Pembahasan SIMAK UI 2018 Matematika IPA Kode 416

Posted by Reikson Panjaitan on Friday, 8 June 2018

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2018 dengan Kode Soal 416. Soal ini merupakan salah satu alat tes untuk menyeleksi mahasiswa/i tahun ajaran 2018/2019 yang akan mengecap pendidikan tinggi di universitas ternama di Indonesia yaitu Universitas Indonesia (UI). Universitas Indonesia terletak di Jl. Margonda Raya, Beji, Pondok Cina Kota Depok Jawa Barat. Pembahasan SIMAK UI 2018/2019 ini adalah hasil pemikiran sederhana saya yang tentu masih jauh dari kata sempurna. Saya sangat menghargai kritik dan saran dari pengunjung setia Catatan Matematika yang sifatnya membangun dan mari diskusi dan belajar bersama melalui kolom komentar di akhir postingan ini.

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 1
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi ${{x}^{2}}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ = …
A. 12   B. 10   C. 9   D. 8   E. 5
Pembahasan:
Yang dibagi = Pembagi x Hasil bagi + Sisa
Suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}+x-2$ bersisa $ax+b$, maka:
$f(x)$ = (${{x}^{2}}+x-2$)Hasil + $ax+b$
$f(x)$ = $(x+2)(x-1)$Hasil + $ax+b$
$f(-2)$ = $(-2+2)(-2-1)$Hasil + $-2a+b$
$f(-2)$ = $-2a+b=7$ … persamaan (1)
$f(1)$ = $(1+2)(1-1)$Hasil + $a+b$
$f(1)$ = $a+b$ … persamaan (2)
Suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$, maka:
$f(x)$ = (${{x}^{2}}-4x+3$)Hasil + $2bx+a-1$
$f(x)$ = $(x-1)(x-3)$Hasil + $2bx+a-1$
$f(1)$ = $(1-1)(1-3)$Hasil + $2b+a-1$
$f(1)$ = $2b+a-1$ substitusi ke persamaan (2), maka:
$2b+a-1=a+b$
$b=1$
Substitusi ke persamaan (1), maka:
$-2a+b=7\Leftrightarrow -2a+1=7\Leftrightarrow a=-3$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{(-3)}^{2}}+{{1}^{2}}=10$
Kunci: B

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 2
Himpunan penyelesaian $16-{{x}^{2}}\le |x+4|$ adalah …
A. {$x\in R:-4\le x\le 4$}
B. {$x\in R:-4\le x\le 3$}
C. {$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 4$}
D. {$x\in R:0\le x\le 3$}
E. {$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 3$}
Pembahasan:
(i) Untuk $x\ge -4$ maka:
$16-{{x}^{2}}\le |x+4|$
$16-{{x}^{2}}\le x+4$
$12-{{x}^{2}}-x\le 0$
${{x}^{2}}+x-12\ge 0$
$(x+4)(x-3)\ge 0$
$x\le -4$ atau $x\ge 3$
yang memenuhi syarat $x\ge -4$ adalah $x\ge 3$.
(ii) Untuk $x\le 4$, maka:
$16-{{x}^{2}}\le |x+4|$
$16-{{x}^{2}}\le -(x+4)$
$20-{{x}^{2}}+x\le 0$
${{x}^{2}}-x-20\ge 0$
$(x-5)(x+4)\ge 0$
$x\le -4$ atau $x\ge 5$
yang memenuhi syarat $x\le 4$ adalah $x\le -4$
Dari i) dan (ii) diperoleh:
{$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 3$}
Kunci: E

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 3
Jika ${{x}_{1}}$ atau ${{x}_{2}}$ memenuhi persamaan $2{{\sin }^{2}}x-\cos x=1$, $0\le x\le \pi $, nilai ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ adalah …
A. $\frac{\pi }{3}$ B. $\frac{2\pi }{3}$ C. $\pi $ D. $\frac{4}{3}\pi $ E. $2\pi $
Pembahasan:
$2{{\sin }^{2}}x-\cos x=1$
$2(1-{{\cos }^{2}}x)-\cos x=1$
$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$
$(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$
$\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}={{60}^{o}}$ atau
$\cos x=-1\Leftrightarrow {{x}_{2}}={{180}^{o}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{60}^{o}}+{{180}^{o}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{240}^{o}}=\frac{{{240}^{o}}}{{{180}^{o}}}\pi =\frac{4}{3}\pi $
Kunci: D

