Pembahasan OSK Matematika SMA 2019 (Kemampuan Lanjut)
Pada hari ini disela-sela kesibukan saya, pagi hari hingga siang hari di sekolah mendidik anak-anak bangsa yang dipercayakan oleh orang tua kepada sekolah, setelah itu lanjut lagi menjajakan ILMU matematika yang alakadarnya di bimbingan belajar hingga magrib menjelang malam hari. Beberapa jam quality time bersama isteri dan si buah hati. Saya manfaatkan waktu beberapa menit untuk membahas dan mengetik Pembahasan OSK Matematika SMA 2019 (Kemampuan Lanjut). Oh iya, pada postingan ini juga saya sediakan file soal dalam bentuk pdf yang dapat di download sepuasnya.
Baca juga: Soal dan Kunci Jawaban OSK SMA Tahun 2019 Semua Bidang Studi.
Kemampuan Lanjut
Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai 4 poin, jawaban kosong bernilai nol ddan jawaban salah bernilai -1 (minus satu).
OSK Matematika SMA 2019 No. 1
Sisa pembagian ${{1111}^{2019}}$ oleh 11111 adalah …
Pembahasan:
${{1111}^{2019}}(\bmod 11111)$
= ${{({{1111}^{2}})}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{(1234321)}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{(1234321(\bmod 11111))}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{({{10}^{3}})}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{(10)}^{3027}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{({{10}^{5}})}^{605}}\times 100\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{({{10}^{5}}(\bmod 11111))}^{605}}\times 111100(\bmod 11111)$
= ${{(1)}^{605}}\times 111100(\bmod 11111)$
= 11101
OSK Matematika SMA 2019 No. 2
Diberikan segitiga ABC dengan D pertengahan AC, E pertengahan BD, dan H merupakan pencerminan dari A terhadap E. Jika F perpotongan antara AH dengan BH, maka nilai $\frac{AF}{FH}$ sama dengan …
Pembahasan:
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{BF}{FC}.\frac{CA}{AD}.\frac{DE}{EB}=1$
$\frac{BF}{FC}.\frac{2\times AD}{AD}.\frac{EB}{EB}=1$
$\frac{2BF}{FC}=1$
$FC=2BF$ atau $BC=3\times BF$
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{AD}{DC}.\frac{CB}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{DC}{DC}.\frac{3\times BF}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{3FE}{EA}=1$
$AE=3\times EF$
$\frac{AF}{FH}=\frac{AE+EF}{EH-EF}$
= $\frac{AE+EF}{AE-EF}$
= $\frac{3\times EF+EF}{3\times EF-EF}$
= $\frac{4\times EF}{2\times EF}$
= 2
OSK Matematika SMA 2019 No. 3
Banyaknya bilangan delapan digit yang setiap digitnya adalah 1 atau 2 tetapi tidak memuat tiga digit 1 berurutan adalah …
Pembahasan:
Pembahasan:
Kemungkinan I:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, terdapat 1 bilangan.
Kemungkinan II:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 2,2, 1, terdapat $\frac{8!}{7!}$ = 8 bilangan.
Kemungkinan III:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, terdapat $\frac{8!}{6!2!}$ = 28 bilangan.
Kemungkinan IV:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, tetapi tidak boleh ada 111, terdapat $\frac{8!}{5!3!}-\frac{6!}{5!}=56-6$ = 50 bilangan.
Kemungkinan V:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1.
x2x2x2x2x
selanjutnya kita menghitung banyaknya cara menggantikan nilai x dengan angka 1 dan 11.
x dapat digantikan dengan 1, 1, 1, 1, * banyaknya susunan $\frac{5!}{4!}=5$.
x dapat digantikan dengan 11, 1, 1, *, * banyaknya susunan $\frac{5!}{2!2!}=30$ bilangan.
x dapat digantikan dengan 11, 11, *, *, * banyaknya susunan $\frac{5!}{2!3!}=10$ bilangan.
Catatan: * bertanda tidak diisi
Total kemungkinan V = 5 + 30 + 10 = 45 bilangan.
Kemungkinan VI:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1.
$=\frac{8!}{3!5!}-\frac{5!}{3!}-\frac{6!}{3!2!}=56-10-30$ = 16 bilangan.
Kemungkinan VII:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, yaitu: 11211211 terdapat 1 bilangan.
Jadi banyaknya susunan angka adalah: 1 + 8 + 28 + 50 + 45 + 16 + 1 = 149 bilangan.
