+px+q=0$, $x_1+x_2=-p$, $x_1.x_2=q$
Barisan Geometri: $x_1$, 6, $x_2$, maka:
$36={{x}_{1}}.{{x}_{2}}\Leftrightarrow 36=q$
$\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}$
Barisan Aritmetika: $x_1$, $x_2$, 14, maka:
$2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+14$
$2{{x}_{2}}=\frac{36}{{{x}_{2}}}+14$, kali dengan ${{x}_{2}}$
$2x_{2}^{2}-14x-36=0$
$x_{2}^{2}-7x-18=0$
$({{x}_{2}}-9)({{x}_{2}}+2)=0$
${{x}_{2}}=9$
$\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}\Leftrightarrow \frac{36}{9}={{x}_{1}}=4$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p\Leftrightarrow 9+4=-p\Leftrightarrow -13=p$
$p+q=-13+36=23$
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 4
Jika $f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$ dan $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$ maka $g(x)$ = ...
A. $\cos 3x + \sin x$
B. $\cos 3x - \sin x$
C. $\cos x + \sin x$
D. $\cos x - \sin x$
E. $-\cos x + \sin x$
Pembahasan:
$f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$
$=\sin x\cos 2x+\sin x\sin 2x$
$+\cos x\cos 2x+\cos x\sin 2x$
$=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x$
$\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x$
$f(x)=\sin 3x+\cos x$
$f'(x)=3\cos 3x-\sin x$; $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$
$2co3x+g(x)=3\cos 3x-\sin x$
$g(x)=\cos 3x-\sin x$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 5

Diketahui $D_1$ adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola $y=\frac{9}{4}x^2$, parabola $y=x^2$, dan garis $x=2$, dan ${{D}_{2}}$ daerah yang dibatasi oleh garis $x=2$, garis $y=9$, parabola $y={{x}^{2}}$. Jika luas $D_1=a$, maka luas $D_2$ adalah ...

A. $\frac{7}{10}a$   B. $\frac{8}{10}a$   C. $\frac{9}{10}a$   D. $\frac{11}{10}a$   E. $\frac{13}{10}a$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

$L.{{D}_{1}}=\frac{1}{3}.alas.({{t}_{2}}-{{t}_{1}})$

$L.{{D}_{1}}=\frac{1}{3}.2.(9-4)$

$L.{{D}_{1}}=\frac{10}{3}=a$

$L.{{D}_{2}}=\int\limits_{2}^{3}{(9-{{x}^{2}})dx}$

$L.{{D}_{2}}=\left. 9x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right]_{2}^{3}=\frac{8}{3}$

$\frac{L.{{D}_{2}}}{L.{{D}_{1}}}=\frac{L.{{D}_{2}}}{a}$

$\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{L.{{D}_{2}}}{a}$

$\frac{8}{10}a=L.{{D}_{2}}$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 6

Diketahui matriks A berukuran 3 x 3 dan memenuhi:

$A\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  1  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  2  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$  dan $A\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  3  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$. Jika $x=\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  10  \\ \end{matrix} \right)$ maka $Ax$ = …

A. $\left( \begin{matrix}  8  \\  4  \\  8  \\  \end{matrix} \right)$   B. $\left( \begin{matrix}  4  \\  12  \\  4  \\  \end{matrix} \right)$   C. $\left( \begin{matrix}  12  \\  8  \\  12  \\  \end{matrix} \right)$   D. $\left( \begin{matrix}  4  \\  8  \\  4  \\  \end{matrix} \right)$   E. $\left( \begin{matrix}  8  \\  12  \\  8  \\  \end{matrix} \right)$

Pembahasan:

Misalkan matriks $A=\left( \begin{matrix}  a & b & c  \\  d & e & f  \\  g & h & i  \\  \end{matrix} \right)$, maka:

$\left( \begin{matrix}  a & b & c  \\  d & e & f  \\  g & h & i  \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  1  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  2  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$ 

$a+2b+c=2$ … persamaan (1)

$d+2e+f=2$ …persamaan (2)

$g+2h+i=2$ … persamaan (3)

$\left( \begin{matrix}  a & b & c  \\  d & e & f  \\  g & h & i  \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  3  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$

$a+2b+3c=2$ … persamaan (4)

$d+2e+3f=4$… persamaan (5)

$g+2h+3i=2$ … persamaan (6)

Dari (1) dan (4) diperoleh: c = 0, dan $a+2b=2$ 

Dari (2) dan (5) diperoleh: f = 1, dan $d+2e=1$ 

Dari (3) dan (6) diperoleh: I = 0, dan $g+2h=2$ 

$Ax=\left( \begin{matrix}  a & b & 0  \\  d & e & 1  \\  g & h & 0  \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  10  \\  \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix}  2a+4b  \\  2d+4e+10  \\  2g+4h  \\  \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix}  2(a+2b)  \\  2(d+2e)+10  \\  2(g+2h)  \\  \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix}  2.2  \\  2.1+10  \\  2.2  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  4  \\  12  \\  4  \\  \end{matrix} \right)$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 7

Diberikan segitiga ABC dengan $\angle A=\alpha $, $\angle B={{90}^{o}}$, dan $\angle C=\gamma $. Jika $\cos \alpha = x$, maka $\cos (\alpha +2\gamma )$ = …

A. $-x$   B. $-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$   C. $x$   D. $\sqrt{1-{{x}^{2}}}$   E. 1

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

$\alpha +\gamma ={{90}^{o}}$

$\cos (\alpha +2\gamma )=\cos (\alpha +\gamma +\gamma )$

$=\cos ({{90}^{o}}+\gamma )$

$=-\sin \gamma $

$=-x$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 8

Jika garis $y=mx+k$ menyinggung lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$ maka nilai $(m+k)$ adalah …

A. -26   B. -25   C. -24   D. -23   E. -22

Pembahasan:

Persamaan garis singgung ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$ adalah:

${{x}_{1}}.x+{{y}_{1}}.y-\frac{10}{2}(x+{{x}_{1}})+\frac{6}{2}(y+{{y}_{1}})+24=0$

$8x-4y-5(x+8)+3(y-4)+24=0$

$3x-y-28=0$

$y=3x-28$

$y=mx+k$

$m=3,k=-28\Rightarrow m+k=-25$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 9

Sebuah prisma ABCD.EFGH memiliki alas berbentuk persegi. Titik T adalah titik tengah diagonal HF. Jika $\angle EAT=\frac{\pi }{6}$ dan volume prisma tersebut $4\sqrt{6}$, maka tinggi prisma adalah …

A. $\sqrt{6}$   B. $\sqrt{3}$   C. $\sqrt{2}$   D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$   E. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan:

Perhatikan segitiga AET siku-siku di E, maka:

$\tan A=\frac{ET}{EA}$ 

$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{b}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{b}$

$b=\frac{a}{2}\sqrt{6}$

Volume prisma = $4\sqrt{6}$

$V={{a}^{2}}b$

$4\sqrt{6}={{a}^{2}}.\frac{a}{2}\sqrt{6}$

$8={{a}^{3}}\Leftrightarrow a=2$

Tinggi prisma = $b=\frac{a}{2}\sqrt{6}=\sqrt{6}$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 10

Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\theta $. Jika panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan $2\sin \theta $ dan panjang vektor $\vec{b}$ adalah 1, maka $\tan 2\theta $ = …

A. $\frac{1}{3}$   B. $\frac{2}{3}$   C. 1   D. $\frac{4}{3}$   E. $\frac{5}{3}$

Pembahasan:

$\angle (\vec{a},\vec{b})=\theta $, $|\vec{b}|=1$

$\frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|}=2\sin \theta $ 

$\frac{|\vec{b}|.|\vec{a}|.cos\theta }{|\vec{a}|}=2\sin \theta $

$\cos \theta =2\sin \theta $

$\tan \theta =\frac{1}{2}$

$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{{\tan }^{2}}\theta }$

$\tan 2\theta =\frac{2.\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 11

Semua nilai $a$ agar $\sqrt{2{{x}^{2}}-x+14}\ge \sqrt{{{x}^{2}}-ax+10}$ benar untuk semua bilangan real $x$ adalah …

A. $|a|\le 6$

B. $a\le -3$ atau $a\ge 5$

C. $a\le -5$ atau $a\ge 3$

D. $-3\le a\le 5$

E. $-6\le a\le -5$ atau $3\le a\le 6$

Pembahasan:

(*)

$\sqrt{2{{x}^{2}}-x+14}\ge \sqrt{{{x}^{2}}-ax+10}$

$2{{x}^{2}}-x+14\ge {{x}^{2}}-ax+10$

${{x}^{2}}+(a-1)x+4\ge 0$, definit positif, maka:

$D\le 0$

${{B}^{2}}-4AC\le 0$

${{(a-1)}^{2}}-4.1.4\le 0$

${{a}^{2}}-2a-15\le 0$

$(a+3)(a-5)\le 0$

$-3\le a\le 5$

(**) syarat: 

$2{{x}^{2}}-x+14\ge 0$

${{x}^{2}}-ax+10\ge 0$

$D\le 0$

${{B}^{2}}-4AC\le 0$

${{a}^{2}}-4.1.10\le 0$

$(a+\sqrt{40})(a-\sqrt{40})\le 0$

$-\sqrt{40}\le a\le \sqrt{40}$

Dari (*) dan (**) diperoleh penyelesaian $-3\le a\le 5$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 12

