Bank Soal: SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) dan Pembahasan - CATATAN MATEMATIKA

Bank Soal: SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) dan Pembahasan

Soal SPLTV dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Silahkan dipelajari dan jangan lupa share/bagikan ke media sosial kalian, agar manfaat postingan ini dapat dirasakan oleh siswa/i yang lain. Terima kasih.
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".

Soal No. 1
Nilai $x$ yang memenuhi SPLTV $\left\{ \begin{matrix} 3x+2y-z=-3 \\ 5y-2z=2 \\ 5z=20 \\ \end{matrix} \right.$ adalah …
(A) $-3$
(B) $-2$
(C) $-1$
(D) 1
(E) 3
Pembahasan:
Metode Substitusi
$3x+2y-z=-3$ .......(1)
$5y-2z =2$ .........(2)
$5z=20$ .......(3)
Dari persamaan (3):
$5z=20 \Leftrightarrow z=4$
$z=4$ substitusi ke persamaan (2):
$\begin{align} 5y-2z &=2 \\ 5y-2.4 &=2 \\ 5y &=10 \\ y &=2 \end{align}$
$y=2,\,z=4$ substitusi ke persamaan (1):
$\begin{align} 3x+2y-z &=-3 \\ 3x+2.2-4 &=-3 \\ 3x &=-3 \\ x &=-1 \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 2
Nilai $(x-y)$ yang memenuhi SPLTV $\left\{ \begin{matrix} x+y+2z=2 \\ 3y-4z=-5 \\ 6z=3 \\ \end{matrix} \right.$ adalah …
(A) $-3$
(B) $-2$
(C) $-1$
(D) 1
(E) 3
Pembahasan:
Metode Substitusi
$ x+y+2z=2$ ..........(1)
$3y-4z=-5$........(2)
$6z=3$,..........(3)
Dari persamaan (3):
$6z=3 \Leftrightarrow z=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$z=\frac{1}{2}$ substitusi ke persamaan (2):
$\begin{align} 3y-4z &=-5 \\ 3y-4.\frac{1}{2} &=-5 \\ 3y &=-3 \\ y &=-1 \end{align}$
Substitusi nilai $y=-1$ dan $z=\frac{1}{2}$ ke persamaan (1):
$\begin{align} x+y+2z &=2 \\ x-1+2.\frac{1}{2} &=2 \\ x &=2 \end{align}$
Maka $x-y=2-(-1)=3$
Jawaban: E

Soal No. 3
Jika $(x,y,z)$ merupakan solusi SPLTV $\left\{ \begin{matrix} x+y=1 \\ y+z=3 \\ z+x=6 \\ \end{matrix} \right.$ maka $xyz$ = …
(A) $-8$
(B) $-4$
(C) 2
(D) 4
(E) 8
Pembahasan:
Metode Eliminasi
$x+y=1$ ……… (1)
$y+z=3$ ……... (2)
$z+x=6$ ……… (3)
Dari (1) dan (2) eliminasi $y$ maka:
$x+y=1$
$y+z=3$
------------ (-)
$x-z=-2$ ……. (4)
Dari (3) dan (4) eliminasi $z$ maka:
$z+x=6$
$x-z=-2$
------------- (+)
$2x=4\Leftrightarrow x=2$
$x=2$ substitusi ke persamaan (1):
$\begin{align} x+y &=1 \\ 2+y &=1 \\ y &=-1 \end{align}$
$x=2$ substitusi ke persamaan (3):
$\begin{align} z+x &=6 \\ z+2 &=6 \\ z &=4 \end{align}$
Maka nilai $xyz=2.(-1).4=-8$
Jawaban: A

