Fungsi Tangga (Fungsi Ceiling dan Fungsi Floor)

A. Definisi Fungsi Tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang bernilai konstan pada interval-interval dimana ia didefinisikan.
Contoh dari fungsi tangga yang memenuhi definisi tersebut adalah fungsi atap (ceiling fucntion) dan fungsi lantai (floor function). Fungsi tangga juga merupakan bagian dari fungsi sepenggal (piecewise function).
Grafik fungsi tangga berbentuk interval-interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh 1.
Diketahui $f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1,\,\text{jika}\,x\le -1 \\ 0,\,\text{jika}\,-1 <x\le 2 \\ 2,\,\text{jika}\,2 <x\le 4 \\ 3,\,\text{jika}\,x >4 \\ \end{array} \right.$
Tentukan:
a. $f(-2)$
b. $f(0)$
c. $f(3)$
d. $f(5)$
e. Gambar grafiknya
Penyelesaian:
a. $f(-2)=-1$
b. $f(0)$ = 0
c. $f(3)$ = 2
d. $f(5)$ = 3
e. Grafiknya

B. Fungsi Atap (Ceiling Function)

Definisi Fungsi Atap (Ceiling Function)
Fungsi $f$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), atau disebut fungsi bilangan bulat terkecil (least integer fucntion), jika fungsi tersebut memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x$, secara matematis dapat ditulis:
$f(x)=\left\lceil x \right\rceil =\min \{m\in \mathbb{Z}|m\ge x\}$

Contoh 2.
Tentukan nilai dari $\left\lceil 4,102 \right\rceil $, $\left\lceil -\frac{17}{4} \right\rceil $, dan $\left\lceil -4 \right\rceil $
Penyelesaian:
$\left\lceil 4,102 \right\rceil =5$, karena 5 merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada 4,102.
$\left\lceil -\frac{17}{4} \right\rceil =\left\lceil -4,25 \right\rceil =-4$, karena $-4$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada $-4,25$.
$\left\lceil -4 \right\rceil =-4$, karena $-4$ merupakan bilangan bulat.

Contoh 3. OSN-K SMP 2016
Misalkan $\left\lceil x \right\rceil $ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x$. Jika $x=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1002}+\frac{3}{1003}+...+\frac{10}{1010}}$ maka $\left\lceil x \right\rceil $ = ….
Penyelesaian:
Nilai minimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align}x &= \frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1002}+\frac{3}{1003}+...+\frac{10}{1010}} \\ &= \frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+\frac{3}{1001}+...+\frac{10}{1001}} \\ &= \frac{2}{\frac{(1+2+3+...+10)}{1001}} \\ &= \frac{2}{\frac{55}{1001}} \\ &= \frac{2002}{55} \\ x &= 36,4 \end{align}$
Nilai maksimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align}x &= \frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1002}+\frac{3}{1003}+...+\frac{10}{1010}} \\ &= \frac{2}{\frac{1}{1010}+\frac{2}{1010}+\frac{3}{1010}+...+\frac{10}{1010}} \\ &= \frac{2}{\frac{(1+2+3+...+10)}{1010}} \\ &= \frac{2}{\frac{55}{1010}} \\ &= \frac{2020}{55} \\ x &= 36,7 \end{align}$
diperoleh $36,4\le x\le 36,7$
jadi, $\left\lceil x \right\rceil =37$

Sifat-sifat Fungsi Atap Misalkan $x$ merupakan bilangan real dan $n$ merupakan bilangan bulat.
1.	$\left\lceil x \right\rceil =x$ jika $x$ bulat
2.	$x\le \left\lceil x \right\rceil <x+1$
3.	$\left\lceil x \right\rceil =n\leftrightarrow n-1 <x\le n$
4.	$n <\left\lceil x \right\rceil \leftrightarrow n <x$
5.	$\left\lceil x \right\rceil \le n\leftrightarrow x\le n$
6.	$\left\lceil x+n \right\rceil =\left\lceil x \right\rceil +n$
7.	$\left\lceil x \right\rceil +\left\lceil y \right\rceil \ge \left\lceil x+y \right\rceil $
8.	$\left\lceil xy \right\rceil \ge \left\lceil x \right\rceil .\left\lceil y \right\rceil $

