Pembahasan Soal OSN-K SMP 2025 - Olimpiade Matematika

Berikut ini adalah Soal Matematika OSN-K SMP 2025. Silakan dimanfaatkan sebaik mungkin.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .

Soal OSN-K SMP 2025 No. 1

Suatu data terdiri dari 35 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar adalah 29 dan mediannya adalah 22. Misalkan rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah $x$, dan rata-rata terbesar yang mungkin adalah $y$. Nilai $x+y$ = ⋯
A. 40,4
B. 37,4
C. 36,4
D. 25,4

Pembahasan: Lihat/Tutup

Rata-rata terkecil ($x$), jika 17 bilangan terkecilnya bernilai minimum dan 17 bilangan selanjutnya (kecuali bilangan terbesar) bernilai sama dengan median, maka:
$x=\frac{17\times 1+17\times 22+29}{35}=12$
Rata-rata terbesar ($y$), jika 18 bilangan terkecilnya sama dengan median dan bilangan selanjutnya sama dengan bilangan teresar, maka:
$y=\frac{18\times 22+17\times 29}{35}=25,4$
Jadi, $x+y$ = 12 + 25,4 = 37,4
Jawaban: B

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 2

Jajargenjang ABCD memiliki keliling 106 cm dengan panjang sisi AB = $(3x+1)$ cm dan BC = $(5x-20)$ cm. Titik E pada sisi AB sehingga DE tegak lurus AB. Titik F dan H pada ruas garis CE. Titik K pada sisi AB sehingga FK sejajar DE. Titik G berada di dalam segitia ECD sehingga garis GF tegak lurus GH dan GF sejajar DE.

Jika panjang DE = $(3x-7)$ cm, HC = 2$\times $EF, dan FK = 5 cm, luas daerah bangun datar berwarna merah adalah …
A. 122,5
B. 185
C. 262,5
D. 280

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar berikut!

ABCD jajargenjang maka:
$\begin{align}Keliling\,ABCD &= 2(AB+BC) \\ 106 &= 2(3x+1+5x-20) \\ 106 &= 2(8x-19) \\ 106 &= 16x-38 \\ 144 &= 16x \\ 9 &= x \end{align}$
$\begin{align}DE &= 3x-7 \\ &= 3.9-7 \\ DE &= 20 \end{align}$
$\begin{align}AD &= BC \\ &= 5x-20 \\ &= 5.9-20 \\ AD &= 25 \end{align}$
Perhatikan segitiga AED siku-siku di E berlaku torema pythagoras:
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15$
$AB=3x+1=3.9+1=28$
BE = AB – AE = 28 – 15 = 13
$\Delta EFK$ sebangun dengan $\Delta CHI$, sehingga berlaku:
$\begin{align}\frac{LH}{FK} &= \frac{HC}{EF} \\ \frac{LH}{5} &= \frac{2\times EF}{EF} \\ LH &= 10 \end{align}$
FG = DE – LH – FK = 20 – 10 – 5 = 5
$\begin{align}[DEC] &= \frac{1}{2}\times DE\times DC \\ &= \frac{1}{2}\times 20\times 28 \\ [DEC] &= 280 \end{align}$
$\Delta GFH$ sebangun dengan $\Delta DEC$ maka:
$\begin{align}\frac{[GFH]}{[DEC]} &= \left( \frac{GF}{DE} \right)^2 \\ \frac{[GFH]}{280} &= \left( \frac{5}{20} \right)^2 \\ \frac{[GFH]}{280} &= \frac{1}{16} \\ [GFH] &= 17,5 \end{align}$
Luas merah = $[DEC]-[GFH]$ = 280 – 17,5 = 262,5 $\text{cm}^2$.
Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 3

Dalam suatu lingkaran berpusat di O berjari-jari 7, dibuat segitiga ABC dengan titik A, B, dan C terletak pada lingkaran, AC merupakan diameter lingkaran dan $\angle ACB=60^\circ $.

Melalui C dan titik tengah AB, dibuat garis memotong lingkaran di titik D. Panjang CD sama dengan …
A. $3\sqrt{7}$
B. $5\sqrt{7}$
C. $6\sqrt{7}$
D. $7\sqrt{7}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambarberikut!

