Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP - PENSO 2025 POSI

Berikut ini adalah Soal Olimpiade Matematika SMP - Pelita Nusantara Science Olympiad (PENSO) 2025 - POSI. Silakan dimanfaatkan sebaik mungkin.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 1

Hasil dari $\frac{2025^2-1995^2}{60}$ adalah ...
Bilangan 9 digit 615A3691B merupakan kelipatan 24. Nilai terkecil yang mungkin untuk A+B adalah …
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5

Pembahasan: Lihat/Tutup

$24=3\times 8$
$24|615A3691B$ maka $8|615A3691B$ dan $3|615A3691B$
$8|615A3691B$ maka $8|91B$
$\begin{align}91B &\equiv 0\bmod 8 \\ 910+B &\equiv 0\bmod 8 \\ 113\times 8+6+B &\equiv 0\bmod 8 \\ 6+B &\equiv 0\bmod 8 \\ 6+B &= 8k \end{align}$
$k=1\to 6+B=8\to B=2$
$3|615A3691B$ maka jumlah digit-digit dari 615A3691B harus habis dibagi 3.
$\begin{align}6+1+5+A+3+6+9+1+B &\equiv 0\bmod 3 \\ 31+A+2 &\equiv 0\bmod 3 \\ 33+A &\equiv 0\bmod 3 \\ A &\equiv 0\bmod 3 \\ A &= 0,3,6,9 \end{align}$
Nilai terkecil A +B diperoleh jika A terkecil yaitu A = 0 dan B = 2.
A + B = 0 + 2 = 2
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 2

Bilangan prima 3 digit yang digit-digitnya berbeda dan masing-masing digit juga merupakan bilangan prima ada …
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Pembahasan: Lihat/Tutup

Digit-digit yang merupakan bilangan prima: 2, 3, 5, dan 7.
Agar diperoleh bilangan prima 3 digit maka satuannya tidak boleh 2 dan 5.
Jika digunakan {2,3,7} atau {3,5,7} maka bilangan tersebut bukan bilangan prima karena merupakan kelipatan 3.
Maka agar diperoleh bilangan prima 3 digit, maka harusnya digit-digitnya {2,3,5} atau {2,5,7}, kemungkinan-kemungkinan adalah: 253, 523, 257, 527.
Kita cek: $253=11\times 23$ dan $527=17\times 31$ bukan bilangan prima.
Jadi, yang merupakan bilangan prima hanyalah 257 dan 523. Ada 2.
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 3

Hasil dari $\frac{10^2+1}{10^2-1}$ + $\frac{12^2+1}{12^2-1}$ + $\frac{14^2+1}{14^2-1}$ + … + $\frac{96^2+1}{96^2-1}$ + $\frac{98^2+1}{98^2-1}$ adalah …
A. $-45$
B. $45\frac{1}{99}$
C. $45\frac{10}{99}$
D. $45\frac{1}{9}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}\frac{n^2+1}{n^2-1} &= \frac{n^2-1}{n^2-1}+\frac{2}{n^2-1} \\ &= 1+\frac{2}{(n-1)(n+1)} \\ \frac{n^2+1}{n^2-1} &= 1+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1} \end{align}$
$\frac{{{10}^{2}}+1}{{{10}^{2}}-1}$ + $\frac{{{12}^{2}}+1}{{{12}^{2}}-1}$ + $\frac{14^2+1}{14^2-1}$ + … + $\frac{{{96}^{2}}+1}{{{96}^{2}}-1}$ + $\frac{{{98}^{2}}+1}{{{98}^{2}}-1}$
= $1+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}$ + $1+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}$ + $1+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}$ + … + $1+\frac{1}{95}-\frac{1}{97}$ + $1+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}$
= $\underbrace{1+1+1+...+1+1}_{Angka\,1\,ada\,45}$ + $\frac{1}{9}-\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{11}-\frac{1}{13}$ + $\frac{1}{13}-\frac{1}{15}$ + … + $\frac{1}{95}-\frac{1}{97}$ + $\frac{1}{97}-\frac{1}{99}$
= 45 + $\frac{1}{9}-\frac{1}{99}$
= 45 + $\frac{10}{99}$
= $45\frac{10}{99}$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 4

Bentuk paling sederhana dari $\sqrt[4]{\frac{15^4+51^4+66^4}{2}}$ adalah …
A. $2\sqrt{299}$
B. $3\sqrt{299}$
C. $2\sqrt{399}$
D. $3\sqrt{399}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\sqrt[4]{\frac{15^4+51^4+66^4}{2}}$
= $\sqrt[4]{\frac{15^4+51^4+(15+51)^4}{2}}$
= $\sqrt[4]{\frac{15^4+51^4+(15^2+2.15.51+51^2)^2}{2}}$
= $\sqrt[4]{\frac{15^4+51^4+15^4+4.15^2.51^2+51^4+4.15^3.51+2.15^2.51^2+4.15.51^3}{2}}$
= $\sqrt[4]{\frac{2.51^4+4.51^3.15+6.51^2.15^2+4.51.15^4+2.15^4}{2}}$
= $\sqrt[4]{51^4+2.51^3.15+3.51^2.15^2+2.51.15^4+15^4}$
= $\sqrt[4]{(51^2+51.15+15^2)^2}$
= $\sqrt{51^2+51.15+15^2}$
= $\sqrt{(3\times 17)^2+3\times 17\times 3\times 5+(3\times 5)^2}$
= $\sqrt{9(17^2+17\times 5+5^2)}$
= $3\sqrt{289+85+25}$
= $3\sqrt{399}$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 5

