Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.11-20

Postingan berikut ini adalah lanjutan dari postingan sebelumnya. Postingan ini berisi Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UTUL-UGM 2018 No.11-20 Kode 585. Harapan saya kiranya postingan ini bermanfaat dan kiranya ada pembahasan yang kurang tepat atau kurang dimengerti bolehlah kita berdiskusi bersama melalui kolom komentar di bawah postingan ini. Baiklah, langsung saja kita mulai belajarnya ya....!

Matematika Dassar UM-UGM 2018 No. 11

Diketahui P, Q, dan R adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika Q lancip dan $\sqrt{2}{{\tan }^{2}}Q-\tan Q=0$, maka $\sin (P+R)$ = …

A. $-\frac{1}{3}\sqrt{3}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$

D. $\frac{1}{2}$

E. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Pembahasan:

$\sqrt{2}{{\tan }^{2}}Q-\tan Q=0$

$\tan Q(\sqrt{2}\tan Q-1)=0$

$\tan Q=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{de}{sa}$

$mi=\sqrt{d{{e}^{2}}+s{{a}^{2}}}$

$mi=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\sqrt{2}}^{2}}}=\sqrt{3}$

Pada segitiga PQR berlaku:

$\angle P+\angle Q+\angle R={{180}^{o}}$

$\angle P+\angle R={{180}^{o}}-\angle Q$

$\sin (P+R)=\sin ({{180}^{o}}-Q)$

$\sin (P+R)=\sin Q=\frac{de}{mi}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sin (P+R)=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 12

Suatu kotak berisi 4 koin (mata uang) seimbang dan 6 koin tidak seimbang. Ketika koin dilempar, peluang mendapat gambar adalah 0,5. Sedangkan untuk mata uang yang tidak seimbang peluang mendapat gambar adalah 0,8. Satu koin diambil secara acak dari kotak tersebut kemudian dilempar. Peluang mendapat gambar adalah …

A. 0,6   B. 0,64   C. 0,68   D. 0,72   E. 0,76

Pembahasan:

Peluang melempar koin seimbang adalah 4/10 = 2/5

Peluang melempar koin tidak seimbang adalah 6/10 = 3/5

Peluang melempar koin seimbang dan mendapat gambar adalah = 2/5 x 0,5 = 0,2

Peluang melempar koin tidak seimbang dan mendapat gambar adalah = 3/5 x 0,8 = 0,48

Peluang seluruhnya adalah 0,2 + 0,48 = 0,68

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 13

Dalam suatu grup yang terdiri dari 5 orang, jumlah umur setiap 4 orang diantaranya adalah 124, 128, 130, 136, 142. Orang termuda dari 5 orang tersebut adalah berumur …

A. 18   B. 21   C. 23   D. 25   E. 34

Pembahasan:

Misal umur keempat orang itu adalah: a, b, c, d, e dimana a < b < c < d < e

a + b + c + d = 124

a + b + c + e = 128

a + b + d + e = 130

a + c + d + e = 136

b + c + d + e = 142

----------------------- (+)

4a + 4b + 4c + 4d + 4e = 660

a + (b + c + d + e) = 165

a + 142 = 165

a = 165 – 142

a = 23, 

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 14

Domain fungsi $f(x)=\frac{2x+1+a}{x+a}$ adalah $\{x\in R,x\ne -a\}$. Jika domain ${{f}^{-1}}$ sama dengan $f$, maka $a$ = …

A. 3   B. 2   C. 1   D. -1   E. -2

Pembahasan:

$f(x)=\frac{2x+1+a}{x+a}$

${{f}^{-1}}(x)=\frac{-ax+1+a}{x-2}$

$D{{f}^{-1}}=\{x\in R,x\ne 2\}$

$x\ne -a=x\ne 2\Leftrightarrow a=-2$

Kunci: E

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 15

Jika $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{n}}-{{3}^{n}}}{{{x}^{\frac{n}{3}}}-{{3}^{\frac{n}{3}}}} \right)=3\sqrt[3]{81}$, maka $n$ = ….

A. 1   B. 2   C. 3   D. 4   E. 5

Pembahasan:

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{n}}-{{3}^{n}}}{{{x}^{\frac{n}{3}}}-{{3}^{\frac{n}{3}}}} \right)=3\sqrt[3]{81}$

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n{{x}^{n-1}}}{\frac{n}{3}{{x}^{\frac{n}{3}-1}}} \right)=3\sqrt[3]{81}$

$\frac{n{{.3}^{n-1}}}{\frac{n}{3}{{.3}^{\frac{n}{3}-1}}}=3\sqrt[3]{81}$

$\frac{{{3}^{n-1}}}{{{3}^{\frac{n}{3}-1-1}}}={{3.3}^{\frac{4}{3}}}$

${{3}^{n-1-\frac{n}{3}+1+1}}={{3}^{1+\frac{4}{3}}}$

${{3}^{\frac{2n}{3}+1}}={{3}^{1+\frac{4}{3}}}$

$\frac{2n}{3}+1=1+\frac{4}{3}$

$\frac{2n}{3}=\frac{4}{3}$

$2n=4\Leftrightarrow n=2$

Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 16
Jika kurva $y={{x}^{2}}+ax+b$ dan $y={{x}^{3}}+(c+1)x+a$ mempunyai garis singgung yang sama di titik (1,6), maka a + b + c = ….
A. 2   B. 3   C. 4   D. 5   E. 6
Pembahasan:
${{y}_{1}}={{x}^{2}}+ax+b$ dan ${{y}_{2}}={{x}^{3}}+(c+1)x+a$ melalui titik singgung (1,6)
${{y}_{1}}={{1}^{2}}+a.1+b=6$
$a+b=5$…. (1)
${{x}^{2}}+ax+b={{x}^{3}}+(c+1)x+a$
${{1}^{2}}+a.1+b={{1}^{3}}+(c+1).1+a$
$b=c+1$ …. (2)
Mempunyai garis singgung yang sama maka:
$y_{1}^{'}=y_{2}^{'}$
$2x+a=3{{x}^{2}}+(c+1)$ di titik (1,6) maka:
$2.1+a={{3.1}^{2}}+(c+1)$
$a=c+2$ .…(3)
Jumlahkan (2) + (3) diperoleh:
$a+b=2c+3$
$5=2c+3\Leftrightarrow c=1$
$a+b+c=5+1=6$
Kunci: E

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 17
Fungsi $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{x+1}$ dengan $x\ne -1$ mencapai …
A. maksimum di x = 3
B. maksimum di x = 1
C. maksimum di x = -3
D. minimum di x = 0
E. minimum di x = -2
Pembahasan:
$f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{x+1}=\frac{u}{v}$
$f'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{(2x+2)(x+1)-1({{x}^{2}}+2x+5)}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{2{{x}^{2}}+4x+2-{{x}^{2}}-2x-5}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=0$
$\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}=0$
$\frac{(x+3)(x-1)}{{{(x+1)}^{2}}}=0$
Nilai x pembuat nol adalah x = -3 dan x = 1

Diperoleh: maksimum di x = -3
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 18
Diketahui $P=\left( \begin{matrix}   \cos x & 2\cos x  \\   \sin x & \tan x  \\ \end{matrix} \right)$ dan $0\le x\le \pi $. Jika |P| menyatakan determinan P, maka banyaknya x yang memenuhi |P| = 0 adalah …
A. 4   B. 3   C. 2   D. 1   E. 0
Pembahasan:
$P=\left( \begin{matrix}   \cos x & 2\cos x  \\   \sin x & \tan x  \\ \end{matrix} \right)$
$|P|=0$
$\cos x.\tan x-2\sin x\cos x=0$
$\cos x.\frac{\sin x}{\cos x}-2\sin x\cos x=0$
$\sin x-2\sin x\cos x=0$
$\sin x(1-2\cos x)=0$
$\sin x=0$ atau $\cos x=\frac{1}{2}$
Untuk $\sin x=0$ maka $x={{0}^{o}},{{180}^{o}}$
Untuk $\cos x=\frac{1}{2}$ maka $x={{60}^{o}}$
Jadi nilai $x$ yang memenuhi ada 3.
Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 19

Jika ${}^{2}\log ab=-1$ dan $\frac{{}^{2}\log a}{{}^{b}\log 2}=-6$ maka persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $\frac{8}{3}(a+b)-9$ dan $\frac{a+b}{3{{a}^{3}}{{b}^{3}}}$ adalah ….

A. ${{x}^{2}}+13x-22=0$

B. ${{x}^{2}}-13x+22=0$

C. ${{x}^{2}}-13x-22=0$

D. ${{x}^{2}}+11x-22=0$

E. ${{x}^{2}}-11x+22=0$

Pembahasan:

${}^{2}\log ab=-1\Leftrightarrow ab={{2}^{-1}}\Leftrightarrow b={{(2a)}^{-1}}$

$\frac{{}^{2}\log a}{{}^{b}\log 2}=-6$

${}^{2}\log a.{}^{2}\log b=-6$

${}^{2}\log a.{}^{2}\log {{(2a)}^{-1}}=-6$

${}^{2}\log a.\{-{}^{2}\log (2a)\}=-6$

${}^{2}\log a.(-{}^{2}\log 2-{}^{2}loga)=-6$

${}^{2}\log a.(-1-{}^{2}loga)=-6$

$-{{({}^{2}\log a)}^{2}}-{}^{2}\log a+6=0$

${{({}^{2}\log a)}^{2}}+{}^{2}\log a-6=0$

$({}^{2}\log a+3)({}^{2}\log a-2)=0$

${}^{2}\log a=-3\Leftrightarrow a={{2}^{-3}}=\frac{1}{8}$

${}^{2}\log a=2\Leftrightarrow a={{2}^{2}}=4$

Diperoleh: $a=4$, $b=\frac{1}{8}$

$\frac{8}{3}(a+b)-9=\frac{8}{3}(4+\frac{1}{8})-9=2$

$\frac{a+b}{3{{a}^{3}}{{b}^{3}}}=\frac{4+\frac{1}{8}}{{{3.4}^{3}}{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{3}}}=11$

Persamaan kuadrat:

$(x-2)(x-11)=0$

${{x}^{2}}-13x+22=0$

Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 20
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-{{b}^{2}}x+c=0$ adalah $q$ dan $3q$. Jika 1, $b$, $c-4$ membentuk tiga suku berurutan dari barisan geometri, maka $\frac{-{{b}^{2}}+c}{q}$ = …
A. -2   B. -1   C. 0   D. 1   E. 2
Pembahasan:
$x^2-b^2x+c=0$ akar-akarnya $q$ dan $3q$
$q + 3q = b^2 \Rightarrow 4q = b^2$
$q \times 3q = c \Rightarrow 3q^2 = c$
Barisan Geometri:
1, $b$, $c-4$
$U_2^2 = U_1.U_3$
$b^2 = c-4 \Rightarrow -b^2 + c = 4$
$4q=3q^2-4$
$3q^2-4q-4=0$
$(3q+2)(q-2)=0$
$q=-\frac{2}{3}$ atau $q=2$
$q=-\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{-b^2+c}{q} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$
$q=2 \Rightarrow \frac{-b^2+c}{q} = \frac{4}{2} = 2$
Kunci: E
Baca juga:
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10

Ujian Tulis Universitasi Gadjah Mada Tahun 2018 telah selesai dilaksanakan beberapa hari yang lalu yaitu (08 Juli 2018). UTUL UGM 2018 adalah sebagai salah satu seleksi Ujian Mandiri UGM yang bertujuan untuk menyeleksi mahasiswa/mahasiswi baru untuk tahun akademik 2018/2019. Dan postingan kali ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 Kode 585. Pembahasan ini saya bagi menjadi dua bagian yaitu:

1. Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10
2. Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.11-20

Silahkan dipelajari dan jika ada yang memanfaatkan (publikasi) pembahasan ini mohon menyertakan link aslinya. Terima kasih.