AC diameter maka sudut B siku-siku. Perbandingan sisi-sisi segitiga istimewa $90{}^\circ $, $30^\circ $, dan $60{}^\circ $ maka AC = 14, BC = 7, dan AB = $7\sqrt{3}$.
$BX=\frac{1}{2}\times AB=\frac{7}{2}\sqrt{3}$
Lihat $\Delta CBX$ siku-siku di B maka:
$\begin{align}CX &= \sqrt{CB^2+BX^2} \\ &= \sqrt{7^2+\left( \frac{7}{2}\sqrt{3} \right)^2} \\ CX &= \frac{7}{2}\sqrt{7} \end{align}$
Dengan power of point, maka:
$\begin{align}CX.XD &= AX.XB \\ \frac{7}{2}\sqrt{7}.XD &= \frac{7}{2}\sqrt{3}.\frac{7}{2}\sqrt{3} \\ XD &= \frac{21}{2\sqrt{7}} \\ XD &= \frac{3}{2}\sqrt{7} \end{align}$
CD = CX + XD = $\frac{7}{2}\sqrt{7}+\frac{3}{2}\sqrt{7}$ = $5\sqrt{7}$
Jawaban: B

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 4

Diketahui $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat positif dengan $p-1=(k^2-4k-3)^2$ dan $q-1=(k^2-4k-5)^2$. Jika $pq$ adalah bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin bagi $p^2+q^2$ adalah …
A. 10
B. 26
C. 122
D. 1370

Pembahasan: Lihat/Tutup

$p$, $q$ bilangan bulat positif dan $pq$ bilangan prima maka:
1. Jika $p=1$ maka $q$ bilangan prima.
2. Jika $q=1$ maka $p$ bilangan prima.
Kasus 1. $p=1$ maka:
$(k^2-4k-3)^2=0\to k^2-4k-3=0$
$\begin{align}q-1 &= (k^2-4k-5)^2 \\ q &= ((k^2-4k-3)-2)^2+1 \\ q &= (0-2)^2+1 \\ q &= 5\,(\text{bilangan prima}) \end{align}$
$p^2+q^2=1^2+5^2=26$
Kasus 2. $q=1$ maka:
$(k^2-4k-5)^2=0\to k^2-4k-5=0$
$\begin{align}p-1 &= (k^2-4k-3)^2 \\ p &= ((k^2-4k-5)+2)^2+1 \\ p &= (0+2)^2+1 \\ p &= 5 \end{align}$
$p^2+q^2=5^2+1^2=26$
Dari kasus 1 dan kasus 2, nilai terbesar yang mungkin bagi $p^2+q^2$ adalah 26.
Jawaban: B

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 5

Jika $a=\frac{(-1)^4\times 4+(-1)^3\times 3+(-1)^2\times 2+(-1)^1\times 1}{2^3}$ maka nilai $\frac{a+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}}$ adalah …
A. $-3$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. 3

Pembahasan: Lihat/Tutup

$a=\frac{(-1)^4\times 4+(-1)^3\times 3+(-1)^2\times 2+(-1)^1\times 1}{2^3}$
$a=\frac{4-3+2-1}{8}$
$a=\frac{1}{4}$
$\begin{align}\frac{a+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}} &= \frac{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}-\sqrt{\frac{1}{4}}} \\ &= \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}} \\ &= -3 \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 6

Tiga bersaudara Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku bulanan mereka dalam bentuk uang pecahan Rp5.000, Rp10.000, serta Rp20.000 dengan pembagian sebagai berikut:
Ana mendapatkan $x$ lembar Rp5.000, $y$ lembar Rp10.000, serta $z$ lembar Rp20.000
Bona mendapatkan $y$ lembar Rp5.000, $z$ lembar Rp10.000, serta $x$ lembar Rp20.000
Cinta mendapatkan $z$ lembar Rp5.000, $x$ lembar Rp10.000, serta $y$ lembar Rp20.000
Diketahui total uang saku ketiganya adalah Rp700.000, maka pernyataan benar tentang uang saku mereka yang dapat disimpulkan dari informasi tersebut adalah…
A. Ana mendapatkan uang saku sejumlah tepat 20 lembar
B. Bona mendapatkan uang saku dengan nilai terbesar
C. Cinta mendapatkan uang saku dengan nilai terkecil
D. Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku lembaran Rp10.000 yang sama banyaknya

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\frac{5.000x+10.000y+20.000z \\ 20.000x+5.000y+10.000z \\ 10.000x+20.000y+5.000z}{\begin{align}35.000x+35.000y+35.000z &= 700.000 \\ 35.000(x+y+z) &= 700.000 \\ x+y+z &= 20 \end{align}}+$
Ana mendapat uang sebanyak $x+y+z=20$ lembar.
Jawaban: A

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 7

Perhatian barisan bilangan berikut!
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, …
Suku-suku barisan tersebut diperoleh dari suku-suku barisan semua bilangan bulat positif dengan menghilangkan kelipatan 5. Suku ke-2025 barisan tersebut adalah …
A. 2430
B. 2530
C. 2531
D. 2532

