Kumpulan Soal - Rotasi (Perputaran) + Pembahasan
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Soal Rotasi No. 1
Rotasi pada titik O(0,0) sejauh $135^\circ$ dapat dinyatakan dengan matriks ….A. $\left( \begin{matrix}\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)$
B. $\left( \begin{matrix}\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)$
C. $\left( \begin{matrix}-\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)$
D. $\left( \begin{matrix}\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)$
E. $\left( \begin{matrix}-\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)$
Pembahasan: Lihat/Tutup
Matriks $R[O,\theta )$ adalah $\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)$.Matriks $R[O,135^\circ )$ adalah $\left( \begin{matrix} \cos 135^\circ & -\sin 135^\circ \\ \sin 135^\circ & \cos 135^\circ \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)$
Jawaban: C
Soal Rotasi No. 2
Matriks $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)$ merupakan matriks rotasi pada titik O(0,0) sejauh ….A. $30^\circ$
B. $60^\circ$
C. $210^\circ$
D. $300^\circ$
E. $330^\circ$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\cos \theta =\frac{1}{2}\sqrt{3}$ (positif) dan $\sin \theta =-\frac{1}{2}$ (negatif) maka $\theta $ di kuadran IV.$\begin{align}\cos \theta &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos (360^\circ -\theta ) &= \cos 30^\circ \\ 360^\circ -\theta &= 30^\circ \\ 330^\circ &= \theta \end{align}$
Jawaban: E
Soal Rotasi No. 3
Matriks $\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)$ merupakan matriks rotasi paa titik O(0,0) sejauh ….A. $180^\circ$
B. $90^\circ$
C. $60^\circ$
D. $-90^\circ$
E. $-60^\circ$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\cos \theta =0$ dan $\sin \theta =-1$ maka $\theta $ di kuadran IV.$\sin \theta =-1$ maka $\theta =270^\circ$ atau $\theta =-90^\circ$
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 4
Matriks $\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$ merupakan matriks rotasi pada titik O(0,0) sejauh ….A. $180^\circ$
B. $90^\circ$
C. $60^\circ$
D. $45^\circ$
E. $30^\circ$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\cos \theta =-1$ maka $\theta =180^\circ$Jawaban: A
Soal Rotasi No. 5
Jika titik (2,4) dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $30^\circ$ maka hasilnya adalah ….A. $(\sqrt{3}-2,1-2\sqrt{3})$
B. $(\sqrt{3}-2,1+2\sqrt{3})$
C. $(\sqrt{3}+2,1-2\sqrt{3})$
D. $(\frac{1}{2}\sqrt{3}-1,\frac{1}{2}-\sqrt{3})$
E. $(\frac{1}{2}\sqrt{3}+1,\frac{1}{2}+\sqrt{3})$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta )}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\j//h \end{matrix} \right)$$(2,4)\xrightarrow{R[O,30^\circ )}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \sqrt{3}-2 \\ 1+2\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, titik (2,4) dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $30^\circ$ maka hasilnya adalah $(\sqrt{3}-2,1+2\sqrt{3})$
Jawaban: B
Soal Rotasi No. 6
Jika titik $(-4,2)$ dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $135^\circ$ maka hasilnya adalah ….A. $(\sqrt{2},-3\sqrt{2})$
B. $(\sqrt{2},3\sqrt{2})$
C. $(\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2})$
D. $(\frac{1}{2}\sqrt{2},-\sqrt{2})$
E. $(-\frac{1}{2}\sqrt{2},-\sqrt{2})$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta )}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$(-4,2)\xrightarrow{R[O,135^\circ ]}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 135^\circ & -\sin 135^\circ \\ \sin 135^\circ & \cos 135^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \sqrt{2} \\ -3\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, titik $(-4,2)$ dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $135^\circ$ maka hasilnya adalah $(\sqrt{2},-3\sqrt{2})$.
