Tali Busur Lingkaran

A. Tali Busur Lingkaran

Tali busur adalah bagian lingkaran yang dibentuk dari dua buah titik pada busur lingkaran.

AB adalah tali busur lingkaran dan $\alpha $ = sudut pusat AOB.
Panjang tali busur AB adalah $AB=r\sqrt{2-2\cos \alpha }$.

Contoh:
Pada sebuah lingkaran berdiameter 20 cm, akan dibuat tali busur yang menghadap ke busur AB dengan sudut pusat $120{}^\circ $ maka panjang tali busur yang terbentuk adalah … cm.
Penyelesaian:
$d=20\,\text{cm}\to r=10\,\text{cm}$ dan $\alpha =120{}^\circ $
Panjang tali busur AB adalah:
$\begin{align}AB &= r\sqrt{2-2\cos \alpha } \\ &= 10\sqrt{2-2\cos 120{}^\circ } \\ &= 10\sqrt{2-2\times \cos (180{}^\circ -60{}^\circ )} \\ &= 10\sqrt{2-2\times (-\cos 60{}^\circ )} \\ &= 10\sqrt{2-2\times \left( -\frac{1}{2} \right)} \\ AB &= 10\sqrt{3}\,\text{cm} \end{align}$
Jadi, panjang tali busur yang terbentuk adalah $10\sqrt{3}$ cm.

B. Hubungan Panjang 2 Tali Busur Berpotongan di Dalam Lingkaran

$AP\times PC=BP\times PD$

Contoh:
Perhatikan gambar!
Tali Busur Lingkaran

Jika QW = 8 cm, QT = 14 cm, dan PS = 19 cm, maka panjang WS = … cm.
Penyelesaian:
Dari gambar PW > WS
QW = 8, WT = 6
Misal, WS = $x$
PS = 19 maka:
$\begin{align}PW+WS &= PS \\ PW+x &= 19 \\ PW &= 19-x \end{align}$
$\begin{align}PW\times WS &= QW\times WT \\ (19-x)x &= 8\times 6 \\ 19x-x^2 &= 48 \\ x^2-19x+48 &= 0 \\ (x-16)(x-3) &= 0 \end{align}$
$x=3$
Jadi, WS = $x$ = 3 cm.

C. Hubungan Panjang 2 Tali Busur Berpotongan di Luar Lingkaran

$AP\times BP=DP\times CP$

Contoh:
Perhatikan gambar!
Tali Busur Lingkaran

Jika RS = ST = $4\sqrt{2}$ cm dan PR = $4\sqrt{5}$ cm, maka panjang PQ = … cm.
Penyelesaian:
$\begin{align}RT &= RS+ST \\ &= 4\sqrt{2}+4\sqrt{2} \\ RT &= 8\sqrt{2} \end{align}$
Misalkan $PQ=x$ maka:
$RQ=RP-PQ=4\sqrt{5}-x$
$\begin{align}RQ.PR &= RS.RT \\ (4\sqrt{5}-x).4\sqrt{5} &= 4\sqrt{2}.8\sqrt{2} \\ 80-4\sqrt{5}x &= 64 \\ -4\sqrt{5}x &= -16 \\ x &= \frac{-16}{-4\sqrt{5}} \\ x &= \frac{4}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ x &= \frac{4}{5}\sqrt{5} \end{align}$
$PQ=x=\frac{4}{5}\sqrt{5}$

D. Teorema Ptolemeus

Teorema ptolemeus menyatakan bahwa jumlah dari hasil kali panjang sisi-sisi yang berseberangan sama dengan hasil kali panjang diagonalnya.

$AC\times BD=AD\times BC+AB\times CD$

Contoh:
Perhatikan gambar!
Teorema Ptolemeus

Jika KL = 1 cm, MN = 4 cm, dan KM adalah tali busur terpanjang dari lingkaran, maka panjang LN = … cm.
Penyelesaian:
KM adalah tali busur terpanjang = diameter, maka KL = KN = 1 cm dan MN = ML = 4 cm.
KNM adalah segitiga siku-siku sehingga:
$\begin{align}KM &= \sqrt{KL^2+LM^2} \\ &= \sqrt{1^2+4^2} \\ KM &= \sqrt{17} \end{align}$
$\begin{align}KM.LN &= KN.ML+KL.MN \\ \sqrt{17}.LN &= 1.4+1.4 \\ LN &= \frac{8}{\sqrt{17}}\times \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}} \\ LN &= \frac{8}{17}\sqrt{17}\,\text{cm} \end{align}$

E. Teorema Van Schooten

Diberikan segitiga sama sisi yang setiap titik sudutnya terletak pada busur lingkaran. Terdapat satu titik terletak pada busur lingkaran tetapi berada di luar segitiga lalu setiap titik dihubungkan seperti gambar berikut.
Teorema Van Schooten

$\Delta ABC$ sama sisi, titik $P$ terletak pada busur lingkaran di luar segitiga dengan syarat CP > AP dan AP > BP, maka CP = AP + BP

Contoh:
Perhatikan gambar!
Teorema Van Schooten

Segitiga LMN adalah sama sisi dan $KM > KL > KN$. Tentukan KM jika $KN=p\sqrt{3}$ dan $KL=q\sqrt{3}$
Penyelesaian:
$\begin{align}KM &= KN+KL \\ &= p\sqrt{3}+q\sqrt{3} \\ &= (p+q)\sqrt{3}\,\text{cm} \end{align}$

F. Soal Latihan

1.	Perhatikan gambar! $\angle KLM=30{}^\circ $ dan jari-jari lingkaran O adalah 8 cm, maka panjang KM = … cm.
2.	Perhatikan gambar! Jika QR = 6 cm, PQ = 15 cm, dan SR = 9 cm, maka panjang ST = … cm.
3.	Perhatikan gambar! PQRS adalah segiempat tali busur dan T adalah titik potong tali busur PR dan QS. Jika PR = 15 cm, TR = 3 cm, dan SQ = 15 cm, maka panjang TQ adalah … cm.
4.	Titik P, Q, R, dan S terletak pada sisi lingkaran sehingga kempat titik ini membentuk bangun layang-layang dengan PQ = PS = 9 cm dan QR = RS = 13 cm. Tentukan luas layang-layang PQRS.
5.	Kincir air berikut digunakan untuk pembangkit energi dan irigasi. Pada diagram sebelah kanan, roda dengan diameter 10 m diletakkan pada sungai sehingga titik terendah roda terletak pada kedalaman 1 m. Tentukan jarak dua titik pada roda yang terletak di permukaan air.