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan $U_n$ adalah suku ke-$n$ dari barisan di atas. Perhatikan bahwa setiap 8 suku angka satuan dari barisan diatas berulang dan juga bahwa
$U_{8k}=10(k-1)+9$ maka:
$\begin{align}U_{2024} &= U_{8\times 253} \\ &= 10(253-1)+9 \\ U_{2024} &= 2529 \end{align}$
$U_{2025}$ = 2531
Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 8

Suatu Perusahaan pembuat baterai mobil Listrik sedang melakukan control kualitas terhadap 2000 baterai hasil produksinya. Ada 3 hasil pengecekan kerusakan pada baterai yang dicek, yaitu kerusakan pelat penutup, kerusakan elektrolit, dan kerusakan terminal.
Hasil pengecekan kerusakan dirangkum pada table berikut.

Baterai yang tidak mengalami kerusakan sama sekali dikatakan memenuhi standar.
Berdasakan data tersebut, banyaknya baterai yang memenuhi standar adalah …
A. 1804
B. 1880
C. 1919
D. 1920

Pembahasan: Lihat/Tutup

2000 – 30 – 50 – 40 – 10 – 19 – 15 – 5 = 1919
Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 9

Pasangan terurut bilangan bulat $(x,y)$ dengan $-5\le x\le 5$ dan $-5\le y\le 5$, yang memenuhi nilai $10\le x^2+y^2\le 30$ ada sebanyak …
A. 10
B. 25
C. 34
D. 68

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jawaban: D

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 10

Suatu objek di titik $(x,y)$ hanya dapat bergerak ke titik $(x+1,y)$, $(x,y+1)$ atau $(x+1,y+1)$. Banyaknya jalur berbeda yang dapat dilalui objek yang bergerak dari titik (0,0) ke titik (5,5) adalah …
A. 25
B. 252
C. 1683
D. 3125

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 11

Sejumlah kertas berbentuk persegi panjang ditumpuk kemudian dilipat dua sekaligus untuk membentuk buku. Buku yang terbentuk diberi nomor halaman berurutan mulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya hingga akhir. Jika salah satu lembar kertas dari buku tersebut diambil, jumlah keempat nomor halamannya adalah 122. Banyak kertas yang digunakan untuk menyusun buku tersebut adalah ... lembar.
Contoh.
Berikut ini adalah ilustrasi dari buku menggunakan 2 lembar kertas.

Jumlah nomor halaman untuk lembar kertas berwarna kuning adalah 3 + 4 + 5 + 6 = 18.
A. 60
B. 15
C. 12
D. 10

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan ada $n$ halaman, perhatikan gambar berikut!

Jumlah nomor halaman dalam satu kertas = 122 maka:
$\begin{align}n+1+2+n-1 &= 122 \\ 2n &= 120 \\ n &= 60 \end{align}$
Dalam satu kertas memuat 4 halaman, maka banyak kertas yang digunakan adalah $\frac{60}{4}$ = 15 lembar.
Jawaban: B

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 12

Dua bilangan bulat positif memiliki jumlah 40 dan kelipatan persekutuan terkecil 48. Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan tersebut adalah …
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24

Pembahasan: Lihat/Tutup

$a+b=40$ dan $KPK(a,b)=48$
Misal $FPB(a,b)=k$ maka $a=km$ dan $b=kn$ dengan $FPB(m,n)=1$.
$\begin{align}FPB(a,b)\times KPK(a,b) &= a\times b \\ k\times 48 &= km\times kn \\ 48 &= kmn \end{align}$
$\begin{align}a+b &= 40 \\ km+kn &= 40 \\ k(m+n) &= 40 \end{align}$
$\begin{align}\frac{k(m+n)}{kmn} &= \frac{40}{48} \\ \frac{m+n}{mn} &= \frac{5}{6} \\ \frac{m+n}{mn} &= \frac{2+3}{2\times 3} \end{align}$
$m=2$ dan $n=3$
$\begin{align}kmn &= 48 \\ k\times 2\times 3 &= 48 \\ k &= 8 \end{align}$
$FPB(a,b)=k=8$
Jawaban: A

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 13

Suatu bidang empat T.ABC memiliki bidang sisi segitiga TBC, TBA, dan ABC yang masing-masing saling tegak lurus seperti pada gambar berikut

Luas TBC : Luas TBA : Luas ABC = 1 : 2 : 3 dan panjang AC = 10 cm, maka volume bidang empat TABC sama dengan … $\text{cm}^2$.
A. $\frac{80}{9}\sqrt{5}$
B. $\frac{80}{9}\sqrt{5}$
C. $80\sqrt{5}$
D. $320\sqrt{5}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan BC = a, BT = b, dan AB = c. Perhatikan gambar berikut!