OSK Matematika SMA 2019 No. 4
Misalkan $f(x)=1+\frac{90}{x}$. Nilai terbesar $x$ yang memenuhi $=x$ adalah …
Pembahasan:
$\underbrace{f(f...(f(x)...)}_{2019kali}=x$
$\underbrace{(f\circ f\circ f\circ ...\circ f)(x)}_{2019kali}=x$
$\underbrace{(f\circ f\circ f\circ ...\circ f}_{2018kali}\left( 1+\frac{90}{x} \right)=x$
$\underbrace{(f\circ f\circ f\circ ...\circ f)(x)}_{2018kali}=\frac{90}{x-1}$
$x=\frac{90}{x-1}$
${{x}^{2}}-x-90=0$
$(x-10)(x+9)=0$
$x=10$ atau $x=-9$
Jadi, nilai terbesar $x$ adalah 10.
OSK Matematika SMA 2019 No. 5
Misalkan ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 4. Lingkaran-lingkaran $x$, $y$, $z$ dengan jari-jari sama mempunyai pusat di dalam persegi sedemikian sehingga lingkaran $x$ menyinggung sisi AB dan AD, lingkaran $y$ menyinggung sisi AB dan BC, serta lingkaran $z$ menyinggung sisi DC, lingkaran $x$, dan lingkaran $y$. Diketahui jari-jari lingkaran $x$ dapat dinyatakan dengan $n-\sqrt{m}$ dengan $m$ dan $n$ bilangan bulat positif. Nilai $m$ = …
Pembahasan:
Perhatikan sketsa gambar berikut ini!
Misalkan jari-jari lingkaran x, y, dan z adalah $r=n-\sqrt{m}$, maka:JL = 4 – 2r
JM = $\frac{JL}{2}=2-r$
KM = 4 – 2r
JK = 2r
Pada segitiga JMK siku-siku di M berlaku teorema phytagoras:
$J{{K}^{2}}=J{{M}^{2}}+K{{M}^{2}}$
${{(2r)}^{2}}={{(2-r)}^{2}}+{{(4-2r)}^{2}}$
$4{{r}^{2}}=4-4r+{{r}^{2}}+16-16r+4{{r}^{2}}$
${{r}^{2}}-20r+20=0$
$r=\frac{20\pm \sqrt{{{(-20)}^{2}}-4.1.20}}{2.1}$
$r=\frac{20\pm \sqrt{320}}{2}$
$r=\frac{20\pm 8\sqrt{5}}{2}$
$r=10-4\sqrt{5}$
$n-\sqrt{m}=10-\sqrt{80}$
m = 80
OSK Matematika SMA 2019 No. 6
Semua bilangan bulat sehingga ${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$ merupakan bilangan kuadrat tak nol adalah ….
Pembahasan:
${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$
= $n({{n}^{3}}+16{{n}^{2}}+71n+56)$
= $n(n+1)({{n}^{2}}+15n+56)$
= $n(n+1)(n+7)(n+8)$
= $n(n+8)(n+1)(n+7)$
= $({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ merupakan bilangan kuadrat.
Misalkan: ${{n}^{2}}+8n=x$ maka:
$({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ = $x(x+7)$ merupakan bilangan kuadrat, kita peroleh $x=9$ atau $x=-16$.
*) Untuk $x=9$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=9$
${{n}^{2}}+8n-9=0$
$(n+9)(n-1)=0$
$n=-9$ atau $n=1$
*) Untuk $x=-16$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=-16$
${{n}^{2}}+8n+16=0$
$(n+4)(n+4)=0$
$n=-4$
Jadi, semua $n$ yang memenuhi adalah {-9, -4, 1} sebanyak 3.
OSK Matematika SMA 2019 No. 7
Diberikan jajar genjang ABCD dengan $\angle ABC={{105}^{o}}$. Titik M berada di dalam jajar genjang sehingga segitiga BMC sama sisi dan $\angle CMD={{135}^{o}}$. Jika K pertengahan sisi AB, maka besarnya BKC sama dengan … derajat.