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 4
Jika $\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{b{{x}^{3}}+27}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif adalah …
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{b{{x}^{3}}+27}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$
$\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{3+ax}{3ax(b{{x}^{3}}+27)}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$
Untuk $x=-3$ maka:
$3+ax=0\Leftrightarrow 3-3a=0\Leftrightarrow a=1$
Untuk $x=-3$ maka:
$b{{x}^{3}}+27=0\Leftrightarrow b.{{(-3)}^{3}}+27=0\Leftrightarrow b=1$
$a+b=1+1=2$
Kunci: E

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 5
Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int\limits_{6}^{30}{f(x)dx}=30$, maka $\int\limits_{1}^{9}{f(3y+3)dy}$ = …
A. 5   B. 10   C. 15   D. 18   E. 27
Pembahasan:
Misal:
$\int\limits_{y=1}^{y=9}{f(3y+3)dy}$
$x=3y+3$ maka $\frac{dx}{dy}=3\Leftrightarrow dy=\frac{1}{3}dx$
$y=1\Rightarrow x=6$
$y=9\Rightarrow x=30$
$\int\limits_{1}^{9}{f(3y+3)dy}=\int\limits_{6}^{30}{f(x).\frac{1}{3}dx}$
$=\frac{1}{3}\int\limits_{6}^{30}{f(x)dx}$
$=\frac{1}{3}.30=10$
Kunci: B


Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 6
Pada balok ABCD.EFGH, dengan AB = 6, BC = 3, dan CG = 2, titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Jika 3EM = EH, FN = 2NG, 3DO = 2DA, dan $\alpha$ adalah bidang irisan balok yang melalui M, N, dan O, perbandingan luas bidang $\alpha$ dengan luas permukaan balok adalah …
A. $\frac{\sqrt{35}}{36}$ B. $\frac{\sqrt{37}}{36}$ C. $\frac{\sqrt{38}}{36}$ D. $\frac{\sqrt{39}}{36}$ E. $\frac{\sqrt{41}}{36}$
Pembahasan:
Berdasarkan informasi soal, maka dapat dibuat gambar sebagai berikut:
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2018
Bidang $\alpha$ adalah bidang MNN’O (berupa persegipanjang)
Perhatikan segitiga MM’N siku-siku di titik M, dengan MM’ = 6 cm, M’N = 1 cm, maka:
$MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{1}^{1}}}=\sqrt{37}$
Luas bidang $\alpha$ adalah:
$=N'N\times MN$
$=2\sqrt{37}$
Luas permukaan balok adalah:
$=2(p.l+p.t+l.t)$
$=2(6.3+6.2+3.2)=72$
$\frac{\alpha }{L.balok}=\frac{2\sqrt{37}}{72}=\frac{\sqrt{37}}{36}$
Kunci: B

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 7
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga CP : PG = 5 : 2. Jika $\alpha $ adalah sudut terbesar antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $\sin \alpha $ = …
A. $-\frac{7\sqrt{11}}{33}$ B. $-\frac{7\sqrt{11}}{44}$ C. $\frac{7\sqrt{11}}{33}$ D. $\frac{7\sqrt{11}}{44}$ E. $\frac{7\sqrt{11}}{55}$
Pembahasan:
Karena CP : PG = 5 : 2 untuk mempermudah perhitungan misalkan panjang rusuk kubus 14 cm, maka CP = 10 cm dan PG = 4 cm. Perhatikan gambar berikut ini!
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2018
Sudut terbesar antara rusuk CG dan bidang PBD adalah $\alpha $, dengan $\alpha ={{180}^{o}}-\angle CPQ$
$CQ=7\sqrt{2}$, CP = 10, maka:
$PQ=\sqrt{C{{Q}^{2}}+C{{P}^{2}}}$
$PQ=\sqrt{{{(7\sqrt{2})}^{2}}+{{10}^{2}}}$
$PQ=3\sqrt{22}$
$\sin \alpha =\sin ({{180}^{o}}-\angle CPQ)$
$\sin \alpha =\sin \angle CPQ$
$\sin \alpha =\frac{CQ}{PQ}$
$\sin \alpha =\frac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{22}}$
$\sin \alpha =\frac{7}{3\sqrt{11}}\times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{7\sqrt{11}}{33}$
Kunci: C