[TBC] : [TBA] : [ABC] = 1 : 2 : 3 maka:
ab : bc : ac = 1 : 2 : 3
Jika ab = n maka bc = 2n dan ac = 3n untuk n bilangan bulat positif.
Segitiga ABC siku-siku di B maka:

$\begin{align}AB^2+BC^2 &= AC^2 \\ c^2+a^2 &= 10^2 \\ \frac{ac\times bc}{ab}+\frac{ab\times ac}{bc} &= 100 \\ \frac{3n\times 2n}{n}+\frac{n\times 3n}{2n} &= 100 \\ 6n+\frac{3n}{2} &= 100 \\ 12n+3n &= 200 \\ 15n &= 200 \\ n &= \frac{200}{15} \\ n &= \frac{40}{3} \end{align}$
Volume bidang empat T.ABC adalah:
$\begin{align}V &= \frac{1}{3}\times \text{Luas}\,\text{alas}\times \text{tinggi} \\ &= \frac{1}{3}\times \frac{ac}{2}\times b \\ &= \frac{1}{6}\times abc \\ &= \frac{1}{6}\sqrt{(abc)^2} \\ &= \frac{1}{6}\sqrt{ab\times bc\times ac} \\ &= \frac{1}{6}\sqrt{n\times 2n\times 3n} \\ &= \frac{1}{6}\sqrt{6n^3} \\ &= \frac{1}{6}n\sqrt{6n} \\ &= \frac{1}{6}\times \frac{40}{3}\sqrt{6\times \frac{40}{3}} \\ &= \frac{20}{9}\sqrt{80} \\ &= \frac{20}{9}\times 4\sqrt{5} \\ V &= \frac{80}{9}\sqrt{5}\,\text{cm}^3 \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 14

Diketahui barisan geometri: 80, $x$, $y$, $z$, 3125. Nilai terkecil yang mungkin dari $x-y+z$ adalah …
A. $-3120$
B. $-1950$
C. 480
D. 950

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}\frac{U_5}{U_1} &= \frac{3125}{80} \\ \frac{ar^4}{a} &= \frac{625}{16} \\ r^4 &= \left( \frac{5}{2} \right)^4 \\ r &= \pm \frac{5}{2} \end{align}$
Agar $x-y+z$ maka $r=-\frac{5}{2}$
Barisan geometri: 80, $x$, $y$, $z$, 3125 menjadi
80, -200, 500, -1250, 3125
x – y + z = -200 – 500 + (-1250) = -1950
Jawaban: B

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 15

Enam bilangan prima yang kurang dari 160 membentuk barisan aritmetika dengan beda lebih dari 1. Jumlah keenam bilangan tersebut adalah …
A. 240
B. 300
C. 492
D. 926

Pembahasan: Lihat/Tutup

Bilangan prima kurang dari 160 adalah
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157.
Bilangan prima selain 2 adalah ganjil, maka beda (b) nya haruslah genap.
Di cek satu persatu-satu diperoleh b = 30 dan barisan artimetikanya adalah:
7, 37, 67, 97, 127, 157
Jumlahnya = 7 + 37 + 67 +97 + 127 + 157 = 492.
Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 16

Ana memiliki 9 sticker sebagai berikut.

Delapan stiker akan ditempel berjajar dari kiri ke kanan di sampul buku tulisnya.
Banyaknya cara ia menempel ke delapan sticker tersebut, sehingga sticker yang sama tidak bersebelahan dan sticker bergambar hati tersenyum terletak di paling kanan adalah …
A. 26
B. 32
C. 35
D. 36

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan sticker paling atas diberi simbol A, sticker tengah diberi simbol B, dan sticker paling bawah diberi simbol C. Jelas ujung kanan pasti C, maka untuk 7 sticker lainnya ada 3 kasus, yaitu:
Kasus 1: Sticker yang terpilih adalah B, B, B, B, A, A, C.
Untuk kasus ini, A, A, C harus disisipkan di antara B, banyaknya cara menyusun A, A, C ada $\frac{3!}{2!}=3$ cara.
Kasus 2: Sticker yang terpilih adalah B, B, B, B, A, C, C.
Untuk kasus ini, A, C, C harus disisipkan di antara B, banyaknya cara menyusun A, C, C ada $\frac{3!}{2!}=3$ cara.
Kasus 3: Sticker yang terpilih adalah B, B, B, A, A, C, C.
Jika A, A disisipkan di antara B yaitu BABAB, banyaknya cara menyisipkan C, C ada $\left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=\frac{6.5}{2.1}=15$ cara.
Jika C, C disisipkan di antara B yaitu BCBCB, banyaknya cara menyisipkan A, A ada $\left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=\frac{6.5}{2.1}=15$ cara.
Namun, ada 4 yang double counting yaitu BCABCAB, BCABACB, BACBCA, dan BACBAC.
Jika C, A disisipkan di antara B maka ada 4 cara yaitu CBCBABA, ABCBABC, CBABCBA, ABABCBC.
Jadi, total ada 3 + 3 +15 + 15 – 4 + 4 = 36 cara.
Jawaban: D