Soal No. 4
Nilai $y$ yang memenuhi SPLTV, $\left\{ \begin{matrix} x-3y+2z=9 \\ 2x+4y-3z=-9 \\ 3x-2y+5z=12 \\ \end{matrix} \right.$ adalah …
(A) $-4$
(B) $-3$
(C) $-2$
(D) 1
(E) 4
Pembahasan:
Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)
$x-3y+2z=9$ ……… (1)
$2x+4y-3z=-9$ …... (2)
$3x-2y+5z=12$ ……. (3)
Eliminasi $x$ dari (1) dan (2):
$\begin{align} x-3y+2z &=9\,\,\,\,|\times 2 \\ 2x+4y-3z &=-9\,|\,\times 1 \end{align}$
$\begin{align} 2x-6y+4z &=18 \\ 2x+4y-3z &=-9 \end{align}$
---------------------- (-)
$-10y+7z=27$ ……. (4)
Eliminasi $z$ dari (1) dan (3):
$\begin{align} x-3y+2z &=9\,\,\,\,|\times 3 \\ 3x-2y+5z &=12\,\,|\times 1 \end{align}$
$\begin{align} 3x-9y+6z &=27 \\ 3x-2y+5z &=12 \end{align}$
--------------------- (-)
$\begin{align} -7y+z &=15 \\ z &=15+7y \end{align}$
Substitusi $z=15+7y$ ke persamaan (4):
$\begin{align} -10y+7z &=27 \\ -10y+7(15+7y) &=27 \\ -10y+105+49y &=27 \\ 39y &=-78 \\ y &=-2 \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 5
Jika $(x,y,z)$ merupakan solusi dari SPLTV, $\left\{ \begin{matrix} x+2y+z=3 \\ 2x+y+z=16 \\ x+y+2z=9 \\ \end{matrix} \right.$ maka nilai dari $(x+y+z)$ = …
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9
Pembahasan:
$x+2y+z=3$
$2x+y+z=16$
$x+y+2z=9$
------------------- (+)
$\begin{align} 4x+4y+4z &=28 \\ x+y+z &=7 \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 6
Jika $(x,y,z)$ merupakan solusi dari SPLTV, $\left\{ \begin{matrix} 4x-3y+2z=40 \\ 5x+9y-7z=47 \\ 9x+8y-3z=97 \\ \end{matrix} \right.$ maka nilai dari $(x:y+z)$ = …
(A) 15
(B) 12
(C) 10
(D) 9
(E) 8
Pembahasan:
Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
$4x-3y+2z=40$ ...... (1)
$5x+9y-7z=47$ ...... (2)
$9x+8y-3z=97$ ...... (3)
Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (2):
$4x-3y+2z=40|\times 7$
$5x+9y-7z=47|\times 2$
$28x-21y+14z=280$
$10x+18y-14z=94$
-------------------------- (+)
$38x-3y=374$ …. (4)
Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (3):
$4x-3y+2z=40|\times 3$
$9x+8y-3z=97|\times 2$
$12x-9y+6z=120$
$18x+16y-6z=194$
-------------------------- (+)
$30x+7y=314$ …. (5)
Eliminasi $y$ dari persamaan (4) dan (5):
$38x-3y=374|\times 7$
$30x+7y=314|\times 3$
$266x-21y=2618$
$90x+21y=942$
---------------------- (+)
$\begin{align} 356x &=3560 \\ x &=10 \end{align}$
Substitusi $x=10$ ke persamaan (5):
$\begin{align} 30x+7y &=314 \\ 30.10+7y &=314 \\ 300+7y &=314 \\ 7y &=14 \\ y &=2 \end{align}$
Substitusi $x=10$ dan $y=2$ ke persamaan (1):
$\begin{align} 4x-3y+2z &=40 \\ 4.10-3.2+2z &=40 \\ 40-6+2z &=40 \\ 2z &=6 \\ z &=3 \end{align}$
maka $x:y+z=10:2+3=5+3=8$
Jawaban: E