Pembahasan:
JM = $\frac{JL}{2}=2-r$
KM = 4 – 2r
JK = 2r
Pada segitiga JMK siku-siku di M berlaku teorema phytagoras:
$J{{K}^{2}}=J{{M}^{2}}+K{{M}^{2}}$
${{(2r)}^{2}}={{(2-r)}^{2}}+{{(4-2r)}^{2}}$
$4{{r}^{2}}=4-4r+{{r}^{2}}+16-16r+4{{r}^{2}}$
${{r}^{2}}-20r+20=0$
$r=\frac{20\pm \sqrt{{{(-20)}^{2}}-4.1.20}}{2.1}$
$r=\frac{20\pm \sqrt{320}}{2}$
$r=\frac{20\pm 8\sqrt{5}}{2}$
$r=10-4\sqrt{5}$
$n-\sqrt{m}=10-\sqrt{80}$
m = 80
OSK Matematika SMA 2019 No. 6
Semua bilangan bulat sehingga ${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$ merupakan bilangan kuadrat tak nol adalah ….
Pembahasan:
${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$
= $n({{n}^{3}}+16{{n}^{2}}+71n+56)$
= $n(n+1)({{n}^{2}}+15n+56)$
= $n(n+1)(n+7)(n+8)$
= $n(n+8)(n+1)(n+7)$
= $({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ merupakan bilangan kuadrat.
Misalkan: ${{n}^{2}}+8n=x$ maka:
$({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ = $x(x+7)$ merupakan bilangan kuadrat, kita peroleh $x=9$ atau $x=-16$.
*) Untuk $x=9$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=9$
${{n}^{2}}+8n-9=0$
$(n+9)(n-1)=0$
$n=-9$ atau $n=1$
*) Untuk $x=-16$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=-16$
${{n}^{2}}+8n+16=0$
$(n+4)(n+4)=0$
$n=-4$
Jadi, semua $n$ yang memenuhi adalah {-9, -4, 1} sebanyak 3.
OSK Matematika SMA 2019 No. 7
Diberikan jajar genjang ABCD dengan $\angle ABC={{105}^{o}}$. Titik M berada di dalam jajar genjang sehingga segitiga BMC sama sisi dan $\angle CMD={{135}^{o}}$. Jika K pertengahan sisi AB, maka besarnya BKC sama dengan … derajat.
Pembahasan:
Segitiga BMC adalah segitiga sama sisi, maka:BM = BC = CM = p
Titik K pertengahan sisi AB, maka:
AK = BK = q dan CD = 2q
Perhatikan segitiga CMD, berlaku aturan sinus:
$\frac{CM}{\sin {{30}^{o}}}=\frac{CD}{\sin {{135}^{o}}}$
$\frac{p}{\frac{1}{2}}=\frac{2q}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\Leftrightarrow p=q\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga CBK, berlaku aturan cosinus:
$K{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{K}^{2}}-2.BC.BK.\cos {{105}^{o}}$
$K{{C}^{2}}={{p}^{2}}+{{q}^{2}}-2pq.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}={{\left( q\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{q}^{2}}-2.q\sqrt{2}.q.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}-{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}={{q}^{2}}\left( 2+\sqrt{3} \right)$
$KC=q\sqrt{2+\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{2+\frac{2}{2}\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$
$KC=q.\frac{\sqrt{(3+1)+2\sqrt{3.1}}}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\sqrt{2}.\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
$KC=\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
Luas segitiga BKC = $\frac{1}{4}\times $ Luas ABCD
$\frac{1}{2}.BK.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.BC.AC.\sin {{105}^{o}}$
$\frac{1}{2}.q.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.p.2q.\sin {{105}^{o}}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\sin {{105}^{o}}}{KC}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{\frac{1}{4}\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\frac{\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\angle BKC={{45}^{o}}$
OSK Matematika SMA 2019 No. 8
Bilangan real terbesar M sehingga untuk setiap $x$ positif berlaku $(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$ adalah …
Pembahasan:
$(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge Mx$
Berdasarkan $AM\ge GM$ untuk setiap variabel
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{1+20+122+256+165}\ge \sqrt[576]{{{x}^{576}}}$
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{576}\ge x$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge 576x\ge Mx$
$Mx\le 576x\Leftrightarrow M\le 576$
Jadi, bilangan real terbesar M adalah 576.
OSK Matematika SMA 2019 No. 9
Banyaknya tripel bilangan bulat $(m,n,p)$ dengan $p$ prima yang memenuhi ${{p}^{2}}{{n}^{2}}-3mn=21p-{{m}^{2}}$ adalah …
Pembahasan:
OSK Matematika SMA 2019 No. 10
Suatu lomba matematika diikuti oleh 2019 peserta. Untuk setiap dua peserta lomba keduanya saling mengenal atau saling tidak mengenal. Diketahui bahwa tidak ada tiga orang peserta lomba yang ketiganya saling mengenal satu sama lain. Misalkan $m$ adalah bilangan asli sehingga:
* Masing-masing peserta mengenal paling banyak $m$ peserta lainnya.