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 8
Jika ${{3}^{x}}+{{5}^{y}}=18$, nilai maksimum ${{3}^{x}}{{.5}^{y}}$ adalah …
A. 72   B. 80   C. 81   D. 86   E. 88
Pembahasan:
${{3}^{x}}+{{5}^{y}}=18$
Misal: ${{3}^{x}}=a$ dan ${{3}^{y}}=b$ , maka
$a+b=18\Leftrightarrow a=18-b$ nilai maksimum $ab=...?$
$L=a.b$
$L=a(18-a)$
$L=18a-{{a}^{2}}$
Maksimum/minimum, maka $L'=0$
$18-2a=0\Leftrightarrow a=9$
$L=18a-{{a}^{2}}\Leftrightarrow L=18.9-{{9}^{2}}=81$
Kunci: C

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 9
Diketahui $sx-y=0$ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu-$x$. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-$x$ dan titik pusatnya dilalui garis $x=-2$, nilai $3s$ adalah …
A. $\frac{1}{6}$   B. $\frac{4}{3}$   C. 3   D. 4  E. 6
Pembahasan:
Berdasarkan informasi soal, maka dapat dibuat gambar sebagai berikut!
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2018
Dari gambar diperoleh:
Lingkaran melalui berpusat di titik (-2,-1) dan berjari-jari 1, maka persamaan lingkarannya adalah:
${{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}={{1}^{2}}$, $y=sx$
${{(x+2)}^{2}}+{{(sx+1)}^{2}}=1$
${{x}^{2}}+4x+4+{{s}^{2}}{{x}^{2}}+2sx+1=1$
$({{s}^{2}}+1){{x}^{2}}+(2s+4)x+4=0$, syarat menyinggung $D=0$,
${{b}^{2}}-4ac=0$
${{(2s+4)}^{2}}-4({{s}^{2}}+1)4=0$
$4{{s}^{2}}+16s+16-16{{s}^{2}}-16=0$
$-12{{s}^{2}}+16s=0$
$-4s(3s-4)=0$
$-4s=0$ atau $3s=4$
Kunci: D

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 10
Jika kurva $y=(a-2){{x}^{2}}+\sqrt{3}(1-a)x+a-2$ selalu berada di atas sumbu-$x$, bilangan bulat terkecil $a-2$ yang memenuhi adalah …
A. 6   B. 7   C. 8   D. 9   E. 10
Pembahasan:
$y=(a-2){{x}^{2}}+\sqrt{3}(1-a)x+a-2$ maka:
$A=a-2$, $B=\sqrt{3}(1-a)$, $C=a-2$,
Selalu berada di atas sumbu-X (definit positif), maka:
(1) $A > 0\Leftrightarrow a-2 > 0\Leftrightarrow a>2$
(2) $D < 0$
$B^2-4AC < 0$
${{[\sqrt{3}(1-a)]}^{2}}-4(a-2)(a-2) < 0$
$3(1-2a+{{a}^{2}})-4({{a}^{2}}-4a+4) < 0$
$3-6a+3{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}+16a-16 < 0$
$-{{a}^{2}}+10a-13 < 0$
${{a}^{2}}-10a+13 > 0$, dengan rumus abc maka:
$a=\frac{10\pm \sqrt{48}}{2}$
$a=\frac{10\pm 4\sqrt{3}}{2}$
$a=5\pm 2\sqrt{3}$
$a < 5-2\sqrt{3}$ atau $a > 5+2\sqrt{3}$
Dari (1) dan (2) diperoleh batas nilai $a$ adalah:
$a > 5+2\sqrt{3}\Leftrightarrow a > 5+\sqrt{12}$
$a-2 > 5+\sqrt{12}-2$, karena diminta bilangan bulat terkecil, maka:
$a-2=5+\sqrt{16}-2=7$
Kunci: B


Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 11
Jika $a+b-c=2$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4{{c}^{2}}=2$, dan $ab=\frac{3}{2}{{c}^{2}}$, nilai $c$ adalah …
A. 0   B. 1   C. 2   D. 3   E. 6
Pembahasan:
$a+b-c=2$
$a+b=2+c$
${{(a+b)}^{2}}={{(2+c)}^{2}}$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab={{c}^{2}}+4c+4$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4{{c}^{2}}=2$
-----------------------------------(-)
$2ab+4{{c}^{2}}={{c}^{2}}+4c+2$
$3{{c}^{2}}-4c+2ab-2=0$, diketahui $ab=\frac{3}{2}{{c}^{2}}$
$3{{c}^{2}}-4c+2.\frac{3}{2}{{c}^{2}}-2=0$
$6{{c}^{2}}-4c-2=0$
$3{{c}^{2}}-2c-1=0$
$(3c+1)(c-1)=0$
$c=-\frac{1}{3}$ atau $c=1$
Kunci: B