Jika $P(x)={{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$ dibagi $h(x)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2$ memberikan sisa $r(x)={{x}^{2}}-3x+4$ maka $a+b$ = …

A. -2   B. -1   C. 1   D. 2   E. 3

Pembahasan:

Yang dibagi = pembagi x hasil + Sisa

$P(x)=h(x).hasil+r(x)$

${{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$$=({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2).hasil+{{x}^{2}}-3x+4$

${{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$$=(x-1)(x+1)(x-2).hasil+{{x}^{2}}-3x+4$

x=1, maka:

$1+a+1+b+2=1-3+4$

$a+b=2$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 13

Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x={}^{4}\log 4{{x}^{2}}$, maka ${}^{a}\log 3$ = …

A. -3   B. -2   C. -1   D. 1   E. 2

Pembahasan:

${}^{2}\log 2+{}^{2}\log x+{}^{3}\log 3+{}^{3}\log x$$={}^{4}\log 4+{}^{4}\log {{x}^{2}}$

$1+{}^{2}\log x+1+{}^{3}\log x=1+{}^{{{2}^{2}}}\log {{x}^{2}}$

$1+{}^{2}\log x+1+{}^{3}\log x=1+{}^{{{2}^{2}}}\log {{x}^{2}}$

${}^{3}\log x=-1$

$x={{3}^{-1}}=a$

${}^{a}\log 3={}^{{{3}^{-1}}}\log 3=-1$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 14

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$. Nilai $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3+2{{h}^{2}})-f(3-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}}$ adalah …

A. 0   B. $\frac{2}{3}$   C. $\frac{6}{7}$   D. $\frac{9}{8}$   E. $\frac{5}{4}$

Pembahasan:

$\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3+2{{h}^{2}})-f(3-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+3+2{{h}^{2}}}-\sqrt{1+3-3{{h}^{2}}}}{{{h}^{2}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}-\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}{{{h}^{2}}}\times \frac{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4+2{{h}^{2}}-(4-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{h}^{2}}}{{{h}^{2}}\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5}{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\frac{5}{\sqrt{4+{{2.0}^{2}}}+\sqrt{4-{{3.0}^{2}}}}$

$=\frac{5}{4}$

Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 15

Diketahui jumlah empat suku pertama suatu barisan aritmetika sama dengan jumlah tiga suku selanjutnya. Jika jumlah 10 suku pertama adalah 270, maka suku pertama barisan tersebut adalah …

A. 2  B. 3   C. 6   D. 9   E. 18

Pembahasan:

Barisan Arimetika:

${{S}_{4}}={{U}_{5}}+{{U}_{6}}+{{U}_{7}}$

$\frac{4}{2}(2a+3b)=a+4b+a+5b+a+6b$

$4a+6b=3a+15b$

$a=9b$

${{S}_{10}}=270$

$\frac{10}{2}(2a+9b)=270$

$2a+9b=54$

$2.9b+9b=54$

$27b=54$

$b=2$

$a=9b\Leftrightarrow a=9.2=18$

Kunci: E

Baca juga:

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UM-UGM

Pembahasan SIMAK UI 2018 Matematika IPA Kode 416

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2018 dengan Kode Soal 416. Soal ini merupakan salah satu alat tes untuk menyeleksi mahasiswa/i tahun ajaran 2018/2019 yang akan mengecap pendidikan tinggi di universitas ternama di Indonesia yaitu Universitas Indonesia (UI). Universitas Indonesia terletak di Jl. Margonda Raya, Beji, Pondok Cina Kota Depok Jawa Barat. Pembahasan SIMAK UI 2018/2019 ini adalah hasil pemikiran sederhana saya yang tentu masih jauh dari kata sempurna. Saya sangat menghargai kritik dan saran dari pengunjung setia Catatan Matematika yang sifatnya membangun dan mari diskusi dan belajar bersama melalui kolom komentar di akhir postingan ini.

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 1
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi ${{x}^{2}}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ = …
A. 12   B. 10   C. 9   D. 8   E. 5
Pembahasan:
Yang dibagi = Pembagi x Hasil bagi + Sisa
Suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}+x-2$ bersisa $ax+b$, maka:
$f(x)$ = (${{x}^{2}}+x-2$)Hasil + $ax+b$
$f(x)$ = $(x+2)(x-1)$Hasil + $ax+b$
$f(-2)$ = $(-2+2)(-2-1)$Hasil + $-2a+b$
$f(-2)$ = $-2a+b=7$ … persamaan (1)
$f(1)$ = $(1+2)(1-1)$Hasil + $a+b$
$f(1)$ = $a+b$ … persamaan (2)
Suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$, maka:
$f(x)$ = (${{x}^{2}}-4x+3$)Hasil + $2bx+a-1$
$f(x)$ = $(x-1)(x-3)$Hasil + $2bx+a-1$
$f(1)$ = $(1-1)(1-3)$Hasil + $2b+a-1$
$f(1)$ = $2b+a-1$ substitusi ke persamaan (2), maka:
$2b+a-1=a+b$
$b=1$
Substitusi ke persamaan (1), maka:
$-2a+b=7\Leftrightarrow -2a+1=7\Leftrightarrow a=-3$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{(-3)}^{2}}+{{1}^{2}}=10$
Kunci: B

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 2
Himpunan penyelesaian $16-{{x}^{2}}\le |x+4|$ adalah …
A. {$x\in R:-4\le x\le 4$}
B. {$x\in R:-4\le x\le 3$}
C. {$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 4$}
D. {$x\in R:0\le x\le 3$}
E. {$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 3$}
Pembahasan:
(i) Untuk $x\ge -4$ maka:
$16-{{x}^{2}}\le |x+4|$
$16-{{x}^{2}}\le x+4$
$12-{{x}^{2}}-x\le 0$
${{x}^{2}}+x-12\ge 0$
$(x+4)(x-3)\ge 0$
$x\le -4$ atau $x\ge 3$
yang memenuhi syarat $x\ge -4$ adalah $x\ge 3$.
(ii) Untuk $x\le 4$, maka:
$16-{{x}^{2}}\le |x+4|$
$16-{{x}^{2}}\le -(x+4)$
$20-{{x}^{2}}+x\le 0$
${{x}^{2}}-x-20\ge 0$
$(x-5)(x+4)\ge 0$
$x\le -4$ atau $x\ge 5$
yang memenuhi syarat $x\le 4$ adalah $x\le -4$
Dari i) dan (ii) diperoleh:
{$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 3$}
Kunci: E

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 3
Jika ${{x}_{1}}$ atau ${{x}_{2}}$ memenuhi persamaan $2{{\sin }^{2}}x-\cos x=1$, $0\le x\le \pi $, nilai ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ adalah …
A. $\frac{\pi }{3}$ B. $\frac{2\pi }{3}$ C. $\pi $ D. $\frac{4}{3}\pi $ E. $2\pi $
Pembahasan:
$2{{\sin }^{2}}x-\cos x=1$
$2(1-{{\cos }^{2}}x)-\cos x=1$
$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$
$(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$
$\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}={{60}^{o}}$ atau
$\cos x=-1\Leftrightarrow {{x}_{2}}={{180}^{o}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{60}^{o}}+{{180}^{o}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{240}^{o}}=\frac{{{240}^{o}}}{{{180}^{o}}}\pi =\frac{4}{3}\pi $
Kunci: D

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 4
Jika $\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{b{{x}^{3}}+27}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif adalah …
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{b{{x}^{3}}+27}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$
$\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{3+ax}{3ax(b{{x}^{3}}+27)}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$
Untuk $x=-3$ maka:
$3+ax=0\Leftrightarrow 3-3a=0\Leftrightarrow a=1$
Untuk $x=-3$ maka:
$b{{x}^{3}}+27=0\Leftrightarrow b.{{(-3)}^{3}}+27=0\Leftrightarrow b=1$
$a+b=1+1=2$
Kunci: E

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 5
Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int\limits_{6}^{30}{f(x)dx}=30$, maka $\int\limits_{1}^{9}{f(3y+3)dy}$ = …
A. 5   B. 10   C. 15   D. 18   E. 27
Pembahasan:
Misal:
$\int\limits_{y=1}^{y=9}{f(3y+3)dy}$
$x=3y+3$ maka $\frac{dx}{dy}=3\Leftrightarrow dy=\frac{1}{3}dx$
$y=1\Rightarrow x=6$
$y=9\Rightarrow x=30$
$\int\limits_{1}^{9}{f(3y+3)dy}=\int\limits_{6}^{30}{f(x).\frac{1}{3}dx}$
$=\frac{1}{3}\int\limits_{6}^{30}{f(x)dx}$
$=\frac{1}{3}.30=10$
Kunci: B


Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 6
Pada balok ABCD.EFGH, dengan AB = 6, BC = 3, dan CG = 2, titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Jika 3EM = EH, FN = 2NG, 3DO = 2DA, dan $\alpha$ adalah bidang irisan balok yang melalui M, N, dan O, perbandingan luas bidang $\alpha$ dengan luas permukaan balok adalah …
A. $\frac{\sqrt{35}}{36}$ B. $\frac{\sqrt{37}}{36}$ C. $\frac{\sqrt{38}}{36}$ D. $\frac{\sqrt{39}}{36}$ E. $\frac{\sqrt{41}}{36}$
Pembahasan:
Berdasarkan informasi soal, maka dapat dibuat gambar sebagai berikut:

Bidang $\alpha$ adalah bidang MNN’O (berupa persegipanjang)
Perhatikan segitiga MM’N siku-siku di titik M, dengan MM’ = 6 cm, M’N = 1 cm, maka:
$MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{1}^{1}}}=\sqrt{37}$
Luas bidang $\alpha$ adalah:
$=N'N\times MN$
$=2\sqrt{37}$
Luas permukaan balok adalah:
$=2(p.l+p.t+l.t)$
$=2(6.3+6.2+3.2)=72$
$\frac{\alpha }{L.balok}=\frac{2\sqrt{37}}{72}=\frac{\sqrt{37}}{36}$
Kunci: B

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 7
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga CP : PG = 5 : 2. Jika $\alpha $ adalah sudut terbesar antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $\sin \alpha $ = …
A. $-\frac{7\sqrt{11}}{33}$ B. $-\frac{7\sqrt{11}}{44}$ C. $\frac{7\sqrt{11}}{33}$ D. $\frac{7\sqrt{11}}{44}$ E. $\frac{7\sqrt{11}}{55}$
Pembahasan:
Karena CP : PG = 5 : 2 untuk mempermudah perhitungan misalkan panjang rusuk kubus 14 cm, maka CP = 10 cm dan PG = 4 cm. Perhatikan gambar berikut ini!

Sudut terbesar antara rusuk CG dan bidang PBD adalah $\alpha $, dengan $\alpha ={{180}^{o}}-\angle CPQ$
$CQ=7\sqrt{2}$, CP = 10, maka:
$PQ=\sqrt{C{{Q}^{2}}+C{{P}^{2}}}$
$PQ=\sqrt{{{(7\sqrt{2})}^{2}}+{{10}^{2}}}$
$PQ=3\sqrt{22}$
$\sin \alpha =\sin ({{180}^{o}}-\angle CPQ)$
$\sin \alpha =\sin \angle CPQ$
$\sin \alpha =\frac{CQ}{PQ}$
$\sin \alpha =\frac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{22}}$
$\sin \alpha =\frac{7}{3\sqrt{11}}\times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{7\sqrt{11}}{33}$
Kunci: C

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 8
Jika ${{3}^{x}}+{{5}^{y}}=18$, nilai maksimum ${{3}^{x}}{{.5}^{y}}$ adalah …
A. 72   B. 80   C. 81   D. 86   E. 88
Pembahasan:
${{3}^{x}}+{{5}^{y}}=18$
Misal: ${{3}^{x}}=a$ dan ${{3}^{y}}=b$ , maka
$a+b=18\Leftrightarrow a=18-b$ nilai maksimum $ab=...?$
$L=a.b$
$L=a(18-a)$
$L=18a-{{a}^{2}}$
Maksimum/minimum, maka $L'=0$
$18-2a=0\Leftrightarrow a=9$
$L=18a-{{a}^{2}}\Leftrightarrow L=18.9-{{9}^{2}}=81$
Kunci: C

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 9
Diketahui $sx-y=0$ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu-$x$. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-$x$ dan titik pusatnya dilalui garis $x=-2$, nilai $3s$ adalah …
A. $\frac{1}{6}$   B. $\frac{4}{3}$   C. 3   D. 4  E. 6
Pembahasan:
Berdasarkan informasi soal, maka dapat dibuat gambar sebagai berikut!

Dari gambar diperoleh:
Lingkaran melalui berpusat di titik (-2,-1) dan berjari-jari 1, maka persamaan lingkarannya adalah:
${{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}={{1}^{2}}$, $y=sx$
${{(x+2)}^{2}}+{{(sx+1)}^{2}}=1$
${{x}^{2}}+4x+4+{{s}^{2}}{{x}^{2}}+2sx+1=1$
$({{s}^{2}}+1){{x}^{2}}+(2s+4)x+4=0$, syarat menyinggung $D=0$,
${{b}^{2}}-4ac=0$
${{(2s+4)}^{2}}-4({{s}^{2}}+1)4=0$
$4{{s}^{2}}+16s+16-16{{s}^{2}}-16=0$
$-12{{s}^{2}}+16s=0$
$-4s(3s-4)=0$
$-4s=0$ atau $3s=4$
Kunci: D

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 10
Jika kurva $y=(a-2){{x}^{2}}+\sqrt{3}(1-a)x+a-2$ selalu berada di atas sumbu-$x$, bilangan bulat terkecil $a-2$ yang memenuhi adalah …
A. 6   B. 7   C. 8   D. 9   E. 10
Pembahasan:
$y=(a-2){{x}^{2}}+\sqrt{3}(1-a)x+a-2$ maka:
$A=a-2$, $B=\sqrt{3}(1-a)$, $C=a-2$,
Selalu berada di atas sumbu-X (definit positif), maka:
(1) $A > 0\Leftrightarrow a-2 > 0\Leftrightarrow a>2$
(2) $D < 0$
$B^2-4AC < 0$
${{[\sqrt{3}(1-a)]}^{2}}-4(a-2)(a-2) < 0$
$3(1-2a+{{a}^{2}})-4({{a}^{2}}-4a+4) < 0$
$3-6a+3{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}+16a-16 < 0$
$-{{a}^{2}}+10a-13 < 0$
${{a}^{2}}-10a+13 > 0$, dengan rumus abc maka:
$a=\frac{10\pm \sqrt{48}}{2}$
$a=\frac{10\pm 4\sqrt{3}}{2}$
$a=5\pm 2\sqrt{3}$
$a < 5-2\sqrt{3}$ atau $a > 5+2\sqrt{3}$
Dari (1) dan (2) diperoleh batas nilai $a$ adalah:
$a > 5+2\sqrt{3}\Leftrightarrow a > 5+\sqrt{12}$
$a-2 > 5+\sqrt{12}-2$, karena diminta bilangan bulat terkecil, maka:
$a-2=5+\sqrt{16}-2=7$
Kunci: B


Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 11
Jika $a+b-c=2$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4{{c}^{2}}=2$, dan $ab=\frac{3}{2}{{c}^{2}}$, nilai $c$ adalah …
A. 0   B. 1   C. 2   D. 3   E. 6
Pembahasan:
$a+b-c=2$
$a+b=2+c$
${{(a+b)}^{2}}={{(2+c)}^{2}}$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab={{c}^{2}}+4c+4$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4{{c}^{2}}=2$
-----------------------------------(-)
$2ab+4{{c}^{2}}={{c}^{2}}+4c+2$
$3{{c}^{2}}-4c+2ab-2=0$, diketahui $ab=\frac{3}{2}{{c}^{2}}$
$3{{c}^{2}}-4c+2.\frac{3}{2}{{c}^{2}}-2=0$
$6{{c}^{2}}-4c-2=0$
$3{{c}^{2}}-2c-1=0$
$(3c+1)(c-1)=0$
$c=-\frac{1}{3}$ atau $c=1$
Kunci: B

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 12
Jika ${{S}_{n}}$ adalah jumlah sampai suku ke-n dari barisan geometri, ${{S}_{1}}+{{S}_{6}}=1024$ dan ${{S}_{3}}\times {{S}_{4}}=1023$, maka $\frac{{{S}_{11}}}{{{S}_{8}}}$ = …
A. 3   B. 16   C. 32   D. 64   E. 254

Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 13 sampai nomor 15.
Petunjuk C yaitu pilihlah:
A. Jika (1), (2), (3) benar.
B. Jika (1) dan (3) benar.
C. Jika (2) dan (4) benar.
D. Jika hanya (4) yang benar.
E. Jika semuanya benar.

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 13
Jika vektor $\vec{u}=(2,-1,2)$ dan $\vec{v}=(4,10,-8)$, maka …
(1) $\vec{u}+k\vec{v}$ tegak lurus $\vec{u}$ bila $k=\frac{17}{18}$
(2) sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah sudut tumpul.
(3) $||pro{{y}_{{\vec{u}}}}\vec{v}||=6$
(4) Jarak antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ sama dengan $||\vec{u}+\vec{v}||$
Pembahasan:
Pernyataan (1)
$\vec{u}+k\vec{v}$ tegak lurus $\vec{u}$, maka:
$(\vec{u}+k\vec{v}).\vec{u}=0$
$\left( \begin{matrix} 2+4k \\ -1+10k \\ 2-8k \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=0$
$4+4k+1-10k+4-16k=0$
$-22k=-9\Leftrightarrow k=\frac{9}{22}$,
Pernyataan (1) SALAH
Pernyataan (2)
$\cos (u,v)=\frac{u.v}{|u||v|}$
$\cos (u,v)=\frac{\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 \\ 10 \\ -8 \\ \end{matrix} \right)}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{16+100+64}}$
$\cos (u,v)=\frac{8-10-16}{3.6\sqrt{5}}$
$\cos (u,v)=\frac{-18}{18\sqrt{5}}$, karena nilainya negatif maka sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah sudut tumpul. Pernyataan (2) BENAR.
Berdasarkan petunjuk C, tanpa mengecek pernyataan (4) maka opsi yang memenuhi adalah C.
Kunci: C