Faktor Persekutuan Terbesar dari $x$ dan 234 adalah $y$. Diketahui 234 bukan kelipatan $x$. Jika $y$ dibagi 8 bersisa 7, maka nilai terkecil dari $x+y$ adalah …
A. 159
B. 195
C. 234
D. 273

Pembahasan: Lihat/Tutup

$FPB(x,234)=y$ maka $y|234$ dan $y|x$
$234=2\times {{3}^{2}}\times 13$
Karena $y|234$ maka:
$y\in \{\text{faktor}\,\text{dari}\,234\}$
$y\in $$\{\text{1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234}\}$
$y$ dibagi 8 bersisa 7 maka $y=39$
$y|x\to 39|x\to x=39k$ untuk $k$ bilangan asli dan $x$ bukan faktor dari 234.
Untuk $k=1\to x=39$ (tidak memenuhi)
Untuk $k=2\to x=39\times 2=78$, tidak memenuhi.
Untuk $k=3\to x=39\times 3=117$, tidak memenuhi.
Untuk $k=4\to x=39\times 4=156$, tidak memenuhi karena FPB(156,234) $\ne $ 39.
Untuk $k=3\to x=39\times 5=195$, memenuhi.
Jadi, nilai terkecil dari $x+y=195+39=234$.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 6

Sebuah lingkaran dengan 0 garis terbagi menjadi 1 daerah, dengan 1 garis terbagi menjadi 2 daera, dengan 2 garis terbagi menjadi 4 daerah. Jika terdapat 7 garis, maksimal lingkaran terbagi menjadi … daerah.

A. 18
B. 22
C. 29
D. 12

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jika dilanjutkan, dengan 3 garis, maksimal lingkaran terbagi menjadi 7 daerah:

Perhatikan bahwa daerah 5,6,7 adalah daerah baru yang terbentuk dengan 1 garis tambahan.
Diperoleh barisan bilangan: 1, 2, 4, 7, …
Dengan pola:
1
1 + 1 = 2
2 + 2 = 4
4 + 3 = 7
7 + 4 = 11
11 + 5 = 16
16 + 6 = 22
22 + 7 = 29
Jadi, jika ada 7 garis, maksimal daerah yang dapat terbentuk adalah 29.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 7

Aldi, Burhan, dan Ciko diberi beberapa tiket pasar malam untuk dijual. Setiap tiket berharga Rp15.000. Aldi menjual $\frac{2}{7}$ dari semua tiket. Burhan dan Ciko menjual tiket sisanya dengan rasio 1:3. Aldi menjual 21 tiket lebih banyak daripada Burhan. Berapa total uang yang mereka kumpulkan?
A. Rp2.730.000
B. Rp2.940.000
C. Rp5.460.000
D. Rp5.880.000

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misal, $a$, $b$, $c$ adalah banyak tiket yang dijual berturut-turut oleh Aldi, Burhan dan Ciko.
Aldi menjual $\frac{2}{7}$ dari semua tiket, maka:
$\begin{align}a &= \frac{2}{7}(a+b+c) \\ 7a &= 2a+2b+2c \\ 5a &= 2b+2c \end{align}$
Burhan dan Ciko menjual tiket sisanya dengan rasio 1:3 maka:
$\frac{b}{c}=\frac{1}{3}\to c=3b$
$a=b+21$
$\begin{align}5a &= 2b+2c \\ 5(b+21) &= 2b+2\times 3b \\ 5b+105 &= 8b \\ 105 &= 8b-5b \\ 105 &= 3b \\ 35 &= b \end{align}$
$a=b+21=35+21=56$
$c=3b=3\times 35=105$
Jadi, uang yang mereka kumpulkan adalah:
(a+b+c) $\times $ Rp15.000
= (56 + 35 + 105) $\times $ Rp15.000
= Rp2.940.000.
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 8

Misalkan N adalah hasil dari 100! (100 faktorial) apabila dinyatakan dalam basis 7. Banyaknya digit 0 berurutan di akhir bilangan N adalah …
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan banyaknya digit 0 berurutan di akhir bilangan N adalah $k$, didapat
100! = $a_n.7^n+a_{n-1}.7^{n-1}+...$ + $a_k.7^k+0.7^{k-1}+0.7^{k-2}+...+0.7^0$.
Artinya, $k$ adalah bilangan asli terbesar sehingga ${{7}^{k}}|100!$.
Jadi, $k=\left\lfloor \frac{100}{7} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{100}{49} \right\rfloor =14+2=16$.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 9