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 17

Segitiga sama sisi ABC dan DEF dengan panjang sisi sama, yaitu 1 cm. Titik B terletak pada sisi DE, titik D terletak pada sisi AB, dan titik G adalah perpotongan sisi BC dan sisi DF. Jika luas daerah segiempat ADGC sama dengan luas daerah segiempat BEFG dan juga sama dengan luas daerah segitiga BDG, maka keliling segilima AEFGC adalah… cm.
A. $6-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
B. $6-\sqrt{2}$
C. $6-\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D. $6-3\sqrt{2}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan panjang sisi DB = a, perhatikan gambar!

[ADGC] = [BDG] maka $[BDG]=\frac{1}{2}\times [ABC]$
$\Delta BDG$ sebangun dengan $\Delta ABC$ maka:
$\begin{align}\frac{[BDG]}{[ABC]} &= \left( \frac{DG}{AC} \right)^2 \\ \frac{\frac{1}{2}\times [ABC]}{[ABC]} &= \left( \frac{a}{1} \right)^2 \\ \frac{1}{2} &= a^2 \\ a &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ a &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$
Keliling segilima AEFGC adalah
= AE + EF + FG + GC + CA
= (2 – a) + 1 + (1 – a) + (1 – a) + 1
= 6 – 3a
= $6-3\times \frac{1}{2}\sqrt{2}$
= $6-\frac{3}{2}\sqrt{2}$
Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 18

Bilangan Super Ganjil didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang semua digitnya ganjil. Hasil penjumlahan semua bilangan Super Ganjil yang kurang dari 1000 adalah…
A. 45130
B. 55250
C. 60125
D. 70775

Pembahasan: Lihat/Tutup

Bilangan 1 digit:
Jumlahnya = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Bilangan 2 digit $\overline{ab}=10a+b$:
Tiap-tiap digit baik sebagai satuan maupun puluhan terpakai 5 kali.
Jumlah semuanya = $5\times 10(1+3+5+7+9)$ + $5\times (1+3+5+7+9)$ = 1250 + 125 = 1375.
Bilangan 3 digit $\overline{abc}=100a+10b+c$:
Tiap-tiap digit baik sebagai satuan, puluhan, maupun ratusan terpakai $5^2$ kali.
Jumlah semuanya = $5^2\times 100(1+3+5+7+9)$ + $5^2\times 10(1+3+5+7+9)$ + $5^2\times (1+3+5+7+9)$ = 69375.
Jadi, banyaknya bilangan Super Ganjil kurang dari 1000 adalah 25 + 1375 + 69375 = 70775.
Jawaban: D

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 19

Berikut ini adalah barisan bilangan bulat positif berurutan dari 1 sampai 10 yang ditulis dengan aturan menggunakan hanya huruf A, B, dan C saja.
A, AB, AC, AA, ABB, ABC, ABA, ACB, ACC, ACA, …
Jika aturan tersebut digunakan untuk menuliskan seluruh bilangan bulat posiitif, maka nilai dari ABAB ditambah ACAC adalah…
A. ABCCC
B. ABCBB
C. ABCAC
D. ABCAB

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan bahwa
❖ Untuk 1 huruf ada 1 cara, yaitu A.
❖ Untuk 2 huruf, maka perhatikan bahwa pola setelah huruf A adalah B, C, lalu A. Dalam hal ini ada 3 cara, yaitu AB, AC, lalu AA.
❖ Untuk 3 huruf, maka dengan pola yang sama ada 32 cara.
Dari 1 huruf sampai 3 huruf, total ada 1 + 3 + 32 = 13 cara.
❖ Untuk 4 huruf, maka
ABB__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
ABC__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
Huruf-huruf selanjutnya adalah ABAB, maka ABAB = 13 + 3 + 3 + 1 = 20
ABA__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
ACB__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
ACC__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
Huruf-huruf selanjutnya adalah ACAB, lalu ACAC maka ACAC = 13 + 3 x 5 + 2 = 30
Nilai dari ABAB + ACAC = 20 + 30 = 50
Dari 1 huruf sampai 4 huruf, total ada 1 + 3 + 32 + 33 = 40
❖ Untuk 4 huruf, maka
ABBB__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
ABBC__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
ABBA__ (tanda __ dapat diisi huruf B, C, lalu A, maka ada 3 cara)
Huruf-huruf selanjutnya adalah ABCBB = 40 + 3 x 3 + 1 = 50
Jawaban: B