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 12
Jika ${{S}_{n}}$ adalah jumlah sampai suku ke-n dari barisan geometri, ${{S}_{1}}+{{S}_{6}}=1024$ dan ${{S}_{3}}\times {{S}_{4}}=1023$, maka $\frac{{{S}_{11}}}{{{S}_{8}}}$ = …
A. 3   B. 16   C. 32   D. 64   E. 254
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 13 sampai nomor 15.
Petunjuk C yaitu pilihlah:
A. Jika (1), (2), (3) benar.
B. Jika (1) dan (3) benar.
C. Jika (2) dan (4) benar.
D. Jika hanya (4) yang benar.
E. Jika semuanya benar.
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 13
Jika vektor $\vec{u}=(2,-1,2)$ dan $\vec{v}=(4,10,-8)$, maka …
(1) $\vec{u}+k\vec{v}$ tegak lurus $\vec{u}$ bila $k=\frac{17}{18}$
(2) sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah sudut tumpul.
(3) $||pro{{y}_{{\vec{u}}}}\vec{v}||=6$
(4) Jarak antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ sama dengan $||\vec{u}+\vec{v}||$
Pembahasan:
Pernyataan (1)
$\vec{u}+k\vec{v}$ tegak lurus $\vec{u}$, maka:
$(\vec{u}+k\vec{v}).\vec{u}=0$
$\left( \begin{matrix} 2+4k \\ -1+10k \\ 2-8k \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=0$
$4+4k+1-10k+4-16k=0$
$-22k=-9\Leftrightarrow k=\frac{9}{22}$,
Pernyataan (1) SALAH
Pernyataan (2)
$\cos (u,v)=\frac{u.v}{|u||v|}$
$\cos (u,v)=\frac{\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 \\ 10 \\ -8 \\ \end{matrix} \right)}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{16+100+64}}$
$\cos (u,v)=\frac{8-10-16}{3.6\sqrt{5}}$
$\cos (u,v)=\frac{-18}{18\sqrt{5}}$, karena nilainya negatif maka sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah sudut tumpul. Pernyataan (2) BENAR.
Berdasarkan petunjuk C, tanpa mengecek pernyataan (4) maka opsi yang memenuhi adalah C.
Kunci: C

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 14
Jika $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$, $a > 0$, dan $a,b\in R$, maka …
(1) nilai minimum lokal $y=b-\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$
(2) nilai maksimum lokal $y=b+\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$
(3) $y$ stasioner saat $x={{a}^{\frac{1}{2}}}$
(4) naik pada interval $\left[ -\infty ,-{{a}^{\frac{1}{2}}} \right]$
Pembahasan:
$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$
$\frac{dy}{dx}={{x}^{2}}-a=0$, karena $a > 0$ maka:
$(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})=0$
$x=-\sqrt{a}$ atau $x=\sqrt{a}$,
Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2018
Dari gambar garis bilangan, maka: pernyataan (3) dan (4) BENAR.
$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$
$x=-\sqrt{a}\Rightarrow y=b+\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$ (nilai maksimum lokal), pernyataan (1) BENAR.
$x=\sqrt{a}\Rightarrow y=b-\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$ (nilai minimum lokal), pernyataan (2) BENAR.
Kunci: E

Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 15
Jika $\alpha =-\frac{\pi }{12}$, maka …
(1) ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{6}{8}$
(2) ${{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =\frac{12}{16}$
(3) ${{\cos }^{4}}\alpha =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$
(4) ${{\sin }^{4}}\alpha =\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$
Pembahasan:
$\alpha =-\frac{\pi }{12}=-{{15}^{o}}$
$\sin {{15}^{o}}=\sin ({{45}^{o}}-{{30}^{o}})$
$\sin {{15}^{o}}=\sin {{45}^{o}}\cos {{30}^{o}}-\cos {{45}^{o}}\sin {{30}^{o}}$
$\sin {{15}^{o}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}$
$\sin {{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
${{\sin }^{2}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}$
${{\sin }^{2}}{{15}^{o}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$
${{\sin }^{4}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}=\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$, pernyataan (4) BENAR.
Dengan cara yang sama:
$\cos {{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
${{\cos }^{2}}{{15}^{o}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
${{\cos }^{4}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}=\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$, pernyataan (3) SALAH.
Dengan logika, berdasarkan petunjuk C maka kita sudah dapat menentukan opsi yang memenuhi adalah D.
Kunci: D

Baca juga:
Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SIMAK UI

Previous
« Prev Post

Baca Juga Artikel Berikut:

June 08, 2018

0 komentar:

Post a Comment

Terima kasih atas kunjungannya!