Bank Soal: Sudut-sudut Istimewa dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Sudut-sudut Istimewa yaitu salah satu sub materi dari TRIGONOMETRI pada bidang studi Matematika Wajib Kelas 10 Kurikulum 2013.

Soal No. 1

$\sin 60{}^\circ .\cos 30{}^\circ +\cos 60{}^\circ .\sin 30{}^\circ $ = …
(A) 1
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) 0

$\sin 60{}^\circ .\cos 30{}^\circ +\cos 60{}^\circ .\sin 30{}^\circ $
= $\frac{1}{2}\sqrt{3}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$
= $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}$
= 1
Jawaban: A

Soal No. 2

$\cos 60{}^\circ .\cos 30{}^\circ -\sin 60{}^\circ .\sin 30{}^\circ $ = ….
(A) 0
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
(D) $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
(E) $\sqrt{3}$

$\cos 60{}^\circ .\cos 30{}^\circ -\sin 60{}^\circ .\sin 30{}^\circ $
= $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}.\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$
= 0
Jawaban: A

Soal No. 3

$\frac{{{\tan }^{2}}30{}^\circ .{{\sin }^{2}}60{}^\circ +{{\tan }^{2}}60{}^\circ .{{\cos }^{2}}30{}^\circ }{\sin 30{}^\circ .\cos 60{}^\circ }$= ….
(A) 10
(B) 5
(C) 3
(D) 2
(E) 1

$\frac{{{\tan }^{2}}30{}^\circ .{{\sin }^{2}}60{}^\circ +{{\tan }^{2}}60{}^\circ .{{\cos }^{2}}30{}^\circ }{\sin 30{}^\circ .\cos 60{}^\circ }$
= $\frac{{{\left( \frac{1}{3}\sqrt{3} \right)}^{2}}{{\left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}{{\left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right)}^{2}}}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}$
= $\frac{\frac{1}{3}.\frac{3}{4}+3.\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$
= $\frac{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}}$
= $\frac{\frac{10}{4}}{\frac{1}{4}}$ = 10
Jawaban: A

Soal No. 4

Jika $n.\tan 45{}^\circ .\cos 60{}^\circ =\sin 60{}^\circ .\cot 60{}^\circ $, maka nilai $n$ adalah …
(A) $\frac{1}{2}$
(B) 1
(C) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(D) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
(E) $\sqrt{3}$

$\begin{align} n.\tan 45{}^\circ .\cos 60{}^\circ &=\sin 60{}^\circ .\cot 60{}^\circ \\ n.1.\frac{1}{2} &=\frac{1}{2}\sqrt{3}.\frac{1}{\tan 60{}^\circ } \\ n &=\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}} \\ n &=1 \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 5

Pada sebuah segitiga siku-siku ABC dimana $\cos A.\cos B=\frac{1}{8}$ berlaku bahwa: $\cos A.\cos B.\cos C$ = …
(A) $-1$
(B) 0
(C) $\frac{1}{7}$
(D) $\frac{1}{8}$
(E) $\frac{1}{4}$

$\cos A.\cos B=\frac{1}{8}$ dari persamaan ini kita peroleh bahwa: $\angle A,\angle B\ne 90{}^\circ $, karena segitiga ABC adalah segitiga siku-siku maka $\angle C=90{}^\circ $.
$\begin{align} \cos A.\cos B.\cos C &=\frac{1}{8}.\cos 90{}^\circ \\ &=\frac{1}{8}.0 \\ \cos A.\cos B.\cos C &=0 \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 6

Nilai dari $\left( {{\sin }^{2}}\frac{\pi }{6}+{{\sin }^{4}}\frac{\pi }{3}+{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{2}-{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{6} \right)$ adalah ….
(A) $\frac{1}{16}$
(B) $\frac{3}{16}$
(C) $\frac{9}{16}$
(D) $\frac{11}{16}$
(E) $\frac{13}{16}$

${{\sin }^{2}}\frac{\pi }{6}+{{\sin }^{4}}\frac{\pi }{3}+{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{2}-{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{6}$
= ${{(\sin 30{}^\circ )}^{2}}+{{(\sin 60{}^\circ )}^{4}}+{{(\cos 90{}^\circ )}^{2}}-{{(\cos 30{}^\circ )}^{2}}$
= ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right)}^{4}}+{{0}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right)}^{2}}$
= $\frac{1}{4}+\frac{9}{16}-\frac{3}{4}$
= $\frac{4+9-12}{16}=\frac{1}{16}$
Jawaban: A

Soal No. 7

Jika ${{\tan }^{2}}{{45}^{\circ }}-{{\cos }^{2}}{{30}^{\circ }}=x.\sin {{45}^{\circ }}.\cos {{45}^{\circ }}$ maka nilai $x$ adalah ….
(A) $-2$
(B) $-\frac{1}{2}$
(C) $-\frac{1}{3}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) 2

$\begin{align} {{\tan }^{2}}45{}^\circ -{{\cos }^{2}}30{}^\circ &=x.\sin 45{}^\circ .\cos 45{}^\circ \\ {{1}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right)}^{2}} &=x.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 1-\frac{3}{4} &=\frac{1}{2}x \\ \frac{1}{4} &=\frac{1}{2}x \\ \frac{2}{4}= &x=\frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 8