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 14
Jika $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$, $a > 0$, dan $a,b\in R$, maka …
(1) nilai minimum lokal $y=b-\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$
(2) nilai maksimum lokal $y=b+\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$
(3) $y$ stasioner saat $x={{a}^{\frac{1}{2}}}$
(4) naik pada interval $\left[ -\infty ,-{{a}^{\frac{1}{2}}} \right]$
Pembahasan:
$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$
$\frac{dy}{dx}={{x}^{2}}-a=0$, karena $a > 0$ maka:
$(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})=0$
$x=-\sqrt{a}$ atau $x=\sqrt{a}$,

Dari gambar garis bilangan, maka: pernyataan (3) dan (4) BENAR.
$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$
$x=-\sqrt{a}\Rightarrow y=b+\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$ (nilai maksimum lokal), pernyataan (1) BENAR.
$x=\sqrt{a}\Rightarrow y=b-\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$ (nilai minimum lokal), pernyataan (2) BENAR.
Kunci: E

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 15
Jika $\alpha =-\frac{\pi }{12}$, maka …
(1) ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{6}{8}$
(2) ${{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =\frac{12}{16}$
(3) ${{\cos }^{4}}\alpha =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$
(4) ${{\sin }^{4}}\alpha =\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$
Pembahasan:
$\alpha =-\frac{\pi }{12}=-{{15}^{o}}$
$\sin {{15}^{o}}=\sin ({{45}^{o}}-{{30}^{o}})$
$\sin {{15}^{o}}=\sin {{45}^{o}}\cos {{30}^{o}}-\cos {{45}^{o}}\sin {{30}^{o}}$
$\sin {{15}^{o}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}$
$\sin {{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
${{\sin }^{2}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}$
${{\sin }^{2}}{{15}^{o}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$
${{\sin }^{4}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}=\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$, pernyataan (4) BENAR.
Dengan cara yang sama:
$\cos {{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
${{\cos }^{2}}{{15}^{o}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
${{\cos }^{4}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}=\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$, pernyataan (3) SALAH.
Dengan logika, berdasarkan petunjuk C maka kita sudah dapat menentukan opsi yang memenuhi adalah D.
Kunci: D

Baca juga:
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SIMAK UI

Buku Pembinaan Olimpiade Matematika Materi Dasar

Salam kompetisi dari saya melalui Catatan Matematika. Kali ini saya bagikan sebuah buku kepada teman-teman pengunjung bapak ibu guru pembina olimpiade matematika baik tingkat sekolah, pembina tingkat kota/kabupaten. Dan e-book ini juga saya bagikan kepada adik-adik yang menjadi peserta olimpiade matematika mewakili sekolah masing-masing. Pada kesempatan ini saya mengajak semuanya mari kita ukir prestasi dan harumkan nama baik sekolah, daerah, kota, bahkan bangsa dan negara dengan menjadi pemenang.


Untuk menjadi seorang pemenang, maka perlu persiapan yang matang! E-book ini bisa menjadi salah satu bahan untuk belajar buat kita semua dan secara pribadi untuk saya. Saya sangat suka dengan buku ini, penjelasannya sederhana dan mudah dimengerti. E-book ini ditulis oleh Bapak Eddy Hermanto, ST dengan judul: Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika Materi Dasar.

RPP Matematika SMP Kelas 9 Kurikulum 2013 Revisi

Berikut ini adalah salah satu perangkat pembelajaran matematika SMP kelas IX kurikulum 2013 revisi. Tahun ajaran baru segera tiba, maka kita sebagai guru sebaiknya mempersiapkan RPP (Rencana Pelaksanaan Pembelajaran) sebelum memasuki tahun ajaran baru tersebut. Catatan Matematika membagikannya hanya dengan satu tujuan membantu bapak/ibu guru teman seperjuangan di bidang pendidikan dan berharap ini benar-benar bermanfaat bagi kita semua. Untuk mendownloadnya klik aja nama file yang diinginkan.

RPP Matematika SMP Kurikulum 2013 Revisi Kelas 9

1. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
2. Persamaan Kuadrat
3. Fungsi Kuadrat
4. Transformasi Geometri
5. Kesebangunan dan Kekongruenan
6. Bangun Ruang Sisi Lengkung

Jika ada link yang rusak (tidak bisa download), mohon disampaikan melalui kolom komentar. Terima kasih.
Baca Juga: Kumpulan RPP dan Silabus

Perangkat Matematika SMP Kurikulum 2013 Revisi Kelas 8

Beberapa teman guru menghubungi saya, dan bertanya: "RPP Matematika SMP kurikulum 2013 ada gak pak? Kalau ada mohon di share pak...! Nah untuk menjawab pertanyaan tersebut beberapa waktu lalu saya sudah bagikan Perangkat Matematika SMP Kurikulum 2013 Revisi Kelas 7. Dan untuk kali ini saya coba share salah satu perangkat matematika SMP kelas VIII revisi 2013 yaitu RPP Matematika SMP Kurikulum 2013 Kelas 8. Semoga dengan adanya perangkat ini pekerjaan teman-teman guru matematika smp bisa terbantu "sedikit". Adapun RPP Matematika SMP Kelas 8 yang saya bagikan ini filenya dalam bentuk pdf. Wah... gak bisa di edit dong? Betul. Tapi, bapak/ibu guru tidak perlu kuatir sebab telah saya sediakan tempat untuk ditulis tangan saja, apa saja itu?

• bagian Nama satuan pendidikan saya kosongkan.
• bagian Nama Guru di akhir juga saya kosongkan.
• bagian Nama Kepala Sekolah telah saya kosongkan.

Nah, ketiga hal itulah yang ditulis tangan. Mudah kan??? Senyum dong, jangan cemberut lagi.. heeheh! Klik saja nama file untuk download.

RPP Matematika SMP Kelas 8 Kurikulum 2013 Revisi

1. Pola Bilangan
2. Bidang Cartesius
3. Relasi dan Fungsi
4. Persamaan Garis Lurus
5. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
6. Teorema Pythagoras
7. Lingkaran
8. Bangun Ruang Sisi Datar
9. Statistik
10. Peluang

Baca Juga: Kumpulan RPP dan Silabus

Daftar Kode Warna pada Blog

Kode Warna sering digunakan dalam dunia ngeblog. Tujuannya adalah untuk memperindah tampilan blog! Baik itu mengubah warna tulisan dan warna background. Dan kita mengakui bahwa warna dan perpaduannya yang serasi dapat menarik perhatian. Sehingga jika warna-warna ini diterapkan di blog, tentu akan membuat pengunjung blog betah dan berlama-lama untuk melihat blog kita.

WARNA	CONTOH WARNA	KODE WARNA
Merah		#FF0000
Merah Marun		#800000
Merah Jambu/Pink		#FFC0CB
Mawar		#FF007F
Magenta		#FF00FF
Hijau		#00FF00
Zaitun		#808000
Kuning		#FFFF00
Emas		#FFD700
Oranye		#FF7F00
Coklat		#964B00
Biru		#0000FF
Biru Dongker		#000080
Biru Laut		#00FFFF
Putih		#FFFFFF
Hitam		#000000
Abu-abu		#808080
Perak		#C0C0C0
Nila		#6F00FF
Ungu		#BF00FF
Violet		#8F00FF

Itulah beberapa kode warna yang sering digunakan. Sebenarnya masih banyak lagi kode warna, ada ribuan bahkan jutaan.

Selamat berkreasi ya....! Semoga tampilan blognya semakin cakep, keren, ganteng dan maniez. Hehehe.

Perangkat Pembelajaran Matematika SMP Kurikulum 2013 Kelas 7 Revisi

Hai bapak/ibu guru yang super hebat, yang baik hatinya, yang tetap semangat mendidik siswa-siswinya demi mewujudkan Indonesia Cerdas. Berikut ini saya bagikan Perangkat Pembelajaran Matematika SMP Kurikulum 2013 Kelas VII (Revisi). Perlu diketahui karena kejujuran adalah sesuatu yang harus dimiliki seorang guru, maka saya pun ingin mengakui sebuah kejujuran. Apakah itu? Perangkat ini tidaklah sempurna seperti yang bapak/ibu harapkan, untuk itu silahkan bapak/ibu lakukan revisi (penyesuaian) terhadap perkembangan kurikulum dan kondisi sekolah bapak/ibu. Jadikanlah perangkat pembelajaran ini sebagai contoh untuk menghasilkan perangkat pembelajaran yang lebih baik, RPP karya bapak/ibu guru sendiri. Wah... maaf bapak/ibu ya ....! Saya kok malah ceramah yak .... hehehe!