Misalkan $S=19^{20}+21^{22}+23^{24}+25^{26}$, sisa dari S ketika dibagi 24 adalah …
A. 0
B. 9
C. 12
D. 15

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}S &\equiv 19^{20}+21^{22}+23^{24}+25^{26}(\bmod 24) \\ S &\equiv (-5)^{20}+(-3)^{22}+(-1)^{24}+1^{26}(\bmod 24) \\ S &\equiv 25^{10}+9^{11}+1+1(\bmod 24) \\ S &\equiv 1^{10}+9.9^{10}+1+1(\bmod 24) \\ S &\equiv 3+9.(81)^5(\bmod 24) \\ S &\equiv 3+9.9^5(\bmod 24) \\ S &\equiv 3+9^6(\bmod 24) \\ S &\equiv 3+(81)^3(\bmod 24) \\ S &\equiv 3+9^3(\bmod 24) \\ S &\equiv 3+729(\bmod 24) \\ S &\equiv 3+9(\bmod 24) \\ S &\equiv 12(\bmod 24) \end{align}$
Jadi, S dibagi 24 bersisa 12.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 10

Dalam penjumlahan kriptaritmik berikut, setiap huruf mewakili digit yang berbeda dari 0 hingga 9. Huruf pertama pada setiap "kata" (bilangan TIM, KITA, KUAT) tidak boleh nol.

Syarat-syarat berikut harus terpenuhi:
• T adalah digit ganjil terkecil.
• U adalah bilangan genap.
• M adalah bilangan kuadrat sempurna.
• K adalah bilangan prima genap.
Nilai dari K + A + M + U + K + U + A + T adalah …
A. 28
B. 30
C. 32
D. 35

Pembahasan: Lihat/Tutup

T = 1, K = 2
U = 0, 4, 6, 8
M = 4, 9
Dari digit satuan:
M + A = T
M + A = 1, M tidak nol maka A = 0 dan M = 1 (tidak memenuhi).
M + A = 11, (M,A) = (4,7) atau (9,2), karena K = 2 maka tidak mungkin (M,A) = (9,2). Jadi, yang memenuhi adalah (M,A) = (4,7). M = 4, A = 7.
Dari digit puluhan:
I + T + 1 = A
I + 1 + 1 = 7 maka I = 5.
Dari digit ratusan:
U = T + I
U = 1 + 5
U = 6
Jadi, nilai dari K+A+M+U+K+U+A+T adalah 2+7+4+6+2+6+7+1 = 35
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 11

Dari 28 siswa yang mengambil setidaknya satu mata pelajaran, jumlah yang mengambil Matematika dan Bahasa Inggris saja sama dengan jumlah yang mengambil Matematika saja. Tidak ada siswa yang mengambil Bahasa Inggris saja atau Sejarah saja, dan enam siswa mengambil Matematika dan Sejarah, tetapi tidak Bahasa Inggris. Jumlah yang mengambil Bahasa Inggris dan Sejarah saja adalah lima kali jumlah yang mengambil ketiga mata pelajaran tersebut. Jika jumlah yang mengambil ketiga mata pelajaran tersebut genap dan bukan nol, jumlah yang mengambil Bahasa Inggris dan Matematika saja adalah …
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan M, I, S berturut-turut adalah himpunan siswa yang mengambil Matematika, Bahasa Inggris, dan Sejarah. Semua informasi di soal digambar ke Diagram Venn, didapat

$b$ merupakan bilangan genap tak nol.
$\begin{align}2a+6b+6 &= 28 \\ 2a+6b &= 22 \\ a+3b &= 11 \end{align}$
Untuk $b=2$ maka $a+3b=11\to a+3\times 2=11\to a=5$ (memenuhi).
Untuk $b\ge 4$ maka
$\begin{align}a+3b &= 11 \\ 3b &= 11-a \\ b &= \frac{11-a}{3} \end{align}$
$\begin{align}\frac{11-a}{3} &\ge 4 \\ 11-a &\ge 12 \\ -a &\ge 1 \\ a &\le -1\,(\text{tidak memenuhi}) \end{align}$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 12

Diberikan fungsi $f$ yang memenuhi $f(x)=\sqrt{3}x^2-x+2-\sqrt{2025-150}$. Bilangan asli $k$ agar $f(1+k\sqrt{3})$ merupakan bilangan bulat adalah …
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Pembahasan: Lihat/Tutup