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 20

Jika $f(x)=2025+\frac{x+1}{x}+\frac{x^2+2}{x^2}+\frac{x^3+3}{x^3}+...+\frac{x^{10}+10}{x^{10}}$, berapakah nilai $f(2)+f(1)-f(-1)-f(-2)$?
A. 0
B. $\frac{565}{256}$
C. $\frac{13365}{256}$
D. 11430

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}f(x) &= 2025+\frac{x+1}{x}+\frac{x^2+2}{x^2}+\frac{x^3+3}{x^3}+...+\frac{x^{10}+10}{x^{10}} \\ &= 2025+\left( 1+\frac{1}{x} \right)+\left( 1+\frac{2}{x^2} \right)+\left( 1+\frac{3}{x^3} \right)+...+\left( 1+\frac{10}{x^{10}} \right) \\ f(x) &= 2035+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^3}+...+\frac{10}{x^{10}} \end{align}$
$\frac{\begin{align}f(2) &= 2035+\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{10}{2^{10}} \\ f(-2) &= 2035-\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}-\frac{3}{2^3}+...+\frac{10}{2^{10}} \\ \end{align}}{\begin{align}f(2)-f(-2) &= 2\left( \frac{1}{2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^5}+\frac{7}{2^7}+\frac{9}{2^9} \right) \\ f(2)-f(-2) &= 2\left( \frac{2^8+3.2^6+5.2^4+7.2^2+9}{2^9} \right) \\ f(2)-f(-2) &= \frac{565}{256} \end{align}}-$
$\frac{\begin{align}f(1) &= 2035+1+2+3+...+10 \\ f(-1) &= 2035-1+2-3+...+10 \\ \end{align}}{\begin{align}f(1)-f(-1) &= 2\left( 1+3+5+7+9 \right) \\ f(1)-f(-1) &= 50 \end{align}}-$
$f(2)+f(1)-f(-1)-f(-2)$
= $f(2)-f(-2)+f(1)-f(-1)$
= $\frac{565}{256}+50$
= $\frac{13365}{256}$
Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 21

Bilangan segilima ke-$n$ adalah banyaknya titik yang membentuk 𝑛 segilima seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut.

Bilangan segilima ke-0 adalah 1, bilangan segilima ke-1 adalah 5, bilangan segilima ke-2 adalah 12, dan bilangan segilima ke-3 adalah 22. Bilangan segilima yang paling dekat dengan 2025 adalah bilangan segilima ke-……
A. 30
B. 33
C. 36
D. 39

Pembahasan: Lihat/Tutup

Barisan aritmetika bertingkat 2 maka suku ke-n adalah:
$U_n=an^2+bn+c$
$U_0=c=1$
$\begin{align}U_1 &= 5 \\ a+b+c &= 5 \\ a+b+1 &= \,5 \\ a+b &= 4\,....\,(1) \end{align}$
$\begin{align}U_2 &= 12 \\ 4a+2b+c &= 12 \\ 4a+2b+1 &= 12 \\ 4a+2b &= 11\,....\,(2) \end{align}$
$\left. \begin{align}a+b &= 4 \\ 4a+2b &= 11 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 1 \\ \end{matrix}$
$\frac{\begin{align}2a+2b &= 8 \\ 4a+2b &= 11 \end{align}}{\begin{align}-2a &= -3 \\ a &= \frac{3}{2} \end{align}}-$
$\begin{align}a+b &= 4 \\ \frac{3}{2}+b &= 4 \\ b &= 4-\frac{3}{2} \\ b &= \frac{5}{2} \end{align}$
$U_n=an^2+bn+c$ maka $U_n=\frac{3}{2}n^2+\frac{5}{2}n+1$
$\begin{align}U_n &= 2025 \\ \frac{3}{2}n^2+\frac{5}{2}n+1 &\le 2025 \\ 3n^2+5n+2 &\le 4050 \\ 3n^2+5n-4048 &\le 0 \end{align}$
$\begin{align}n &= \frac{-5+\sqrt{5^2-4.3.(-4048)}}{2.3} \\ &= \frac{-5+\sqrt{25+48576}}{6} \\ &= \frac{-5+\sqrt{48601}}{6} \\ &= \frac{-5+220,45}{6} \\ &= \frac{215,45}{6} \\ &= 35,9 \\ n &= 36 \end{align}$
Jadi, bilangan segilima yang paling dekat dengan 2025 adalah bilangan segilima ke-36.
Jawaban: C

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 22

Suatu segitiga ABC sama kaki dengan AC = BC dan AB = 10 cm memiliki luas 25 $\text{cm}^2$. Titik D, E, dan F terletak berturut-turut pada sisi BC, AC, dan AB dengan BD : DC = CE : EA = AF : FB = 2 : 3. Titik P, Q, dan R berturut-turut adalah titik potong garis AD dan CF, garis AD dan BE, serta garis BE dan CF. Perbandingan luas segitiga PQR dan ABC adalah….
A. 1 : 19
B. 2 : 19
C. 3 : 25
D. 1 : 5

Pembahasan: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar berikut!