Soal No. 7
Perbandingan uang milik Silvi dan Arya adalah $2:3$. Perbandingan uang milik Arya dan Beni adalah $6:5$. Jika jumlah uang Silvi dan Arya sebesar Rp. 200.000 lebih banyak dari Beni, maka uang Beni sebesar …
(A) Rp. 200.000
(B) Rp. 100.000
(C) Rp. 90.000
(D) Rp. 80.000
(E) Rp. 75.000
Pembahasan:
Misal:
s = uang Silvi
a = uang Arya
b = uang Beni
model matematika dari soal tersebut adalah:
$s:a=2:3\Leftrightarrow \frac{s}{a}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow s=\frac{2}{3}a$
$a:b=6:5\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{6}{5}\Leftrightarrow a=\frac{6}{5}b$
$\begin{align} s+a &=b+200.000 \\ \frac{2}{3}a+a &=b+200.000 \\ \frac{5}{3}a &=b+200.000 \\ \frac{5}{3}.\frac{6}{5}b &=b+200.000 \\ 2b &=b+200.000 \\ b &=200.000 \end{align}$
Jadi, uang Beni sebesar Rp. 200.000
Jawaban: A

Soal No. 8
Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh Nayaka dan Ari selama 15 hari. Jika pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Nayaka dan Brandon dalam 12 hari, sedangkan Ari dan Brandon selesai dalam 10 hari, maka pekerjaan tersebut secara bersama-sama dikerjakan oleh ketiganya akan selesai dalam … hari.
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
Pembahasan:
Misalkan:
n = waktu yang dibutuhkan Nayaka menyelesaikan sebuah pekerjaan.
a = waktu yang dibutuhkan Ari menyelesaikan sebuah pekerjaan.
b = waktu yang dibutuhkan Brandon menyelesaikan sebuah pekerjaan.
t = waktu yang dibutuhkan
$\text{Kecepatan=}\frac{\text{banyak pekerjaan}}{\text{waktu}}$
Model matematika:
$\frac{1}{n}+\frac{1}{a}=\frac{1}{15}$ .... (1)
$\frac{1}{n}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}$ .... (2)
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{10}$ .... (3)
--------------------- (+)
$\begin{align} \frac{2}{n}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b} &=\frac{1}{15}+\frac{1}{12}+\frac{1}{10} \\ &=\frac{4+5+6}{60} \\ &=\frac{15}{60} \\ \frac{2}{n}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b} &=\frac{1}{4} \\ \frac{1}{n}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} &=\frac{1}{8} \\ \frac{1}{t_{bersama}} &=\frac{1}{8} \\ t_{bersama} &=8 \end{align}$
Jadi, pekerjaan tersebut jika dikerjakan oleh ketiganya selesai dalam 8 hari.
Jawaban: B

Soal No. 9
Jika $x_0$, $y_0$, dan $z_0$ penyelesaian sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix} 2x+z=5 \\ y-2z=-3 \\ x+y=1 \\ \end{matrix} \right.$ maka $x_0 + y_0 + z_0$ = …
(A) $-4$
(B) $-1$
(C) 2
(D) 4
(E) 6
Pembahasan:
$2x+z=5$ ...... (1)
$y-2z=-3$ .... (2)
$x+y=1$ ......... (3)
Metode Substitusi:
Dari persamaan (1) diperoleh:
$\begin{align} 2x+z &=5 \\ z &=5-2x \end{align}$
Substitusi ke persamaan (2):
$\begin{align} y-2z &=-3 \\ y-2(5-2x) &=-3 \\ y-10+4x &=-3 \\ y &=7-4x \end{align}$
Substitusi ke persamaan (3):
$\begin{align} x+y &=1 \\ x+7-4x &=1 \\ -3x &=-6 \\ x &=2 \end{align}$
Substitusi ke:
$\begin{align} y &=7-4x \\ &=7-4.2 \\ y &=-1 \end{align}$
Substitusi $x=2$ ke:
$\begin{align} z &=5-2x \\ &=5-2.2 \\ z &=1 \end{align}$
HP = {(2, -1, 1)}
${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=2+(-1)+1=2$
Jawaban: C