$f(x)=\sqrt{3}x^2-x+2-\sqrt{2025-150}$
$f(1+k\sqrt{3})$ = $\sqrt{3}{{(1+k\sqrt{3})}^{2}}-(1+k\sqrt{3})$ + $2-\sqrt{2025-150}$
$f(1+k\sqrt{3})$ = $\sqrt{3}(1+2k\sqrt{3}+3k^2)-1-k\sqrt{3}$ + $2-\sqrt{1875}$
$f(1+k\sqrt{3})$ = $\sqrt{3}+6k+3\sqrt{3}k^2-k\sqrt{3}+1-\sqrt{625\times 3}$
$f(1+k\sqrt{3})$ = $\sqrt{3}+6k+3\sqrt{3}k^2-k\sqrt{3}+1-25\sqrt{3}$
$f(1+k\sqrt{3})$ = $3\sqrt{3}k^2-k\sqrt{3}+-24\sqrt{3}+6k+1$
$f(1+k\sqrt{3})$ = $\sqrt{3}(3k^2-k+-24)+6k+1$
Agar hasilnya merupakan bilangan bulat, haruslah:
$\begin{align}3k^2-k+-24 &= 0 \\ (3k+8)(k-3) &= 0 \end{align}$
$3k+8=0\to k=-\frac{8}{3}$ (tidak memenuhi, karena bukan bilangan asli).
$k-3=0\to k=3$ (memenuhi, karena bilangan asli).
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 13

Arif menjual sebungkus popcorn seharga Rp25.000 per bungkus dan sebungkus es krim seharga Rp18.000 per bungkus. Setelah berjualan selama sehari, ia memperoleh dari penjualan popcorn Rp21.000 lebih banyak daripada penjualan es krim. Ia menjual 14 bungkus es krim lebih banyak daripada popcorn. Penghasilannya dari penjualan es krim adalah …
A. Rp702.000
B. Rp712.000
C. Rp944.000
D. Rp954.000

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan,
$x$ = banyak popcorn dan $y$ = banyak es krim
$\begin{align}25.000x-18.000y &= 21.000\\25x-18y &= 21\,....\,(1)\\ \end{align}$
$y=x+14\,....\,(2)$
Substitusi $y=x+14$ ke persamaan (1):
$\begin{align}25x-18y &= 21 \\ 25x-18(x+14) &= 21 \\ 25x-18x-252 &= 21 \\ 7x &= 273 \\ x &= 39 \end{align}$
$x=39$ substitusi ke persamaan (2):
$y=x+14=39+14=53$
Jadi, penghasilan dari penjualan es krim adalah:
= 53$\times $Rp18.000 = Rp954.000
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 14

Misalkan kamu punya beberapa emas 15 gram dan beberapa emas 8 gram. Bilangan asli terkecil $x$ agar untuk setiap bilangan bulat $y\ge x$ terdapat kombinasi emas-emas tersebut yang merupakan jumlahnya tepat $y$ gram adalah …
A. 49
B. 50
C. 97
D. 98

Pembahasan: Lihat/Tutup

Ingat: Chicken Mc Nugget Theorem,
Jika $m$ dan $n$ bilangan bulat positif dan saling prima, maka bilangan terbesar yang tidak bisa dibentuk dari kombinasi $am+bn$ (dengan $a$, $b$ bilangan bulat non-negatif) adalah $mn-m-n$.
15 dan 8 saling prima, maka bilangan bulat terbesar yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk $15a+8b$ adalah $15.8-15-8=97$.
Jadi, setiap $y\ge 97+1\to y\ge 98$ ($y\ge x$) bisa dibentuk sebagai $15a+8b$ dengan $a,b\in {{Z}^{+}}$. Nilai bilangan asli terkecil $x$ adalah 98.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 15

Diberikan bilangan real $x$, $y$, $z$ memenuhi sistem persamaan
$\begin{align}x+y+z &= 12 \\ x^2+y^2+z^2 &= 54 \end{align}$
Selisih antara nilai terkecil dan nilai terbesar yang mungkin untuk $x$ adalah …
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

Pembahasan: Lihat/Tutup

$x+y+z=12\to y+z=12-x$
$x^2+y^2+z^2=54\to y^2+z^2=54-x^2$
Perhatikan untuk setiap bilangan real $y$ dan $z$ berlaku:
$\begin{align}(y-z)^2 &\ge 0 \\ y^2-2yz+z^2 &\ge 0 \\ y^2+z^2 &\ge 2yz \\ y^2+z^2+y^2+z^2 &\ge 2yz+y^2+z^2 \\ 2(y^2+z^2) &\ge (y+z)^2 \\ 2(54-x^2) &\ge (12-x)^2 \\ 108-2x^2 &\ge 144-24x+x^2 \\ 0 &\ge 3x^2-24x+36 \\ 0 &\ge x^2-8x+12 \\ 0 &\ge (x-2)(x-6) \end{align}$
Diperoleh: $2\le x\le 6$
Jadi, selisih nilai terbesar dan terkecil untuk $x$ adalah 6 – 2 = 4.
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 16

