Sudut-sudut Pada Lingkaran

A. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut Pusat adalah sudut yag titik sudutnya berimpit dengan pusat lingkaran serta kedua kakinya adalah jari-jari lingkaran.

Perhatikan gambar!

$\angle AOB$ adalah sudut pusat lingkaran.

Sudut Keliling adalah sudut yang dibatasi oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada lingkaran, dan titik sudutnya terletak pada keliling lingaran.

Perhatikan gambar!

$\angle ABC$ adalah sudut keliling.

Jika dua sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudutnya sama.

$\angle ABD$ dan $\angle ACD$ adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu $\overset\frown{AD}$ maka $\angle ABD=\angle ACD$.

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka:
Sudut Pusat = 2$\times $Sudut Keliling.

$\angle AOB$ (sudut pusat) dan $\angle ACB$ (sudut keliling) menghadap busur yang sama ($\overset\frown{AB}$), maka:
$\angle AOB=2\times \angle ACB$ atau $\angle ACB=\frac{1}{2}\times \angle AOB$.

Jika sudut keliling menghadap diameter lingkaran, maka besar sudutnya $90^\circ$

$\angle ACB$ (sudut keliling) menghadap diameter lingkaran (AB) maka $\angle ACB=90^\circ$.

Contoh 1.
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui $\angle ABD=50^\circ$ dan $\angle ACD=(3x-25)^\circ$. Tentukan nilai $x$.
Penyelesaian:
$\angle ACD$ (sudut keliling) dan $\angle ABD$ (sudut keliling) menghadap busur yang sama ($\overset\frown{AD}$) maka:
$\begin{align}\angle ACD &= \angle ABD \\ (3x-25)^\circ &= 50^\circ \\ 3x-25 &= 50 \\ 3x &= 75 \\ x &= 25 \end{align}$

Contoh 2.
Diberikan sebuah lingkaran sebagai berikut!

$\angle DFE$ besarnya adalah $70^\circ$ dan $\angle DPE=(5x-10)^\circ$. Tentukan nilai $x$.
Penyelesaian:
$\angle DPE$ (sudut pusat) dan $\angle DFE$ (sudut keliling) menghadap busur yang sama ($\overset\frown{DE}$) maka:
$\begin{align}\angle DPE &= 2\times \angle DFE \\ (5x-10)^\circ &= 2\times 70^\circ \\ (5x-10)^\circ &= 140^\circ \\ 5x-10 &= 140 \\ 5x &= 150 \\ x &= 30 \end{align}$

Contoh 3.
Perhatikan gambar!

AB adalah diameter lingkaran. Jika perbandingan besar $\angle BAC$ dan $\angle ABC$ adalah 2:7. Tentukan besar $\angle BOC$.
Penyesaian:
$\angle ACB$ adalah sudut keliling yang menghadap diameter AB, maka $\angle ACB=90^\circ$.
$\angle BAC:\angle ABC=2:7$
Misal $\angle BAC=2x$ maka $\angle ABC=7x$
Perhatikan segitiga ABC:
$\begin{align}\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB &= 180^\circ \\ 2x+7x+90^\circ &= 180^\circ \\ 9x &= 90^\circ \\ x &= 10^\circ \end{align}$
$\angle BAC=2x=2\times 10^\circ =20^\circ$
$\angle BOC$ (sudut pusat) dan $\angle BAC$ (sudut keliling) menghadap busur yang sama ($\overset\frown{BC}$) maka:
$\angle BOC=2\times \angle BAC=2\times 20^\circ =40^\circ$.

B. Hubungan Sudut Antara 2 Tali Busur Berpotongan di Dalam Lingkaran dengan Sudut Pusat.

$\angle APB=\frac{1}{2}(\angle COD+\angle AOB)$
$\angle BPC=\frac{1}{2}(\angle BOC+\angle AOD)$
Contoh:
Perhatikan gambar!

Jika $\angle AOD=80^\circ$ dan $\angle BOC=110^\circ$ maka $\angle AED$ = ….
Penyelesaian:
$\begin{align}\angle AED &= \frac{1}{2}(\angle AOD+\angle BOC) \\ &= \frac{1}{2}(80^\circ +110^\circ) \\ \angle AED &= 95^\circ \end{align}$

C. Hubungan Sudut Antara 2 Tali Busur Berpotongan di Luar Lingkaran dengan Sudut Pusat.

$\angle APD=\frac{1}{2}(\angle AOD-\angle BOC)$
Contoh:
Perhatikan gambar berikut!

Pusat lingkaran adalah O. Jika $\angle DFA=60^\circ$, $\angle BOC=30^\circ$ maka $\angle AED$ = ….
Penyelesaian:
$\begin{align}\angle DFA &= \angle BFC \\ \angle DFA &= \frac{1}{2}(\angle BOC+\angle AOD) \\ 60^\circ &= \frac{1}{2}(30^\circ +\angle AOD) \\ 120^\circ &= 30^\circ +\angle AOD \\ \angle AOD &= 90^\circ \\ \end{align}$
$\begin{align}\angle AED &= \frac{1}{2}(\angle AOD-\angle BOC) \\ &= \frac{1}{2}(90^\circ -30^\circ ) \\ &= 30^\circ \end{align}$

D. Segiempat Tali Busur

Segiempat tali busur adalah bangun datar segiempat yang keempat sisinya dibentuk dari tali busur lingkaran.
Perhatikan gambar!

Sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur dalam lingkaran akan berjumlah $180^\circ$, maka:
$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$
$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$
Contoh:
Perhatikan gambar berikut!

Jika ABCD adalah segiempat tali busur, maka nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah ….
Penyelesaian:
$\begin{align}\angle ABC+\angle ADC &= 180^\circ \\ 80^\circ +(2x+40)^\circ &= 180^\circ \\ (2x+40)^\circ &= 100^\circ \\ 2x+40 &= 100 \\ 2x &= 60 \\ x &= 30 \end{align}$
$\begin{align}\angle BAD+\angle BCD &= 180^\circ \\ 120^\circ +(3y+15)^\circ &= 180^\circ \\ (3y+15)^\circ &= 60^\circ \\ 3y+15 &= 60 \\ 3y &= 45 \\ y &= 15 \end{align}$
Jadi, $x=2y$

E. Soal Latihan

1.	Perhatikan lingkaran berikut! Pusat lingkaran di titik O. Diketahui $\angle ABD+\angle AOD+\angle ACD=140^\circ$. Tentukan besar $\angle ABD$.
2.	Perhatikan gambar berikut. Jika besar $\angle AOC=112^\circ$, maka besar $\angle ABC$ adalah ...
3.	Perhatikan gambar! Titik O adalah pusat lingkaran. $\angle ABC$ besarnya dua kali $\angle CAB$. Tentukan besar $\angle ABC$.
4.	Perhatikan gambar! Diketahui besar $\angle AED=25^\circ$ dan besar $\angle BOC=35^\circ$. Tentukan besar $\angle AOD$.
5.	Perhatikan gambar! Jika besar $\angle POQ=35^\circ$ dan besar $\angle ROS=50^\circ$, tentukan besar $\angle PTQ$ dan $\angle QTR$.

Share :