Jawaban: A
Soal Rotasi No. 7
Jika garis $y=2x+1$ dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $30^\circ$ maka petanya adalah ….A. $(1+2\sqrt{3})x+(2-\sqrt{3})y=-2$
B. $(1+2\sqrt{3})x+(2-\sqrt{3})y=2$
C. $(1-2\sqrt{3})x+(2-\sqrt{3})y=-2$
D. $(1-2\sqrt{2})x+(2-\sqrt{3})y=2$
E. $(1-\sqrt{3})x+(2-2\sqrt{3})y=-2$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta )}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$$y=2x+1\xrightarrow{R[O,30^\circ]}?$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= {{\left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= {{\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y' \\ -\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3}y' \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Substitusi $x=\frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y'$ dan $y=-\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3}y'$ ke persamaan garis:
$\begin{align}y &= 2x+1 \\ -\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3}y' &= 2\left( \frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y' \right)+1 \\ -\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3}y' &= \sqrt{3}x'+y'+1 \\ x'-\sqrt{3}y' &= -2\sqrt{3}x'-2y'-2 \end{align}$
$(1+2\sqrt{3})x'+(2-\sqrt{3})y'=-2$
Jadi, garis $y=2x+1$ dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $30^\circ$ maka petanya adalah $(1+2\sqrt{3})x+(2-\sqrt{3})y=-2$
Jawaban: A
Soal Rotasi No. 8
Jika parabola $y=x^2+1$ dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $90^\circ$ maka petanya adalah ….A. $x=y^2-1$
B. $x=-y^2-1$
C. $x=-y^2+1$
D. $y=x^2-1$
E. $y=-x^2-1$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$y=x^2+1\xrightarrow{R[O,90^\circ]}?$$(x,y)\xrightarrow{R[O,90^\circ]}(\underbrace{-y}_{x'},\underbrace{x}_{y'})$
$-y=x'\to y=-x'$
$x=y'$
Substitusi $y=-x'$ dan $x=y'$ ke persamaan parabola:
$\begin{align}y &= x^2+1 \\ -x' &= (y')^2+1 \\ x' &= -(y')^2-1 \end{align}$
Jadi, parabola $y=x^2+1$ dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $90^\circ$ maka petanya adalah $x=-y^2-1$
Jawaban: B
Soal Rotasi No. 9
Jika titik (2,4) dirotasi pada titik A(4,6) sejauh $30^\circ$ maka hasilnya adalah ….A. $(\sqrt{3}-6,5-2\sqrt{3})$
B. $(\sqrt{3}+6,5+2\sqrt{3})$
C. $(\sqrt{3}+6,5-2\sqrt{3})$
D. $(\frac{1}{2}\sqrt{3}-5,6-2\sqrt{3})$
E. $(-\sqrt{3}+5,5-\sqrt{3})$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$.$(2,4)\xrightarrow{R[A(4,6),30^\circ]}(x',y')$ maka
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2-4 \\ 4-6 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix}\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -2 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -\sqrt{3}+1 \\ -1-\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -\sqrt{3}+5 \\ 5-\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jawaban: E
Soal Rotasi No. 10
Jika titik $(-4,2)$ dirotasi pada titik $B(0,-2)$ sejauh $135^\circ$ maka hasilnya adalah ….A. $(0,4-4\sqrt{2})$
B. $(4-4\sqrt{2},0)$
C. $(\sqrt{2},2-4\sqrt{2})$
D. $(4\sqrt{2},-2)$
E. $(0,-2-4\sqrt{2})$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$.$(-4,2)\xrightarrow{R[B(0,-2),135^\circ ]}(x',y')$ maka
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos 135^\circ & -\sin 135^\circ \\ \sin 135^\circ & \cos 135^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -4-0 \\ 2+2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0 \\ -2 \\\end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -4 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 2\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 0 \\ -2-4\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)$
Jawaban: E
Soal Rotasi No. 11
Jika garis $y=3x$ dirotasi pada titik A(4,2) sejauh $90^\circ$ maka petanya adalah ….A. $x-3y=0$
B. $x+3y=0$
C. $3x+y=0$
D. $3y+x=20$
E. $3y+x=12$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x'-a \\ y'-b \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)$.$y=3x\xrightarrow{R[A(4,2),90^\circ]}?$
$(x,y)\xrightarrow{R[A(4,2),90^\circ]}(x',y')$ maka
$\left( \begin{matrix} x'-4 \\ y'-2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-4 \\ y-2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x'-4 \\ y'-2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-4 \\ y-2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x'-4 \\ y'-2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -y+2 \\ x-4 \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align}-y+2 &= x'-4 \\ -y &= x'-6 \\ y &= -x'+6 \end{align}$
$x-4=y'-2\to x=y'+2$
Substitusi $y=-x'+6$ dan $x=y'+2$ ke persamaan garis:
$\begin{align} y &= 3x \\ -x'+6 &= 3(y'+2) \\ -x'+6 &= 3y'+6 \\ -x'-3y' &= 0 \\ x'+3y' &= 0 \end{align}$
Jadi, garis $y=3x$ dirotasi pada titik A(4,2) sejauh $90^\circ$ maka petanya adalah $x+3y=0$.