Misalkan, $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real yang memenuhi sistm persamaan
$\begin{align}a+b+c &= 7 \\ 2a+4b+8c &= 11 \\ 3a+9b+27c &= 1 \end{align}$
Nilai dari $4a+16b+64c$ adalah …
A. $-3$
B. $-\frac{14}{3}$
C. $-\frac{17}{2}$
D. $-34$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}a+b+c &= 7\,....\,(1) \\ a+2b+4c &= \frac{11}{2}\,....\,(2) \\ a+3b+9c &= \frac{1}{3}\,....\,(3) \end{align}$
Persamaan (3) – (2):
$\frac{\begin{align}a+3b+9c &= \frac{1}{3} \\ a+2b+4c &= \frac{11}{2} \end{align}}{b+5c=-\frac{31}{6}\,....\,(4)}-$
Persamaan (2) – (1):
$\frac{\begin{align}a+2b+4c &= \frac{11}{2} \\ a+b+c &= 7 \end{align}}{b+3c=-\frac{3}{2}\,....\,(5)}-$
Persamaan (4) – (5):
$\frac{\begin{align}b+5c &= -\frac{31}{6} \\ b+3c &= -\frac{3}{2} \end{align}}{\begin{align}2c &= -\frac{22}{6} \\ c &= -\frac{11}{6} \end{align}}-$
Substitusi $c=-\frac{11}{6}$ ke persamaan (4):
$\begin{align}b+5c &= -\frac{31}{6} \\ b+5\left( -\frac{11}{6} \right) \\ b &= -\frac{31}{6}+\frac{55}{6} \\ b &= 4 \end{align}$
Substitusi $b=4$ dan $c=-\frac{11}{6}$ ke persamaan (1):
$\begin{align}a+b+c &= 7 \\ a+4-\frac{11}{6} &= 7 \\ a &= \frac{29}{6} \end{align}$
$\begin{align}4a+16b+64c &= 4.\frac{29}{6}+16.4+64\left( -\frac{11}{6} \right) \\ &= \frac{58}{3}+64-\frac{352}{3} \\ &= -34 \end{align}$
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 17

Misalkan $a$, $b$, $c$ adalah 3 suku barisan aritmetika bilangan asli yang nilainya meningkat. Diketahui bahwa $a$, $(b+6)$, dan $(c+21)$ merupakan 3 suku barisan geometri. Jika $a < 15$, maka nilai dari $a^2+{{b}^{2}}-c$ adalah …
A. 0
B. 120
C. 210
D. 240

Pembahasan: Lihat/Tutup

Barisan aritmetika $a$, $b$, $c$
Misalkan beda barisan aritmetikanya adalah $k$ dengan $k$ bilangan asli maka $b=a+k$ dan $c=a+2k$.
Barisan geometri:
$a$, $(b+6)$, dan $(c+21)$
$\begin{align}U_2^2 &= U_1.U_3 \\ (b+6)^2 &= a(c+21) \\ (a+k+6)^2 &= a(a+2k+21) \end{align}$
$a^2+k^2+36+2ak+12a+12k$ = $a^2+2ak+21a$
$\begin{align}k^2+12k+36-9a &= 0 \\ (k+6)^2 &= 9a \\ k+6 &= \sqrt{9a} \end{align}$
$k$ bilangan asli maka $k+6$ dan $\sqrt{9a}$ bilangan asli. Haruslah $a$bilangan kuadrat sempurna. Karena $a < 15$, cukup periksa $a=1,4,9$
$a=1\to k=\sqrt{9a}-6=\sqrt{9.1}-6=-3$ (tidak memenuhi).
$a=4\to k=\sqrt{9a}-6=\sqrt{9.4}-6=0$ (tidak memenuhi).
$a=9\to k=\sqrt{9a}-6=\sqrt{9.9}-6=3$ (memenuhi).
$b=a+k=9+3=12$
$c=a+2k=9+2.3=15$
Jadi, $a^2+b^2-c=9^2+12^2-15=210$
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 18

Perhatikan gambar di bawah ini.

OABC adalah trapesium dengan sudut siku-siku OAB. Koordinat A dan B berturut-turut adalah $(-2k,3k)$ dan $(0,t)$, dimana $k > 0$, dan OA = $3\sqrt{13}$ satuan. Koordinat titik A adalah …
A. $(-6,9)$
B. $(-4,6)$
C. $(-2,3)$
D. $\left( -1,\frac{3}{2} \right)$

Pembahasan: Lihat/Tutup

$\begin{align}OA^2 &= (x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2 \\ (3\sqrt{13})^2 &= (-2k-0)^2+(3k-0)^2 \\ 9.13 &= 4k^2+9k^2 \\ 9.13 &= 13k^2 \\ 9 &= k^2 \\ 3 &= k \end{align}$
Jadi, koordinat titik $A(-2k,3k)=A(-2.3,3.3)=A(-6,9)$.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 19

Perhatikan gambar di bawah ini:

Gambar menunjukkan 3 segitiga identik yang saling tumpang tindih, dengan tiga daerah yang saling tumpang tindih dengan ukuran yang sama. Luas $\Delta EFG$ adalah 11 $\text{cm}^2$ dan luas keseluruhan gambar adalah 323 $\text{cm}^2$, selisih luas setiap bagian dari 3 daerah yang saling tumpang tindih, dengan luas $\Delta EFG$ tersebut adalah … $\text{cm}^2$.
A. 3
B. 6
C. 13
D. 15