Soal No. 10
Himpunan penyelesaian $\left\{ \begin{matrix} x+y-z=24 \\ 2x-y+2z=4 \\ x+2y-3z=36 \\ \end{matrix} \right.$ adalah $\{(x,y,z)\}$. Nilai $x:y:z$ = …
(A) 2 : 7 : 1
(B) 2 : 5 : 4
(C) 2 : 5 : 1
(D) 1 : 5 : 2
(E) 1 : 2 : 5
Pembahasan:
Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
$x+y-z=24$ ........ (1)
$2x-y+2z=4$ ...... (2)
$x+2y-3z=36$ ..... (3)
Metode Eliminasi dan Substitusi:
Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2):
$\begin{align} x+y-z &=24 \\ 2x-y+2z &=4 \end{align}$
------------------ (+)
$3x+z=28$ ........... (4)
Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3):
$\begin{align} x+y-z &=24|\times 2 \\ x+2y-3z &=36|\times 1 \end{align}$
$\begin{align} 2x+2y-2z &=48 \\ x+2y-3z &=36 \end{align}$
--------------------- (-)
$x+z=12$ ............ (5)
Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5):
$\begin{align} 3x+z &=28 \\ x+z &=12 \end{align}$
-------------- (-)
$2x=16\Rightarrow x=8$
Substitusi x = 8 ke persamaan (5):
$\begin{align} x+z &=12 \\ 8+z &=12 \\ z &=4 \end{align}$
Subtitusi x = 8, z = 4 ke persamaan (1):
$\begin{align} x+y-z &=24 \\ 8+y-4 &=24 \\ y &=20 \end{align}$
HP = $\{(8,20,4)\}$
Nilai $x:y:z=8:20:4=2:5:1$
Jawaban: C

Soal No. 11
Jika $x$, $y$, dan $z$ penyelesaian sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix} \frac{x}{2}+\frac{y}{4}=6  \\ \frac{y}{6}-\frac{z}{2}=-2  \\ \frac{z}{4}+\frac{x}{3}=4  \\ \end{matrix} \right.$ maka $x+y+z$ = …
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 26
Pembahasan:
$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=6|\times 4\Leftrightarrow 2x+y=24$ .... (1)
$\frac{y}{6}-\frac{z}{2}=-2|\times 6\Leftrightarrow y-3z=-12$ .... (2)
$\frac{z}{4}+\frac{x}{3}=4|\times 12\Leftrightarrow 3z+4x=48$ .... (3)
Metode Substitusi:
Dari persamaan (2):
$\begin{align} y-3z &=-12 \\ -3z &=-y-12 \\ 3z &=y+12 \end{align}$
Substitusi ke persamaan (3):
$\begin{align} 3z+4x &=48 \\ y+12+4x &=48 \\ y &=36-4x \end{align}$
Substitusi ke persamaan (1):
$\begin{align} 2x+y &=24 \\ 2x+36-4x &=24 \\ -2x &=-12 \\ x &=6 \end{align}$
Substitusi x = 6 ke:
$\begin{align} y &=36-4x \\ &=36-4.6 \\ y &=12 \end{align}$
Substitusi y = 12 ke:
$\begin{align} 3z &=y+12 \\ 3z &=12+12 \\ z &=8 \end{align}$
HP = {(6, 12, 8)}
x + y + z = 6 + 12 + 8 = 26
Jawaban: E