Jawaban: B
Soal Rotasi No. 12
Jika parabola $y=x^2+2$ dirotasi pada titik A(1,5) sejauh $-90^\circ$ maka petanya adalah ….A. $x=y^2-2$
B. $y=x^2-2$
C. $x=y^2-8y+14$
D. $x=y^2-8y+22$
E. $x=y^2-12y+34$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x'-a \\ y'-b \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)$.$y=x^2+2\xrightarrow{R[A(1,5),-90^\circ]}?$
$(x,y)\xrightarrow{R[A(1,5),-90^\circ]}(x',y')$ maka
$\left( \begin{matrix} x'-1 \\ y'-5 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos (-90^\circ) & -\sin (-90^\circ) \\ \sin (-90^\circ) & \cos (-90^\circ) \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-1 \\ y-5 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x'-1 \\ y'-5 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-1 \\ y-5 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x'-1 \\ y'-5 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} y-5 \\ -x+1 \\ \end{matrix} \right)$
$y-5=x'-1\to y=x'+4$
$\begin{align}-x+1 &= y'-5 \\ -x &= y'-6 \\ x &= -y'+6 \end{align}$
Substitusi $y=x'+4$ dan $x=-y'+6$ ke persamaan parabola:
$\begin{align}y &= x^2+2 \\ x'+4 &= (-y'+6)^2+2 \\ x'+4 &= (y')^2-12y'+36+2 \\ x' &= (y')^2-12y'+34 \end{align}$
Jadi, parabola $y=x^2+2$ dirotasi pada titik A(1,5) sejauh $-90^\circ$ maka petanya adalah $x=y^2-12y+34$.
Jawaban: B
Soal Rotasi No. 13
Peta dari titik A(2,4) yang dirotasi secara berurutan dengan $R_1[O,20^\circ]$ dan $R_2[O,25^\circ]$ dengan O(0,0) adalah ….A. $(-\sqrt{2},3\sqrt{2})$
B. $(-3\sqrt{2},\sqrt{2})$
C. $(\sqrt{2},2\sqrt{2})$
D. $(\sqrt{2},3\sqrt{2})$
E. $(3\sqrt{2},\sqrt{2})$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$R_2[O,{\theta}_2]\circ R_1[O,{\theta}_2]=R[O,{\theta}_1+{\theta}_2]$
$R_2[O,25^\circ ]\circ R_1[O,20^\circ]$ = $R[O,20^\circ +25^\circ]$ = $R[O,45^\circ]$
$A(2,4)\xrightarrow{R[O,45^\circ ]}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ \sqrt{2}+2\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -\sqrt{2} \\ 3\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, peta dari titik A(2,4) yang dirotasi secara berurutan dengan $R_1[O,20^\circ]$ dan $R_2[O,25^\circ]$ dengan O(0,0) adalah $(-\sqrt{2},3\sqrt{2})$.