Adapun perangkat yang saya bagikan ini terdiri dari:

A. RPP Matematika SMP Kurikulum 2013 Kelas 7 Revisi
RPP 1. Bilangan [download]
RPP 2. Himpunan [download]
RPP 3. Bentuk Aljabar [download]
RPP 4. Persamaan/Pertidaksamaan Linear Satu Variabel [download]
RPP 5. Perbandingan [download]
RPP 6. Aritmetika Sosial [download]
RPP 7. Garis dan Sudut [download]
RPP 8. Segiempat dan Segitiga [download]
RPP 9. Penyajian Data (Statistika) [download]

B. SILABUS
Silabus Matematika SMP Kelas Kurikulum 2013 Revisi [download]

C. KKM
KKM Matematika SMP Kelas 7 Kurikulum 2013 [download]

D. Progam Tahunan
Program Tahunan (Prota) Matematika SMP Kelas 7 [download]

E. Program Semester
Program Semestre (Prosem Matematika SMP Kelas 7 [download]

Semoga bermanfaat bagi bapak/ibu guru sekalian.
Baca Juga: Kumpulan RPP dan Silabus

Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261. Pembahasan ini saya buat untuk membantu adik-adik yang akan mengikuti seleksi tertulis ini diselenggarakan oleh Universitas Gadjah Mada (UGM) untuk menyeleksi mahasiswa baru yang akan masuk UGM pada tahun ajaran 2018-2019. Oh iya, adik-adik perlu mengetahui bahwa kalian yang alumni SMA 2018, 2017, dan 2016 diperbolehkan lho mengikuti seleksi tertulis ini. Dan jangan lupa ya..., pendaftaran terakhir tanggal 25 Juni 2018, dan tes tertulis dilaksanakan pada tanggal 08 Juli 2018. Dengan melihat rentang waktu yang ada, berarti kalian masih memiliki cukup waktu untuk belajar. Yuk... kita pelajari bersama Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 berikut ini:

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 1
Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis $y=2$ di $(3,2)$ dan menyinggung garis $y=-x\sqrt3+2$ adalah ...
A. $(3,\sqrt3)$
B. $(3,3\sqrt3)$
C. $(3,2+\sqrt3)$
D. $(3,2+2\sqrt3)$
E. $(3,2+3\sqrt3)$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini.

PR adalah jarak titik P(3,b) terhadap garis $y=-x\sqrt{3}+2$, maka:

$=\left| \frac{{{x}_{1}}.\sqrt{3}+{{y}_{1}}-2}{\sqrt{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|$

$=\left| \frac{3.\sqrt{3}+b-2}{2} \right|$

PQ adalah jarak titik $P(3,b)$ ke titik $Q(3,2)$, maka:

$PQ=b-2$

$PQ=PR=r$

$\begin{align}b-2&=\frac{3\sqrt{3}+b-2}{2} \\ 2b-4&=3\sqrt{3}+b-2 \\ b&=2+3\sqrt{3} \end{align}$

Jadi, titik pusat lingkaran adalah P$(3,2+3\sqrt3)$.

Kunci: E

Matematika IPA UM –UGM 2013 Kode 261 No. 2

Diberikan koordinat titik $O(0,0)$, $B(-3,\sqrt7)$, dan $A(a,0)$, dengan $a < 0$. Jika pada segitiga AOB, $\angle OAB=\alpha $ dan $\angle OBA=\beta $, maka $\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )$ = …

A. $\frac{1}{4}$    B. $\frac{1}{4}\sqrt{2}$    C. $\frac{1}{4}\sqrt{6}$    D. $\frac{1}{4}\sqrt{7}$    E. $\frac{1}{4}\sqrt{14}$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga OCB siku-siku di C, berlaku phytagoras

$BC=\sqrt{7}$, $OC=3$, maka:

$OB=\sqrt{B{{C}^{2}}+O{{C}^{2}}}$ 

$OB=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{(\sqrt{7})}^{2}}}$

$OB=4$

$\cos (\alpha +\beta )=\frac{OC}{OB}=\frac{3}{4}$ 

Ingat: $2{{\cos }^{2}}x=1+\cos 2x$, maka:

$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\cos (\alpha +\beta )$

$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\frac{3}{4}$

$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{4}$

${{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{8}$

$\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{14}$

Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 3

Diketahui vektor-vektor $\vec{u}=(a,1,-a)$ dan $\vec{v}=(1,a,a)$. Jika ${{\vec{u}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, ${{\vec{v}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{v}$ pada $\vec{u}$, dan $\theta $ sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ dengan $\cos \theta =\frac{1}{3}$, maka luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ${{\vec{u}}_{1}}$ dan ${{\vec{v}}_{1}}$ adalah ….

A. $\frac{2}{9}\sqrt{2}$    B. $\frac{2}{9}\sqrt{6}$    C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$    D. $\frac{2}{3}\sqrt{6}$    E. 2

Pembahasan:

$\cos \theta =\frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

$\frac{1}{3}=\frac{\left( \begin{matrix} a  \\ 1  \\ -a  \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1  \\ a  \\  a  \\  \end{matrix} \right)}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-a)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}$

$\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+1}.\sqrt{2{{a}^{2}}+1}}$

$\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+1}$

$2{{a}^{2}}+1=6a-3{{a}^{2}}$

$5{{a}^{2}}-6a+1=0$

$(5a-1)(a-1)=0$, 

${{a}_{1}}=\frac{1}{5}$ atau ${{a}_{2}}=1$

Karena soal pilihan berganda, kita uji yang paling sederhana yaitu ${{a}_{2}}=1$.

$\vec{u}=(1,1,-1)$ dan $\vec{v}=(1,1,1)$ maka $u.v=\left( \begin{matrix}  1  \\  1  \\  -1  \\  \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}  1  \\  1  \\  1  \\  \end{matrix} \right)=1$ 

$|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{2{{a}^{2}}+1}=\sqrt{3}$

$|{{\vec{u}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$ 

$|{{\vec{v}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{v}.\vec{u}}{|\vec{u}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Jika $\cos \theta =\frac{1}{3}\Rightarrow \sin \theta =\frac{2}{3}\sqrt{2}$ 

Luas jajaran genjang:

$=2.\frac{1}{2}.|{{u}_{1}}|.|{{v}_{1}}|.\sin \theta $

$=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{2}{3}\sqrt{2}$

$=\frac{2}{9}\sqrt{2}$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 4

Panjang rusuk kubus PQRS.TUVW adalah 6 cm. Titik X, pada TW, Y pada UV dan Z pada QR. Jika $|TX|:|XW|=1:2$, $|UY|:|YV|=2:1$, dan $PXYZ$ membentuk bidang datar, maka volume bangun $TUYX.PQZ$ adalah … $c{{m}^{3}}$

A. 108    B. 80    C. 72    D. 60    E. 36 

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

${{V}_{Kubus}}={{6}^{3}}=216$ 

Jika kita perhatikan gambar! Maka bidang PXYZ membagi volume bangun ruang PQLK.TUMN, maka:

${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.{{V}_{PQLK.TUMN}}$ 

${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.{{V}_{Kubus}}$

${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{3}.216=72$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 5

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dan tinggi limas $2\sqrt{3}$ cm. Jika T’ proyeksi T pada bidang alas dan titik P adalah perpotongan garis berat segitiga TBC, maka panjang sisi alas limas agar T’P tegak lurus segitiga TBC adalah … cm.

A. 2    B. $\sqrt{6}$    C. $\sqrt{8}$    D. 3    E. 4

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

$TT'=2\sqrt{3}$

Perhatikan segitiga $TT'Q$, maka:

$TQ=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2\sqrt{3})}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+12}$

$T'P.TQ=TT'.T'Q$

$T'P=\frac{TT'.T'Q}{TQ}$

$T'P=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}}$

Karena P adalah titik berat segitiga TBC, maka:

$PQ=\frac{1}{3}TQ\Leftrightarrow PQ=\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12}$

Perhatikan segitiga T’PQ.

$T'{{Q}^{2}}=T'{{P}^{2}}+P{{Q}^{2}}$ 

${{a}^{2}}={{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12} \right)}^{2}}$

${{a}^{2}}=\frac{12{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+12}+\frac{{{a}^{2}}+12}{9}$

$9{{a}^{2}}({{a}^{2}}+12)=108{{a}^{2}}+{{({{a}^{2}}+12)}^{2}}$

$9{{a}^{4}}+108{{a}^{2}}=108{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+24{{a}^{2}}+144$

$8{{a}^{4}}-24{{a}^{2}}-144=0$

${{a}^{4}}-3{{a}^{2}}-18=0$

$({{a}^{2}}+3)({{a}^{2}}-6)=0$

$({{a}^{2}}+3)(a+\sqrt{6})(a-\sqrt{6})=0$

$a=\sqrt{6}$

Jadi, sisi alas limas $=2a=2\sqrt{6}$ 

Kunci: Tidak Ada Opsi 

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 6

Garis $g$ merupakan garis singgung kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ dengan gradien $m$. Jika garis $g$ membentuk sudut ${{45}^{o}}$ terhadap garis $2x-y+4=0$, dan $0 < m < 2$, maka persamaan $g$ adalah …

A. $3x+9y+11=0$

B. $3x+9y-11=0$

C. $-3x+9y+11=0$

D. $-3x+9y-11=0$

E. $3x-9y-11=0$

Pembahasan:

Kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ maka ${{m}_{g}}=y'=4x-1$

Misal garis k: $2x-y+4=0$, ${{m}_{k}}=2$,  $\angle ({{m}_{g}},{{m}_{k}})={{45}^{o}}$, maka:

$tg{{45}^{o}}=\left| \frac{{{m}_{g}}-{{m}_{k}}}{1+{{m}_{g}}.{{m}_{k}}} \right|$

$1=\left| \frac{{{m}_{g}}-2}{1+{{m}_{g}}.2} \right|$, diketahui pada soal $0 < m_g < 2$, maka:

$1+2{{m}_{g}}=-{{m}_{g}}+2$

$3{{m}_{g}}=1$

${{m}_{g}}=\frac{1}{3}$

$4x-1=\frac{1}{3}$

$12x-3=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{3}$

$y=2{{x}^{2}}-x-1$

${{y}_{1}}=2{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-\frac{1}{3}-1=\frac{-10}{9}$

Garis g melalui titik $\left( \frac{1}{3},\frac{-10}{9} \right)$ dan $m=\frac{1}{3}$ adalah:

$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

$y+\frac{10}{9}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3})$

$3x-9y-11=0$ atau $-3x+9y+11=0$

Kunci: C/E

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 7

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{{{625}^{x-2}}}>\sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$ adalah …

A. $x > -\frac{8}{3}$    B. $x < -\frac{8}{3}$    C. $x < -\frac{8}{7}$    D. $x > -\frac{8}{7}$    E. $x < -\frac{12}{5}$

Pembahasan:

$\sqrt{{{625}^{x-2}}} > \sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$

${{\left( {{5}^{4}} \right)}^{\frac{x-2}{2}}} > {{\left( {{5}^{3}} \right)}^{\frac{x}{2}}}.{{\left( {{5}^{2}} \right)}^{\frac{6x}{3}}}$

${{5}^{2x-4}} > {{5}^{\frac{3x}{2}+4x}}$

$2x-4 > \frac{3x}{2}+4x$

$4x-8 > 3x+8x$

$x < -\frac{8}{7}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 8

Himpunan semua $x$ yang memenuhi $|x-2|-1\ge x$ adalah …

A. $\{x|0\le x\le \frac{7}{2}\}$

B. $\{x|x\ge 0\}$

C. $\{x|x\le \frac{1}{2}\}$

D. $\{x|0\le x\le \frac{5}{2}\}$

E. $\{x|-1\le x\le \frac{1}{2}\}$

Pembahasan:

$|x-2|-1\ge x$

$|x-2|\ge x+1$

Untuk $x\ge 2$ maka:

$|x-2|-1\ge x$

$x-2\ge x+1\Leftrightarrow -2\ge 1$

$-2\ge 1$, tidak ada penyelesaian.

Untuk $x < 2$ maka:

$|x-2|-1\ge x$

$-(x-2)\ge x+1$

$-2x\ge -1$

$x\le \frac{1}{2}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 9
Suku banyak P(x) dibagi ${{x}^{2}}-x-2$ mempunyai hasil bagi Q(x) dan sisa $x+2$. Jika $Q(x)$ dibagi $x+2$ mempunyai sisa 3, maka sisa P(x) dibagi ${{x}^{2}}+3x+2$ adalah ….
A. $-11x-10$
B. $-10x-11$
C. $11x-10$
D. $10x+11$
E. $11x+10$
Pembahasan:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
$Q(x)=(x+2).Hasil+3$
$Q(-2)=(-2+2).Hasil+3=3$
$P(x)=({{x}^{2}}-x-2).Q(x)+x+2$
$P(x)=(x-2)(x+1).Q(x)+x+2$
Untuk x = -2, maka:
$P(-2)=(-2-2)(-2+1).Q(-2)+(-2)+2$
$P(-2)=-4.(-1).3-2+2=12$
Untuk x = -1, maka:
$P(-1)=(-1-2)(-1+1).Q(-1)+(-1)+2$
$P(-1)=1$
Pertanyaan:
$P(x)=({{x}^{2}}+3x+2).Hasil+ax+b$
$P(x)=(x+2)(x+1).Hasil+ax+b$
$P(-2)=-2a+b=12$
$P(-1)=-a+b=1$
---------------------------- (-)
$-a=11\Leftrightarrow a=-11,b=-10$
Jadi, sisa $ax+b=-11x-10$
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 10

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan ${{S}_{n}}$. Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$ membentuk barisan geometri maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}$ = …

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8    E. 10

Pembahasan:

Barisan aritmetika: ${{S}_{4}}=2(2a+3b)$, ${{S}_{8}}=4(2a+7b)$, $8(2a+15b)$

Barisan geometri: ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$

${{({{S}_{8}})}^{2}}={{S}_{4}}.{{S}_{6}}$

${{[4(2a+7b)]}^{2}}=[2(2a+3b)][8(2a+15b)]$

$16(4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}})=16(4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}})$

$4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}}=4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}}$

$4{{b}^{2}}-8ab=0$

$4b(b-2a)=0$ maka $b=0$ atau $b=2a$

$b=0$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.0)}{2(2a+3.0)}=\frac{8a}{4a}=2$

$b=2a$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.2a)}{2(2a+3.2a)}=\frac{64a}{16a}=4$

Kunci: A dan B

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 11

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$ = …

A. 0    B. $\frac{1}{2}$    C. $\frac{3}{4}$    D. $\frac{3}{2}$    E. 3

Pembahasan:

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1-\cos x)(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}x.(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sin \frac{1}{2}x.\sin \frac{1}{2}x}{x\tan x}(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)$

$=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.(1+1+1)$

$=\frac{3}{2}$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 12
Jika kurva $f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$ mempunyai titik ekstrim $(1,-5)$ maka kurva tersebut naik pada …
A. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 2$}
B. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$}
C. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 0$}
D. {$x|x\le -\frac{1}{2}$ atau $x\ge 0$}
E. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 1$}
Pembahasan:
$f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$
$f(1)=a-b+1=-5$
$a-b=-6$
$a=b-6$
Titik ekstrim di $(1,-5)$, maka $f'(1)=0$
$f'(x)=3a{{x}^{2}}-2bx$
$f'(1)=3a-2b=0$
$3a-2b=0$
$3(b-6)-2b=0$
$b=18$
$a=b-6\Leftrightarrow a=18-6=12$
Kurva naik untuk $f'(1)\ge 0$
$3a{{x}^{2}}-2bx\ge 0$
$3.12{{x}^{2}}-2.18x\ge 0$
$36{{x}^{2}}-36x\ge 0$
$36x(x-1)\ge 0$
$x=0$ atau $x=1$
HP = {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$}
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 13
Dari 15 anak terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah …
A. 13    B. 11    C. 9    D. 5    E. 3
Pembahasan:
Misal:
p = jumlah anak laki-laki
w = jumlah anak perempuan
p + w = 15, w = 15 – p
$C_{1}^{p}.C_{1}^{w}=26$
$p.w=26$
$p(15-p)=26$
$15p-{{p}^{2}}=26$
${{p}^{2}}-15p+26=0$
$(p-13)(p-2)=0$
$p=13$ atau $p=2$
$w=15-p$
$p=13\Rightarrow w=2\Rightarrow p-w=11$
$p=2\Rightarrow w=13\Rightarrow w-p=11$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 14
Diketahui polinomial $f(x)$ habis dibagi $x-1$. Jika $f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa ${{a}^{2}}$ dan $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$ maka $a$ = …
A. -2    B. -1    C. 0    D. 1    E. 2
Pembahasan:
$f(x)$ habis dibagi $x-1$ maka $f(1)=0$
$f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $f'(1)={{a}^{2}}$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f'(x)}{1}=2a-1$
$f'(1)=2a-1$
${{a}^{2}}=2a-1$
${{a}^{2}}-2a+1=0$
$(a-1)(a-1)=0$
$a=1$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 15
Jika sudut lancip $x$ memenuhi 1 = ${}^{2}\log 16$ +  ${}^{2}\log (\sin x)$ + ${}^{2}\log (\cos x)$ + ${}^{2}\log (\cos 2x)$ maka $x$ = …
A. $\frac{\pi }{2}$    B. $\frac{\pi }{4}$    C. $\frac{\pi }{6}$    D. $\frac{\pi }{24}$    E. $\frac{\pi }{36}$
Pembahasan:
1 = ${}^{2}\log 16$ +  ${}^{2}\log (\sin x)$ + ${}^{2}\log (\cos x)$ + ${}^{2}\log (\cos 2x)$
$1={}^{2}\log 16.\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=16.\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=8.2\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=8\sin 2x.\cos 2x$
$2=4.2\sin 2x.\cos 2x$
$2=4\sin 4x$
$\sin 4x=\frac{1}{2}$
$\sin 4x=\sin \frac{\pi }{6}\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{24}$
Kunci: D

Baca Juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan UM-UGM

Kunci Jawaban Ujian Matematika

Selamat pagi anak-anak, berikut ini bapak posting kunci jawaban matematika yang diujikan di sekolah SMA Swasta Ir. H. Djuanda Tebing Tinggi, dengan tujuan untuk menghilangkan rasa penasaran akan kebenaran atas jawaban yang kalian pilih. Silahkan di diskusikan dengan teman-temannya atau langsung kepada bapak guru klen yang keren ini. heheheh!