Pembahasan: Lihat/Tutup

Luas masing-masing segitiga identik adalah $\frac{1}{2}\times 16\times 14=112\,\text{cm}^2$.
Misalkan, luas masing-masing daerah tumpang tindih adalah $x\,\text{cm}^2$.
$\begin{align}3\times 112-3x+11 &= 323 \\ 336-3x+11 &= 323 \\ -3x &= -24 \\ x &= 8 \end{align}$
Jadi, selisih luas setiap bagian dari 3 daerah yang saling tumpang tindih, dengan luas $\Delta EFG$ adalah 11 – 8 = 3 $\text{cm}^2$.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 20

Perhatikan gambar di bawah ini:

Pada gambar di atas, tidak digambar sesuai skala, Persegi Panjang ABCD terdiri dari 4 segitiga siku-siku sama kaki dan sebuah persegi (yang diarsir). Perbandingan luas Segitiga ABF dengan luas Segitiga BCE adalah 9:8. Keliling persegi adalah 24 cm. Luas Persegi Panjang ABCD adalah … $\text{cm}^2$.
A. 216
B. 432
C. 480
D. 960

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan EF = $x$
Keliling Persegi = 24 maka $4\times EF=24\to EF=6$

$\begin{align}AB &= \sqrt{BF^2+AF^2} \\ &= \sqrt{18^2+18^2} \\ &= \sqrt{18^2\times 2} \\ AB &= 18\sqrt{2} \end{align}$
Pada $\Delta DEH$ berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}DE &= \sqrt{DH^2+EH^2} \\ &= \sqrt{6^2+6^2} \\ &= \sqrt{6^2\times 2} \\ DE &= 6\sqrt{2} \end{align}$
DC = AB = $18\sqrt{2}$
EC = DC – DE = $18\sqrt{2}-6\sqrt{2}=12\sqrt{2}$
BC = EC = $12\sqrt{2}$
Luas persegi panjang ABCD adalah
$[ABCD]=AB\times BC=18\sqrt{2}.12\sqrt{2}=432$
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 21

Perhatikan gambar di bawah ini:

Sebuah tangki berbentuk persegi panjang berukuran 60 cm $\times $ 30 cm $\times $ 34 cm. Tangki tersebut dibagi menjadi dua bagian oleh sepotong plastik PQRS setebal 2 cm. Satu bagian wadah berisi air sedalam 31 cm. Ketika potongan plastik PQRS dilepas, lalu ditambahkan air 1,03 liter, tinggi permukaan air dalam tangki adalah … cm.
A. $14\frac{5}{9}$
B. $15\frac{5}{9}$
C. $14\frac{59}{60}$
D. $15\frac{59}{60}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Volume air = $29\times 31\times 30$ = 26970 $\text{cm}^3$.
Ketika plastik setebal 2 cm dilepas, luas permukaannya menjadi:
(29+2+29) $\times $ 30 = 1800 $\text{cm}^2$.
Setelah ditambahkan air 1,03 liter = 1030 $\text{cm}^3$, volume airnya menjadi:
$\begin{align}1800\times t &= 26970+1030 \\ t &= \frac{28000}{1800} \\ t &= \frac{140}{8} \\ t &= 15\frac{5}{9}\,\text{cm} \end{align}$
Jadi, tinggi prmukaan air dalam tangki setelah potongan plastik PQRS dilepas dan ditambahkan air 1,03 liter adalah $15\frac{5}{9}$ cm.
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 22

Perhatikan gambar di bawah ini:

A. Digeser 1 satuan ke kanan, 1 satuan ke bawah, lalu dirotasi $90^\circ$ searah jarum jam dengan pusat O(0,0).
B. Digeser 1 satuan ke kiri, 1 satuan ke bawah, lalu dirotasi $90^\circ$ searah jarum jam dengan pusat O(0,0).
C. Digeser 1 satuan ke kanan, 1 satuan ke bawah, lalu dicerminkan terhadap sumbu-Y.
D. Digeser 1 satuan ke kiri, 1 satuan ke bawah, lalu dicerminkan terhadap sumbu-Y.

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jelas, agar menjadi B, maka transformasi yang diperlukan geser 1 satuan ke kanan, 1 satuan ke bawah, lalu diroasi $90^\circ$ searah jarum jam dengan pusat O(0,0).
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 23

Perhatikan diagram lingkaran transportasi siswa SMP Garuda berikut:

Banyaknya siswa yang naik bus sebanyak $\frac{3}{8}$ kali banyaknya siswa yang naik mobil ke sekolah. Separuh dari murid bersepeda, berjalan kaki, atau naik bus ke sekolah. Total banyaknya siswa SMP Garuda adalah …
A. 208
B. 234
C. 260
D. 286

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misal, $n$ = banyak siswa SMP Garuda.
Separuh dari murid bersepeda, berjalan kaki, atau naik bus ke sekolah, maka:
$\begin{align}\frac{1}{20}n+\frac{30}{100}n+Bus &= \frac{1}{2}n \\ \frac{1}{20}n+\frac{3}{10}n+Bus &= \frac{1}{2}n \\ n+6n+20\times Bus &= 10n \\ 20\times Bus &= 3n \\ Bus &= \frac{3}{20}n \end{align}$
Banyaknya siswa yang naik bus sebanyak $\frac{3}{8}$ kali banyaknya siswa yang naik mobil ke sekolah, maka:
$\begin{align}\frac{3}{20}n &= \frac{3}{8}\times Mobil \\ \frac{8}{3}.\frac{3}{20}n &= Mobil \\ \frac{2}{5}n &= Mobil \end{align}$
$\begin{align}MRT+Mobil &= \frac{1}{2}n \\ 26+\frac{2}{5}n &= \frac{1}{2}n \\ 260+4n &= 5n \\ 260 &= n \end{align}$
Jadi, total banyak siswa SMP Garuda adalah 260.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 24