Matematika Dasar UM UGM 2018 No. 1
Jika $\sqrt{{{3}^{-\frac{1}{2}}}+1}=\frac{\sqrt{a+1}}{{{3}^{-\frac{1}{4}}}}$ maka $a$ = …
A. $-\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
B. $-\frac{1}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
C. $\frac{1}{3}-{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
D. $\frac{1}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
E. $\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
Pembahasan:
$\sqrt{{{3}^{-\frac{1}{2}}}+1}=\frac{\sqrt{a+1}}{{{3}^{-\frac{1}{4}}}}$
$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}+1}={{3}^{\frac{1}{4}}}.\sqrt{a+1}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}+1={{3}^{\frac{1}{2}}}(a+1)$
$1+\sqrt{3}=3(a+1)$
$a+1=\frac{1+\sqrt{3}}{3}$
$a=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$a=-\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 2
Diberikan $y > x > 0$. Jika ${}^{9}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$ dan ${}^{x+y}\log 3=b$, maka ${}^{27}\log (y-x)$ = …
A. $\frac{3ab+1}{2a}$
B. $\frac{3ab-1}{2a}$
C. $\frac{2ab-1}{3b}$
D. $\frac{2ab+1}{3a}$
E. $\frac{2ab-1}{3a}$
Pembahasan:
${}^{x+y}\log 3=b$
$\frac{1}{{}^{3}\log (x+y)}=b$
${}^{3}\log (x+y)=\frac{1}{b}$
${}^{9}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
${}^{{{3}^{2}}}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
$\frac{1}{2}.{}^{3}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
${}^{3}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=2a$
${}^{3}\log (y+x)(y-x)=2a$
${}^{3}\log (y+x)+{}^{3}\log (y-x)=2a$
${}^{3}\log (y+x)+{}^{3}\log (y-x)=2a$
$\frac{1}{b}+{}^{3}\log (y-x)=2a$
${}^{3}\log (y-x)=2a-\frac{1}{b}$
${}^{3}\log (y-x)=\frac{2ab-1}{b}$
${}^{27}\log (y-x)={}^{{{3}^{3}}}\log (y-x)$
$=\frac{1}{3}.{}^{3}\log (y-x)$
$=\frac{1}{3}.\frac{2ab-1}{b}$
$=\frac{2ab-1}{3b}$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 3

Diketahui garis $y=c-x$ memotong kurva $y=a{{x}^{2}}+bx-c$ dengan $a\ne 0$ di titik $(-2,5)$. Jika kurva tersebut simetris terhadap garis $x=1$, maka nilai $a+b+c$ adalah …

A. 1   B. 2   C. 3   D. 4   E. 5

Pembahasan:

$y=c-x$ melalui titik $(-2,5)$ maka:

$5=c-(-2)\Leftrightarrow 3=c$

$y=a{{x}^{2}}+bx-c$ melalui titik $(-2,5)$, maka:

$5=a{{(-2)}^{2}}+b(-2)-3$

$4a-2b=8\Leftrightarrow 2a-b=4$

Sumbu simetri:

$x=\frac{-b}{2a}=1\Leftrightarrow b=-2a$ 

Substitusi ke:

$2a-b=4$

$2a-(-2a)=4$

$4a=4\Leftrightarrow a=1$

$b=-2a\Leftrightarrow b=-2$

$a+b+c=1+(-2)+3=2$

Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 4
Persamaan kuadrat $3{{x}^{2}}+8x-c=0$ mempunyai akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ dengan ${{x}_{1}}=-\frac{1}{{{x}_{2}}}$. Jika ${{x}_{1}} > {{x}_{2}}$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{1}{{{x}_{1}}+1}$ dan $\frac{1}{{{x}_{2}}-2}$ adalah …
A. $10{{x}^{2}}-11x-3=0$
B. $10{{x}^{2}}+11x+3=0$
C. $20{{x}^{2}}-11x-3=0$
D. $20{{x}^{2}}+11x+3=0$
E. $20{{x}^{2}}-11x+3=0$
Pembahasan:
$3{{x}^{2}}+8x-c=0$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{8}{3}$
${{x}_{1}}=-\frac{1}{{{x}_{2}}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1$
$\frac{-c}{3}=-1\Leftrightarrow c=3$
$3{{x}^{2}}+8x-c=0$
$3{{x}^{2}}+8x-3=0$
$(3x-1)(x+3)=0$, ${{x}_{1}} > {{x}_{2}}$
${{x}_{1}}=\frac{1}{3}$ atau ${{x}_{2}}=-3$
Persamaan kuadrat baru akar-akarnya:
$\alpha =\frac{1}{{{x}_{1}}+1}=\frac{1}{\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{4}$ dan
$\beta =\frac{1}{{{x}_{2}}-2}=\frac{1}{-3-2}=-\frac{1}{5}$
$(x-\alpha )(x-\beta )=0$
$(x-\frac{3}{4})(x+\frac{1}{5})=0$ kali 20
$(4x-3)(5x+1)=0$
$20{{x}^{2}}-11x-3=0$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 5

Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi $y-\frac{15}{x}=-(x+2)$ dan $x-y-3=0$ adalah …

A. $\frac{1}{2}$   B. 1   C. $\frac{3}{2}$   D. $\frac{5}{2}$   E. $\frac{7}{2}$

Pembahasan:

$x-y-3=0$

$x-3=y$

Substitusi ke:

$y-\frac{15}{x}=-(x+2)$

$x-3-\frac{15}{x}=-x-2$

$2x-1-\frac{15}{x}=0$  kali $x$

$2{{x}^{2}}-x-15=0$

Jumlah semua nilai $x$ adalah:

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{-(-1)}{2}=\frac{1}{2}$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 6

Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}}\ge 1$ adalah $\{x|x\in R,a < x < b\}$. Nilai $ab$ = …

A. -2   B. $-\frac{1}{2}$   C. 1   D. $\frac{5}{2}$   E. 2

Pembahasan:

Syarat:

* $x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$  … (1)

* $2x-1 > 0\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$  … (2)

* $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}}\ge 1$

$\frac{x+1}{2x-1}\ge 1$

$\frac{x+1}{2x-1}-1\ge 0$

$\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x-1}\ge 0$

$\frac{-x+2}{2x-1}\ge 0$

$(-x+2)(2x-1)\ge 0$

$(x-2)(2x-1)\le 0$

$\frac{1}{2}\le x\le 2$ … (3)

Dari irisan (1), (2), dan (3) diperoleh HP adalah $\frac{1}{2} < x \le 2$, $a=\frac{1}{2}$, $b=2$ maka $ab=\frac{1}{2}.2=1$

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 7

Nilai minimum dari $3x+2y-1$ untuk $x$ dan $y$ yang memenuhi $2x+y\ge 4$, $y-x\le 1$, $2y-x\ge -4$, $x\le 6$ dan $y\ge 0$ adalah …

A. 5   B. 6   C. 8   D. 9   E. 11

Pembahasan:

Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, seperti berikut ini:

Tentukan titik-titik sudut dari daerah himpunan penyelesaian.

Uji titik pojok:

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 8

Jika bilangan 2001 ditulis dalam bentuk

1 – 2 + 3 – 4 + … + $(n-2)$ – $(n-1)$ + $n$ maka jumlahan digit-digit dari bilangan $n$ sama dengan …

A. 5   B. 6   C. 7   D. 8   E. 9

Pembahasan:

1 + (-2 + 3) + (-4 + 5) + …+ [-$(n-1)$ + $n$] = 2001

(-2 + 3) + (-4 + 5) + …+ [-$(n-1)$ + $n$] = 2000

1 + 1 + …+ [-$(n-1)$ + $n$]  = 2000

$-(n-1)+n={{U}_{2000}}$ 

${{U}_{1}}=[-2.1+(2.1+1)]=(-2+3)$

${{U}_{2}}=[-2.2+(2.2+1)]=(-4+5)$

${{U}_{3}}=[-2.3+(2.3+1)]=(-6+7)$

….

${{U}_{2000}}=[-2.2000+(2.2000+1)]$

${{U}_{2000}}=-4000+4001$

${{U}_{2000}}=-(n-2)+n$

Maka $n=4001$

Jumlah digit-digit $n$ adalah 4 + 0 + 0 + 1 = 5

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 9

Diberikan tiga persegi. Panjang sisi persegi I, II, dan III membentuk barisan geometri. Keliling persegi I, II, dan III membentuk barisan aritmetika. Diketahui juga jumlah keliling ketiga persegi 14 meter. Panjang sisi persegi yang terkecil adalah …

A. 7/6   B. 1   C. 3/2   D. 1/2   E. 1/4

Pembahasan:

Barisan Geometri: $U_{n}^{{}}$ = panjang sisi persegi ke-n

${{U}_{1}}=a$, ${{U}_{2}}=ar$, ${{U}_{3}}=a{{r}^{2}}$

Barisan aritmetika: K = 4 x sisi

$4a$, $4ar$, $4a{{r}^{2}}$ berlaku:

$2.4ar=4a+4a{{r}^{2}}$

$2r=1+{{r}^{2}}$

${{r}^{2}}-2r+1=0$

${{(r-1)}^{2}}=0$

$r=1$

Jumlah keliling = 14

$4a+4ar+4a{{r}^{2}}=14$ 

$2a(1+r+{{r}^{2}})=7$

$2a(1+1+{{1}^{2}})=7$

$6a=7\Leftrightarrow a=\frac{7}{6}$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 10

Diketahui matriks $A=\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)$. Jika ${{A}^{-1}}$ adalah invers matriks A dan ${{A}^{T}}$ adalah transpose matriks A, maka determinan matriks B yang memenuhi $AB={{A}^{-1}}+{{A}^{T}}$ adalah …

A. -41   B. -9   C. 9   D. 31   E. 41

Pembahasan:

$A=\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow {{A}^{T}}=\left( \begin{matrix}   5 & -2  \\   -3 & 1  \\ \end{matrix} \right)$

${{A}^{-1}}=\frac{1}{5-6}\left( \begin{matrix}   1 & 3  \\   2 & 5  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   -1 & -3  \\   -2 & -5  \\ \end{matrix} \right)$

$AB={{A}^{-1}}+{{A}^{T}}$

$\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)B=\left( \begin{matrix}   -1 & -3  \\   -2 & -5  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   5 & -2  \\   -3 & 1  \\ \end{matrix} \right)$

$\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)B=\left( \begin{matrix}   4 & -5  \\   -5 & -4  \\ \end{matrix} \right)$

$\left| \begin{matrix}    5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right|\left| B \right|=\left| \begin{matrix}   4 & -5  \\   -5 & -4  \\ \end{matrix} \right|$

$(5-6).\left| B \right|=(-16-25)$

$\left| B \right|=41$

Kunci: E

Baca juga:

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.11-20

Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2018

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2018 Kode 575. Silahkan dipelajari bersama sebagai bahan latihan untuk mempersiapkan diri adik-adik yang akan mengikuti seleksi Ujian Tulis Universitas Gadjah Mada (UTUL UGM) tahun depan (2019). Ingat, persiapan dari awal tentu akan memberi hasil yang lebih baik.