* Untuk setiap bilangan asli k dengan 1 < k < m, minimal terdapat satu orang peserta yang mengenal tepat k peserta lainnya.
Nilai m terbesar yang mungkin adalah …
Pembahasan:
Jika A dan B saling mengenal, A dan C saling mengenal, maka B dan C tidak boleh saling mengenal.
Dari syarat di atas, maka akan terdapat $\frac{1}{3}$ bagian dari peserta yang tidak saling mengenal yaitu $\frac{1}{3}.2019=673$ orang tidak saling mengenal.
Disebutkan bahwa masing-masing peserta mengenal paling banyak m peserta yang lainnya yaitu 2019 – 673 = 1346 orang.
Titik K pertengahan sisi AB, maka:
AK = BK = q dan CD = 2q
Perhatikan segitiga CMD, berlaku aturan sinus:
$\frac{CM}{\sin {{30}^{o}}}=\frac{CD}{\sin {{135}^{o}}}$
$\frac{p}{\frac{1}{2}}=\frac{2q}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\Leftrightarrow p=q\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga CBK, berlaku aturan cosinus:
$K{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{K}^{2}}-2.BC.BK.\cos {{105}^{o}}$
$K{{C}^{2}}={{p}^{2}}+{{q}^{2}}-2pq.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}={{\left( q\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{q}^{2}}-2.q\sqrt{2}.q.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}-{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}={{q}^{2}}\left( 2+\sqrt{3} \right)$
$KC=q\sqrt{2+\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{2+\frac{2}{2}\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$
$KC=q.\frac{\sqrt{(3+1)+2\sqrt{3.1}}}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\sqrt{2}.\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
$KC=\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
Luas segitiga BKC = $\frac{1}{4}\times $ Luas ABCD
$\frac{1}{2}.BK.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.BC.AC.\sin {{105}^{o}}$
$\frac{1}{2}.q.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.p.2q.\sin {{105}^{o}}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\sin {{105}^{o}}}{KC}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{\frac{1}{4}\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\frac{\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\angle BKC={{45}^{o}}$
OSK Matematika SMA 2019 No. 8
Bilangan real terbesar M sehingga untuk setiap $x$ positif berlaku $(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$ adalah …
Pembahasan:
$(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge Mx$
Berdasarkan $AM\ge GM$ untuk setiap variabel
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{1+20+122+256+165}\ge \sqrt[576]{{{x}^{576}}}$
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{576}\ge x$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge 576x\ge Mx$
$Mx\le 576x\Leftrightarrow M\le 576$
Jadi, bilangan real terbesar M adalah 576.
OSK Matematika SMA 2019 No. 9
Banyaknya tripel bilangan bulat $(m,n,p)$ dengan $p$ prima yang memenuhi ${{p}^{2}}{{n}^{2}}-3mn=21p-{{m}^{2}}$ adalah …
Pembahasan:
OSK Matematika SMA 2019 No. 10
Suatu lomba matematika diikuti oleh 2019 peserta. Untuk setiap dua peserta lomba keduanya saling mengenal atau saling tidak mengenal. Diketahui bahwa tidak ada tiga orang peserta lomba yang ketiganya saling mengenal satu sama lain. Misalkan $m$ adalah bilangan asli sehingga:
* Masing-masing peserta mengenal paling banyak $m$ peserta lainnya.
* Untuk setiap bilangan asli k dengan 1 < k < m, minimal terdapat satu orang peserta yang mengenal tepat k peserta lainnya.
Nilai m terbesar yang mungkin adalah …
Pembahasan:
Jika A dan B saling mengenal, A dan C saling mengenal, maka B dan C tidak boleh saling mengenal.
Dari syarat di atas, maka akan terdapat $\frac{1}{3}$ bagian dari peserta yang tidak saling mengenal yaitu $\frac{1}{3}.2019=673$ orang tidak saling mengenal.
Disebutkan bahwa masing-masing peserta mengenal paling banyak m peserta yang lainnya yaitu 2019 – 673 = 1346 orang.
Artikel Terkait: |
Semoga postingan: Pembahasan OSK Matematika SMA 2019 (Kemampuan Lanjut) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
terima kasih, sangat bermanfaat bagi lembaga kami
ReplyDelete