Kunci Jawaban Matematika Ujian Semester Genap

Tahun Ajaran 2017-2018

Kelas : XI IPA

Sekolah: SMAS Ir. H. Djuanda Tebing Tinggi

Penguji: Reikson Panjaitan, S.Pd

1) E. $2x^2-x-2$ dan sisanya $2x-1$
2) C. $2x+20$
3) C. $4x^2+2x+2$
4) B. $x^2+x-1$
5) B. 4
6) A. -1
7) B. 4
8) B. 1
9) A -3
10) E. 6
11) C. $x^2-4x$
12) A. $\frac{2}{3\sqrt[3]{{{(2x-1)}^{2}}}}$
13) C. $3x^2$
14) E. $(3x^2+4)^4(2x-1)^3(84x^2-30x+32)$
15) B. $\frac{26}{(5-2x)^2}$
16) E. $3x^2.\cos (3x+1)+2x.\sin (3x+1)$
17) D. $-3.\sin (3x-4)+4.\cos (2x+3)$
18) D. $-6\sin (3-2x) \cos (6-4x)$
19) A. $x < 0$ atau $x > 1$
20) C. $3 < x < 5$
21) D. -2
22) B. 27
23) D. $y=-2x+2$
24) $2x+y-15=0$
25) C. 100

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 [Soal dan Pembahasan] Kode 638

Selamat datang kembali.. bersama saya di www.catatanmatematika.com. Kali ini yang akan saya bagi adalah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2018 Kode 638. Soalnya saya peroleh dari teman saya guru yang baik yaitu Bapak Insan Abdul Syukur dan saya sangat berterima kasih kepada beliau yang bersedia menyedekahkan paket datanya untuk mengirimkan foto soal ini. Sahabat-sahabatku mari kita belajar bersama, jika ada solusi atau pembahasan yang kurang tepat saya berharap kritik dan koreksinya di kolom komentar atau silahkan japri saya melalui Telegram.

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 1
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $\sqrt[3]{x}=\frac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$ adalah …
A. -8    B. -6    C. 4    D. 6    E. 8
Pembahasan:
$\sqrt[3]{x}=\frac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$, misal: $y=\sqrt[3]{x}$, maka:
$y=\frac{2}{1+y}$
${{y}^{2}}+y=2$
${{y}^{2}}+y-2=0$
$(y+2)(y-1)=0$
$y=-2$ atau $y=1$
$\sqrt[3]{x}=-2\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-8$
$\sqrt[3]{x}=1\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-8.1=-8$
Kunci: A

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 2

Jika $2+{}^{2}\log x=3+{}^{3}\log y={}^{6}\log (x-4y)$, nilai $\frac{1}{2y}-\frac{2}{x}$ adalah …

A. 36    B. 54    C. 81    D. 108    E. 216

Pembahasan:

$2+{}^{2}\log x=a$

${}^{2}\log x=a-2\Leftrightarrow x={{2}^{a-2}}$

$3+{}^{3}\log y=a$

${}^{3}\log y=a-3\Leftrightarrow y={{3}^{a-3}}$

${}^{6}\log (x-4y)=a\Leftrightarrow x-4y={{6}^{a}}$

$\frac{1}{2y}-\frac{2}{x}=\frac{x-4y}{2xy}$

$=\frac{{{6}^{a}}}{{{2.2}^{a-2}}{{.3}^{a-3}}}$

$=\frac{{{6}^{a}}}{2.\frac{{{2}^{a}}}{{{2}^{2}}}.\frac{{{3}^{a}}}{{{3}^{3}}}}$

$=\frac{{{6}^{a}}}{\frac{{{6}^{a}}}{54}}$

= 54

Kunci: B

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 3
Jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+x-4=0$, nilai $5{{p}^{2}}+4{{q}^{2}}+p$ adalah …
A. 20    B. 28    C. 32    D. 40    E. 44
Pembahasan:
${{x}^{2}}+x-4=0$, akar-akar $p$ dan $q$, maka: $p+q=\frac{-b}{a}=-1$, dan $p.q=\frac{c}{a}=-4$
Untuk $x=p$, maka ${{x}^{2}}+x-4=0$ menjadi:
${{p}^{2}}+p-4=0\Leftrightarrow {{p}^{2}}+p=4$
$5{{p}^{2}}+4{{q}^{2}}+p=4{{p}^{2}}+4{{q}^{2}}+{{p}^{2}}+p$
$=4({{p}^{2}}+{{q}^{2}})+{{p}^{2}}+p$
$=4\left[ {{(p+q)}^{2}}-2pq \right]+4$
$=4\left[ {{(-1)}^{2}}-2.(-4) \right]+4$
= 40
Kunci: D

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 4
Jika a – 3 = -b – 4 = -c – 5 = d + 6 = e + 7 = a – b – c + d + e + 8, maka a – b – c + d + e = …
A. $-\frac{39}{4}$    B. $-\frac{1}{4}$    C. $-\frac{7}{3}$    D. $\frac{15}{4}$    E. $\frac{39}{4}$
Pembahasan:

$a-3$=$-b-4$=$-c-5$=$d+6$=$e+7$=$a-b-c+d+e+8$

kurangkan dengan 8, maka diperoleh:

$a-11$=$-b-12$=$-c-13$=$d-2$=$e-1$=$a-b-c+d+e$=$x$

Misal: $a-b-c+d+e=x$

$a-11=x$ ... pers (1)

$-b-12=x$ … pers (2)

$-c-13=x$ … pers (3)

$d-2=x$ … pers (4)

$e-1=x$ … pers (5)

Jumlahkan seluruh persamaan, maka diperoleh:

$(a-11)$ + $(-b-12)$ + $(-c-13)$ + $(d-2)$ + $e-1$=$5x$

$a-b-c+d+e-39=5x$

$x-39=5x$

$-4x=39$

$x=-\frac{39}{4}$

$a-b-c+d+e=-\frac{39}{4}$

Kunci: A

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 5

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$ adalah …

A. $\left\{ x\in R:x\le -2 \right.$ atau $2\le x\le \frac{13}{6}\}$

B. $\left\{ x\in R:x\le -2 \right.$ atau $2\le x\}$

C. $\left\{ x\in R:-2\le x\le \frac{13}{6} \right\}$

D. $\left\{ x\in R:x\le \frac{13}{6} \right\}$

E. $\left\{ x\in R:2\le x\le \frac{13}{6} \right\}$

Pembahasan:

i) Syarat: $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$:

${{x}^{2}}-4\ge 0$

$(x+2)(x-2)\ge 0$

$x=-2$ atau $x=2$

$x\le -2$ atau $x\ge 2$

ii) Solusi: $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$, menentukan x pembuat nol.

${{x}^{2}}-4={{\left( 3-x \right)}^{2}}$

${{x}^{2}}-4=9-6x+{{x}^{2}}$

$6x=13\Leftrightarrow x=\frac{13}{6}$

Yang memenuhi $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$ adalah $x\le \frac{13}{6}$

Dari i) dan ii) diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ x\in R:x\le -2 \right.$ atau $2\le x\le \frac{13}{6}\}$.

Kunci: A

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 6

Sebuah barisan geometri terdiri dari 3 suku mempunyai suku pertama $\frac{1}{2}$. Jika suku kedua ditambah 3 dan suku ketiga ditambah 4, maka barisan tersebut menjadi barisan aritmetika. Suku kedua terbesar yang mungkin dari barisan aritmetika tersebut adalah …

A. $\frac{1}{2}$    B. $\frac{3}{2}$    C. $\frac{5}{2}$    D. $\frac{7}{2}$    E. $\frac{9}{2}$

Pembahasan:

Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$; $a=\frac{1}{2}$, maka ketiga suku tersebut adalah: 

$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}r$, $\frac{1}{2}{{r}^{2}}$

Barisan aritmetika:

$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}r+3$, $\frac{1}{2}{{r}^{2}}+4$

$2{{U}_{2}}={{U}_{1}}+{{U}_{3}}$

$2\left( \frac{1}{2}r+3 \right)=\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}{{r}^{2}}+4 \right)$

$r+6=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{r}^{2}}+4$

$2r+12=1+{{r}^{2}}+8$

${{r}^{2}}-2r-3=0$

$(r-3)(r+1)=0$

$r=3$ atau $r=-1$

Agar suku kedua barisan aritmetika $\frac{1}{2}r+3$ terbesar maka $r=3$, diperoleh:

${{U}_{2}}=\frac{1}{2}r+3\Leftrightarrow {{U}_{2}}=\frac{1}{2}.3+3=\frac{9}{2}$

Kunci: E

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 7

Jika $A=\left[ \begin{matrix} 1 & x  \\ 1 & 4  \\ \end{matrix} \right]$ adalah matriks yang mempunyai invers, rata-rata dari nilai-nilai $x$ yang memenuhi $\det \left( -\frac{1}{3}A \right)=\det \left( 3{{A}^{-1}} \right)$ adalah …

A. 1    B. 4    C. 5    D. 8    E. 10

Pembahasan:

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & x  \\  1 & 4  \\  \end{matrix} \right] \Rightarrow |A|=4-x$

$\det \left( -\frac{1}{3}A \right)=\det \left( 3{{A}^{-1}} \right)$

${{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}|A|={{3}^{2}}.\frac{1}{|A|}$

$\frac{4-x}{9}=\frac{9}{4-x}$

$16-8x+{{x}^{2}}=81$

${{x}^{2}}-8x-65=0$

$(x-13)(x+5)=0$

${{x}_{1}}=13$ atau ${{x}_{2}}=-5$

Maka:

$\frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{2}=\frac{13+(-5)}{2}=4$

Kunci: B

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 8

Daerah R persegipanjang yang memiliki titik sudut $(-1,1)$, $(4,1)$, $(-1,-5)$, dan $(4,-5)$. Suatu titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $y=\frac{3}{2}x-5$ adalah …

A. $\frac{1}{5}$    B. $\frac{2}{5}$    C. $\frac{3}{5}$    D. $\frac{1}{4}$    E. $\frac{3}{4}$

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut:

Titik-titik yang berada di atas $y=\frac{3}{2}x-5$ adalah luas ABED

AB = 5 satuan, BC = 6 satuan, maka:

Luas ABCD = 5 x 6 = 30

Luas BCE = $\frac{1}{2}.EC\times BC=\frac{1}{2}\times 4\times 6=12$ 

Luas ABED = Luas ABCD – Luas BCE = 18

Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $y=\frac{3}{2}x-5$ adalah:

$=\frac{[ABED]}{[ABCD]}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$

Kunci: C

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 9

Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$ maka $f(4)$ = ….