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 1
Akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+px+27=0$ adalah ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ yang semuanya positif dan ${{x}_{2}} > {{x}_{1}}$. Jika ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan $5{{x}_{1}}$ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga barisan aritmetika, maka suku kesepuluh adalah …
A. 55   B. 57   C. 59   D. 61   E. 63
Pembahasan:
Persamaan kuadrat: ${{x}^{2}}+px+27=0$ akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$, maka:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-p-{{x}_{2}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27$
Barisan Aritmetika: ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan $5{{x}_{1}}$ maka:
$2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+5{{x}_{1}}$
$2{{x}_{2}}=6{{x}_{1}}$
${{x}_{2}}=3{{x}_{1}}$
${{x}_{2}}=3(-p-{{x}_{2}})$
${{x}_{2}}=-3p-3{{x}_{2}}$
$4{{x}_{2}}=-3p\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{-3p}{4}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27$
$(-p-{{x}_{2}}){{x}_{2}}=27$
$\left( -p+\frac{3p}{4} \right).\frac{-3p}{4}=27$
$\left( -\frac{p}{4} \right).\frac{-3p}{4}=27$
$\frac{3{{p}^{2}}}{16}=27$
$p=\pm 12$
karena ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ positif diperoleh bahwa $p < 0$, $p=-12$
${{x}_{2}}=\frac{-3p}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{-3.(-12)}{4}=9$
${{x}_{1}}=-p-{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-(-12)-9=3$
Barisan aritmetika:
3, 9, 15, …, beda (b) = 6, a = 3
${{U}_{10}}=a+9b=3+9.6=57$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 2
Jika $x > y\ge 1$ dan $\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy)=2\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$, maka ${}^{x}\log (1+y)$ = …
A. log 2   B. $-1$   C. $-\frac{1}{2}$   D. $\frac{1}{2}$   E. 1
Pembahasan:
$\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy)=2\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$
$2.\log (x+y)=2.\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$
$\log (x+y)=\log [(x+y)(x-y)]$
$\log (x+y)=\log (x+y)+\log (x-y)$
$0=\log (x-y)$
$x-y=1\Leftrightarrow x=y+1$
${}^{x}\log (1+y)={}^{y+1}\log (1+y)=1$
Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 3

Jika bilangan bulat $p$ merupakan akar $f(x)=0$ dengan $f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$, maka gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=p$ adalah …

A. -5   B. -3   C. -1   D. 3   E. 5

Pembahasan:

$f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$

$x=p$maka $f(x)=0$

$f(p)={{p}^{3}}-4p-3=0$

$(p+1)({{p}^{2}}-p-3)=0$

$(p+1)({{p}^{2}}-p-3)=0$

${{p}^{2}}-p-3=0$

$p=\frac{1\pm \sqrt{1-4.1.(-3)}}{2.1}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$

$p+1=0\Leftrightarrow p=-1$

Sementara kita hindari bentuk akar maka kita pilih $p=-1$

$f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$

$f(x)=-1.{{x}^{2}}-3x-(-1)-3$

$f(x)=-{{x}^{2}}-3x-2$

$f'(x)=-2x-3$

Gradien garis singgun di absis $x=p=-1$ adalah:

$f'(-1)=-2.(-1)-3=-1$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 4

Pertidaksamaan ${}^{2}\log ({{x}^{2}}-x)\le 1$ mempunyai penyelesaian …

A. $x < 0$ atau $x > 1$

B. $-1 < x < 2$, $x\ne 1$, $x\ne 0$

C. $-1\le x < 0$ atau $1 < x \le 2$

D. $-1\le x\le 0$ atau $1\le x\le 2$

E. $-1 < x < 0$ atau $1\le x < 2$

Pembahasan:

Syarat:

${{x}^{2}}-x > 0$

$x(x-1) > 0$

$x < 0$ atau $x > 1$ ….. (1)

${}^{2}\log ({{x}^{2}}-x)\le 1$

${{x}^{2}}-x\le {{2}^{1}}$

${{x}^{2}}-x-2\le 0$

$(x+1)(x-2)\le 0$

$-1\le x\le 2$ …. (2)

HP adalah irisan dari (1) dan (2) yaitu:

$-1\le x < 0$ atau $1 < x \le 2$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 5
Jika fungsi $f$, dengan $f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}}}$ turun pada $(-\infty ,-1]$, maka $8{{m}^{3}}+8$ = …
A. 16   B. 12   C. 8   D. 4   E. 0
Pembahasan: (Soal tak jelas)
$f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}}}$, turun maka $f'(x) < 0$
$f(x)={{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{\frac{1}{3}}}$
$f'(x)=\frac{1}{3}{{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{\frac{1}{3}-1}}.(3{{x}^{2}}+6{{m}^{3}}{{x}^{5}})$
$f'(x)=\frac{1}{3}{{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{-\frac{2}{3}}}.(3{{x}^{2}}+6{{m}^{3}}{{x}^{5}})$
Dari soal stasioner diperoleh untuk:
$f'(1)=0$
$\frac{1}{3}{{({{1}^{3}}+{{m}^{3}}{{.1}^{6}})}^{-\frac{2}{3}}}.({{3.1}^{2}}+6{{m}^{3}}{{.1}^{5}})=0$
${{(1+{{m}^{3}})}^{-\frac{2}{3}}}.(3+6{{m}^{3}})=0$
$3+6{{m}^{3}}=0$ kali dengan $\frac{4}{3}$
$4+8{{m}^{3}}=0$ tambah kedua ruas dengan 4
$4+8{{m}^{3}}+4=0+4$
$8{{m}^{3}}+8=4$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 6

Diketahui $m$ adalah sisa pembagian polinomial $h(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+2$ oleh $x-1$. Nilai $k$ yang memenuhi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{m{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$ adalah …
A. -1   B. 0   C. $\frac{1}{2}$   D. 1   E. 2
Pembahasan: (soal kabur)
$h(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+2$ dibagi $x-1$ sisanya $m$
$m=h(1)={{1}^{3}}-{{1}^{2}}+2.1+2=4$
$m={{1}^{3}}-{{1}^{2}}+2.1+2\Leftrightarrow m=4$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{m{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-\frac{k(k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7)}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-\frac{{{k}^{2}}{{x}^{3}}+3k{{x}^{2}}-7k}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{(4-{{k}^{2}}){{x}^{3}}-3k{{x}^{2}}-kx+5+7k}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{(4-{{k}^{2}}){{x}^{3}}}{k{{x}^{3}}} \right)=0$
$\frac{4-{{k}^{2}}}{k}=0;k\ne 0$
$4-{{k}^{2}}=0$
$(2+k)(2-k)=0$
$k=-2$ atau $k=2$
Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 7

Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $\frac{9}{4}$. Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $a$ dan $-\frac{1}{a}$, dengan $a > 0$. Jika ${{U}_{n}}$ menyatakan suku ke-n pada deret tersebut, maka $3{{U}_{6}}-{{U}_{5}}$ = …

A. 0   B. $\frac{2}{27}$   C. $-\frac{2}{27}$   D. $\frac{1}{27}$  E. $-\frac{1}{27}$

Pembahasan:

Deret Geometri Tak Hingga

${{S}_{\infty }}=\frac{9}{4}$, ${{U}_{1}}=a$, $r=-\frac{1}{a}$

$\frac{{{U}_{1}}}{1-r}=\frac{9}{4}$

$\frac{a}{1+\frac{1}{a}}=\frac{9}{4}$

$4a=9+\frac{9}{a}$

$4{{a}^{2}}=9a+9$

$4{{a}^{2}}-9a-9=0$

$(4a+3)(a-3)=0$

$a=-\frac{3}{4}$ atau $a=3$, $a > 0$

Maka: $a=3$ dan $r=-\frac{1}{3}$

$3{{U}_{6}}-{{U}_{5}}=3.a{{r}^{5}}-a{{r}^{4}}$

$=a{{r}^{4}}(3r-1)$

$=3.{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{4}}\left( 3.\left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right)$

$=3.\left( \frac{1}{81} \right)\left( -2 \right)$

$=\frac{-2}{27}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 8

Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10, dan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 6. Suku ke-2 deret tersebut adalah …

A. $\frac{20}{3}$   B. $\frac{20}{6}$   C. $\frac{20}{9}$   D. $\frac{20}{11}$   E. $\frac{20}{13}$

Pembahasan:

Deret Geometri Tak Hingga

${{S}_{\infty }}=10$

${{S}_{ganjil}}+{{S}_{genap}}=10$

${{S}_{ganjil}}+6=10$

${{S}_{ganjil}}=4$

$r=\frac{{{S}_{ganjil}}}{{{S}_{genap}}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

${{S}_{\infty }}=10$

$\frac{a}{1-r}=10$

$\frac{a}{1-\frac{2}{3}}=10$

$a=\frac{10}{3}$

${{U}_{2}}=ar=\frac{10}{3}.\frac{2}{3}=\frac{20}{9}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 9

Suku banyak $P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ berturut-turut bersisa 3 dan -7 ketika dibagi $x+1$ dan $x-1$. Sisa pembagian P(x) oleh $x$ adalah …

A. -4   B. -2   C. 0   D. 2   E. 4

Pembahasan:

$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x+1$ sisa 3

$P(-1)=-a+1-b+1-c+d=3$

$-a-b-c+d=1$ …. Persamaan (1)

$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x-1$ sisa -7

$P(1)=a+1+b+1+c+d=-7$

$a+b+c+d=-9$… Persamaan (2)

$-a-b-c+d=1$ …. Persamaan (1)

------------------------- (+)

$2d=-8\Leftrightarrow d=-4$

$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x$ maka sisanya adalah:

$P(0)=d=-4$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 10

Diberikan suku banyak $p(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a$ dengan $a\ne 0$. Jika ${{x}^{2}}+nx+1$ merupakan faktor $p(x)$, maka $n$ = …

A. -3   B. -2   C. -1   D. 1   E. 3

Pembahasan:

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a=({{x}^{2}}+nx+1)(ax+a)$

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a=a{{x}^{3}}+(a+an){{x}^{2}}+(an+a)x+a$

$0=an+a$

$0=a(n+1)$

$n+1=0\Leftrightarrow n=-1$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 11

Jika $(p,q)$ merupakan titik puncak grafik fungsi $f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$, dengan $f(a)=19$ maka $p+2q+3a$ = …

A. 7   B. 6   C. 0   D. -1   E. -2

Pembahasan:

$f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$

$f(a)={{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+a+1=19$

${{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+a-18=0$

$(a-2)({{a}^{2}}+4a+9)=0$

${{a}^{2}}+4a+9=0$ nilai $a$ imaginer karena D < 0

$a-2=0\Leftrightarrow a=2$

$f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$

$f(x)=2{{x}^{2}}+4x+3$

$(p,q)=\left( \frac{-b}{2a},\frac{{{b}^{2}}-4ac}{-4a} \right)$

$(p,q)=\left( \frac{-4}{2.2},\frac{{{4}^{2}}-4.2.3}{-4.2} \right)$

$(p,q)=\left( -1,1 \right)$

$p+2q+3a=-1+2.1+3.2=7$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 12

Diketahui ${{P}_{1}}$ adalah pencerminan titik $P(2,k)$ terhadap garis $y=x$. Jika luas segitiga $PO{{P}_{1}}$ adalah 6, maka |k| = …

A. $2\sqrt{2}$   B. $2\sqrt{3}$   C. $\sqrt{10}$   D. 4   E. 16

Pembahasan:

$P(2,k)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ menghasilkan ${{P}_{1}}(k,2)$. Luas segitiga $PO{{P}_{1}}$ dengan $O(0,0)$ adalah:

$\frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix}   2 & k  \\   0 & 0  \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix}   0 & 0  \\   k & 2  \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix}   k & 2  \\   2 & k  \\ \end{matrix} \right| \right|=6$

$\frac{1}{2}\left| 0+0+{{k}^{2}}-4 \right|=6$

${{k}^{2}}-4=6$

${{k}^{2}}=10\Leftrightarrow k=\sqrt{10}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 13
Diketahui proyeksi vektor $v$ pada vektor $u$ sama dengan proyeksi vektor $w$ pada vektor $u$. Jika $2v.u=\sqrt{3}|v||u|$ dan $2w.u=|w||u|$, maka $\frac{v.w}{|v||w|}$ = …
A. $\frac{1}{2}$   B. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$  C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$   D. 1   E. $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
Pembahasan:
$2v.u=\sqrt{3}|v||u|$
$\frac{v.u}{|v||u|}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\cos (u,v)=\frac{1}{2}\sqrt{3}\Leftrightarrow \angle (u,v)={{30}^{o}}$
$2w.u=|w||u|$
$\frac{w.u}{|w||u|}=\frac{1}{2}$
$\cos (w,u)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \angle (w,u)={{60}^{o}}$
Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar diperoleh bahwa $\angle (v,w)={{30}^{o}}$
$\cos \angle (v,w)=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
$\cos {{30}^{o}}=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
$\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 14

Diketahui segitiga ABC dengan $|BC|=2\sqrt{3}$ dan $\angle BAC={{60}^{o}}$. Jika $|AC|+|AB|=6$, maka $||AC|-|AB||$ = …

A. $\frac{1}{2}$   B. 1   C. $\frac{3}{2}$   D. 2   E. $\frac{5}{2}$

Pembahasan:

$\angle BAC={{60}^{o}}$

Aturan cosinus:

$\cos \angle BAC=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

$\cos {{60}^{o}}=\frac{{{(AB+AC)}^{2}}-2.AB.AC-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

$\frac{1}{2}=\frac{{{(AB+AC)}^{2}}-2.AB.AC-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

$1=\frac{{{6}^{2}}-2.AB.AC-{{(2\sqrt{3})}^{2}}}{AB.AC}$

$AB.AC=36-2.AB.AC-12$

$3.AB.AC=24$

$AB.AC=8$

${{(AC-AB)}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2.AC.AB$

${{(AC-AB)}^{2}}={{(AC+AB)}^{2}}-2.AC.AB-2.AC.AB$

${{(AC-AB)}^{2}}={{6}^{2}}-4.AC.AB$

${{(AC-AB)}^{2}}=36-4.8$

${{(AC-AB)}^{2}}=4$

$AC-AB=2$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 15

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-X di (1,0) dan (3,0). Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-Y, maka titik singgung yang mungkin adalah …

A. (0,1)

B. (0,2)

C. (0, $\sqrt{3}$)

D. (0, $\sqrt{5}$)

E. (0,3)

Pembahasan:

Titik pusat lingkaran adalah (a,b), maka lingkaran melalui titik (1,0), (3,0), (0,b).

Bentuk umum persamaan lingkaran: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By+C=0$, $B=-2b$ 

Lingkaran melalui titik (1,0) maka:

${{1}^{2}}+{{0}^{2}}+A.1+B.0+C=0$

$A+C=-1$

Lingkaran melalui titik (3,0) maka:

${{3}^{2}}+{{0}^{2}}+A.3+B.0+C=0$

$3A+C=-9$

$A+C=-1$

--------------- (-)

$2A=-8\Leftrightarrow A=-4,C=3$

Lingkaran melalui titik (0, b), dan $B=-2b$maka:

${{0}^{2}}+{{y}^{2}}+A.0+B.b+3=0$

${{b}^{2}}+(-2b).b+3=0$

$-{{b}^{2}}+3=0$

${{b}^{2}}=3\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{3}$

Titik singgung lingkaran yang mungkin adalah $(0,-\sqrt{3})$ dan $(0,\sqrt{3})$

Kunci: C

Pembahasan lain menyusul disebabkan foto soal yang diterima oleh penulis terlihat kabur. Semoga besok sudah diterima foto soal yang lebih baik.

Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UTUL UGM 2018 Kode 585

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.11-20

Hari ini kita belajar bersama tentang Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 No.11-20. Semoga apa yang CM (Catatan Matematika) bagikan ini bermanfaat bagi kita semua.

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 11
Titik R merupakan titik puncak parabola yang melalui titik P(0,-6), Q(1,0), dan S(x,y). Jika |QO| : |OS| = 1 : 3 maka ordinat R adalah …

A. 6   B. 4   C. 3   D. 2   E. 1

Pembahasan:

Q(1,0), S(x,y) dan |QO| : |OS| = 1 : 3 maka titik S(3,0)

Fungsi kuadrat (parabola) yang memotong sumbu X di titik Q(1,0) dan S(3,0) adalah:

$y=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})$

$y=a(x-1)(x-3)$

Melalui titik P(0,-6) maka:

$-6=a(0-1)(0-3)$

$-6=3a\Leftrightarrow a=-2$

$y=a(x-1)(x-3)$

$y=-2(x-1)(x-3)$

Puncak: $x=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{1+3}{2}=2$ 

Ordinat puncak: 

$y=-2(x-1)(x-3)$

$y=-2(2-1)(2-3)=2$

Kunci: D

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 12

Diketahui $p$ dan $q$ akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+3x+k=0$ dengan $p < q$. Jika $\frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}=-\frac{3}{2}$ maka jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah …

A. -4   B. -2   C. 1   D. 2   E. 4

Pembahasan: 

${{x}^{2}}+3x+k=0$ akar-akar p dan q, maka:

$p+q=-3$

$pq=k$

$p < q$

$q-p > 0$

$q-p=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{a}$ 

$q-p=\frac{\sqrt{{{3}^{2}}-4.1.k}}{1}$

$q-p=\sqrt{9-4k}$

$\frac{q+1}{p+1}-\frac{p-1}{q-1}=-\frac{3}{2}$

$\frac{(q-1)(q+1)-(p+1)(p-1)}{(p+1)(q-1)}=-\frac{3}{2}$

$\frac{({{q}^{2}}-1)-({{p}^{2}}-1)}{pq-p+q-1}=-\frac{3}{2}$

$\frac{{{q}^{2}}-{{p}^{2}}}{pq+q-p-1}=-\frac{3}{2}$

$\frac{(q+p)(q-p)}{pq+q-p-1}=-\frac{3}{2}$

$\frac{-3\sqrt{9-4k}}{k+\sqrt{9-4k}-1}=-\frac{3}{2}$

$2\sqrt{9-4k}=k+\sqrt{9-4k}-1$

$\sqrt{9-4k}=k-1$

$9-4k={{(k-1)}^{2}}$

$9-4k={{k}^{2}}-2k+1$

${{k}^{2}}+2k-8=0$

Jumlah semua nilai k yang mungkin:

${{k}_{1}}+{{k}_{2}}=\frac{-2}{1}=-2$

Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 13

Jika $x$ dan $y$ memenuhi $\frac{y-2x-1}{2x-y+3}=1$ dan $\frac{{{y}^{2}}-2x-2}{2{{x}^{2}}+y+1}=2$ maka nilai $x+y$ adalah …

A. 2   B. 4   C. 6   D. 8   E. 10

Pembahasan:

$\frac{y-2x-1}{2x-y+3}=1$

$y-2x-1=2x-y+3$

$-4x+2y=4$

$-2x+y=2\Leftrightarrow y=2x+2$

$\frac{{{y}^{2}}-2x-2}{2{{x}^{2}}+y+1}=2$

${{y}^{2}}-2x-2=4{{x}^{2}}+2y+2$

${{y}^{2}}-2y-4{{x}^{2}}-2x-4=0$

${{(2x+2)}^{2}}-2(2x+2)-4{{x}^{2}}-2x-4=0$

$4{{x}^{2}}+8x+4-4x-4-4{{x}^{2}}-2x-4=0$

$2x-4=0\Leftrightarrow x=2$

$y=2x+2=2.2+2=6$

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 14

Jika $\frac{3-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}=b$ maka ${}^{b}\log 9$ = …

A. 1   B. 2   C. 3   D. 4   E. 5

Pembahasan:

$b=\frac{3-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

$b=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{6}-3\sqrt{6}-3\sqrt{12}}{3-6}$

$b=\frac{3\sqrt{3}-3.2\sqrt{3}}{-3}$

$b=\frac{-3\sqrt{3}}{-3}$

$b=\sqrt{3}$

${}^{b}\log 9={}^{\sqrt{3}}\log 9$

$={}^{{{3}^{\frac{1}{2}}}}\log {{3}^{2}}=\frac{2}{1/2}=4$

Kunci: D

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 15

Jika $u={{2}^{x}}$ dan ${}^{u}\log ({{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}})=3$ maka ${{3}^{x}}$ = …