C. Fungsi Lantai (Floor Function)

Definisi Fungsi Atap (Floor Function)
Fungsi $f$ dikatakan fungsi lantai (floor function), atau disebut fungsi bilangan bulat terbesar (greatest integer fucntion), jika fungsi tersebut memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan $x$, secara matematis dapat ditulis:
$f(x)=\left\lfloor x \right\rfloor =\max \{m\in \mathbb{Z}|m\ge x\}$
Contoh 4.
Tentukan nilai dari $\left\lfloor 4,98 \right\rfloor $, $\left\lfloor -\frac{11}{5} \right\rfloor =-3$, dan $\left\lfloor -2 \right\rfloor $.
Penyelesaian:
$\left\lfloor 4,98 \right\rfloor =4$, karena 4 merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 4,98.
$\left\lfloor -\frac{11}{5} \right\rfloor =\left\lfloor -2,2 \right\rfloor =-3$, karena $-3$ merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari $-2,2$.
$\left\lfloor -2 \right\rfloor =-2$, karena $-2$ merupakan bilangan bulat.

Sifat-sifat Fungsi Lantai Misalkan $x$ merupakan bilangan real dan $n$ merupakan bilangan bulat.
1.	$\left\lfloor x \right\rfloor =x$ jika $x$ bulat
2.	$x-1 <\left\lfloor x \right\rfloor \le x$
3.	$\left\lfloor x \right\rfloor =n\leftrightarrow n\le x <n+1$
4.	$\left\lfloor x \right\rfloor <n\leftrightarrow x <n$
5.	$n\le \left\lfloor x \right\rfloor \leftrightarrow n\le x$
6.	$\left\lfloor x+n \right\rfloor =\left\lfloor x \right\rfloor +n$
7.	$\left\lfloor x \right\rfloor +\left\lfloor y \right\rfloor \le \left\lfloor x+y \right\rfloor $
8.	$\left\lfloor xy \right\rfloor \le \left\lfloor x \right\rfloor .\left\lfloor y \right\rfloor $

Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari $\left\lfloor x \right\rfloor -5=0$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left\lfloor x \right\rfloor -5 &= 0 \\ \left\lfloor x \right\rfloor &= 5 \end{align}$
Ingat:
$\left\lfloor x \right\rfloor =n\leftrightarrow n\le x <n+1$ maka:
$\left\lfloor x \right\rfloor =5\leftrightarrow 5\le x <6$
HP = $\{x|5\le x <6,\,x\in R\}$

Contoh 6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\left\lfloor 2x \right\rfloor +\left\lfloor x \right\rfloor =7$.
Penyelesaian:
Misalkan $x=n+k$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $k$ dengan $0\le k <1$, sehingga $\left\lfloor x \right\rfloor =n$. Ini juga berarti $2x=2n+2k$, dengan demikian:
$\left\lfloor 2x \right\rfloor =\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2n, & 0\le k <\frac{1}{2} \\ 2n+1, & \frac{1}{2}\le k <1 \\ \end{array} \right.$
Kasus 1.
Untuk $0\le k <\frac{1}{2}$ maka:
$\begin{align}\left\lfloor 2x \right\rfloor +\left\lfloor x \right\rfloor &= 7 \\ 2n+n &= 7 \\ n &= \frac{7}{3} \end{align}$
$n=\frac{7}{3}$ tidak memenuhi syarat $n$ bilangan bulat.
Kasus 2.
Untuk $\frac{1}{2}\le k <1$ maka:
$\begin{align}\left\lfloor 2x \right\rfloor +\left\lfloor x \right\rfloor &= 7 \\ (2n+1)+n &= 7 \\ n &= 2 \end{align}$
$n=2$ memenuhi syarat $n$ bilangan bulat.
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah:
$x=n+k\to x=2+k$
$\frac{1}{2}\le k <1$
$2+\frac{1}{2}\le 2+k <2+1$
$\frac{5}{2}\le x <3$

Contoh 7. OSK SMA 2013
Pada persamaan fungsi tangga berikut berlakut:
$\left\lfloor \sqrt{\left\lfloor 2012 \right\rfloor } \right\rfloor =\left\lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{k}{2012} \right\rfloor $
Jika $\left\lfloor x \right\rfloor $ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ….
Penyelesaian:
$\begin{align}\left\lfloor \sqrt{\left\lfloor 2012 \right\rfloor } \right\rfloor &= \left\lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{k}{2012} \right\rfloor \\ \left\lfloor \sqrt{\left\lfloor 44,... \right\rfloor } \right\rfloor &= \left\lfloor \sqrt{44,...} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{k}{2012} \right\rfloor \\ \left\lfloor \sqrt{44} \right\rfloor &= \left\lfloor 6,... \right\rfloor +\left\lfloor \frac{k}{2012} \right\rfloor \\ \left\lfloor 6,... \right\rfloor &= 6+\left\lfloor \frac{k}{2012} \right\rfloor \\ 6 &= 6+\left\lfloor \frac{k}{2012} \right\rfloor \\ 0 &= \left\lfloor \frac{k}{2012} \right\rfloor \end{align}$
maka $0\le k <2012$

