Pembahasan SIMAK UI 2012 Matematika IPA - CATATAN MATEMATIKA

Pembahasan SIMAK UI 2012 Matematika IPA

Pembahasan SIMAK UI 2012 Matematika IPA
SIMAK UI 2012 Matematika Saintek. Silahkan download soalnya dalam bentuk file pdf dan gunakanlah untuk membahas soal ini secara mandiri atau berdiskusi dengan bapak/ibu gurunya atau abang/kakak pengajar di bimbingan belajar.


Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 1
Diberikan bidang empat A.BCD dan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD. Jika BC = BD = $a\sqrt{2}$ cm, dan AB = $a$ cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan …
(A) $\frac{\pi }{6}$
(B) $\frac{\pi }{4}$
(C) $\frac{\pi }{3}$
(D) $\frac{3\pi }{4}$
(E) $\frac{\pi }{2}$
Pembahasan:

$\begin{align} CD &= \sqrt{B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{(a\sqrt{2})}^{2}}+{{(a\sqrt{2})}^{2}}} \\ &= \sqrt{4a} \\ CD &=2aa \end{align}$
$\begin{align} BM &= \frac{BC\times BD}{CD} \\ & =\frac{a\sqrt{2}\times a\sqrt{2}}{2a} \\ BM &= a \end{align}$
$\angle (ACD,BCD)=\angle (AM,BM)=\theta $
Perhatikan segitiga ABM:
$\begin{align} \tan \theta &=\frac{AB}{BM} \\ & =\frac{a}{a} \\ & \tan \alpha =1 \\ & \alpha ={{45}^{o}} \\ & \alpha =\frac{\pi }{4} \end{align}$
Jawaban: B

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 2
Himpunan semua bilangan $k$ sehingga sistem persamaan linier: $\left\{ \begin{matrix} kx+y=2 \\ x-y=3 \\ \end{matrix} \right.$ mempunyai solusi adalah …
(A) $k < -1$ atau $k > -1$
(B) $-1 < k < 0$ (C) $k > 1$
(D) $k < 0$ (E) $k > 2$
Pembahasan:
Teori:
$\left\{ \begin{matrix} ax+by=c \\ px+qy=r \\ \end{matrix} \right.$ memiliki solusi jika $\frac{a}{p}\ne \frac{b}{q}$
$\left\{ \begin{matrix} kx+y=2 \\ x-y=3 \\ \end{matrix} \right.$ memiliki solusi jika $\frac{k}{1}\ne \frac{1}{-1}\Leftrightarrow k\ne -1$ atau {$k < -1$ atau $k>-1$}
Jawaban: A

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 3
Diberikan $f(x)={{\sin }^{2}}x$. Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$, maka $\underset{x\rightarrow \infty }{\mathop{\lim }}\,h\left\{ f'\left( x+\frac{1}{h} \right)-f'(x) \right\}$ = …
(A) $\sin 2x$
(B) $-\cos 2x$
(C) $2\cos 2x$
(D) $2\sin x$
(E) $-2\cos x$
Pembahasan:
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,h\left\{ f'\left( x+\frac{1}{h} \right)-f'(x) \right\}=f''(x)$
Sehingga:
$f(x)={{\sin }^{2}}x$
$f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$
$f''(x)=2\cos 2x$
Jawaban: C

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 4
Himpunan penyelesaian dari $\sqrt{-1-x}\ge x+3$ adalah …
(A) $\{x|x\le 1\}$
(B) $\{x|-5\le x\le -2\}$
(C) $\{x|x\le -1\}$
(D) $\{x|x\le -2\}$
(E) $\{x|-3\le x\le -2\}$
Pembahasan:
$\sqrt{1-x}\ge x+3$
1) Syarat:
$-1-x\ge 0\Leftrightarrow x\le -1$, $H{{P}_{1}}=\{x\le -1\}$
2)
$\sqrt{-1-x}\ge x+3$
$-x-3+\sqrt{-1-x}\ge 0$
$-1-x+\sqrt{-1-x}-2\ge 0$
Misal: $p=\sqrt{-1-x}$ dengan $p\ge 0$, maka:
$-1-x+\sqrt{-1-x}-2\ge 0$
${{p}^{2}}+p-2\ge 0$
$(p+2)(p-1)\ge 0$
$p\le -2$ atau $p\ge 1$, karena $p\ge 0$ maka:
$p\ge 1$
$\begin{align} p &\ge 1 \\ \sqrt{-1-x} &\ge 1 \\ -1-x &\ge 1 \\ -x &\ge 2 \\ x &\le -2 \end{align}$
$H{{P}_{2}}=\{p\le -2\}$
$HP=H{{P}_{1}}\cap H{{P}_{2}}=\{x|x\le -2\}$
Jawaban: D