Soal No. 12
Sistem persamaan linear $\left\{ \begin{matrix} x+y+z=12 \\ 2x-y+2z=12 \\ 3x+2y-z=8 \\ \end{matrix} \right.$ mempunyai himpunan penyelesaian $\{(x,y,z)\}$. Hasil kali antara $x$, $y$, dan $z$ adalah …
(A) 60
(B) 48
(C) 15
(D) 12
(E) 9
Pembahasan:
Metode Cramer:
x + y + z = 12
2x – y + 2z = 12
3x + 2y – z = 8
$\begin{align} D &=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ \end{matrix} \right|\left. \,\,\,\,\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right| \\ &=\{1.(-1).(-1)+1.2.3+1.2.2\}-\{3.(-1).1+2.2.1+(-1).2.1)\} \\ &=(1+6+4)-(-3+4-2) \\ &=11-(-1) \\ D &=12 \end{align}$
$\begin{align} {{D}_{x}} &=\left| \begin{matrix} 12 & 1 & 1 \\ 12 & -1 & 2 \\ 8 & 2 & -1 \\ \end{matrix} \right|\left. \,\,\,\,\begin{matrix} 12 & 1 \\ 12 & -1 \\ 8 & 2 \\ \end{matrix} \right| \\ &=\{12.(-1).(-1)+1.2.8+1.12.2\}-\{8.(-1).1+2.2.12+(-1).12.1)\} \\ &=(12+16+24)-(-8+48-12) \\ &=52-28 \\ D_x &=24 \end{align}$
$\begin{align} {{D}_{y}} &=\left| \begin{matrix} 1 & 12 & 1 \\ 2 & 12 & 2 \\ 3 & 8 & -1 \\ \end{matrix} \right|\left. \,\,\,\,\begin{matrix} 1 & 12 \\ 2 & 12 \\ 3 & 8 \\ \end{matrix} \right| \\ &=\{1.12.(-1)+12.2.3+1.2.8\}-\{3.12.1+8.2.1+(-1).2.12)\} \\ &= (-12+72+16)-(36+16-24) \\ & =76-28 \\ D_y &=48 \end{align}$
$\begin{align} D_z &=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 12 \\ 2 & -1 & 12 \\ 3 & 2 & 8 \\ \end{matrix} \right|\left. \,\,\,\,\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right| \\ & =\{1.(-1).8+1.12.3+12.2.2\}-\{3.(-1).12+2.12.1+8.2.1)\} \\ & =(-8+36+48)-(-36+24+16) \\ &=76-4 \\ D_z &=72 \end{align}$
$x=\frac{D_x}{D}=\frac{24}{12}=2$
$y=\frac{D_y}{D}=\frac{48}{12}=4$
$z=\frac{D_z}{D}=\frac{72}{12}=6$
Maka:
$x.y.z=2.4.6=48$
Jawaban: B

Soal No. 13
Diketahui sistem persamaan linear: $\left\{ \begin{matrix} x+y+z=12 \\ x+2y-z=12 \\ x+3y+3z=24 \\ \end{matrix} \right.$. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah $\{(x,y,z)\}$ dengan $x:y:z$ = …
(A) 1 : 1 : 2
(B) 1 : 2 : 3
(C) 3 : 2 : 1
(D) 3 : 1 : 9
(E) 6 : 1 : 6
Pembahasan:
Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
$x+y+z=12$ .... (1)
$x+2y-z=12$ .... (2)
$x+3y+3z=24$ .... (3)
Eliminasi x dari persamaan (2) dan (1):
$\begin{align} x+2y-z &=12 \\ x+y+z &=12 \end{align}$
------------------ (-)
y – 2z = 0 .... (4)
Eliminasi x dari persamaan (3) dan (2):
$\begin{align}x+3y+3z &=24 \\ x+2y-z &=12 \end{align}$
------------------- (-)
y + 4z = 12 ... (5)
Eliminasi y dari persamaan (5) dan (4):
y – 2z = 0
y + 4z = 12
-------------- (-)
$-6z=-12\Rightarrow z=2$
Substitusi z = 2 ke persamaan (4):
$\begin{align} y-2z &=0 \\ y-2.2 &=0 \\ y &=4 \end{align}$
Substitusi y = 4, z = 2ke persamaan (1):
$\begin{align} x+y+z &=12 \\ x+4+2 &=12 \\ x &=6 \end{align}$
HP = {(6, 4, 2)}
$x:y:z=6:4:2=3:2:1$
Jawaban: C