Jawaban: A
Soal Rotasi No. 14
Jika $R_1[O,140^\circ]$ dan $R_2[O,160^\circ]$ dengan O(0,0), maka peta dari titik $A(4,-2)$ yang ditransformasikan oleh $R_1\circ R_2$ adalah ….A. $A'(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1)$
B. $A'(2-\sqrt{3},2\sqrt{3}+1)$
C. $A'(2+\sqrt{3},2-2\sqrt{3})$
D. $A'(2-\sqrt{3},-2\sqrt{3}-1)$
E. $A'(-2+3\sqrt{3},2\sqrt{3}-1)$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$R_2[O,{\theta}_2]\circ R_1[O,{\theta}_2]=R[O,{\theta}_1+{\theta}_2]$$R_2[O,160^\circ ]\circ R_1[O,140^\circ]$ = $R[O,140^\circ +160^\circ]$ = $R[O,300^\circ]$
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$A(2,4)\xrightarrow{R[O,300^\circ ]}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 300^\circ & -\sin 300^\circ \\ \sin 300^\circ & \cos 300^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 2-\sqrt{3} \\ -2\sqrt{3}-1 \\\end{matrix} \right) \end{align}$
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 15
Koordinat bayangan titik A(7,1) karena rotasi sebesar $30^\circ$, kemudian dilanjutkan rotasi $60^\circ$ terhadap pusat P(3,2) adalah ….A. $(-4,-6)$
B. $(-4,6)$
C. (4,6)
D. $(-3,-2)$
E. (3,2)
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$$A(7,1)\xrightarrow{R[P(3,2),30^\circ +60^\circ ]}(x',y')$
$A(7,1)\xrightarrow{R[P(3,2),90^\circ]}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 7-3 \\ 1-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, koordinat bayangan titik A(7,1) karena rotasi sebesar $30^\circ$, kemudian dilanjutkan rotasi $60^\circ$ terhadap pusat P(3,2) adalah (4,6).
Jawaban: C
Soal Rotasi No. 16
Titik $(2a,-a)$ diputar $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik (1,1). Jika hasil rotasi adalah $(2+a,-2)$ maka nilai $a$ adalah ….A. 2
B. 1
C. 0
D. $-1$
E. $-2$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$$(\underbrace{2a}_{x},\underbrace{-a}_{y})\xrightarrow{R[(1,1),90^\circ]}(\underbrace{2+a}_{x'},\underbrace{-2}_{y'})$ maka:
$\left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-1 \\ -a-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-1 \\ -a-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} a+1 \\ 2a-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} a+2 \\ 2a \\ \end{matrix} \right)$
$2a=-2\to a=-1$
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 17
Dua buah segitiga ABC dan A’B’C’ berada pada bidang koordinat dengan titik-titik A(0,0), B(0,12), C(16,0), A’(24,18), B’(36,18), C’(24,2). Sebuah rotasi $m^\circ$ searah jarum jam pada titik $(x,y)$ dengan $0^\circ < m^\circ < 180^\circ$ akan mentransformasikan $\Delta ABC$ ke $\Delta A'B'C'$. Tentukan $m+x+y$.A. 105
B. 106
C. 107
D. 108
E. 109
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(p,q)\xrightarrow{R[(x,y),\theta]}(p',q')$ maka $\left( \begin{matrix} p'-a \\ q'-b \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} p-x \\ q-y \\ \end{matrix} \right)$$(p,q)\xrightarrow{R[(x,y),m^\circ]}(p',q')$ maka
$\left( \begin{matrix} p' \\ q' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos (-m^\circ) & -\sin (-m^\circ) \\ \sin (-m^\circ) & \cos (-m^\circ) \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} p-x \\ q-y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
Misalkan, $\cos (-m)^\circ =a$ dan $\sin (-m)^\circ =b$ maka:
$\left( \begin{matrix} p' \\ q' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} a & -b \\ b & a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} p-x \\ q-y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$A(0,0)\to A'(24,18)$ maka
$\left( \begin{matrix} 24-x \\ 18-y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & -b \\ b & a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0-x \\ 0-y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 24-x \\ 18-y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & -b \\ b & a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -x \\ -y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 24-x \\ 18-y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -ax+by \\ -bx-ay \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align}-ax+by &= 24-x \\ (1-a)x+by &= 24\,....\,(1) \end{align}$
$\begin{align}-bx-ay &= 18-y \\ -bx+(1-a)y &= 18\,....\,(2) \end{align}$
$B(0,12)\to B'(36,18)$ maka:
$\left( \begin{matrix} 36-x \\ 18-y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & -b \\ b & a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0-x \\ 12-y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 36-x \\ 18-y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & -b \\ b & a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -x \\ 12-y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 36-x \\ 18-y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -ax-12b+by \\ -bx+12a-ay \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align}-ax-12b+by &= 36-x \\ (1-a)x+by &= 12b+36\,....\,(3) \end{align}$
$\begin{align}-bx+12a-ay &= 18-y \\ -bx+(1-a)y &= 18-12a\,....\,(4) \end{align}$
Dari persamaan (1) dan (3):
$\frac{\begin{align}(1-a)x+by &= 24 \\ (1-a)x+by &= 12b+36 \end{align}}{\begin{align}0 &= -12-12b \\ 12b &= -12 \\ b &= -1 \end{align}}-$
Dari persamaan (2) dan (3):
$\frac{\begin{align}-bx+(1-a)y &= 18\, \\ -bx+(1-a)y &= 18-12a \end{align}}{\begin{align}0 &= 12a \\ a &= 0 \end{align}}-$
Substitusi $a=0$ dan $b=-1$ ke persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}x-y &= 24 \\ x+y &= 18 \end{align}}{\begin{align}2x &= 42 \\ x &= 21 \end{align}}+$
$\begin{align}x-y &= 24 \\ 21-y &= 24 \\ -y &= 3 \\ y &= -3 \end{align}$
$0^\circ < m^\circ < 180^\circ$
$-180^\circ < -m^\circ < 0^\circ$
$\cos (-m)^\circ =a\to \cos (-m^\circ )=0$ dan $\sin (-m)^\circ =b\to \sin (-m)^\circ =-1$ maka $-m^\circ =-90^\circ \to m=90$.