A. 11    B. 12    C. 14    D. 17    E. 22

Pembahasan:

Misal: $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$

$f'(x)=2ax+b$, gradien garis singgung di titik $x=-1$ adalah:

$m=f'(1)$

$m=-2a+b$, sama dengan gradien $y=-x+1$, maka:

$-2a+b=-1$ … pers (1)

$f'(1)=3\Leftrightarrow 2a+b=3$… (2)

$-2a+b=-1$

$2a+b=3$

--------------- (-)

$-4a=-4\Leftrightarrow a=1,b=1$

$f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$

$y={{x}^{2}}+x+c$ garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$, maka $y=2$

$2={{(-1)}^{2}}-1+c\Leftrightarrow c=2$

$f(x)={{x}^{2}}+x+2\Leftrightarrow f(4)={{4}^{2}}+4+2=22$

Kunci: E

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 10

Misalkan dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang terdiri dari bola warna merah dan biru, kemudian diambil 2 secara bersamaan. Jika banyak cara mengambil bola merah dan biru adalah 9, selisih banyaknya bola merah dan biru adalah …

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7    E. 8

Pembahasan:

Banyak bola merah = m
Banyak bola biru = b
Maka m + b = 10 … persamaan 1
Banyak cara mengambil 1 merah dan 1 biru adalah:
$C_{1}^{m}\times C_{1}^{b}=9\Leftrightarrow m\times b=9$ … persamaan 2
Dari persamaan 1 dan 2 maka diperoleh: $m=9,b=1$ atau $m=1,b=9$.
Jadi selisihnya = 9-1 = 8
Kunci: E

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 11

Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B dengan AB = 6 dan BC = 8. Titik M, N berturut-turut berada pada sisi AC sehingga AM : MN : NC = 1 : 2 : 3. Titik P dan Q secara berurutan berada pada sisi AB dan BC sehingga AP tegak lurus PM dan BQ tegak lurus QN. Luas segilima PMNQB adalah …

A. $21\frac{1}{3}$    B. $20\frac{1}{3}$    C. $19\frac{1}{3}$    D. $18\frac{1}{3}$    E. $17\frac{1}{3}$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

$AB=6,BC=8$, maka:

$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=10$

Misal: $AM=a\Rightarrow MN=2a,NC=3a$, maka:

$AC=6a=10\Rightarrow a=\frac{10}{6}$, sehingga kita peroleh:

$AM=a\Leftrightarrow AM=\frac{5}{3}$

$NC=3a\Leftrightarrow NC=5$

$\Delta APM\approx \Delta NQC\approx \Delta ABC$, Luas segitiga ABC = 24, dengan perbandingan luas segitiga yang sebangun kita peroleh:

$[APM]:[ABC]=A{{M}^{2}}:A{{C}^{2}}$

$\frac{[APM]}{[ABC]}=\frac{{{a}^{2}}}{{{(6a)}^{2}}}$

$[APM]=\frac{1}{36}\times [ABC]$

$[APM]=\frac{1}{36}\times 24=\frac{2}{3}$

$[NQC]:[ABC]=N{{C}^{2}}:A{{C}^{2}}$

$\frac{[NQC]}{[ABC]}=\frac{{{(3a)}^{2}}}{{{(6a)}^{2}}}$

$[NQC]=\frac{1}{4}\times [ABC]$

$[NQC]=\frac{1}{4}\times 24=6$

$[PMNQB]=[ABC]-[APM]-[NQC]$

$[PMNQB]=24-\frac{2}{3}-6=17\frac{1}{3}$

Kunci: E

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 12

Jika ${{g}^{-1}}(x+1)=2x-1$ dan ${{\left( g\circ {{f}^{-1}} \right)}^{-1}}(x+1)=4{{x}^{2}}-2$, nilai $f(2)$ adalah …

A. 5   B. 7   C. 8   D. 11   E. 13

Pembahasan:

${{\left( g\circ {{f}^{-1}} \right)}^{-1}}(x+1)=4{{x}^{2}}-2$
$\left( f\circ {{g}^{-1}} \right)(x+1)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( {{g}^{-1}}(x+1) \right)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( 2x-1 \right)=4{{x}^{2}}-2$
Ambil nilai $x=\frac{3}{2}$, maka:
$f\left( 2x-1 \right)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( 2.\frac{3}{2}-1 \right)=4.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-2$
$f(2)=7$
Kunci: B

Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 13 sampai nomor 15.
Petunjuk C yaitu pilihlah:
A. Jika (1), (2), (3) benar.
B. Jika (1) dan (3) benar.
C. Jika (2) dan (4) benar.
D. Jika hanya (4) yang benar.
E. Jika semuanya benar.

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 13
Jika $f(x)=\sqrt{x-4}$  dan $g(x)={{x}^{2}}$, maka …
(1) daerah asal fungsi $f$ adalah $\left\{ x\in R:x\ge 0 \right\}$
(2) derah asal fungsi $g$ adalah $\left\{ x\in R:x\ge 0 \right\}$
(3) daerah asal fungsi $f\circ g$ adalah $\left\{ x\in R:-2\le x\le 2 \right\}$
(4) daerah asal fungsi $g\circ f$ adalah $\left\{ x\in R:x\ge 4 \right\}$
Pembahasan:
Pernyataan (1) SALAH, sebab daerah asal fungsi $f$ adalah $\left\{ x\in R:x\ge 4 \right\}$, karena pernyataan (1) salah maka opsi yang mungkin adalah C dan D, selanjutnya kita cek pernyataan (2).
Pernyataan (2) SALAH, sebab daerah asal fungsi $g$ adalah $\left\{ x\in R \right\}$, maka opsi yang kita pilih adalah D.
Kunci: D

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 14
Jika $f(x)={{(x-1)}^{\frac{2}{3}}}$, maka …
(1) $f$ terdefinisi di $x\ge 0$
(2) $f'(2)=\frac{2}{3}$
(3) $y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$
(4) $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik.
Pembahasan:
Pernyataan (1) BENAR
$f(x)={{(x-1)}^{\frac{2}{3}}}$
$f'(x)=\frac{2}{3}{{(x-1)}^{\frac{2}{3}-1}}$
$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}$
$m=f'(2)=\frac{2}{3\sqrt[3]{2-1}}=\frac{2}{3}$ , maka (2) BENAR
${{x}_{1}}=2\Rightarrow f(2)={{(2-1)}^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow {{y}_{1}}=1$
Persamaan garis singgung kurva di (2, 1) adalah:
$y-1=\frac{2}{3}(x-2)$
$y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}+1\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$, maka (3) BENAR
$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}$ selalu mempunyai turunan di setiap titik, maka (4) BENAR.
Kunci: E

Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 15
Rata-rata dari tiga buah bilangan adalah 6 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 12 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 6, maka …
(1) jangkauannya adalah 18
(2) simpangan rata-ratanya adalah 8.
(3) variansinya adalah 108
(4) modusnya adalah 6

Pembahasan:
Misal: a, b, dan c ketiga bilangan itu, dengan $a < b < c$ mediannya $b=6$ maka:
$\frac{a+b+c}{3}=a+6$
$-2a+b+c=18$
$-2a+6+c=18$
$-2a+c=12$ … persamaan (1)
$\frac{a+b+c}{3}=c-12$
$a+b-2c=-36$
$a+6-2c=-36$
$a-2c=-42$ … persamaan (2)
Dengan metode eliminasi dari persamaan (1) dan (2)
$\left. \begin{align} & -2a+c=12 \\ & a-2c=-42 \\ \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2  \\ \times 1  \\ \end{matrix}$
$-4a+2c=24$
$a-2c=-42$
----------------- (+)
$-3a=-18\Rightarrow a=6$
$a=6$ substitusi ke persamaan (1), maka:
$-2a+c=12\Leftrightarrow -2.6+c=12\Leftrightarrow c=24$,
Ketiga bilangan itu adalah 6, 6, 24, $\bar{x}=12$
Jangkauan = 24 – 6 = 18 …. (1) BENAR
$SR=\frac{|6-12|+|6-12|+|24-12|}{3}$
$SR=\frac{6+6+12}{3}=8$ … (2) BENAR
Varians ($\sigma $)
$\sigma =\frac{{{(6-12)}^{2}}+{{(6-12)}^{2}}+{{(24-12)}^{2}}}{3}$
$\sigma =\frac{36+36+144}{3}=72$ … (3) SALAH
Modus = 6 … (4) BENAR
Kunci: C

Itulah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2018, semoga bermanfaat bagi kita semua.
Baca Juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan SIMAK UI