Fungsi Rasional (Fungsi Pecahan) dan Grafiknya

A. Fungsi Rasional

Ada dua macam fungsi rasional, yaitu fungsi rasional bulat dan fungsi rasional pecahan. Fungsi-fungsi $f(x)=3$, $f(x)=5x-1$, dan $f(x)=x^2-5x+1$ merupakan fungsi rasional bulat. Sedangkan fungsi dengan bentuk umum $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$, dengan $g(x)$ dan $h(x)$ adalah fungsi-fungsi suku banyak dan $h(x)\ne 0$ disebut fungsi rasional pecahan atau fungsi pecahan. Bentuk-bentuk fungsi rasional yang akan kita pelajari adalah:
1. $f(x)=\frac{ax+b}{px+q}$
2. $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}$
3. $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{px+q}$
4. $f(x)=\frac{ax+b}{px^2+qx+r}$

B. Asimtot Fungsi Rasional

Asimtot dari suatu fungsi $y=f(x)$ adalah garis lurus yang tidak pernah dipotong oleh fungsi itu, tetapi hanya didekati sampai tanpa batas.
Jenis-jenis asimtot:
a. Asimtot datar
Asimtot datar (sejajar sumbu X), diperoleh jika $x$ mendekati $\infty $ maka persamaan asimtot datar adalah $y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.


b. Asimtot tegak
Asimtot tegak (sejajar sumbu Y) diperoleh jika $y$ mendekati $\infty $, yang berarti penyebut fungsi pecahan itu sama dengan 0 sehingga diperoleh persamaan dalam bentuk $x=k$.


c. Asimtot miring


Asimtot Beberapa Fungsi Rasional

C. Menggambar Grafik Fungsi Rasional

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional $y=f(x)$

1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
2. Menentukan asimtot (datar, tegak, miring).
3. Menentukan titik statisioner ($f(x)=0$, $f(x) > 0$, dan $f(x) < 0$).
4. Menyelidiki daerah fungsi
5. Menentukan beberapa titik bantu jika diperlukan.

---

Contoh 1.
Gambarlah grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-1}{3x+2}$.
Penyelesaian:
$y=\frac{2x-1}{3x+2}\leftrightarrow y=\frac{ax+c}{px+q}$ , $a=2$, $c=-1$, $p=3$ dan $q=2$
Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat:
Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika $y=0$, maka:
$\begin{align}\frac{2x-1}{3x+2} &= 0 \\ 2x-1 &= 0 \\ x &= \frac{1}{2} \end{align}$
Diperoleh titik $\left( \frac{1}{2},0 \right)$.
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika $x=0$, maka:
$\begin{align}y &= \frac{2x-1}{3x+2} \\ y &= \frac{2.0-1}{3.0+2} &= -\frac{1}{2} \end{align}$
Diperoleh titik $\left( 0,-\frac{1}{2} \right)$.
Menentukan Asimtot:
Asimtot datar: $y=\frac{a}{p}=\frac{2}{3}$
Asimtot tegak: $x=-\frac{q}{p}=-\frac{2}{3}$.
Beberapa titik bantu:


Grafik:

---

Contoh 2.
Gambarlah grafik fungsi $f(x)=\frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3}$.
Penyelesaian:
$y=\frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3}$ $\leftrightarrow $ $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}$
$a=1$ dan $p=1$
Menentukan titik potong kurva dengan sumbu koordinat:
Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika $y=0$, maka:
$\begin{align}\frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3} &= 0 \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x-5)(x+2) &= 0 \end{align}$
$x-5=0\to x=5$
$x+2=0\to x=-2$
Diperoleh titik $A(5,0)$ dan $B(-2,0)$.
Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika $x=0$ maka:
$\begin{align}y &= \frac{x^2-3x-10}{x^2+2x-3} \\ y &= \frac{0^2-3.0-10}{0^2+2.0-3} \\ &= \frac{-10}{-3} \\ y &= 3\frac{1}{3} \end{align}$
Diperoleh titik $C\left( 0,3\frac{1}{3} \right)$.
Menentukan Asimtot:
Asimtot datar:
$y=\frac{a}{p}=\frac{1}{1}\to y=1$
Asimtot tegak:
Penyebut = 0
$x^2+2x-3=0$ < br> $(x+3)(x-1)=0$
$x+3=0\to x=-3$
$x-1=0\to x=1$

Grafik:

---

Contoh 3.
Gambarlah grafik fungsi $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-1}$.
Penyelesaian:
$y=\frac{x^2-x-6}{x-1}\Leftrightarrow f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{px+q}$
Menentukan titik potong kurva dengan sumbu koordinat:
Titik potong dengan sumbu X, diporoleh jika $y=0$ maka:
$\begin{align}x^2-x-6 &= 0 \\ (x+2)(x-3) &= 0 \end{align}$
$x+2=0\to x=-2$
$x-3=0\to x=3$
Diperoleh titik $A(-2,0)$ dan $B(3,0)$.
Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika $x=0$ maka:
$y=\frac{x^2-x-6}{x-1}$
$y=\frac{0^2-0-6}{0-1}=6$
Diperoleh titik $C(0,6)$.
Menentukan Asimtot:
Asimtot tegak:
$x=-\frac{q}{p}=-\frac{1}{-1}\to x=1$
Asimtot miring:
$\begin{align}y &= \frac{x^2-x-6}{x-1} \\ &= \frac{(x-1)x-6}{x-1} \\ y &= x-\frac{6}{x-1} \end{align}$
Jadi, asimtot miring adalah $y=x$.
Grafik:

---

Contoh 4.
Gambarlah grafik fungsi $f(x)=\frac{x+2}{x^2-2x-3}$.
Penyelesaian:
$y=\frac{x+2}{x^2-2x-3}\Leftrightarrow f(x)=\frac{ax+b}{px^2+qx+r}$
Menentukan titik potong kurva dengan sumbu koordinat:
Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika $y=0$ maka:
$\begin{align}\frac{x+2}{x^2-2x-3} &= 0 \\ x+2 &= 0 \\ x &= -2 \end{align}$
Diperoleh titik $A(-2,0)$.
Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika $x=0$ maka:
$y=\frac{x+2}{x^2-2x-3}$
$y=\frac{0+2}{{{0}^{2}}-2.0-3}=-\frac{2}{3}$
Diperoleh titik $\left( 0,-\frac{2}{3} \right)$.
Menentukan asimtot:
Asimtot tegak tegak diperoleh apabila $y\to \infty $, yang berarti:
$x^2-2x-3=0$
$(x-3)(x+1)=0$
$x-3=0\to x=3$
$x+1=0\to x=-1$
Jadi, asimtot tegaknya $x=3$ dan $x=-1$.
Grafik:

D. Soal Latihan

1. Tentukan asimtot datar dan asimtot tegak dari fungsi $f(x)=\frac{4x-2}{2x+9}$.
2. Tentukan titik potong grafik fungsi $y=\frac{x^2+8x+15}{x^2-4x+3}$ dengan sumbu X.
3. Tentukan simtot tegak dan asimtot datar dari fungsi $y=\frac{x-3}{x^2+2x-8}$.
4. Tentukan asimtot tegak dan simtot miring dari fungsi $y=\frac{x^2-4x-21}{x+1}$
5. Grafik fungsi $y=\frac{x^2+ax+b}{px+q}$ melalui $(4,0)$, $(2,10)$ dan memotong sumbu Y di titik $(0,4)$, serta memiliki asimtot $x=3$. Nilai $a+b+p-q$ adalah ….

Share :