$m+x+y=90+21-3=108$
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 18
Bayangan titik $A(1,-2)$ dirotasikan dengan $R_1[O,60^\circ]$ dilanjutkan rotasi $R_2[O,30^\circ]$ adalah ….A. (-2,-1)
B. (-2,1)
C. (2,-1)
D. (2,1)
E. (1,2)
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$A(1,-2)\xrightarrow{R_1[O,60^\circ]\,dilanjutkan\,R_2[O,30^\circ]}A'$
$A(1,-2)\xrightarrow{R[O,60^\circ+30^\circ]}A'(x',y')$
$A(1,-2)\xrightarrow{R[O,90^\circ]}A'(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$A'(2,1)$
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 19
Garis $L:3x-2y+6=0$ dirotasikan sebesar $180^\circ$ terhadap titik pusat $(1,-2)$. Hasil rotasi garis L adalah ….A. $2x-3y=20$
B. $2x+3y=20$
C. $3x-2y=20$
D. $3x+2y=20$
E. $3x+2y=-20$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x'-a \\ y'-b \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)$$3x-2y+6=0\xrightarrow{R[(1,-2),180^\circ]}?$
$(x,y)\xrightarrow{R[(1,-2),180^\circ]}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x'-1 \\ y'+2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-1 \\ y+2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x'-1 \\ y'+2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-1 \\ y+2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x'-1 \\ y'+2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -x+1 \\ -y-2 \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align}-x+1 &= x'-1 \\ -x &= x'-2 \\ x &= -x'+2 \end{align}$
$\begin{align}-y-2 &= y'+2 \\ -y &= y'+4 \\ y &= -y'-4 \end{align}$
Substitusi $x=-x'+2$ dan $y=-y'-4$ ke persamaan garis:
$\begin{align}3x-2y+6 &= 0 \\ 3(-x'+2)-2(-y'-4)+6 &= 0 \\ -3x'+6+2y'+8+6 &= 0 \\ -3x'+2y'+20 &= 0 \\ 3x'-2y' &= 20 \end{align}$
Jadi, $3x-2y+6=0$ dirotasikan sebesar $180^\circ$ terhadap titik pusat $(1,-2)$ hasilnya adalah $3x-2y=20$.
Jawaban: C
Soal Rotasi No. 20
Bayangan garis $3x-2y=-5$ diputar dengan pusat (0,0) sejauh $180^\circ$ adalah ….A. $2x-3y=-5$
B. $2x-3y=5$
C. $3x-2y=-5$
D. $3x-2y=5$
E. $3x+2y=5$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$3x-2y=-5\xrightarrow{R[O,180^\circ]}?$
$(x,y)\xrightarrow{R[O,180^\circ]}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -x \\ -y \\ \end{matrix} \right)$
$-x=x'\to x=-x'$
$-y=y'\to y=-y'$
Substitusi $x=-x'$ dan $y=-y'$ ke persamaan garis:
$\begin{align}3x-2y &= -5 \\ 3(-x')-2(-y') &= -5 \\ -3x'+2y' &= -5 \\ 3x'-2y' &= 5 \end{align}$
Jadi, bayangan garis $3x-2y=-5$ diputar dengan pusat (0,0) sejauh $180^\circ$ adalah $3x-2y=5$.