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 5
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+7}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x}}$ = …
(A) $-\infty $
(B) $-\frac{1}{2}$
(C) 0
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $\infty $
Pembahasan:
Misla: $p=-x\Leftrightarrow x=-p$ sehingga
Untuk $x\to -\infty $ maka $p\to \infty $
$\begin{align} \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+7}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x}} &=\underset{p\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-p+7}{\sqrt{4{{(-p)}^{2}}+3(-p)}} \\ & =\underset{p\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-p+7}{\sqrt{4{{p}^{2}}-3p}} \\ & =\underset{p\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-p+7}{2p} \\ & =\frac{-1}{2} \end{align}$
Jawaban: B
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 6
Diberikan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]$. Jika $2A={{A}^{-1}}$ maka $ad-bc$ = …
(A) $\frac{-1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(B) $\frac{-1}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{-1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{-1}{2}$
(E) $\frac{1}{2}$ atau 1
Pembahasan:
$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]\Leftrightarrow |A|=ad-bc=?$
$\begin{align} 2A &={{A}^{-1}} \\ |2A| &=|{{A}^{-1}}| \\ 4.|A| &=\frac{1}{|A|} \\ {|A|}^2 &=\frac{1}{4} \\ |A| &=\pm \frac{1}{2} \\ ad-bc &=\pm \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: B

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 7
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat ${{x}^{2}}+mx+n=0$ adalah $\alpha $ dan $\beta $. Jika $2\beta -\alpha =12$ dan ${{\alpha }^{2}}=4\beta $, maka $m+n$ = …
(A) $-39$
(B) $-16$
(C) 0
(D) 16
(E) 39
Pembahasan:
${{x}^{2}}+mx+n=0$ akar-akar $\alpha $ dan $\beta $, dimana $\alpha ,\beta >0$
$2\beta -\alpha =12\Leftrightarrow 2\beta =\alpha -12$
${{\alpha }^{2}}=4\beta $
${{\alpha }^{2}}=2.2\beta $
${{\alpha }^{2}}=2(\alpha +12)$
${{\alpha }^{2}}-2\alpha -24=0$
$(\alpha -6)(\alpha +4)=0$, karena $\alpha >0$ maka:
$\alpha =6$
$2\beta -\alpha =12$
$2\beta -6=12\Leftrightarrow \beta =9$
${{x}^{2}}+mx+n=0$
$\begin{align} \alpha +\beta &= -m \\ 6+9 &=-m \\ -15 &=m \end{align}$
$\begin{align} \alpha .\beta &= n \\ 6.9 &= n \\ 54 &= n \end{align}$
$m+n=-15+54=39$
Jawaban: E

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 8
Jika ${{\sin }^{2}}t({{\csc }^{2}}t-1)(1-\sin t+{{\sin }^{2}}t-{{\sin }^{3}}t+...)=x$, dengan $\frac{\pi }{2} < t < \pi $, maka nilai dari $\sin 2t$ adalah …
(A) $-2(x-1)\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}$
(B) $2(x-1)\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}$
(C) $\frac{-2(x-1)}{\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}}$
(D) $\frac{2(x-1)}{\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}}$
(E) $2(x+1)\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}$
Pembahasan: 
${{\sin }^{2}}t({{\csc }^{2}}t-1)(1-\sin t+{{\sin }^{2}}t-{{\sin }^{3}}t+...)=x$
${{\sin }^{2}}t\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}t}-1 \right)\left( \frac{1}{1+\sin t} \right)=x$
$\left( 1-{{\sin }^{2}}t \right)\left( \frac{1}{1+\sin t} \right)=x$
$\frac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{1+\sin t}=x$
$1-\sin t=x\Leftrightarrow \sin t=1-x$ $\sin t=\frac{1-x}{1}=\frac{de}{mi}$
$\begin{align} \cos t &=\frac{sa}{mi} \\ & =\frac{\sqrt{m{{i}^{2}}-d{{e}^{2}}}}{mi} \\ & =\frac{\sqrt{{{1}^{2}}-{{(1-x)}^{2}}}}{1} \\ \cos t &=\sqrt{1-{{(1-x)}^{2}}} \end{align}$ 
$\begin{align} \sin 2t &=2\sin t.\cos t \\ & =2(1-x)\sqrt{{{1}^{2}}-{{(1-x)}^{2}}} \end{align}$
Jawaban: B


Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 9
Misalkan $f(x)={{(x-1)}^{5}}+{{(x-1)}^{4}}+{{(x-1)}^{3}}+{{(x-1)}^{2}}+(x-1)+1$. Maka sisa dari pembagian $f(x+1)$ oleh $(x-1)$ adalah …
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 10
Pembahasan:
$f(x)={{(x-1)}^{5}}+{{(x-1)}^{4}}+{{(x-1)}^{3}}+{{(x-1)}^{2}}+(x-1)+1$
$f(x+1)={{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1$ dibagi $(x-1)$ maka sisanya
$f(1+1)={{1}^{5}}+{{1}^{4}}+{{1}^{3}}+{{1}^{2}}+1+1=6$
Jawaban: D