$\frac{\cos 45{}^\circ .\cos 30{}^\circ +\sin 45{}^\circ .\sin 60{}^\circ }{\tan 30{}^\circ .\tan 60{}^\circ }$ senilai dengan ….
(A) $\frac{1}{4}\sqrt{3}$
(B) $\frac{1}{2}\sqrt{6}$
(C) 1
(D) $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
(E) 2

$\frac{\cos 45{}^\circ .\cos 30{}^\circ +\sin 45{}^\circ .\sin 60{}^\circ }{\tan 30{}^\circ .\tan 60{}^\circ }$
= $\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{3}\sqrt{3}.\sqrt{3}}$
= $\frac{\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}$
= $\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}$
= $\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
= $\frac{1}{2}\sqrt{6}$
Jawaban: B

Soal No. 9

Nilai dari $\sin 30{}^\circ +\cos 60{}^\circ $ = …
(A) $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
(B) $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
(C) 1
(D) $-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
(E) $-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\sin 30{}^\circ +\cos 60{}^\circ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
Jawaban: C

Soal No. 10 (Soal HOTS)

Tomy berdiri 100 m dari dinding gedung bertingkat, ia melihat ke puncak gedung tersebut dengan sudut elevasi $45{}^\circ $. Jika tinggi Tomy (dari kaki sampai mata) adalah 155 cm, maka tinggi gedung adalah ….
(A) 225 m
(B) 101,55 m
(C) 101 m
(D) $100\sqrt{2}$ m
(E) $50\sqrt{2}$ m

Perhatikan sketsa gambar berikut!

Pada segitiga ABC:
AB = 100 m
$\begin{align} \tan A &=\frac{BC}{AB} \\ \tan 45{}^\circ &=\frac{BC}{100} \\ 1 &=\frac{BC}{100} \\ BC &=100 \end{align}$
Tinggi gedung
= 155 cm + BC
= 1,55 m + 100 m
= 101,55 m
Jawaban: B

Soal No. 11 (Soal HOTS)

Soal HOTS. Sebuah benda membentuk bayangan di tanah dengan panjang 90 cm ketika sudut elevasi sinar matahari $30{}^\circ $ (sudut kemiringan sinar matahari terhadap horizontal). Tinggi benda tersebut adalah … cm.
(A) $90\sqrt{3}$
(B) $30\sqrt{3}$
(C) 45
(D) $45\sqrt{2}$
(E) 60

Perhatikan sketsa gambar berikut!

Tinggi benda = BC
$\begin{align} \tan A &=\frac{BC}{AB} \\ \tan 30{}^\circ &=\frac{BC}{90} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} &=\frac{BC}{90} \\ 3BC &=90\sqrt{3} \\ BC &=30\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, tinggi benda tersebut adalah $30\sqrt{3}$ cm.
Jawaban: B

Soal No. 12 (Soal HOTS)

Seorang berjalan lurus di jalan yang datar ke arah cerobong asap. Dari lokasi A, ujung cerobong itu terlihat dengan sudut elevasi $45{}^\circ $, kemudian ia berjalan lurus sejauh 10 m ke lokasi B. Dari lokasi B, cerobong asap terlihat dengan sudut elevasi $60{}^\circ $. Jika tinggi orang itu 1,6 m, maka tinggi cerobong asap adalah … meter.
(A) 15 + $5\sqrt{3}$
(B) 15 + $3\sqrt{5}$
(C) 16,6 + $5\sqrt{3}$
(D) 16,6 + $3\sqrt{5}$
(E) 16,6 + $5\sqrt{2}$

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga ADC:
$\begin{align} \tan A &=\frac{CD}{AD} \\ \tan 45{}^\circ &=\frac{CD}{AB+BD} \\ 1 &=\frac{CD}{10+BD} \\ 10+BD &=CD \\ BD &=CD-10 \end{align}$
Perhatikan segitiga BDC:
$\begin{align} \tan B &=\frac{CD}{BD} \\ \tan 60{}^\circ &=\frac{CD}{BD} \\ \sqrt{3} &=\frac{CD}{BD} \\ BD &=\frac{CD}{\sqrt{3}} \\ CD-10 &=\frac{CD}{\sqrt{3}} \\ \sqrt{3}.CD-10\sqrt{3} &=CD \\ (\sqrt{3}-1)CD &=10\sqrt{3} \\ CD &=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\ CD &=\frac{30+10\sqrt{3}}{3-1} \\ CD &=15+5\sqrt{3} \end{align}$
Tinggi cerobong asap:
= CD + 1,6 m
= 15 + $5\sqrt{3}$ + 1,6
= 16,6 + $5\sqrt{3}$
Jawaban: C

Soal No. 13 (Soal HOTS)

