PK2. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

1. Faktorisasi
2. Melengkapkan Kuadrat sempurna
3. Rumus abc

A. Faktorisasi

1) Bentuk $x^2+bx+c=0$
$x^2+bx+c=0$ difakktorkan menjadi:
$(x+p)(x+q)=0$
dengan:
$p\times q=c$ dan $p+q=b$

Contoh 1.
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2+7x+10=0$.
Penyelesaian:
$x^2+7x+10=0$
$b=7$ dan $c=10$
$p\times q=c\to p\times q=10$
$p+q=b\to p+q=7$

Yang memenuhi $p\times q=-24$ dan $p+q=-5$ adalah $p=2$ dan $q=5$
$\begin{align}x^2+7x+10 &= 0 \\ (x+p)(x+q) &= 0 \\ (x+2)(x+5) &= 0 \end{align}$
$x+2=0\to x=-2$
$x+5=0\to x=-5$
Jadi, akar-akar dari $x^2+7x+10=0$ adalah $-5$ atau $-2$.
Contoh 2.
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2-5x-24=0$.
Penyelesaian:
$x^2-5x-24=0$
$b=-5$ dan $c=-24$
$p\times q=c\to p\times q=-24$
$p+q=b\to p+q=-5$

Yang memenuhi $p\times q=-24$ dan $p+q=-5$ adalah $p=3$ dan $q=-8$
$\begin{align}x^2-5x-24 &= 0 \\ (x+p)(x+q) &= 0 \\ (x+3)(x-8) &= 0 \end{align}$
$x+3=0\to x=-3$
$x-8=0\to x=8$
Jadi, akar-akar dari $x^2-5x-24=0$ adalah $-3$ atau 8.

2) Bentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\ne 1$
$ax^2+bx+c=0$ difaktorkan menjadi:
$\frac{(ax+p)(ax+q)}{a}=0$
dengan: $p\times q=a\times c$ dan $p+q=b$.

Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^2+5x-9=0$
Penyelesaian:
$4x^2+5x-9=0$, $a=4$, $b=5$, $c=-9$
$p\times q=a\times c=4\times (-9)\to p\times q=-36$
$p+q=b\to p+q=5$

Yang memenuhi $p\times q=-36$ dan $p+q=5$ adalah $p=9$ dan $q=-4$.
$\begin{align}4x^2+5x-9 &= 0 \\ \frac{(4x+p)(4x+q)}{4} &= 0 \\ \frac{(4x+9)(4x-4)}{4} &= 0 \\ (4x+9)(x-1) &= 0 \end{align}$
$4x+9=0\to x=-\frac{9}{4}$
$x-1=0\to x=1$
Jadi, akar-akar dari $4x^2+5x-9=0$ adalah $-\frac{9}{4}$ atau 1.

B. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Langkah-langkah melengkapkan kuadrat sempurna:

1. Usahakan nilai $a=1$.
2. Pindahkan nilai $c$ ke ruas kanan.
3. Tambahkan kedua ruas dengan $\left( \frac{1}{2}b \right)^2$.
4. Ubah ruas kiri menjadi $\left( x+\frac{1}{2}b \right)^2$.
5. Tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$.

Contoh:
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $4x^2+5x-9=0$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4x^2+5x-9 &= 0 \\ \frac{4x^2+5x-9}{4} &= 0 \\ x^2+\frac{5}{4}x-\frac{9}{4} &= 0 \\ x^2+\frac{5}{4}x &= \frac{9}{4} \\ x^2+\frac{5}{4}x+\left( \frac{1}{2}.\frac{5}{4} \right)^2 &= \frac{9}{4}+\left( \frac{1}{2}.\frac{5}{4} \right)^2 \\ \left( x+\frac{1}{2}.\frac{5}{4} \right)^2 &= \frac{9}{4}+\frac{25}{64} \\ \left( x+\frac{5}{8} \right)^2 &= \frac{144}{64}+\frac{25}{64} \\ \left( x+\frac{5}{8} \right)^2 &= \frac{169}{64} \\ x+\frac{5}{8} &= \pm \sqrt{\frac{169}{64}} \\ x+\frac{5}{8} &= \pm \frac{13}{8} \\ x &= \pm \frac{13}{8}-\frac{5}{8} \end{align}$
$x=\frac{13}{8}-\frac{5}{8}=1$
$x=-\frac{13}{8}-\frac{5}{8}=-\frac{18}{8}=-\frac{9}{4}$
Jadi, akar-akar dari $4x^2+5x-9=0$ adalah $-\frac{9}{4}$ atau 1.

C. Rumus abc

Untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat dapat menggunakan rumus di bawah ini.
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Contoh:
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $4x^2+5x-9=0$.
Penyelesaian:
$4x^2+5x-9=0$; $a=4$, $b=5$, $c=-9$
$\begin{align}x &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4.4.(-9)}}{2.4} \\ &= \frac{-5\pm \sqrt{25+144}}{8} \\ &= \frac{-5\pm \sqrt{169}}{8} \\ x &= \frac{-5\pm 13}{8} \end{align}$
$x_1=\frac{-5+13}{8}=1$
$x_2=\frac{-5-13}{8}=-\frac{18}{8}=-\frac{9}{4}$
Jadi, akar-akar dari $4x^2+5x-9=0$ adalah $-\frac{9}{4}$ atau 1.

D. Soal Latihan

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode faktorisasi:
   1. $x^2+6x-16=0$.
   2. $x^2+6x=0$
   3. $x^2-81=0$
   4. $3x^2-17x+10=0$
   5. $2x^2+5x-7=0$
2. Persamaan kuadrat $x^2-3x-18=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1 <x_2$. Tentukan nilai $x_1+3x_2-x_1.x_2$.
3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
   1. $2x^2+4x-3=0$
   2. $3x^2-6x+1=0$
4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan rumus abc.
   1. $x^2+4x-8=0$
   2. $x^2-7x+28=11x-x^2$

Share :