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 10
Misalkan ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-(2{{k}^{2}}-k-1)x+(3k+4)=0$ dan kedua akar itu bilangan bulat dengan $k$ konstan. Jika ${{x}_{1}}$, $k$, ${{x}_{2}}$ merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah $n$ suku pertama dari barisan tersebut adalah …
(A) $-\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{1}{2}$
(B) $-\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}-\frac{1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{1}{2}$
(D) $-{{\left( -1 \right)}^{n}}$
(E) $\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}-\frac{1}{2}$
Pembahasan:
${{x}^{2}}-(2{{k}^{2}}-k-1)x+(3k+4)=0$ akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=3k+4$
Barisan Geometri:
${{x}_{1}}$, $k$, ${{x}_{2}}$
${{k}^{2}}={{x}_{1}}.{{x}_{2}}$
${{k}^{2}}=3k+4$
${{k}^{2}}-3k-4=0$
$(k-4)(k+1)=0$
$k=-1$
${{x}^{2}}-(2{{k}^{2}}-k-1)x+(3k+4)=0$
${{x}^{2}}-(2.{{(-1)}^{2}}-(-1)-1)x+(3(-1)+4)=0$
${{x}^{2}}-2x+1=0$
$(x-1)(x-1)=0$
${{x}_{1}}={{x}_{2}}=1$
Barisan Geometri:
${{x}_{1}}$, $k$, ${{x}_{2}}$
1, -1, 1
$\begin{align} {{S}_{n}} &=\frac{a({{r}^{n}}-1)}{r-1} \\ & =\frac{1({{(-1)}^{n}}-1)}{-1-1} \\ & =-\frac{1}{2}{{(-1)}^{n}}+\frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: A

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 11
Jika diketahui garis singgung parabola $y=a{{x}^{2}}+12x-14$ pada titik $x=3$ membentuk sudut terhadap sumbu $x$ sebesar $\pi -\arctan (6)$, maka luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus $y=9x-32$ dan parabola tersebut adalah …
(A) $\frac{85}{2}$
(B) $\frac{95}{2}$
(C) $\frac{105}{2}$
(D) $\frac{115}{2}$
(E) $\frac{125}{2}$
Pembahasan:
$y=a{{x}^{2}}+12x-14$
$m=y'=2ax+12$
$m=\tan \left( \pi -\arctan 6 \right)$ untuk x = 3
$m=6a+12=\tan (\pi -\arctan 6)$
$6a+12=\frac{\tan \pi -\tan (\arctan 6)}{1+\tan \pi .\tan (\arctan 6)}$
$6a+12=\frac{0-6}{1+0.6}$
$6a+12=-6$
$6a=-18\Leftrightarrow a=-3$
$y=a{{x}^{2}}+12x-14$
$y=-3{{x}^{2}}+12x-14$
Luas daerah yang dibatasi $y=-3{{x}^{2}}+12x-14$ dan $y=9x-32$?
$-3{{x}^{2}}+12x-14=9x-32$
$-3{{x}^{2}}+3x+18=0$
$a=-3$, $b=3$, $c=18$
$\begin{align} D &={{b}^{2}}-4ac \\ & ={{3}^{2}}-4(-3).18 \\ D &=225 \end{align}$
$\begin{align} L &=\frac{D\sqrt{D}}{6{{a}^{2}}} \\ & =\frac{225\sqrt{225}}{6{{(-3)}^{2}}} \\ & =\frac{225.15}{6.9} \\ L &=\frac{125}{2} \end{align}$
Jawaban: E

Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 12
Jika $3\cos \theta -\sin \theta $ dinyatakan dalam bentuk $r\sin (\theta +\alpha )$ dengan $r>0$ dan ${{0}^{o}}<\alpha <{{360}^{o}}$ maka …
(A) $r=\sqrt{8}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2 atau 4.
(B) $r=\sqrt{8}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2.
(C) $r=\sqrt{10}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2 atau 4.
(D) $r=\sqrt{10}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2.
(E) $r=3$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 4.
Pembahasan: 
$3\cos \theta -\sin \theta =r\sin (\theta +\alpha )$
$3\cos \theta -\sin \theta =r(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha )$
$3\cos \theta -\sin \theta =r(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha )$
$3\cos \theta -\sin \theta =r\sin \alpha .\cos \theta +r\cos \alpha .\sin \theta $
$r\sin \alpha =3\to {{r}^{2}}.{{\sin }^{2}}\alpha =9$
$r\cos \alpha =-1\to {{r}^{2}}{{\cos }^{2}}\alpha =1$
 ---------------------------------- (+)
${{r}^{2}}({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha )=10$
${{r}^{2}}=10\Leftrightarrow r=\sqrt{10}$
$\frac{r\sin \alpha }{r\cos \alpha }=\frac{3}{-1}\Leftrightarrow \tan \alpha =\frac{3}{-1}$
$\alpha $ di kuadran II
Jawaban: D


Baca juga:
Dapatkan UPDATE TERBARU dengan cara subscribe dan follow channel berikut ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika
Sahabat-sahabat yang baik hatinya. Bantu share/ bagikan postingan ini di media sosial kalian ya..., agar blog ini semakin berkembang. Terimakasih!

0 Response to "Pembahasan SIMAK UI 2012 Matematika IPA"

Post a Comment

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.

close