Soal No. 14
Rita, Nita, dan Mira pergi bersama-sama ke toko buah. Rita membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 67.000,00. Nita membeli 3 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 61.000,00. Mira membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah ….
(A) Rp. 37.000,00
(B) Rp. 44.000,00
(C) Rp. 51.000,00
(D) Rp. 55.000,00
(E) Rp. 58.000,00
Pembahasan:
Misal:
x = harga apel 1 kg
y = harga anggur 1 kg
z = harga jeruk 1 kg
Model matematika:
2x + 2y + z = 67.000 ..... (1)
3x + y + z = 61.000 ....... (2)
x + 3y + 2z = 80.000 ..... (3)
x + y + 4z = ...
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2):
2x + 2y + z = 67.000
3x + y + z = 61.000
-------------------------- (-)
–x + y = 6.000 .... (4)
Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3):
3x + y + z = 61.000   | x 2
x + 3y + 2z = 80.000 | x 1
6x + 2y + 2z = 122.000
x + 3y + 2z = 80.000
----------------------------- (-)
5x – y = 42.000 .... (5)
–x + y = 6.000 .... (4)
--------------------------- (+)
$4x=48.000\Rightarrow x=12.000$
substitusi x = 12.000 ke persamaan (4):
$\begin{align}-x+y &=6.000 \\ -12.000+y &=6.000 \\ y &=6.000+12.000 \\ y &=18.000 \end{align}$
Substitusi x = 12.000, y = 18.000 ke persamaan (1):
$\begin{align}2x+2y+z &=67.000 \\ 2(12.000)+2(18.000)+z &=67.000 \\ 24.000+36.000+z &=67.000 \\ 60.000+z &=67.000 \\ z &=7.000 \end{align}$
Maka:
x + y + 4z
= 12.000 + 18.000 + 4(7.000)
= 58.000
Jadi, harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah Rp. 58.000
Jawaban: E

Soal No. 15
Himpunan penyelesaian $\left\{ \begin{matrix} 4x+y=5 \\ y-2z=-7 \\ x+z=5 \\ \end{matrix} \right.$ adalah $\{(x,y,z)\}$. Nilai $y+z$ adalah ….
(A) 5
(B) 3
(C) 2
(D) $-4$
(E) $-5$
Pembahasan:
$4x+y=5$ ………. (1)
$y-2z=-7$………(2)
$x+z=5$ …………(3)
Eliminasi $y$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align} 4x+y &=5 \\ y-2z &=-7 \\ \end{align}}{4x+2z=12}-$
$2x+z=6$ … (4)
Eliminasi $z$dari persamaan (4) dan (3):
$\frac{\begin{align}2x+z &=6 \\ x+z &=5 \end{align}}{x=1}-$
Substitusi ke persamaan (1) dan (3):
$4x+y=5\Leftrightarrow 4.1+y=5\Leftrightarrow y=1$
$x+z=5\Leftrightarrow 1+z=5\Leftrightarrow z=4$
$y+z=1+4=5$
Jawaban: A

Soal No. 16
Himpunan penyelesaian sistem persamaan: $\left\{ \begin{matrix} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-z=7 \\ \frac{x}{4}-\frac{3y}{2}+\frac{z}{2}=-6 \\ \frac{x}{6}-\frac{y}{4}-\frac{z}{3}=1 \\ \end{matrix} \right.$ adalah $\{(x,y,z)\}$. Nilai $x-y-z$ = …
(A) 7
(B) 5
(C) $-1$
(D) $-7$
(E) $-13$
Pembahasan:
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-z=7$ | kali 6
2x + 3y – 6z = 42 .... (1)
$\frac{x}{4}-\frac{3y}{2}+\frac{z}{2}=-6$ | kali 4
x – 6y + 2z = -24 .... (2)
$\frac{x}{6}-\frac{y}{4}-\frac{z}{3}=1$ | kali 12
2x – 3y – 4z = 12 ... (3)
Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2);
2x + 3y – 6z = 42 | x 1
x – 6y + 2z = -24  | x 2
2x + 3y – 6z = 42
2x – 12y + 4z = -48
------------------------- (-)
15y – 10z = 90 | (:5)
3y – 2z = 18 ..... (4)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3):
2x + 3y – 6z = 42
2x – 3y – 4z = 12
--------------------- (-)
6y – 2z = 30 ... (5)
3y – 2z = 18 ..... (4)
------------------------ (-)
$\begin{align} 3y &=12 \\ y &=4 \end{align}$
Substitusi y = 4 ke persamaan (4):
$\begin{align} 3y-2z &=18 \\ 3.4-2z &=18 \\ 12-2z &=18 \\ -2z &=6 \\ z &=-3 \end{align}$
Substitusi y = 4, z = -3 ke persamaan (2);
$\begin{align} x-6y+2z &=-24 \\ x-6.4+2(-3) &=-24 \\ x-24-6 &=-24 \\ x-30 &=-24 \\ x &=-24+30 \\ x &=6 \end{align}$
$x-y-z=6-4-(-3)=5$
Jawaban: B