A. 3   B. 1   C. 1/3   D. 1/9   E. 1/27

Pembahasan:

${}^{u}\log ({{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}})=3$

${}^{{{2}^{x}}}\log ({{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}})=3$

${{2}^{2x}}-{{2}^{x-2}}={{({{2}^{x}})}^{3}}$

${{({{2}^{x}})}^{2}}-\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{2}}}={{({{2}^{x}})}^{3}}$

$4.{{({{2}^{x}})}^{2}}-{{2}^{x}}=4.{{({{2}^{x}})}^{3}}$

$4.{{({{2}^{x}})}^{3}}-4.{{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x}}=0$

${{2}^{x}}[4.{{({{2}^{x}})}^{2}}-{{4.2}^{x}}+1]=0$

$4.{{({{2}^{x}})}^{2}}-{{4.2}^{x}}+1=0$

$({{2.2}^{x}}-1)({{2.2}^{x}}-1)=0$

${{2.2}^{x}}-1=0$

${{2}^{x}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{2}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1$

${{3}^{x}}={{3}^{-1}}=\frac{1}{3}$

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 16

Sekumpulan bilangan mempunyai rata-rata 15 dengan jangkauan 6. Jika setiap bilangan tersebut dikurangi $a$ kemudian hasilnya dibagi $b$ akan menghasilkan bilangan baru dengan rata-rata 7 dan jangkauannya 3. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah …

A. 3 dan 2

B. 2 dan 3

C. 1 dan 2

D. 2 dan 1

E. 3 dan 1

Pembahasan:

${{\bar{x}}_{akhir}}=\frac{\left( {{{\bar{x}}}_{awal}}-a \right)}{b}$

$7=\frac{\left( 15-a \right)}{b}$

$7b=15-a\Leftrightarrow a=15-7b$

${{J}_{akhir}}=\frac{{{J}_{awal}}}{b}$

$3=\frac{6}{b}\Leftrightarrow b=2$

$a=15-7b=15-7.2=1$

Jadi, nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah 1 dan 2.

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 17

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1}{x-2\sqrt{x}+1}$ = …

A. 20   B. 16   C. 8   D. 4   E. 2

Pembahasan:

Dengan Dalil L’Hopital

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x+1}{x-2\sqrt{x}+1}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x-1)(x+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1).(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(x+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)(x+1)$

$=(\sqrt{1}+1)(\sqrt{1}+1)(1+1)=8$

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 18

Jika $f(x+1)=6{{x}^{2}}+7x-7$, $g(x)=ax+2$, dan $(g\circ f)(1)=-5$ maka nilai $f(a-1)$ = …

A. -8   B. -7   C. -6   D. -5   E. 6

Pembahasan:

Jika $x=0$, maka:

$f(x+1)=6{{x}^{2}}+7x-7$

$f(0+1)={{6.0}^{2}}+7.0-7$

$f(1)=-7$

$(g\circ f)(1)=-5$

$g(f(1))=-5$

$g(-7)=-5$

$-7a+2=-5$

$-7a=-7\Leftrightarrow a=1$

$f(a-1)=f(1-1)=f(0)$ = …?

Jika x = -1 maka:

$f(x+1)=6{{x}^{2}}+7x-7$

$f(-1+1)=6.{{(-1)}^{2}}+7.(-1)-7$

$f(0)=6-7-7=-8$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 19

Perhatikan gambar di bawah ini!

$\angle RPQ=\angle PSQ={{90}^{o}}$ , $\angle PQS={{60}^{o}}$ dan $\angle PTQ={{45}^{o}}$. Jika |RS| = 2 maka |TQ| = …

A. $\frac{4}{3\sqrt{2}}$

B. $\frac{4}{2\sqrt{2}}$

C. $\frac{3}{2\sqrt{2}}$

D. $\frac{2}{3\sqrt{2}}$

E. $\frac{2}{2\sqrt{3}}$

Pembahasan:

Perhatikan segitiga RPQ siku-siku di P

$\angle RPQ+\angle PQR+\angle PRQ={{180}^{o}}$

${{90}^{o}}+{{60}^{o}}+\angle PRQ={{180}^{o}}$

$\angle PRQ={{180}^{o}}-{{150}^{o}}={{30}^{o}}$

Perhatikan segitiga RSP siku-siku di S

$\angle RSP=\angle PRQ={{30}^{o}}$ 

$\tan \angle RSP=\frac{PS}{RS}$

$\tan {{30}^{o}}=\frac{PS}{2}$

$\frac{1}{3}\sqrt{3}=\frac{PS}{2}\Leftrightarrow PS=\frac{2}{3}\sqrt{3}$

Perhatikan segitiga PSQ siku-siku di S

$\tan \angle PQS=\frac{PS}{QS}$

$\tan {{60}^{o}}=\frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{QS}$

$\sqrt{3}=\frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{QS}\Leftrightarrow QS=\frac{2}{3}$

Perhatikan segitiga QST

$\angle QST+\angle STQ+\angle TQS={{180}^{o}}$

${{90}^{o}}+{{45}^{o}}+\angle TQS={{180}^{o}}$

$\angle TQS={{45}^{o}}$

Maka ST = QS = $\frac{2}{3}$

TQ = $\sqrt{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$

$=\frac{2}{3}\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 20

Diketahui tiga kantong masing-masing berisi 6 bola yang terdiri dari dua bola putih, dua bola biru, dan dua bola merah. Dari masing-masing kantong diambil satu bola. Peluang terambilnya paling sedikit dua bola berwarna putih adalah …

A. 4/27   B. 5/27   C. 6/27   D. 7/27   E. 9/27

Pembahasan:

Pengambilan 1 bola dari kantong I ada 6 cara.

Pengambilan 1 bola dari kantong II ada 6 cara.

Pengambilan 1 bola dari kantong III ada 6 cara.

Seluruh kemungkin pengambilan bola = 6 x 6 x 6 = 216 cara

n(S) = 216

Misal:

P = terambilnya bola berwarna putih

B = terambilnya bola berwarna biru

M = teambilnya bola berwarna merah. 

Kemungkinan-kemungkinan terambilnya paling sedikit dua bola berwarna putih adalah:

(P, P, B) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$ 

(P, B, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$

(B, P, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$

(P, P, M) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$

(P, M, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$

(M, P, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$

(P, P, P) ada sebanyak = $C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}\times C_{1}^{2}=8$

n(A) = 8 x 7 = 56

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{56}{216}=\frac{7}{27}$ 

Kunci: D
Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.1-10

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.1-10

To the point aja ya...! Berbagi itu Indah, dan kali ini CM (Catatan Matematika) berbagi Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.1-10. Mari kita belajar bersama.

Matematika Dasar UM-UGM 2017 No. 1

Tujuh bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan pertama sama dengan 33 dan jumlah tiga bilangan terakhir sama dengan 69 maka jumlah suku ke-4 dan ke-5 adalah …

A. 31   B. 33   C. 37   D. 41   E. 46

Pembahasan:

Barisan aritmetika:

${{U}_{1}}$, ${{U}_{2}}$, ${{U}_{3}}$, ${{U}_{4}}$, ${{U}_{5}}$, ${{U}_{6}}$, ${{U}_{7}}$

${{U}_{n}}=a+(n-1)b$

${{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{3}}=33$

$a+(a+b)+(a+2b)=33$

$3a+3b=33$

$a+b=11$ …. (1)

${{U}_{5}}+{{U}_{6}}+{{U}_{7}}=69$

$(a+4b)+(a+5b)+(a+6b)=69$

$3a+15b=69$

$a+5b=23$ … (2)

$a+b=11$

------------------------ (-)

$4b=12\Leftrightarrow b=3$

$a+b=11\Leftrightarrow a+3=11\Leftrightarrow a=8$

${{U}_{4}}+{{U}_{5}}=(a+3b)+(a+4b)$

$=2a+7b$

$=2.8+7.3$

$=37$

Kunci: C

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah kuadrat tiga suku pertamanya adalah 40 lebih besar dari 9 kali kuadrat suku ke-2. Selisih suku ke-7 dan suku ke-5 adalah …

A. 1079

B. 1166

C. 1296

D. 1386

E. 1469

Pembahasan:

Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$

$a=2$

$U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}=9U_{2}^{2}+40$

${{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{4}}=9{{a}^{2}}{{r}^{2}}+40$

$4+4{{r}^{2}}+4{{r}^{4}}=9.4{{r}^{2}}+40$

$1+{{r}^{2}}+{{r}^{4}}=9{{r}^{2}}+10$

${{r}^{4}}-8{{r}^{2}}-9=0$

$({{r}^{2}}-9)({{r}^{2}}+1)=0$

${{r}^{2}}-9=0$

$(r-3)(r+3)=0$

$r=3$ atau $r=-3$

Kita ambil $r=3$, $a=2$

${{U}_{7}}-{{U}_{5}}=a{{r}^{6}}-a{{r}^{4}}$

$=a{{r}^{4}}({{r}^{2}}-1)$

$={{2.3}^{4}}({{3}^{2}}-1)$

$=1296$

Kunci: C

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 3

Jika $A=\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]$, $B=\left[ \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]$, dan I adalah matriks identitas maka determinan matriks X yang memenuhi AX + 2B = I adalah …

A. -3   B. -2   C. -1   D. 0   E. 4

Pembahasan:

$AX+2B=I$

$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]X+2\left[ \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]X=\left[ \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}   2 & 2  \\   2 & 2  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]X=\left[ \begin{matrix}   -1 & -2  \\   -2 & -1  \\ \end{matrix} \right]$

$\left| \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right|\left| X \right|=\left| \begin{matrix}   -1 & -2  \\   -2 & -1  \\ \end{matrix} \right|$

$(2-1)\left| X \right|=(1-4)$

$\left| X \right|=-3$

Kunci: A

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 4

Jika himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{5}{1+x} < 2$ dan $\frac{5}{1-x} > 2$ adalah {x : x bilangan real, p < x < q} maka $2p-q$ = …

A. -4   B. -2   C. -1/2   D. 2   E. 4

Pembahasan:

$\frac{5}{1+x} < 2$

$\frac{5}{1+x}-2 < 0$

$\frac{5}{1+x}-\frac{2(1+x)}{1+x} < 0$

$\frac{3-2x}{1+x} < 0$

$(3-2x)(1+x) < 0$

$(2x-3)(x+1) > 0$

$x < -1$ atau $x > \frac{3}{2}$ …. (1)

$\frac{5}{1-x} > 2$

$\frac{5}{1-x}-2 > 0$

$\frac{5}{1-x}-\frac{2(1-x)}{1-x} > 0$

$\frac{3+2x}{1-x} > 0$

$(3+2x)(1-x) > 0$

$(2x+3)(x-1) < 0$

$-\frac{3}{2} < x < 1$ …. (2)

Garis bilangan (1) dan (2)

HP = $-\frac{3}{2} < x < -1$ maka $p=-\frac{3}{2}$ dan $q=-1$

$2p-q=2(-\frac{3}{2})-(-1)=-2$

Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 5

Nilai maksimum dari 2x + 6y yang memenuhi kendala $-x+4y\ge 1$, $-2x+y\ge -12$, $x+y\ge 4$, $1\le y\le 3$, $x\ge 0$ adalah …

A. 26   B. 28   C. 30   D. 33   E. 36

Pembahasan:

Perhatikan gambar daerah himpunan penyelesaian dari kendala yang diberikan!

