PK1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial dengan derajat tertinggi dua, yang dinyatakan dalam bentuk umum:
$ax^2+bx+c=0$, $a,b,c\in R$, $a\ne 0$
keterangan:
$\begin{align}a &= \text{koefisien}\,x^2 \\ b &= \text{koefisien}\,x \\ c &= \text{konstanta} \end{align}$

Contoh 1.
Tentukanlah nilai $a$, $b$ dan $c$ dari persamaan berikut:
a) $7x^2-x+3=0$
b) $5x^2+2x=0$
c) $-x^2+3=0$
d) $mx^2=0$
e) $2(x^2-5x)=px^2+6$
Penyelesaian:
a) $7x^2-x+3=0$ maka:
$a=\text{koefisien}\,x^2\to a=7$
$b=\text{koefisien}\,x\to b=-1$
$c=\text{konstanta}\to c=3$

b) $5x^2+2x=0$ maka:
$a=\text{koefisien}\,x^2\to a=5$
$b=\text{koefisien}\,x\to b=2$
$c=\text{konstanta}\to c=0$

c) $-x^2+3=0$ maka:
$a=\text{koefisien}\,x^2\to a=-1$
$b=\text{koefisien}\,x\to b=0$
$c=\text{konstanta}\to c=3$

d) $mx^2=0$ maka:
$a=\text{koefisien}\,x^2\to a=m$
$b=\text{koefisien}\,x\to b=0$
$c=\text{konstanta}\to c=0$

e) $2(x^2-5x)=px^2+6$
$2x^2-10x=px^2+6$
$2x^2-px^2-10x-6=0$
$(2-p)x^2-10x-6=0$
$a=\text{koefisien}\,x^2\to a=2-p$
$b=\text{koefisien}\,x\to b=-10$
$c=\text{konstanta}\to c=-6$

Contoh 2.
Diketahui persamaan kuadrat $-x^2-4x+5=0$. Tentukan nilai $\frac{-b-\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$.
Penyelesaian:
$-x^2-4x+5=0$
$a=-1$, $b=-4$ dan $c=5$ maka:
$\begin{align}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &= \frac{-(-4)-\sqrt{(-4)^2-4.(-1).5}}{2.(-1)} \\ &= \frac{4-\sqrt{16+20}}{-2} \\ &= \frac{4-6}{-2} \\ &= \frac{-2}{-2} \\ &= 1 \end{align}$

Contoh 3.
Apabila bentuk $(x+1)(x-3)=5$ diubah ke bentuk $ax^2+bx+c=0$, tentukan nilai $a$, $b$ dan $c$.
Penyelesaian:
$\begin{align}(x+1)(x-3) &= 5 \\ x^2-3x+x-3 &= 5 \\ x^2-2x-3-5 &= 0 \\ x^2-2x-8 &= 0 \end{align}$
$a=1$, $b=-2$ dan $c=-8$

B. Akar-akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki dua akar persamaan (dua penyelesaian), misalkan $x_1$ dan $x_2$, artinya:
1) Jika $x=x_1$ maka $ax_1^2+bx_1+c=0$, atau
2) Jika $x=x_2$ maka $ax_2^2+bx_2+c=0$

Contoh 1.
Apabila $x=3$ merupakan solusi dari persamaan $3x^2+(k-1)x+9=0$, tentukan nilai $k$.
Penyelesaian:
$x=3$ substitusi ke persamaan:
$\begin{align}3x^2+(k-1)x+9 &= 0 \\ 3.3^2+(k-1).3+9 &= 0 \\ 27+3k-3+9 &= 0 \\ 3k+33 &= 0 \\ 3k &= -33 \\ k &= -11 \end{align}$

Contoh 2.
Diberikan persamaan kuadrat $(2-n)x^2+(3+n)x-8=0$. Apabila salah satu akar persamaan kuadrat itu adalah 2, tentukan nilai $n$.
Penyelesaian:
$x=2$ substitusi ke persamaan:
$\begin{align}(2-n)x^2+(3+n)x-8 &= 0 \\ (2-n).2^2+(3+n).2-8 &= 0 \\ (2-n).4+6+2n-8 &= 0 \\ 4n-4+2n-2 &= 0 \\ 6n-6 &= 0 \\ 6n &= 6 \\ n &= 1 \end{align}$

C. Soal Latihan

1. Diketahui persamaan kuadrat $2x^2+5x+3=0$, tentukan nilai $a+b+c$.
2. Persamaan kuadrat $2x^2-3x-4=0$, tentukan nilai dari $\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$.
3. Diketahui persamaan kuadrat $2x^2-5x+8=0$, tentukan nilai dari $\frac{c}{a}$.
4. Apabila bentuk $(5-x)(x+2)=3(x-1)$ ditulis sebagai $ax^2+bx+c=0$ dengan $a>0$, tentukan nilai $a$, $b$ dan $c$.
5. Persamaan $(k-1)x^2+4x-k=0$ mempunyai akar yang bernilai $-2$, tentukan nilai $k$.

Share :