Soal No. 17
Himpunan penyelesaian sistem persamaan: $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=4 \\ \frac{2}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=0 \\ \frac{1}{z}-\frac{1}{y}=-2 \\ \end{matrix} \right.$ adalah ….
(A) $\{(2,1,-1)\}$
(B) $\{(-2,1,1)\}$
(C) $\left\{ \left( \frac{1}{2},1,-1 \right) \right\}$
(D) $\left\{ \left( -\frac{1}{2},-1,1 \right) \right\}$
(E) $\left\{ \left( \frac{1}{2},1,1 \right) \right\}$
Pembahasan:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=4\,.....\,(1)$
$\frac{2}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=0\,.....\,(2)$
$-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-2\,.....\,(3)$
Persamaan (1) dikurang persamaan (3):
$\frac{\begin{align} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} &=4 \\ -\frac{1}{y}+\frac{1}{z} &=-2 \end{align}}{\begin{align} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{x} &=2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x &=\frac{1}{2} \\ \end{align}}+$
Eliminasi $\frac{1}{z}$ dari persamaan (2) dan (3):
$\frac{\begin{align} \frac{2}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z} &=0\, \\ -\frac{1}{y}+\frac{1}{z} &=-2 \end{align}}{\begin{align}\frac{2}{x}-\frac{2}{y}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, &=2 \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y} &=1\,.....(4) \\ \end{align}}-$
Substitusi $\frac{1}{x}=2$ ke persamaan (4):
$\begin{align} \frac{1}{x}-\frac{1}{y} &=1\, \\ 2-\frac{1}{y} &=1 \\ 1 &=\frac{1}{y} \\ y &=1 \end{align}$
Substitusi $\frac{1}{y}=1$ ke persamaan (3):
$\begin{align} -\frac{1}{y}+\frac{1}{z} &=-2\, \\ -1+\frac{1}{z} &=-2 \\ \frac{1}{z} &=-1 \\ z &=-1 \end{align}$
HP = $\left\{ \left( \frac{1}{2},1,-1 \right) \right\}$
Jawaban: C

Soal No. 18
Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp. 70.000,00, dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp. 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp. 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah …
(A) Rp. 5.000,00
(B) Rp. 7.500,00
(C) Rp. 10.000,00
(D) Rp. 12.000,00
(E) Rp. 15.000,00
Pembahasan:
Misal:
m = harga mangga 1 kg
j = harga jeruk 1 kg
a = harga anggur 1 kg
Model matematika:
2m + 2j + a = 70.000 .......... (1)
m + 2j + 2a = 90.000 .......... (2)
2m + 2j + 3a = 130.000 ...... (3)
j = ...?
Eliminasi m dari persamaan (1) dan (2):
2m + 2j + a = 70.000
2m + 4j + 4a = 180.000
----------------------------- (-)
-2j – 3a = -110.000 .... (4)
Eliminasi m dari persamaan (3) dan (1):
2m + 2j + 3a = 130.000
2m + 2j + a = 70.000
---------------------------- (-)
$2a=60.000\Leftrightarrow a=30.000$
Substitusi a = 30.000 ke persamaan (4):
$\begin{align}-2j-3a &=-110.000 \\ -2j-3(30.000) &=-110.000 \\ -2j-90.000 &=-110.000 \\ -2j &=-110.000+90.000 \\ -2j &=-20.000 \\ j &=10.000 \end{align}$
Jadi, harga 1 kg jeruk adalah Rp. 10.000,00
Jawaban: C