Rani menuliskan 10 bilangan asli terkecil yang masing-masing merupakan kelipatan 7, dan jumlah digitnya habis dibagi 3. Rata-rata bilangan yang ia tulis adalah …
A. 115
B. 115,5
C. 116
D. 116,5

Pembahasan: Lihat/Tutup

Jumlah digitnya habis dibagi 3, berarti bilangan tersebut merupakan kelipatan 3. Karena juga harus keliaptan 7, haruslah bilangannya kelipatan KPK(3,7) = 21.
Rata-rata 10 bilangan asli terkecil yang memenuhi adalah:
= $\frac{21(1+2+3+...+10)}{10}$
= $\frac{21.\frac{10(10+1)}{2}}{10}$
= $\frac{231}{2}$
= 115,5
Jawaban: B

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 25

Banyaknya cara menyusun huruf-huruf pada kata KOPASSUS dengan syarat tidak ada dua huruf kembar yang bersebelahan adalah …
A. 960
B. 1080
C. 1800
D. 1400

Pembahasan: Lihat/Tutup

K, O, P, A, S, S, S, U terdiri dari 8 huruf dengan 3 huruf diantaranya adalah kembar.
Agar dua huruf tidak bersebelahan,
_S_XS_XS_
Dua diantara {K, O, P, A, U} diletakkan di huruf X, sisanya didistribuskan ke 4 tempat “_”.
Banyaknya distribusi adalah $C_{4-1}^{3+4-1}=C_3^6=\frac{6!}{3!}=\frac{6.5.4.3!}{3.2.1.3!}=20$.
Banyaknya cara menyusun huruf-huruf K, O, P, A, U ada 5! = 120.
Jadi, total ada $20\times 120$ = 2400.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 26

Banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ sehingga $FPB(a,b)=1$, dan $a\times b=30!$ adalah …
A. 512
B. 960
C. 1024
D. 1296

Pembahasan: Lihat/Tutup

Misalkan 30! = $2^a.3^b.5^c.7^d.11^2.13^2.17.19.23.29$
Karena $FPB(a,b)=1$, tiap prima berpangkat harus sepenuhnya milik $a$ saja atau milik $b$ saja. Karena ada 10 faktor prima, banyaknya ada $2^{10}$ = 2024.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 27

Dua dadu dilempar bersamaan. Misalkan mata dadu yang muncul adalah $a$ dan $b$. Peluang bahwa $a^b$ memiliki digit satuan 4 adalah …
A. $\frac{5}{36}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{5}{18}$
D. $\frac{1}{3}$

Pembahasan: Lihat/Tutup

Agar digit terakhirnya 4, nilai $a$ haruslah 2 atau 4.
Digit terakhir dari 2 pangkat 1 sampai 6 berturut-turut = 2, 4, 8, 6, 2, 4.
Digit terakhir dari 4 pangkat 1 sampai 6 berturut-turut = 4, 6, 4, 6, 4, 6.
Didapat nilai dari $a^b$ yang digit terakhirnya 4 adalah $2^2$, $2^6$, $4^1$, $4^3$, $4^5$. Ada 5.
Dari semua kemungkinannya ada $6\times 6$ = 36.
Jadi, peluangnya adalah $\frac{5}{36}$.
Jawaban: A

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 28

Kotak-kotak di bawah ini diisi dengan angka dari 1 sampai 5, sehingga setiap angka muncul tepat satu kali dalam setiap baris dan kolom, dan sehingga semua petunjuk aritmatika terpenuhi (yakni nomor petunjuk dalam setiap kotak tebal harus dapat disusun dari angka-angka dalam kotak menggunakan operasi aritmatika yang ditetapkan).

Bilangan pada tanda “?” adalah …
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Pembahasan: Lihat/Tutup

Setelah puzzle diselesaikan, diperoleh

Jadi, bilangan pada tanda “?” adalah 4.
Jawaban: D

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 29

Diberikan segitiga ABC dengan AB = 13, dan AC = 15. Garis tinggi dari titik A merupakan bilangan asli. Jika panjang sisi BC = $n$ yang juga bilangan asli, jumlah semua nilai $n$ yang mungkin adalah …
A. 12
B. 14
C. 18
D. 28