Garis berwarna merah adalah garis selidik fungsi objektif 2x + 6y = k, dan yang diminta nilai k maksimum dan dengan memperhatikan gambar kita peroleh nilai maksimum diperoleh di C. 

Titik C adalah titik potong garis

$-2x+y=-12$ dan $y=3$

$-2x+3=-12$

$-2x=-15\Leftrightarrow x=\frac{15}{2}$

Titik $C\left( \frac{15}{2},3 \right)$ maka nilai maksimum:

$2x+6y=2.\frac{15}{2}+6.3=33$

Kunci: D

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 6

Pada suatu deret geometri diketahui suku ke-6 adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3, dan ke-4 sama dengan 3 log 2 + 3 log 3. Suku ke-3 deret tersebut adalah …

A. 3   B. 6   C. 9   D. 18   E. 54

Pembahasan:

Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$

${{U}_{2}}=ar=162$

$\log {{U}_{2}}+\log {{U}_{3}}+\log {{U}_{4}}=3\log 2+3\log 3$

$\log ar+\log a{{r}^{2}}+\log a{{r}^{3}}=3(\log 2+\log 3)$

$\log ar.a{{r}^{2}}.a{{r}^{3}}=3(\log 2.3)$

$\log {{a}^{3}}{{r}^{6}}=3.\log 6$

$\log {{(a{{r}^{2}})}^{3}}=\log {{6}^{3}}$

$a{{r}^{2}}=6={{U}_{3}}$

Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 7

Sistem persamaan linear:

$2x\sin a+y\cos a=-2$

$2x\cos a-y\sin a=2$

Mempunyai solusi $\left( \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right)$ = …

A. $\left[ \begin{matrix}   \sin a+\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$

B. $\left[ \begin{matrix}   -\sin a+\cos a  \\   2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$

C. $\left[ \begin{matrix}   \sin a-\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$

D. $\left[ \begin{matrix}   -\sin a+\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$

E. $\left[ \begin{matrix}   -\sin a+\cos a  \\   -2\cos a+2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$

Pembahasan:

$2x\sin a+y\cos a=-2$

$2x\cos a-y\sin a=2$

Bentuk matriks:

$\left[ \begin{matrix}   2\sin a & \cos a  \\   2\cos a & -\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]={{\left[ \begin{matrix}   2\sin a & \cos a  \\   2\cos a & -\sin a  \\ \end{matrix} \right]}^{-1}}\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{-2{{\sin }^{2}}a-2{{\cos }^{2}}a}\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{-2({{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a)}\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{-2.1}\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   -2  \\   2  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   -\sin a & -\cos a  \\   -2\cos a & 2\sin a  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   1  \\   -1  \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix}   x  \\   y  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   \sin a+\cos a  \\   -2\cos a-2\sin a  \\ \end{matrix} \right]$

Kunci: A

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 8

Untuk bilangan $a > 1$, jika $p=\frac{x}{{{a}^{3}}}$ maka nilai semua $x$ yang memenuhi $\frac{{}^{p}\log a}{{}^{a}\log x-4} < 0$ adalah …

A. ${{a}^{-3}} < x < {{a}^{4}}$

B. ${{a}^{3}} < x < {{a}^{4}}$

C. ${{a}^{-4}} < x < {{a}^{3}}$

D. ${{a}^{-2}} < x < {{a}^{2}}$

E. $a < x < {{a}^{4}}$

Pembahasan:

$p=\frac{x}{{{a}^{3}}}=x.{{a}^{-3}}$

$\frac{{}^{p}\log a}{{}^{a}\log x-4} < 0$

$\frac{1}{{}^{a}\log p({}^{a}\log x-4)} < 0$

$\frac{1}{{}^{a}\log x{{a}^{-3}}({}^{a}\log x-4)} < 0$

$\frac{1}{({}^{a}\log x+{}^{a}\log {{a}^{-3}})({}^{a}\log x-4)} < 0$

$({}^{a}\log x-3)({}^{a}\log x-4) < 0$

$3 < {}^{a}\log x < 4$

${{a}^{3}} < x < {{a}^{4}}$

Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 9

Jika $f(x)=\frac{8{{x}^{2}}}{{{(4-x)}^{2}}}$ maka nilai $\frac{f'(2)}{f(2)}$ = …

A. 3   B. 2   C. 3/2   D. 1/2   E. 0

Pembahasan:

$f(x)=\frac{8{{x}^{2}}}{{{(4-x)}^{2}}}=\frac{u}{v}$

$f(2)=\frac{{{8.2}^{2}}}{{{(4-2)}^{2}}}=8$

$f'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$

$f'(x)=\frac{16x{{(4-x)}^{2}}-(-2x-8).8{{x}^{2}}}{{{(4-x)}^{4}}}$

$f'(2)=\frac{16.2{{(4-2)}^{2}}-(-2.2-8){{.8.2}^{2}}}{{{(4-2)}^{4}}}$

$f'(2)=\frac{128+384}{16}=32$

$\frac{f'(2)}{f(2)}=\frac{32}{8}=4$

Kunci: E

Matematika DASAR UM-UGM 2017 No. 10

Garis singgung kurva $y=15\frac{x-1}{x+k}$ di titik $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ dengan ${{x}_{0}}=k+1$ memotong sumbu X di $\left( \frac{1}{2},0 \right)$. Nilai ${{y}_{0}}$ = …

A. 0   B. 1   C. 5   D. 45/2   E. 45

Pembahasan:

$y=15\frac{x-1}{x+k}$

${{x}_{0}}=k+1$ maka ${{y}_{0}}=\frac{15k}{2k+1}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{15(x+k)-15(x-1)}{{{(x+k)}^{2}}}=\frac{15(k+1)}{{{(x+k)}^{2}}}$

$m={{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x=k+1}}$

$m=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}$

Persamaan garis singgung:

$y-\frac{15k}{2k+1}=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}\{x-(k+1)\}$

Memotong sumbu X di $\left( \frac{1}{2},0 \right)$.

$0-\frac{15k}{2k+1}=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}\left\{ \frac{1}{2}-(k+1) \right\}$

$-\frac{15k}{2k+1}=\frac{15(k+1)}{{{(2k+1)}^{2}}}.\frac{-(2k+1)}{2}$

$\frac{k}{1}=\frac{(k+1)}{1}.\frac{1}{2}$

$2k=k+1\Leftrightarrow k=1$

${{y}_{0}}=\frac{15k}{2k+1}$

${{y}_{0}}=\frac{15.1}{2.1+1}=5$

Kunci: C
Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2017 Kode 824 No.11-20

Cara Membuat Bingkai Paragraf-Tulisan di Blog

Hai semua...! Sudah lama juga nih tidak berbagi tutorial blog. Berikut ini adalah tutorial sederhana dan sangat mudah diterapkan, cukup copas, edit sedikit (jika ingin sesuai selera), jadi deh. Tutorial apakah gerangan....? Pasti teman-teman telah mengetahuinya, tuh judulnya kan ada .. hehehe yaitu Cara Membuat Bingkai Tulisan, tentu tujuannya adalah untuk memperindah postingan kita.

Berikut ini langkah-langkahnya:
1. Buka postingan yang sudah ada.
2. klik mode "HTML" disebelah kanan "Compose".
3. Cari salah satu paragraf atau kalimat yang ingin kita beri bingkai.
4. Copas kode html berikut:

<div style="border-radius: 10px; -moz-border-radius: 10px; -webkit-border-radius: 10px; border: 5px double #15e011; padding: 5px; max-width:100%;">
Paragraf / Tulisan Yang Ingin Diberi Bingkai
</div>

5. Klik Mode "Compose" di sebelah kiri "HTML". Tarra... jadi deh seperti ini:

Paragraf / Tulisan Yang Ingin Diberi bingkai

Warna bingkai (hijau) bisa teman-teman ganti dengan warna kesukaan masing-masing. Mau tau caranya??? Coba cari kode #15e011 itu adalah kode warna bingkai, silahkan diganti dengan kode warna lain yang dapat dilihat di Daftar Kode Warna.

Selamat berkreasi dan bereksperimen ya...! Jika ada masalah atau berhasil menerapkannya silahkan berdiskusi di kolom komentar yang tersedia...! Terima kasih.
Baca juga tutorial lainnya di Kumpulan Tutorial.

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2016 Kode 371

Banyak siswa-siswi saya yang bertanya: "Bapak, Soal dan Pembahasan matematika dasar UM-UGM ada tidak? Saya kan jurusan IPS..". Betul, untuk yang jurusan IPS sangat perlu pembahasan matematika dasarnya. Untuk itu saya pilihlah judul postingan ini: Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2016 Kode 371.

Matematika Dasar UM-UGM 2016 No. 1
Jika $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{30}}{12}$, maka $a+b+c$ = …
A. 0   B. 1   C. 2   D. 3   E. 4
Pembahasan:
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
$=\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}\times \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}$
$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2}}-{{(\sqrt{5})}^{2}}}$
$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}$
$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2.6}$
$=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$
$=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{30}}{12}$
$=\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{30}}{12}$
Jadi, $a=3$, $b=2$, $c=-1$ maka: $a+b+c$ = 3 + 2 + (-1) = 4.
Kunci: E

Matematika Dasar UM-UGM 2016 No. 2
Jika ${{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}$ dan ${{b}^{2}}=ac$ , maka $x$ = …
A. $\frac{2yz}{y+z}$
B. $\frac{2yz}{2z-y}$
C. $\frac{2yz}{2y-z}$
D. $\frac{yz}{2y-z}$
E. $\frac{yz}{2z-y}$
Pembahasan:
Misalkan: ${{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=p$, maka $a={{p}^{\frac{1}{x}}}$, $b={{p}^{\frac{1}{y}}}$, dan $a={{p}^{\frac{1}{z}}}$ sehingga diperoleh:
${{b}^{2}}=ac$
${{p}^{\frac{2}{y}}}={{p}^{\frac{1}{x}}}.{{p}^{\frac{1}{z}}}$
${{p}^{\frac{2}{y}}}={{p}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}}$
$\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}$
$\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$
$\frac{2z-y}{yz}=\frac{1}{x}$
$\frac{yz}{2z-y}=x$
Kunci: E

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 3

Diketahui persamaan kuadrat:

${{x}^{2}}-2x-3=0$ … (1)

${{x}^{2}}-ax+b=0$ … (2)

Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $b$ = …

A. 4   B. 5   C. 6   D. 7   E. 8

Pembahasan:

Misal:

${{x}^{2}}-2x-3=0$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$

${{x}^{2}}-ax+b=0$ akar-akarnya ${{x}_{3}}$ dan ${{x}_{4}}$

Jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1), maka:

${{x}_{3}}+{{x}_{4}}=3({{x}_{1}}+{{x}_{2}})$

$\frac{-(-a)}{1}=3.\frac{-(-2)}{1}\Leftrightarrow a=6$

Kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka:

${{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}={{({{x}_{3}}-{{x}_{4}})}^{2}}$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-2{{x}_{3}}.{{x}_{4}}$

${{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{({{x}_{3}}+{{x}_{4}})}^{2}}-4{{x}_{3}}.{{x}_{4}}$

${{(2)}^{2}}-4.(-3)={{(a)}^{2}}-4.b$

$16={{6}^{2}}-4.b$

$-20=-4.b\Leftrightarrow 5=b$

Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 4
Diketahui parabola $y={{x}^{2}}-4x+6$ dipotong oleh garis $l$ di dua titik berbeda. Jika garis $l$ melalui titik $(3,2)$ dan mempunyai gradien $m$, maka …
A. $-4 < m < 0$
B. $0 < m < 4$
C. $m < 0$ atau $m > 4$
D. $m < 1$ atau $m > 1$
E. $m < -4$ atau $m > 1$
Pembahasan:
Persamaan garis $l$ melalui titik $(3,2)$dan bergradien $m$ adalah:
$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$
$y-2=m(x-3)$
$y=mx-3n+2$
Memotong parabola $y={{x}^{2}}-4x+6$, maka:
$y=y$
${{x}^{2}}-4x+6=mx-3m+2$
${{x}^{2}}-(4+m)x+3m+4=0$
Syarat memotong D > 0, maka:
$D={{b}^{2}}-4ac > 0$
${{[-(4+m)]}^{2}}-4.1.(3m+4) > 0$
$16+8m+{{m}^{2}}-12m-16 > 0$
${{m}^{2}}-4m > 0$
$m(m-4) > 0$
$m=0$ atau $m=4$
Dengan garis bilangan diperoleh:
$m < 0$ atau $m > 4$
Kunci: C

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 5
Jika $(x,y)$ adalah salah satu solusi sistem persamaan ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x+39=0$, ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$ maka $x+y$ = ….
A. 9   B. 6   C. 5   D. -1   E. -3
Pembahasan:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x+39=0$
${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$
--------------------------- (+)
$2{{x}^{2}}-16x+30=0$
${{x}^{2}}-8x+15=0$
$(x-3)(x-5)=0$
$x=3$ atau $x=5$
${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$
Jika $x=3$ maka:
${{3}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0\Leftrightarrow y=0$
Jika $x=5$ maka:
${{5}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$
$16={{y}^{2}}\Leftrightarrow y=\pm 4$
Solusi dari persamaan tersebut adalah:
$(3,0)\Rightarrow x+y=3$
$(5,4)\Rightarrow x+y=9$
$(5,-4)\Rightarrow x+y=1$
Kunci: A

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 6
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{1+\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}-x} > 0$ adalah …
A. $-2\le x < 0$ atau $1 < x\le 2$
B. $-2 < x < 0$ atau $1 < x < 2$
C. $-2\le x < -1$ atau $0 < x\le 2$
D. $x < 0$ atau $x > 1$
E. $0 < x < 1$
Pembahasan:
Syarat agar $\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ terdefinisi adalah:
$4-{{x}^{2}}\ge 0$
${{x}^{2}}-4\le 0$
$(x+2)(x-2)\le 0$
$x=-2$ atau $x=2$ (pembuat nol), maka:
$-2\le x\le 2$ … (1)
$\frac{1+\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}-x} > 0$, karena $1+\sqrt{4-{{x}^{2}}} > 0$, maka:
${{x}^{2}}-x > 0$
$x(x-1) > 0$
$x=0$ atau $x=1$ (pembuat nol), maka:
$x < 0$ atau $x > 1$ … (2)
HP adalah irisan (1) dan (2)
$-2\le x < 0$ atau $1 < x\le 2$
Kunci: A

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 7

Pada gambar di bawah ini, daerah yang diarsir memenuhi sistem pertidaksamaan …

A. $y\ge 0$, $2y-x\le 1$, $x+y\le 4$
B. $y\ge 0$, $2y-x\le 2$, $x+y\le 4$
C. $y\ge 0$, $2y-x\ge 2$, $x+y\le 4$
D. $y\ge 0$, $2y+x\le 2$, $x+y\ge 4$
E. $y\ge 0$, $2y+x\le 2$, $x+y\le 4$
Pembahasan:
Daerah penyelesaian terletak di atas sumbu X, maka $y\ge 0$.
Daerah penyelesaian terletak di sebelah kanan garis yang melalui titik (0,1) dan (-2,0) maka: $x-2y\ge 1.(-2)$ atau $2y-x\le 2$.
Daerah penyelesaian terletak di sebelah kiri garis yang melalui titik (0,4) dan (4,0) maka: $4x+4y\le 4.4$ atau $x+y\le 4$.
Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 8

Jika jumlah suku ke-1 dan ke-3 deret geometri adalah -5 dan suku ke-2 dikurangi suku ke-3 sama dengan 6, maka jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 deret tersebut adalah …

A. -18 atau -12

B. -9 atau -4

C. 18 atau 12

D. 9 atau 4

E. 18 atau 4

Pembahasan:

Deret Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$ 

$\frac{{{U}_{3}}+{{U}_{1}}}{{{U}_{2}}-{{U}_{3}}}=\frac{-5}{6}$

$\frac{a{{r}^{2}}+a}{ar-a{{r}^{2}}}=\frac{-5}{6}$

$\frac{{{r}^{2}}+1}{r-{{r}^{2}}}=\frac{-5}{6}$

$6{{r}^{2}}+6=-5r+5{{r}^{2}}$

${{r}^{2}}+5r+6=0$

$(r+2)(r+3)=0$

$r=-2$ atau $r=-3$

${{U}_{3}}+{{U}_{1}}=-5\Leftrightarrow a{{r}^{2}}+a=-5$

$a({{r}^{2}}+1)=-5$

$a=\frac{-5}{{{r}^{2}}+1}$

Untuk $r=-2$ maka $a=\frac{-5}{{{(-2)}^{2}}+1}=-1$, maka:

${{U}_{3}}+{{U}_{4}}=a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}$ 

$=(-1).{{(-2)}^{2}}+(-1).{{(-2)}^{3}}=4$

Untuk $r=-3$ maka $a=\frac{-5}{{{(-3)}^{2}}+1}=\frac{-1}{2}$, maka:

${{U}_{3}}+{{U}_{4}}=a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}$ 

$=\frac{-1}{2}.{{(-3)}^{2}}+\frac{-1}{2}.{{(-3)}^{3}}=9$

Kunci: D

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 9
Diketahui barisan geometri dengan jumlah suku ke-1 dan ke-3 adalah 100 dan jumlah suku ke-2 dan ke-4 adalah 75, maka suku pertama barisan tersebut adalah …
A. 24   B. 27   C. 36   D. 48   E. 64
Pembahasan:
Barisan geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$
$\frac{{{U}_{2}}+{{U}_{4}}}{{{U}_{1}}+{{U}_{3}}}=\frac{75}{100}$
$\frac{ar+a{{r}^{3}}}{a+a{{r}^{2}}}=\frac{3}{4}$
$\frac{r(a+a{{r}^{2}})}{(a+a{{r}^{2}})}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow r=\frac{3}{4}$
${{U}_{1}}+{{U}_{3}}=100$
$a+a{{r}^{2}}=100$
$a+a{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}=100$
$a+\frac{9a}{16}=100$
$\frac{25a}{16}=100$
$a=64$
Kunci: E

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 10
Jika A memenuhi $\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]A+\left[ \begin{matrix}   -1 & -2  \\   0 & -1  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   -1 & 0  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]$, maka det(A) = …
A. 0   B. $-\frac{1}{2}$   C. $-1$   D. $-2$   E. $-3$
Pembahasan:
$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]A+\left[ \begin{matrix}   -1 & -2  \\   0 & -1  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   -1 & 0  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]A=\left[ \begin{matrix}   -1 & 0  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}   -1 & -2  \\   0 & -1  \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right]A=\left[ \begin{matrix}   0 & 2  \\   1 & 2  \\ \end{matrix} \right]$
$\left| \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 1  \\ \end{matrix} \right||A|=\left| \begin{matrix}   0 & 2  \\   1 & 2  \\ \end{matrix} \right|$
$1.|A|=-2$
$|A|=-2$
Kunci: D

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 11
Mimi mendapatkan nilai rata-rata 6 untuk 3 kali ulangan matematika, nilai rata-rata 7 untuk 3 kali ulangan Biologi dan nilai rata-rata 8 untuk 4 kali ulangan Bahasa Inggris, dan masih ada 5 ulangan lagi dari ketiga pelajaran tersebut yang akan diikuti oleh Mimi. Agar Mimi mendapatkan nilai rata-rata untuk tiga mata pelajaran minimal 7,2, maka Mimi harus mendapatkan nilai rata-rata 5 ulangan minimal …
A. 7,2   B. 7,3   C. 7,4   D. 7,5   E. 7,6
Pembahasan:
Misalkan: p = nilai rata-rata 5 ulangan terakhir, maka:
${{n}_{1}}.{{\bar{x}}_{1}}+{{n}_{2}}.{{\bar{x}}_{2}}+{{n}_{3}}.{{\bar{x}}_{3}}+{{n}_{4}}.{{\bar{x}}_{4}}\ge ({{n}_{1}}+{{n}_{2}}+{{n}_{3}}+{{n}_{4}}).{{\bar{x}}_{Total}}$
$6.3+7.3+8.4+5.p\ge (3+3+4+5).7,2$
$18+21+32+5p\ge 15\times 7,2$
$71+5p\ge 108$
$5p\ge 108-71$
$5p\ge 37$
$p\ge 7,4$
Kunci: C

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 12

Jika ${{\cos }^{2}}x=\sqrt{3}\sin x$ maka $\sin x$ = …
A. $\frac{1-2\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$
E. $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
Pembahasan: 
${{\cos }^{2}}x=\sqrt{3}\sin x$, terlihat $\sin x$ harus positif, maka:
$1-{{\sin }^{2}}x=\sqrt{3}\sin x$
${{\sin }^{2}}x+\sqrt{3}\sin x-1=0$
Dengan rumus abc:
$\sin x=\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$
$\sin x=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{{{(\sqrt{3})}^{2}}-4.1.(-1)}}{2.1}$
$\sin x=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
Kunci: E

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 13

Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari 0, 1, 3, 5, 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak boleh nol, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah …

A. 48   B. 72   C. 96   D. 108   E. 120

Pembahasan:

Jika digit terakhir dipilih angka 1, maka:

ABC1, untuk memilih angka pada A ada 3 kemungkinan yaitu (3, 5, 7) dan untuk BC angka 0 digunakan. Diperoleh: 3 x 3 x 2 = 18 kupon.