Seorang anak berdiri di suatu tempat A di tepi sungai yang lurus. Ia mengamati dua pohon B dan C yang berada di seberang sungai. Pohon B tepat di seberang A. Jarak pohon B dan C adalah $2\sqrt{3}$ meter dan besar sudut BAC = $30{}^\circ $, lebar sungai adalah … meter.
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) $6\sqrt{2}$
(E) $6\sqrt{3}$

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga BAC:
$\begin{align} \tan A &=\frac{BC}{AB} \\ \tan 30{}^\circ &=\frac{2\sqrt{3}}{AB} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{2\sqrt{3}}{AB} \\ AB &=6 \end{align}$
Jadi, lebar sungai = AB = 6 meter.
Jawaban: C

Soal No. 14 (Soal HOTS)

Panjang benang layang-layang adalah 150 m dan sudut elevasi layang-layang terhadap tanah adalah $60{}^\circ $. Tinggi layang-layang terhadap tanah adalah … meter.
(A) $\frac{75}{2}\sqrt{2}$
(B) $\frac{75}{2}\sqrt{3}$
(C) 75
(D) $75\sqrt{2}$
(E) $75\sqrt{3}$

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga ABC:
$\begin{align} \sin A &=\frac{BC}{AC} \\ \sin 60{}^\circ &=\frac{BC}{150} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &=\frac{BC}{150} \\ BC &=75\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, tinggi layang-layang terhadap tanah adalah $75\sqrt{3}$ meter.
Jawaban: E

Soal No. 15 (Soal HOTS)

Sebuah pesawat terbang berada pada ketinggian 1,8 km akan melakukan manuver dengan menanjak membentuk sudut $30{}^\circ $. Lama waktu yang diperlukan pesawat agar ketinggiannya 5 km, bila kecepatan pesawat tetap 320 km/jam adalah … detik.
(A) 9
(B) 18
(C) 36
(D) 72
(E) 144

Perhatikan gambar berikut!

AD = BE = 1,8 km
EC = BC – BE = 5 – 1,8 = 3,2 km
Perhatikan segitiga DEC:
$\begin{align} \sin D &=\frac{CE}{DC} \\ \sin 30{}^\circ &=\frac{3,2}{DC} \\ \frac{1}{2} &=\frac{3,2}{DC} \\ DC &=6,4 \end{align}$
DC = jarak tempuh pesawat = 6,4 dan v = 320 km/jam maka:
$\begin{align} t &=\frac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}} \\ & =\frac{6,4}{320}\text{jam} \\ & =\frac{64}{3200}\text{jam} \\ & =\frac{1}{50}\,\text{jam} \\ & =\frac{1}{50}\times 3600\,\text{detik} \\ t &=72\,\text{detik} \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 16 (Soal HOTS)

Dari puncak gedung bertingkat Johan melihat pantai dengan sudut depresi $30{}^\circ $. Kemudian Johan naik sejauh 100 meter dan melihat kembali pantai dengan sudut depresi $60{}^\circ $. Jarak gedung ke pantai adalah … meter.
(A) 20
(B) 25
(C) 50
(D) $50\sqrt{2}$
(E) $50\sqrt{3}$

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga ADB:
$\begin{align} \angle D &=\angle ADB \\ &=90{}^\circ -60{}^\circ \\ \angle D &=30{}^\circ \end{align}$
$\begin{align}\tan D &=\frac{AB}{DA} \\ \tan 30{}^\circ &=\frac{AB}{DC+CA} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{AB}{100+CA} \\ 100+CA &=\sqrt{3}.AB \\ CA &=\sqrt{3}.AB-100 \end{align}$
Perhatikan segitiga CAB:
$\begin{align} \angle C &=\angle ACB \\ &=90{}^\circ -30{}^\circ \\ \angle C &=60{}^\circ \end{align}$
$\begin{align} \tan C &=\frac{AB}{CA} \\ \tan 60{}^\circ &=\frac{AB}{CA} \\ \sqrt{3} &=\frac{AB}{CA} \\ \sqrt{3}.CA &=AB \\ CA &=\frac{AB}{\sqrt{3}} \\ \sqrt{3}AB-100 &=\frac{AB}{\sqrt{3}} \\ 3AB-100\sqrt{3} &=AB \\ 2AB &=100\sqrt{3} \\ AB &=50\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, jarak gedung ke pantai adalah $50\sqrt{3}$ m.
Jawaban: E

Soal No. 17 (Soal HOTS)

Seorang anak tingginya 1,63 meter berdiri pada jarak 15 meter dari kaki tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut $45{}^\circ $ dengan arah mendatar, maka tinggi tiang bendera itu adalah … meter.
(A) 15
(B) $15\sqrt{2}$
(C) 16,63
(D) 16,63$\sqrt{2}$
(E) 18,63

Perhatikan sketsa gambar berikut!

Pada segitiga ABC:
AB = 15 m
$\begin{align} \tan A &=\frac{BC}{AB} \\ \tan 45{}^\circ &=\frac{BC}{15} \\ 1 &=\frac{BC}{15} \\ BC &=15 \end{align}$
Tinggi tiang bendera
= 1,63 cm + BC
= 1,63 m + 15 m
= 16,63 m
Jawaban: C

Share :