Soal No. 19
Di toko buku “Gudang Buku”, Andi membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan harga Rp. 26.000,00. Budi membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga Rp. 21.500,00. Mirna membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.500,00. Jika Nina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar ….
(A) Rp. 5.000,00
(B) Rp. 6.500,00
(C) Rp. 10.000,00
(D) Rp. 11.000,00
(E) Rp. 13.000,00
Pembahasan:
Misalkan:
x = harga sebuah buku
y = harga sebuah pulpen
z = harga sebuah pensil
model matematika:
4x + 2y + 3z = 26.000 .... (1)
3x + 3y + z = 21.500 ...... (2)
3x + z = 12.500 .............. (3)
2y + 2z = ....
Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2):
4x + 2y + 3z = 26.000 | x 3
3x + 3y + z = 21.500   | x 2
12x + 6y + 9z = 78.000
6x + 6y + 2z = 43.000
---------------------------- (-)
6x + 7z = 35.000 ... (4)
Eliminasi z dari persamaan (3) dan (4):
3x + z = 12.500   | x7
6x + 7z = 35.000 | x1
21x + 7z = 87.500
6x + 7z = 35.000
---------------------- (-)
15x = 52.500
x = 3.500
Substitusi x = 3.500 ke persamaan (3):
$\begin{align}3x+z &=12.500 \\ 3(3.500)+z &=12.500 \\ 10.500+z &=12.500 \\ z &=12.500-10.500 \\ z &=2.000 \end{align}$
Substitusi x = 3.500, z = 2.000 ke persamaan (2):
$\begin{align}3x+3y+z &=21.500 \\ 3(3.500)+3y+2.000 &=21.500 \\ 10.500+3y+2.000 &=21.500 \\ 3y+12.500 &=21.500 \\ 3y &=21.500-12.500 \\ 3y &=9.000 \\ y &=3.000 \end{align}$
$\begin{align}2y+2z &=2(3.000)+2(2.000) \\ & =10.000 \end{align}$
Nina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar Rp. 10.000,00.
Jawaban: C

Soal No. 20
Jumlah tiga buah bilangan asli adalah 11, bilangan ketiga sama dengan dua kali bilangan pertama ditambah bilangan kedua dikurangi tiga. Bilangan kedua ditambah dua sama dengan jumlah bilangan pertama dan ketiga dikurangi satu. Jika bilangan tersebut adalah a, b, dan c, maka nilai a + b – c adalah ….
(A) $-1$
(B) 1
(C) 7
(D) 11
(E) 17
Pembahasan:
a + b + c = 11 ....... (1)
c = 2a + b – 3 ....... (2)
b + 2 = a + c – 1 ... (3)
Dari persamaan (3):
b + 2 = a + c – 1
b + 3 = a + c
a + c = b + 3 ..... (4):
substitusi a + c = b + 3 ke persamaan (1):
$\begin{align}a+b+c &=11 \\ (a+c)+b &=11 \\ b+3+b &=11 \\ 2b &=8 \\ b &=4 \end{align}$
Substitusi b = 4 ke persamaan (4):
$\begin{align}a+c &=b+3 \\ a+c &=4+3 \\ a &=7-c \end{align}$
c = 2a + b – 3
substitusi b = 4 dan a = 7 – c ke persamaan (2):
$\begin{align} c &=2a+b-3 \\ c &=2(7-c)+4-3 \\ c &=14-2c+1 \\ 3c &=15 \\ c &=5 \end{align}$
a + b + c = 11
a + b + c – 2c = 11 – 2c
a + b – c = 11 – 2.5
a + b – c = 1
Jawaban: B
Update Postingan Terbaru dengan cara subscribe atau follow channel kami dengan klik ketiga tombol di bawah ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika
Share To:

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Bank Soal: SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) dan Pembahasan"

Post a comment

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.

close