Dengan dalil menelause $\Delta CFP$ (transversal APD) maka diperoleh:
$\begin{align}\frac{CD}{DB}.\frac{BA}{AF}.\frac{FP}{PC} &= 1 \\ \frac{3b}{2b}.\frac{5a}{2a}.\frac{FP}{PC} &= 1 \\ \frac{15}{4}.\frac{FP}{PC} &= 1 \\ \frac{FP}{PC} &= \frac{4}{15} \\ \frac{CF}{PC} &= \frac{19}{15} \end{align}$
$\frac{[AFC]}{[ABC]}=\frac{AF}{AB}=\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$ dan $\frac{[APC]}{[AFC]}=\frac{PC}{FC}=\frac{15}{19}$.
$\begin{align}\frac{[APC]}{[AFC]}.\frac{[AFC]}{[ABC]} &= \frac{15}{19}.\frac{2}{5} \\ \frac{[APC]}{[ABC]} &= \frac{6}{19} \end{align}$
Dengan cara yang sama akan diperoleh:
$\frac{[AQB]}{[ABC]}=\frac{6}{19}$ dan $\frac{[BRC]}{[ABC]}=\frac{6}{19}$
$\begin{align}\frac{[PQR]}{[ABC]} &= \frac{[ABC]-[APC]-[AQB]-[BRC]}{[ABC]} \\ &= \frac{[ABC]}{[ABC]}-\frac{[APC]}{[ABC]}-\frac{[AQB]}{[ABC]}-\frac{[BRC]}{[ABC]} \\ &= 1-\frac{6}{19}-\frac{6}{19}-\frac{6}{19} \\ &= \frac{1}{19} \end{align}$
Jawaban: A

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 23

Liam berkesempatan memilih secara acak satu nomor keberuntungan yang terdiri dari 6 digit bilangan dari 0 sampai 9. Ia akan mendapatkan hadiah jika ada setidaknya tiga bilangan ganjil berurutan di nomor keberuntungannya. Peluang Liam mendapatkan hadiah adalah …
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{3}{16}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{5}{16}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

A = ada setidaknya tiga bilangan ganjil berurutan, maka komplemennya:
$A^C$ = tidak ada 3 digit ganjil berurutan.
Misalkan digit ganjil (O) dan digit genap (E)
Misalkan $f(n)$ = banyak susunan panjang $n$ dari G/E tanpa 3 G berturut-turut.
Ambil sembarang susunan valid panjang $n$, perhatikan bagian paling kanan (ujungnya).
Susunan ...E, bagian sebelumnya bebas, maka jumlahnya = $f(n-1)$
Susunan ...GE, bagian sebelunya bebas, maka jumlahnya = $f(n-2)$
Susunan ...GGE, bagian sebelumnya bebas, maka jumlahnya = $f(n-3)$
Jadi, $f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)$
$f(1)=2$ yaitu (G,E)
$f(2)=4$ yaitu (GG, GE, EG, EE)
$f(3)=7$ yaitu (GGE, GEG, EGG, EEE, EEG, EGE, GEE)
Dengan $f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)$ diperoleh:
$\begin{align}f(4) &= f(3)+f(2)+f(1) \\ &= 7+4+2 \\ &= 13 \end{align}$
$\begin{align}f(5) &= f(4)+f(3)+f(2) \\ &= 13+7+4 \\ &= 24 \end{align}$
$\begin{align}f(6) &= f(5)+f(4)+f(3) \\ &= 24+13+7 \\ &= 44 \end{align}$
Setiap posisi dikalikan 5 (karena masing-masing G/E punya 5 pilihan digit), maka:
$n(A^C)=44\times 5^6$
$\begin{align}P(A) &= 1-P(A^C) \\ &= 1-\frac{n(A^C)}{n(S)} \\ &= 1-\frac{44\times 5^6}{10^6} \\ &= 1-44\times {{\left( \frac{5}{10} \right)}^{6}} \\ &= 1-44\times \frac{1}{64} \\ &= 1-\frac{11}{16} \\ P(A) &= \frac{5}{16} \end{align}$
Jawaban: D

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 24

Oktahedron adalah bangun ruang tiga dimensi dengan delapan bidang sisa datar.
Berikut inia adalah jaring-jaring suatu octahedron beraturan yang memilik delapan bidang sisi segitiga sama sisi yang kongruen.