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 21
Sebuah garis $2\sqrt{3}x-6y=4$ dirotasi terhadap titik asal (0,0) dengan sudut rotasi $60^\circ$ searah dengan jarum jam. Bayangan garis tersebut adalah ….A. $2\sqrt{3}x-6y-4=0$
B. $2\sqrt{3}x-6y+4=0$
C. $-2\sqrt{3}x-6y+4=0$
D. $2\sqrt{3}x+6y+4=0$
E. $2\sqrt{3}x+6y-4=0$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$$2\sqrt{3}x-6y=4\xrightarrow{R[O,-60^\circ]}?$
$(x,y)\xrightarrow{R[O,-60^\circ]}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= {{\left( \begin{matrix} \cos (-60^\circ) & -\sin (-60^\circ) \\ \sin (-60^\circ) & \cos (-60^\circ) \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= {{\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}x'-\frac{1}{2}\sqrt{3}y' \\ \frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y' \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Substitusi $x=\frac{1}{2}x'-\frac{1}{2}\sqrt{3}y'$ dan $y=\frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y'$ ke persamaan garis:
$2\sqrt{3}x-6y=4$
$2\sqrt{3}\left( \frac{1}{2}x'-\frac{1}{2}\sqrt{3}y' \right)-6\left( \frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y' \right)=4$
$\sqrt{3}x'-3y'-3\sqrt{3}x'-3y'=4$
$-2\sqrt{3}x'-6y'=4$
$2\sqrt{3}x'+6y'+4=0$
Jadi, $2\sqrt{3}x-6y=4$ dirotasi terhadap titik asal (0,0) dengan sudut rotasi $60^\circ$ searah dengan jarum jam maka bayangannya adalah $2\sqrt{3}x+6y+4=0$
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 22
Bayangan titik $C(x,y)$ oleh rotasi terhadap titik asal (0,0) sebesar $90^\circ$ berlawanan dengan arah putar jarum jam adalah $C'(-5,-9)$. Nilai $x+2y$ = ….A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$C(x,y)\xrightarrow{R[O,90^\circ]}C'(-5,-9)$ maka:
$\left( \begin{matrix} -5 \\ -9 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -5 \\ -9 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -5 \\ -9 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -y \\ x \\ \end{matrix} \right)$
$x=-9$ dan $-y=-5\to y=5$
$x+2y=-9+2.5=1$
Jawaban: A
Soal Rotasi No. 23
Bayangan titik $P(a,b)$ oleh rotasi $[O,-90^\circ]$ adalah $P'(-10,-2)$. Nilai $a+2b$ = …A. $-18$
B. $-8$
C. 8
D. 18
E. 22
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$P(a,b)\xrightarrow{R[O,-90^\circ]}P'(-10,-2)$ maka:
$\left( \begin{matrix} -10 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos (-90^\circ) & -\sin (-90^\circ) \\ \sin (-90^\circ) & \cos (-90^\circ) \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -10 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -10 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} b \\ -a \\ \end{matrix} \right)$
$-a=-2\to a=2$ dan $b=-10$
Nilai, $a+2b=2+2(-10)=-18$
Jawaban: A
Soal Rotasi No. 24
Titik $(-a,-3)$ diputar $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran (1,1). Jika hasil rotasi adalah $(3-a,a+4)$, maka nilai $a$ adalah ….A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
E. -2
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x'-a \\ y'-b \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)$$(-a,-3)\xrightarrow{R[(1,1),90^\circ]}(3-a,a+4)$ maka:
$\left( \begin{matrix} 3-a-1 \\ a+4-1 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -a-1 \\ -3-1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2-a \\ a+3 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -a-1 \\ -4 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2-a \\ a+3 \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 4 \\ -a-1 \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align}a+3 &= -a-1 \\ 2a &= -4 \\ a &= -2 \end{align}$
Jawaban: E
Soal Rotasi No. 25
Persamaan bayangan parabola $y=x^2+4$ karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh $270^\circ$ adalah ….A. $x=y^2+4$
B. $x=-y^2+4$
C. $x=-y^2-4$
D. $y=-x^2-4$
E. $y=x^2+4$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$y=x^2+4\xrightarrow{R[O,270^\circ]}?$
$(x,y)\xrightarrow{R[O,270^\circ]}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos 270^\circ & -\sin 270^\circ \\ \sin 270^\circ & \cos 270^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} y \\ -x \\ \end{matrix} \right)$
$y=x'$ dan $-x=y'\to x=-y'$
Substitusi $y=x'$ dan $x=-y'$ ke persamaan parabola:
$\begin{align}y &= x^2+4 \\ x' &= (-y')^2+4 \\ x' &= (y')^2+4 \end{align}$
Jadi, persamaan bayangan parabola $y=x^2+4$ karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh $270^\circ$ adalah $x=y^2+4$.
