Fungsi Irasional (Fungsi Akar) dan Grafiknya

A. Definisi Fungsi Irasional (Fungsi Akar)

Fungsi irasional adalah fungsi yang domainnya terletak dibawah tanda akar atau suatu fungsi yang variabel bebasnya terdapat dibawah tanda akar. Jika $g(x)$ adalah suatu fungsi dan $n$ adalah bilangan bulat lebih dari 1, maka $f(x)=\sqrt[n]{g(x)}$ merupakan fungsi akar dengan syarat $g(x)\ge 0$.

Contoh fungsi irasional:

1. $f(x)=\sqrt{2x-6}$
2. $f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}$
3. $f(x)=3+\sqrt{x+1}$

B. Menentukan Domain dan Range Fungsi Irasional

Untuk menentukan domain fungsi irasional, ekspresi di dalam akar harus lbih besar atau sama dengan nol ($\ge 0$) dan selesaikan pertidaksamaan tersebut untuk menentukan batas-batas nilai $x$. Jika fungsi memiliki akar di penyebut, ekspresi di dalam akar harus lebih besar dari nol ($ > 0$).

Contoh 1.
Tentukan domain dan range dari fungsi $f(x)=\sqrt{2x-5}$.
Penyelesaian:
$f(x)=\sqrt{2x-5}$
Ekspresi di dalam akar $\ge 0$ maka:
$\begin{align}2x-5 &\ge 0 \\ 2x &\ge 5 \\ x &\ge \frac{5}{2} \end{align}$
$Df=\{x|x\ge \frac{5}{2},\,x\in R\}$
$y=\sqrt{2x-5}\to y\ge 0$
$Rf=\{y|y\ge 0,\,y\in R\}$

Contoh 2.
Tentukan domain dan range dari fungsi $f(x)=\sqrt{\frac{2x+1}{x-3}}$
Penyelesaian:
$f(x)=\sqrt{\frac{2x+1}{x-3}}$
Ekspresi di dalam akar $ > $ 0 maka:
$\frac{2x+1}{x-3} > 0$
Nilai $x$ pembuat nol pertidaksamaan:
$2x+1=0\to 2x=-1\to x=-\frac{1}{2}$
$x-3=0\to x=3$
Garis bilangan:

$Df=\{x|x < -\frac{1}{2}\,atau\,x > 3,\,x\in R\}$
$\frac{2x+1}{x-3} > 0$ maka:
$y=\sqrt{\frac{2x+1}{x-3}}\to y > 0$
$Rf=\{y|y > 0,\,y\in R\}$

C. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Irasional

Langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi irasional:

1. Menentukan domain dan range fungsi
2. Mengubah persamaan dalam bentuk $x=f(y)$
3. Menentukan beberapa titik dengan cara substitusi nilai range ke persamaan $x=f(y)$
4. Menggambarkan sketsa grafiknya

Contoh 1.
Gambarlah sketsa grafik $y=\sqrt{x}$
Penyelesaian:
1) Menentukan domain dan range fungsi
$y=\sqrt{x}$ maka $x\ge 0$
$Df=\{x|x\ge 0,\,x\in R\}$
$x\ge 0$ maka $y=\sqrt{x}\to y\ge 0$
$Rf=\{y|y\ge 0,\,y\in R\}$
2) Mengubah persamaan dalam bentuk $x=f(y)$
$y=\sqrt{x}$ maka:
$\begin{align}\sqrt{x} &= y \\ \left( \sqrt{x} \right)^2 &= y^2 \\ x &= y^2 \end{align}$
3) Menentukan beberapa titik dengan cara substitusi nilai range ke persamaan $x=f(y)$
$x=y^2$
$y=0\to x=0^2\to x=0$
$y=1\to x=1^2\to x=1$
$y=2\to x=2^2\to x=4$
Jadi, titik-titiknya adalah (0,0), (1,1), (4,2).
4) Menggambarkan sketsa grafiknya


Contoh 2.
Gambarlah sketsa grafik $y=\sqrt{x-1}$
Penyelesaian:
1) Menentukan domain dan range fungsi
$y=\sqrt{x-1}$ maka $x-1\ge 0\to x\ge 1$
$Df=\{x|x\ge 1,\,x\in R\}$
$x-1\ge 0$ maka $y=\sqrt{x-1}\to y\ge 0$
$Rf=\{y|y\ge 0,\,y\in R\}$
2) Mengubah persamaan dalam bentuk $x=f(y)$
$\begin{align}\sqrt{x-1} &= y \\ \left( \sqrt{x-1} \right)^2 &= y^2 \\ x-1 &= y^2 \\ x &= y^2+1 \end{align}$
3) Menentukan beberapa titik dengan cara substitusi nilai range ke persamaan $x=f(y)$
$x=y^2+1$
$y=0\to x=0^2+1\to x=1$
$y=1\to x=1^2+1\to x=2$
$y=2\to x=2^2+1\to x=5$
$y=3\to x=3^2+1\to x=10$
Jadi, titik-titiknya adalah (1,0), (2,1), (5,2), (10,3)
4) Menggambarkan sketsa grafiknya



Contoh 3.
Gambarlah grafik untuk $y=2+\sqrt{x-1}$
Penyelesaian:
1) Menentukan domain dan range fungsi
$y=2+\sqrt{x-1}$ maka $x-1\ge 0\to x\ge 1$
$Df=\{x|x\ge 1,\,x\in R\}$
$x-1\ge 0$ maka $y=2+\sqrt{x-1}\to y\ge 2+0\to y\ge 2$
$Rf=\{y|y\ge 2,\,y\in R\}$
2) Mengubah persamaan dalam bentuk $x=f(y)$
$\begin{align}2+\sqrt{x-1} &= y \\ \sqrt{x-1} &= y-2 \\ \left( \sqrt{x-1} \right)^2 &= (y-2)^2 \\ x-1 &= y^2-4y+4 \\ x &= y^2-4y+5 \end{align}$
3) Menentukan beberapa titik dengan cara substitusi nilai range ke persamaan $x=f(y)$.
$x=y^2-4y+5$
$y=2\to x=2^2-4.2+5\to x=1$
$y=3\to x=3^2-4.3+5\to x=2$
$y=4\to x=4^2-4.4+5\to x=5$
$y=5\to x={{5}^{2}}-4.5+5\to x=10$
Jadi, titik-titiknya adalah (1,2), (2,3), (5,4), (5,10).
4) Menggambarkan sketsa grafiknya

D. Soal Latihan

1. Tentukan domain dan range dari fungsi $f(x)=\sqrt{x^2-2x-8}$
2. Tentukan domain dan range dari fungsi $f(x)=3+\sqrt{1-x}$
3. Tentukan domaind dan range dari fungsi $f(x)=\sqrt{\frac{x+5}{2x-3}}$
4. Gambarkan grafik fungsi $f(x)=\sqrt{x-2}$
5. Gambarkan grafik fungsi $y=1+\sqrt{4-x}$

Share :