Jika jaring-jaring tersebut dibentuk menjadi oktahedron, maka angka pada setiap bidang sisi sama dengan penjumlahan semua bidang sisi yang berbagi rusuk dengan bidang sisi tersebut.
(Contoh. 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑). Jika 𝑎 = −4, 𝑐 = 0, dan 𝑔 = −10, maka nilai 𝑏 adalah…
A. $-10$
B. $-8$
C. 8
D. 10

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jika kita bentuk oktahedron, maka:

• $a$ berbagi rusuk dengan $b$, $f$, dan $h$, akibatnya $a=b+f+h\,....\,(1)$
• $b$ berbagi rusuk dengan$a$, $c$, dan $d$, akibarnya $b=a+c+d\,....\,(2)$
• $c$ berbagi rusuk dengan $b$, $e$, dan $h$, akibatnya $c=b+e+h\,....\,(3)$
• $d$ berbagi rusuk dengan $b$, $f$, dan $e$, akibatnya $d=b+f+e\,....\,(4)$
• $e$ berbagi rusuk dengan $g$, $d$, dan $c$, akibatnya $e=g+d+c\,....\,(5)$
• $f$ berbagi rusuk dengan $g$, $d$, dan $a$, akibatnya $f=g+d+a\,....\,(6)$
• $g$ berbagi rusuk dengan $e$, $f$, dan $h$, akibatnya $g=e+f+h\,....\,(7)$
• $h$ berbagi rusuk dengan $b$, $f$, dan $h$, akibatnya $h=a+c+g\,....\,(8)$

Jika semua persamaan di atas dijumlahkan, maka diperoleh $a+b+c+d+e+f+g+h=0\,....\,(9)$
Diketahui $a=-4$, $c=0$, dan $g=-10$ maka $h=a+c+g=-4+0-10=-14$.
Dari persamaan (9) dan (4) maka:
$\begin{align}a+b+c+d+e+f+g+h &= 0\, \\ -4+b+0+d+e+f-10-14 &= 0\, \\ d+(b+f+e) &= 28 \\ d+d &= 28 \\ 2d &= 28 \\ d &= 14 \end{align}$
Dari persamaan (2):
$b=a+c+d=-4+0+14=10$
Jawaban: D

---

Soal OSN-K SMP 2025 No. 25

Delapan ekor semut ditempatkan pada setiap titik sudut suatu kerangka kubus dari kawat, sehingga satu ekor semut menempati satu titik sudut kubus. Pada saat yang bersamaan masing-masing semut bergerak dengan kecepatan yang sama sepanjang rangka kubus secara acak menuju ke salah satu dari tiga titik sudut yang terhubung dengan posisi awalnya, setelah sampai di titik sudut tujuan, semut berhenti. Peluang bahwa tidak ada semut yang bertemu dengan semut lain baik ditengah perjalanan maupun di titik sudut tujuan adalah …
A. $\frac{2}{3^8}$
B. $\frac{5}{3^8}$
C. $\frac{4}{3^7}$
D. $\frac{8}{3^7}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Untuk soal ini, kita bagi 2 kasus yaitu:
Kasus 1:
Jika semut bergerak hanya pada 2 sisi yang berhadapan saja, maka arah pergerakan semut dalam satu bidang harus searah, ada 2 kemungkinan tiap bidang, yaitu searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Ada 3 pasang sisi yang berhadapan, maka banyaknya cara agar tidak ada semut yang bertabrakan adalah $2^2\times 3$ = 12 cara.
Kasus 2:
Jika semut bergerak tidak hanya pada 2 sisi yang berhadapan saja, maka ini merupakan kasus siklus Hamiltonian, yaitu jalur yang dimulai dan berakhir pada titik yang sama (siklus) dan mengunjungi setiap titik sudut tepat satu kali. Jumlah siklus Hamiltonian pada kubus ada sebanyak 6 dan tiap siklus ada 2 kemungkinan, yaitu searah dan berlawanan arah, maka untuk kasus ini, ada $6\times 2$ = 12 cara.

Tiap semut memiliki 3 pilihan arah (titik sudut pada kubus merupakan pertemuan 3 rusuk). Karena ada 8 semut maka total semuaya tanpa syarat ada $3^8$.
Jadi, peluang semut tidak bertabrakan adalah $\frac{12+12}{3^8}=\frac{24}{3^8}=\frac{8\times 3}{3^8}=\frac{8}{3^7}$.
Jawaban: D

---