D. Hubungan Fungsi Atap dan Fungsi Lantai

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Dengan demikian, berlaku hubungan berikut.
1.	$x-1 <\left\lfloor x \right\rfloor \le \left\lceil x \right\rceil <x+1$
2.	$-\left\lfloor x \right\rfloor =\left\lceil -x \right\rceil $
3.	$\left\lfloor -x \right\rfloor =-\left\lceil x \right\rceil $
4.	$\left\lceil x \right\rceil -\left\lfloor x \right\rfloor =0$, jika $x$ bilangan bulat.
5.	$\left\lceil x \right\rceil -\left\lfloor x \right\rfloor =1$, jika $x$ bukan bilangan bulat.

Contoh 8.
Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left\lfloor x \right\rfloor +\left\lceil x \right\rceil =7$.
Penyelesaian:
Kasus 1.
$x$ bilangan bulat maka $\left\lfloor x \right\rfloor =\left\lceil x \right\rceil =x$
$\begin{align}\left\lfloor x \right\rfloor +\left\lceil x \right\rceil &= 7 \\ x+x &= 7 \\ 2x &= 7 \\ x &= \frac{7}{2} \end{align}$
Tidak memenuhi karena $x=\frac{7}{2}$ bukan bilangan bulat.
Kasus 2.
Jika $x$ merupakan bilangan tak bulat maka dapat ditulis $x=n+k$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 <k <1$. Sementara itu, $\left\lfloor x \right\rfloor =n$ dan $\left\lceil x \right\rceil =n+1$.
$\begin{align}\left\lfloor x \right\rfloor +\left\lceil x \right\rceil &= 7 \\ n+(n+1) &= 7 \\ 2n &= 6 \\ n &= 3 \end{align}$
$0 <k <1$
$n+0 <n+k <n+1$
$2+0\le x <2+1$
$2\le x <3$

E. Grafik Fungsi Atap dan Fungsi Lantai

Gambarlah grafik fungsi berikut ini:
$f(x)=\left\lceil x \right\rceil +1$ dan $g(x)=\left\lfloor x \right\rfloor +1$ untuk $0\le x\le 4$
Penyelesaian: Pertama kita buat tabel nilai untuk masing-masing fungsi:

Grafik Fungsi:

F. Penerapan Fungsi Tangga

Penerapan dalam Biaya Telepon Budi ingin menelepon kakaknya yang sedang berada di luar kota karena kangen dan sedang momen hari raya. Namun, dia belum mengisi pulsa. Berdasarkan info di internet, biaya yang dibutuhkan dapat dirinci sebagai berikut. Untuk setiap menit, dia harus membayar sebesar Rp250,00. Skema biaya pulsa dari penyedia jasa telepon tersebut adalah sebagai berikut. Biaya dihitung dengan membulatkan ke menit atas. Misalkan, Budi menelepon selama 1,3 menit. Maka, dia harus membayar untuk 2 menit, yakni 500 rupiah.

a.	Buat tabel yang menjelaskan hubungan antara lama menelepon dalam menit dan total biaya yang dibutuhkan.
b.	Gambarkan grafiknya dalam bidang Kartesius.
c.	Tuliskan fungsi yang menyatakan total biaya yang dibutuhkan dalam lama menelepon.
d.	Jika ingin menelepon selama tiga jam, apakah pulsa sebanyak Rp25.000,00 cukup?

Penyelesaian:

a.	Tabel hubungan antara lama menelepon dalam menit dan total biaya.
b.	Grafik dalam bidang Kartesius.
c.	Fungsi yang menyatakan total biaya yang dibutuhkan terhadap lama menelepon. Misalkan: $x$ = lama menelepon (menit) $y$ = total biaya (rupiah) Karena pembulatan ke atas, kita gunakan fungsi langit-langit atau fungsi ceiling: $y=250\left\lceil x \right\rceil $, dimana $\left\lceil x \right\rceil $ adalah pembulatan ke atas dari $x$.
d.	Apakah Rp25.000,00 cukup untuk menelepon selama tiga jam? 3 jam = 3 x 60 = 180 menit Biaya menelepon selama 180 menit: $\begin{align}y &= 250\left\lceil 180 \right\rceil \\ &= 250\times 180 \\ y &= 45.000 \end{align}$ Jadi, pulsa Rp25.000,00 tidak cukup untuk menelepon selama 3 jam.

Share :