PK3. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

A. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ berdasarkan nilai diskriminannya ($D=b^2-4ac$) adalah:

1. Jika $D > 0$, maka akar-akar real dan berbeda atau berlainan ($x_1 \ne x_2$).
2. Jika $D=b^2-4ac$ berbentuk kuadrat sempurna ($D=k^2$ dengan $k\in rasional$), maka kedua akar persamaan adalah rasional.
3. Jika $D=b^2-4ac$ bukan merupakan kuadrat sempurna, maka kedua akar adalah irrasional.
4. Jika $D=0$ maka akar-akar real dan sama atau kembar ($x_1=x_2$).
5. Jika $D <0$ maka akar-akar tidak real (imaginer).

Contoh 1.
Tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
a. $x^2-10x+25=0$
b. $x^2-10x+8=0$
c. $x^2-2x+10=0$
d. $x^2-x-6=0$
Penyelesaian:
a. $x^2-10x+25=0$
$a=1$, $b=-10$, $c=25$
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= (-10)^2-4.1.25 \\ &= 100-100 \\ D &= 0 \end{align}$
D = 0 maka akar-akar real dan kembar.

b. $3x^2-11x+8=0$
$a=3$, $b=-11$, $c=8$
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= (-11)^2-4.3.8 \\ &= 121-96 \\ D &= 25 \end{align}$
D > 0 maka akar-akar real dan berbeda.

c. $x^2-2x+10=0$
$a=1$, $b=-2$, $c=10$
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= (-2)^2-4.1.10 \\ &= 4-40 \\ D &= -36 \end{align}$
D < 0 maka akar-akar tidak real (imaginer).

d. $x^2-x-6=0$
$a=1$, $b=-1$, $c=-6$
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= (-1)^2-4.1.(-6) \\ &= 1+24 \\ D &= 25 \end{align}$
D > 0 maka akar-akar real dan berbeda.
D = 25 = $5^2$ (kuadrat sempurna) maka akar-akar rasional.

Contoh 2.
Tentukan nilai $p$ agar persamaan kuadrat $2px^2-(5p+2)x+4p+1=0$ mempunyai akar kembar.
Penyelesaian:
$2px^2-(5p+2)x+4p+1=0$
$a=2p$, $b=-(5p+2)=-5p-2$, $c=4p+1$
mempunyai akar-akar kembar, maka:
$\begin{align}D &= 0 \\ b^2-4ac &= 0 \\ (-2p-2)^2-4(p-1)(4p+1 &= 0 \\ 4p^2+8p+4-4(4p^2+p-4p-1) &= 0 \\ 4p^2+8p+4-4(4p^2-3p-1) &= 0 \\ 4p^2+8p+4-16p^2+12p+4 &= 0 \\ -12p^2+20p+8 &= 0 \\ 3p^2-5p-2 &= 0 \\ (3p+1)(p-2) &= 0 \end{align}$
$3p+1=0\to p=-\frac{1}{3}$
$p-2=0\to p=2$
Jadi, nilai $p=-\frac{1}{3}$ atau $p=2$

Contoh 3.
Tentukan batas-batas nilai $m$ agar persamaan kuadrat $mx^2+(m+2)x+\frac{1}{4}m=0$ mempunyai dua akar real yang berlainan.
Penyelesaian:
$mx^2+(m+2)x+\frac{1}{4}m=0$
$a=m$, $b=m+2$, $c=\frac{1}{4}m$
Akar-akar real dan berlainan maka:
$\begin{align}D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (m+2)^2-4.m.\frac{1}{4}m & > 0 \\ m^2+4m+4-m^2 & > 0 \\ 4m & > -4 \\ m & > -1 \end{align}$

Contoh 4.
Tentukan nilai $n$ agar persamaan $nx^2-4nx+2=0$ mempunyai akar tidak nyata.
Penyelesaian:
$nx^2-4nx+2=0$
$a=m$, $b=-4m$, $c=2$
mempunyai akar tidak nyata, maka:
$\begin{align}D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (-4m)^2-4.m.2 & <0 \\ 16m^2-8m & <0 \\ 2m^2-m & < 0 \\ m(2m-1) & < 0 \end{align}$
Nilai $m$ pembuat nol:
$m=0$ atau $2m-1=0\to m=\frac{1}{2}$
Garis bilangan:

Batas nilai $m$ yang memenuhi adalah $0 < m <\frac{1}{2}$.

Contoh 5.
Tentukan semua bilangan cacah $k$ yang membuat akar-akar persamaan kuadrat $x^2-2x+k-8=0$ rasional.
Penyelesaian:
$x^2-2x+k-8=0$
$a=1$, $b=-2$, $c=k-8$
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= (-2)^2-4.1.(k-8) \\ &= 4-4k+32 \\ D &= 36-4k \end{align}$
Agar akar-akar persamaan kuadrat rasional maka nilai D harus kuadrat sempurna.
Perhatikan tabel berikut:

Jadi, nilai $k$ yang membuat D bilangan kuadrat adalah 0, 5, 8, dan 9.

Contoh 6.
Tentukan nilai $m$ agar persamaan $(m-1)x^2+4x+2m=0$ mempunyai akar real.
Penyelesaian:
$(m-1)x^2+4x+2m=0$
$a=m-1$, $b=4$, $c=2m$
Mempunyai akar real, maka:
$\begin{align}D &\ge 0 \\ b^2-4ac &\ge 0 \\ 4^2-4(m-1).2m &\ge 0 \\ 16-8m^2+8m &\ge 0 \\ m^2-m-2 &\le 0 \\ (m-2)(m+1) &\le 0 \end{align}$
Nilai $m$ pembuat nol:
$m-2=0\to m=2$
$m+1=0\to m=-1$
Garis bilangan:

Jadi, $-1\le m\le 2$

B. Latihan Soal

1. Tentukan nilai $k$ agar $kx^2-(2k-3)x+k+6=0$ mempunyai akar kembar.
2. Tentukan nilai $p$ agar persamaan kuadrat $x^2-3x+p=0$ mempunyai akar-akar tidak real..
3. Persamaan kuadrat $x^2+(m-2)x+2m-4=0$ mempunyai akar-akar real, maka batas nilai $m$ yang memenuhi adalah ….
4. Persamaan kuadrat $\frac{1}{2}x^2+(p+2)x+p+\frac{7}{2}=0$ akar-akarnya imaginer untuk nilai $p$ = ….
5. Persamaan kuadrat $(k+2)x^2-(2k-1)x+k-1=0$ mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah ….

Share :