Pembahasan: Lihat/Tutup

Kasus 1. $\angle ABC=90^\circ$
$n=\sqrt{15^2-13^2}=\sqrt{56}$ bukan bilangan asli.
Kasus 2. $\angle ABC\ne 90^\circ$
Misalkan $t$ adalah panjang garis tinggi dari A, maka $[ABC]=\frac{1}{2}nt$
$s=\frac{13+15+n}{2}\to s=\frac{28+n}{2}$ maka dengan rumus heron:
$\begin{align}[ABC] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ [ABC]^2 &= s(s-a)(s-b)(s-c) \\ &= \left( \frac{28+n}{2} \right)\left( \frac{28+n}{2}-13 \right)\left( \frac{28+n}{2}-15 \right)\left( \frac{28+n}{2}-n \right) \\ &= \left( \frac{28+n}{2} \right)\left( \frac{2+n}{2} \right)\left( \frac{n-2}{2} \right)\left( \frac{28-n}{2} \right) \\ [ABC]^2 &= \frac{(28+n)(28-n)(n+2)(n-2)}{16} \end{align}$
Agar $(28+n)(28-n)(n+2)(n-2)$ habis dibagi 16, maka $n$ haruslah genap.
Perhatikan $28-n > 0\to n < 28$ dan $n-2 > 0\to n > 2$ diperoleh $2 < n < 28$ dengan $n$ bilangan genap.
$\begin{align}[ABC]^2 &= \frac{(28+n)(28-n)(n+2)(n-2)}{16} \\ \left( \frac{1}{2}nt \right)^2 &= \frac{(784-n^2)(n^2-4)}{16} \\ \frac{1}{4}n^2t^2 &= \frac{784n^2-3136-n^4+4n^2}{16} \\ t^2 &= \frac{-n^4+788n^2-3136}{4n^2} \end{align}$
Karena $n$ genap maka $4n^2|n^4$, $4n^2|788n^2$, dan
$4n^2|3136=n^2|784=n|28$
Karenan $n$ bilangan genap dan $2 < n < 28$, maka nilai $n$ = {4, 14}.
Cek:
Untuk $n=4$ maka:
$\begin{align}\left( \frac{1}{2}nt \right)^2 &= \frac{(784-n^2)(n^2-4)}{16} \\ \left( \frac{1}{2}.4t \right)^2 &= \frac{(784-4^2)(4^2-4)}{16} \\ 4t^2 &= \frac{768\times 12}{16} \\ 4t^2 &= 48\times 12 \\ t^2 &= 144 \\ t &= 12\,(\text{memenuhi}) \end{align}$
Untuk $n=14$ maka:
$\begin{align}\left( \frac{1}{2}nt \right)^2 &= \frac{(784-n^2)(n^2-4)}{16} \\ \left( \frac{1}{2}.14t \right)^2 &= \frac{(784-14^2)(14^2-4)}{16} \\ 49t^2 &= \frac{588\times 192}{16} \\ 49t^2 &= 588\times 12 \\ t^2 &= 144 \\ t &= 12\,(\text{memenuhi}) \end{align}$
Jadi, jumlah nilai $n$ yang memenuhi adalah 14 + 4 = 18.
Jawaban: C

---

Soal Olimpiade Matemaatika SMP
PENSO 2025 POSI No. 30

Tangga stadion dengan 150 anak tangga diberi nomor dari 1 hingga 150. Juan mulai dari anak tangga nomor 139 dan turun ke anak tangga nomor 136, kemudian ke anak tangga nomor 133, dan terus turun ke anak tangga hanya melangkah di setiap anak tangga ketiga. Jeny mulai dari anak tangga nomor 3 dan naik ke anak tangga nomor 7, kemudian ke anak tangga nomor 11, dan terus naik ke anak tangga 139 dengan hanya melangkah di setiap anak tangga keempat. Banyaknya anak tangga yang diinjak oleh Juan yang juga diinjak oleh Jeny (tidak harus pada waktu yang sama) adalah …
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

Pembahasan: Lihat/Tutup

Nomor anak tangga yang diinjak Juan (${{U}_{x}}$):
139, 136, 133, …, ${{U}_{x}}$ dengan ${{U}_{x}}=139-3x$ untuk $x$ bilangan cacah.
$\begin{align}U_x & > 0 \\ 139-3x & > 0 \\ -3x & > 139 \\ x & \le 46 \end{align}$
$U_x=139-3x=139-3.46=1$
Jadi, nomor anak yangga yang diinjak Juan jika ditulis urutan naik adalah:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ..., 139
Nomor anak tangga yang diinjak Jeny $(U_y)$:
3, 7, 11, 15, 19, …, 139
Nomor anak tangga yang diinjak Juan yang juga diinjak Jeni adalah:
7, 19, 21, ...
$a=7$, $b=12$
$\begin{align}U_n &= a+(n-1)b \\ &= 7+(n-1)12 \\ &= 7+12n-12 \\ U_n &= 12n-5 \end{align}$
$n$ adalah banyak anak tangga yang diinjak Juan dan juga diinjak Jeni.
$\begin{align}U_n &\le 139 \\ 12n-5 &\le 139 \\ 12n &\le 144 \\ n &\le 12 \end{align}$
Jadi, banyak anak tangga yang diinjka Juan dan juga diinjak Jeni ada 12.
Jawaban: C

---

Share :