Jika digit terakhir dipillih angka 2, maka:

ABC3, dengan cara yang sama sebelumnya diperoleh: 3 x 3 x 2 = 18 kupon.

Jika digit terakhir dipilih angka 5, maka:

ABC5, diperoleh: 3 x 3 2 = 18 kupon.

Jika digit terakhir dipilih angka 7, maka:

ABC7, diperoleh: 3 x 3 x 2 = 18 kupon.

Seluruhnya = 18 + 18 + 18 + 18 = 72 kupon.

Kunci: B

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 14

Diberikan fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x-2)=3{{x}^{2}}-16x+26$ dan $g(x)=ax-1$. Jika $(f\circ g)(3)=61$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah …

A. -2   B. $\frac{8}{9}$   C. $\frac{9}{8}$   D. 2   E. 4

Pembahasan:

$f(x-2)=3{{x}^{2}}-16x+26$,

$f(x)=3{{(x+2)}^{2}}-16(x+2)+26$

$f(x)=3{{x}^{2}}-4x+6$

$(f\circ g)(3)=61$

$f(g(3))=61$

$f(3a-1)=61$

$3{{(3a-1)}^{2}}-4(3a-1)+6=61$

$3(9{{a}^{2}}-6a+1)-12a+4+6-61=0$

$27{{a}^{2}}-18a+3-12a-51=0$

$27{{a}^{2}}-30a-48=0$

$9{{a}^{2}}-10a-16=0$

$(9a+8)(a-2)=0$

$a=-\frac{8}{9}$ atau $a=2$

Kunci: D

Matematika DASAR UM-UGM 2016 No. 15

Jika $\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}+3x+2}=-4$, maka nilai $a+b$ adalah …

A. -1   B. -2   C. -3   D. -4   E. -5

Pembahasan:

$\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}+3x+2}=-4$

$x=-1\Rightarrow {{x}^{2}}+ax+b=0$

${{(-1)}^{2}}+a(-1)+b=0$

$b=a-1$

$\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}+3x+2}=-4$ dengan aturan L’Hopital.

$\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+a}{2x+3}=-4$

$\frac{2(-1)+a}{2(-1)+3}=-4$

$a-2=-4$

$a=-2$

$b=a-1=-2-1\Leftrightarrow b=-3$

$a+b=-2+(-3)=-5$

Kunci: E

Matematika Dasar UM-UGM 2016 No. 16

Garis lurus yang menyinggung kurva $y=\sqrt[3]{6-x}$ di titik $x=-2$ akan memotong sumbu X di titik …

A. (18,0)   B. (19,0)   C. (20,0)   D. (21,0)   E. (22,0)

Pembahasan:

$x=-2$, maka:

$y=\sqrt[3]{6-x}\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{6-(-2)}=2$

Titik singgung (-2,2)

$y=\sqrt[3]{6-x}$

$y={{(6-x)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}{{(6-x)}^{\frac{1}{3}-1}}.(-1)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{3}{{(6-x)}^{-\frac{2}{3}}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{3\sqrt[3]{{{(6-x)}^{2}}}}$

$m={{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x=-2}}$

$=\frac{-1}{3\sqrt[3]{{{(6-(-2))}^{2}}}}$

$=\frac{-1}{3{{\left( \sqrt[3]{8} \right)}^{2}}}$

$m=\frac{-1}{12}$

Persamaan garis singgung melalui titik (-2,2) dan $m=\frac{-1}{12}$ adalah:

$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

$y-2=-\frac{1}{12}(x+2)$

Memotong sumbu X, maka y = 0,

$0-2=-\frac{1}{12}(x+2)$

$24=x+2\Leftrightarrow 22=x$

Jadi, garis memotong sumbu X di titik (22,0).

Kunci: E

Matematika Dasar UM-UGM 2016 No. 17

Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4,3) dengan sumbu-sumbu ordinat adalah …

A. 12   B. 16   C. 20   D. 24   E. 26

Pembahasan:

Asumsikan garis memotong sumbu Y ditik (0,a) dan memotong sumbu X di titik (b,0), diperoleh persamaan garis: ax + by = ab melalui titik (4,3) maka:

$4a+3b=ab$

$4a=b(a-3)$

$\frac{4a}{a-3}=b$

Luas segitiga adalah:

$L=\frac{1}{2}a.\frac{4a}{a-3}$

$L=\frac{2{{a}^{2}}}{a-3}$

$L'=0$

$\frac{4a(a-3)-1.2{{a}^{2}}}{{{(a-3)}^{2}}}=0$

$\frac{2{{a}^{2}}-12a}{{{(a-3)}^{2}}}=0$

$2{{a}^{2}}-12a=0$

$2a(a-6)=0$

$a=0$ (TM) atau $a=6$ (Memenuhi)

$L=\frac{2{{a}^{2}}}{a-3}=\frac{{{2.6}^{2}}}{6-3}=24$

Kunci: D

Matematika Dasar UM-UGM 2016 No. 18

Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan:

$\left( {}^{2}\log (x+6) \right)\left( {}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 \right)+{}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 > 3$

Berada pada …

A. $-3 < x < -2$ atau $2 < x < 5$

B. $-5 < x < -2$ atau $2 < x <3 div="">

C. $-3 < x <- 5="" atau="" div="" sqrt="" x="">

D. $x < -2$ atau $x > 2$

E. $2 < x < 5$

Pembahasan:

Syarat:

(i) $x+6 > 0\Leftrightarrow x > -6$

(ii) $0 < {{x}^{2}}-3 < 1$

$3 < {{x}^{2}} < 4$

$-2 < x < -\sqrt{3}$ atau $\sqrt{3} < x < 2$

Atau ${{x}^{2}}-3 > 1$

${{x}^{2}}-4 > 0$

$(x+2)(x-2) > 0$

$x < -2$ atau $x > 2$

Dari pertidaksamaan:

$\left( {}^{2}\log (x+6) \right)\left( {}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 \right)+{}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 > 3$

${}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8.\left( {}^{2}\log (x+6)+1 \right) > 3$

${}^{({{x}^{2}}-3)}\log {{2}^{3}}.\left( {}^{2}\log (x+6)+{}^{2}\log 2 \right) > 3$

$3.{}^{({{x}^{2}}-3)}\log 2.{}^{2}\log (2x+12) > 3$

${}^{({{x}^{2}}-3)}\log (2x+12) > 1$

Jika ${{x}^{2}}-3 > 1$, maka:

${}^{({{x}^{2}}-3)}\log (2x+12) > 1$

$2x+12 > {{x}^{2}}-3$

$0 > {{x}^{2}}-3-12-2x$

${{x}^{2}}-2x-15 < 0$

$(x+3)(x-5) < 0$

$-3 < x < 5$

Irisan dari $x < -2$ atau $x > 2$ dan $-3 < x < 5$ adalah $-3 < x < -2$ atau $2 < x < 5$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2016 No. 19

Titik ${{P}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}})$, ${{P}_{2}}({{x}_{2}},{{y}_{2}})$, …, ${{P}_{10}}({{x}_{10}},{{y}_{10}})$ dilalui oleh garis $g$ yang mempunyai persamaan $y+2x-3=0$. Bilangan-bilangan ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, …, ${{x}_{10}}$ membentuk barisan aritmetika. Jika ${{x}_{10}}$ = 2 dan ${{y}_{5}}$ = 7, maka ${{y}_{7}}$ = … 

A. $\frac{19}{5}$   B. $\frac{17}{5}$   C. $\frac{15}{5}$   D. $\frac{13}{5}$   E. $\frac{11}{5}$

Pembahasan:

Garis $y+2x-3=0\Leftrightarrow y=3-2x$ melalui titik ${{P}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}})$, ${{P}_{2}}({{x}_{2}},{{y}_{2}})$, …, ${{P}_{10}}({{x}_{10}},{{y}_{10}})$, maka berlaku:

${{y}_{i}}=3-2{{x}_{i}}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, .., 10. 

Barisan aritmetika: ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, …, ${{x}_{10}}$, maka:

${{x}_{10}}={{x}_{5}}+5b$

$2={{x}_{5}}+5b\Leftrightarrow 2-5b={{x}_{5}}$

${{y}_{i}}=3-2{{x}_{i}}$

${{y}_{5}}=3-2{{x}_{5}}$

$7=3-2(2-5b)$

$7=3-4+10b$

$8=10b\Leftrightarrow \frac{8}{10}=b=\frac{4}{5}$

${{x}_{10}}={{x}_{7}}+3b$

$2={{x}_{7}}+3.\frac{4}{5}\Leftrightarrow 2-\frac{12}{5}={{x}_{7}}=\frac{-2}{5}$

${{y}_{i}}=3-2{{x}_{i}}$

${{y}_{7}}=3-2{{x}_{7}}$

${{y}_{7}}=3-2.\frac{-2}{5}=\frac{19}{5}$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2016 No. 20

Jika $x$ dan $y$ memenuhi ${}^{2}\log {{x}^{2}}+{}^{3}\log \frac{1}{{{y}^{3}}}=4$ dan ${}^{2}\log x+{}^{3}\log {{y}^{4}}=13$, maka ${}^{4}\log x-{}^{y}\log 9$ = …

A. -2   B. -1  C. 1/2   D. 1   E. 3/2

Pembahasan:

${}^{2}\log {{x}^{2}}+{}^{3}\log \frac{1}{{{y}^{3}}}=4$

${}^{2}\log {{x}^{2}}+{}^{3}\log {{y}^{-3}}=4$

$2.{}^{2}\log x-3.{}^{3}\log y=4$ … (1)

${}^{2}\log x+{}^{3}\log {{y}^{4}}=13$

${}^{2}\log x+4.{}^{3}\log y=13$ … (2) kali 2

$2.{}^{2}\log x+8.{}^{3}\log y=26$

$2.{}^{2}\log x-3.{}^{3}\log y=4$

------------------------------- (-)

$11.{}^{3}\log y=22$

${}^{3}\log y=2\Leftrightarrow y={{3}^{2}}$

${}^{2}\log x+4.{}^{3}\log y=13$

${}^{2}\log x+4.{}^{3}\log {{3}^{2}}=13$

${}^{2}\log x+8=13$

${}^{2}\log x=5\Leftrightarrow x={{2}^{5}}$

${}^{4}\log x-{}^{y}\log 9={}^{{{2}^{2}}}\log {{2}^{5}}-{}^{9}\log 9$

$=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$

Kunci: E

Baca juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UM-UGM