Jawaban: A
Soal Rotasi No. 26
Diberikan segitiga ABC dengan koordinat titik A(7,2), B(2,7), dan C(3,-5). Jika segitiga ABC dirotasi dengan pusat (1,2) sejauh $180^\circ$, maka koordinat bayangan segitiga ABC adalah ….A. A’(-6,2); B’(-2,3); C’(-1,7)
B. A’(-5,2); B’(0,-3); C’(-1,9)
C. A’(-6,2); B’(-1,5); C’(-2,7)
D. A’(-6,-2); B’(0,3); C’(1,9)
E. A’(-5,0); B’(0,-5); C’(-1,-9)
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$$(x,y)\xrightarrow{R[(1,2),180^\circ]}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-1 \\ y-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-1 \\ y-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -x+1 \\ -y+2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -x+2 \\ -y+4 \\ \end{matrix} \right)$
$(x,y)\xrightarrow{R[(1,2),180^\circ]}(-x+2,-y+4)$
$A(7,2)\to A'(-7+2,-2+4)=A'(-5,2)$
$B(2,7)\to B'(-2+2,-7+4)=B'(0,-3)$
$C(3,-5)\to C'(-3+2,5+4)=C'(-1,9)$
Jawaban: B
Soal Rotasi No. 27
Titik A(x,y) jika dirotasi sejauh $270^\circ$ berlawanan arah dengan perputaran jarum jam dengan pusat putaran di titik O(0,0) menghasilkan bayangan A’(-2,1), maka nilai $x-y$ adalah ….A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
E. -1
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$A(x,y)\xrightarrow{R[O,270^\circ]}A'(-2,1)$ maka:
$\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos 270^\circ & -\sin 270^\circ \\ \sin 270^\circ & \cos 270^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} y \\ -x \\ \end{matrix} \right)$
$-x=1\to x=-1$ dan $y=-2$
Nilai $x-y=-1-(-2)=1$
Jawaban: C
Soal Rotasi No. 28
Bayangan titik $(8,-6)$ oleh rotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut rotasi $60^\circ$ adalah ….A. $(4+3\sqrt{3},4\sqrt{3}-3)$
B. $(4+3\sqrt{3},4\sqrt{3}+3)$
C. $(4\sqrt{3}+3,4+3\sqrt{3})$
D. $(4-3\sqrt{3},4\sqrt{3}-3)$
E. $(4-3\sqrt{3},3\sqrt{3}-4)$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$(8,-6)\xrightarrow{R[O,60^\circ]}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 8 \\ -6 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 8 \\ -6 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4+3\sqrt{3} \\ 4\sqrt{3}-3 \\ \end{matrix} \right)$
Jadi, bayangan titik $(8,-6)$ oleh rotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut rotasi $60^\circ$ adalah $(4+3\sqrt{3},4\sqrt{3}-3)$.
Jawaban: A
Soal Rotasi No. 29
Titik $M(a,b)$ dirotasi terhadap titik asal sejauh $90^\circ$ searah jarum jam sehingga menghasilkan $M'(-1,-3)$ maka $2a+6b+5$ = …A. 2
B. 4
C. 5
D. 7
E. 9
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\\end{matrix} \right)$$M(a,b)\xrightarrow{R[O,-90^\circ]}M'(-1,-3)$ maka:
$\left( \begin{matrix} -1 \\ -3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos (-90^\circ) & -\sin (-90^\circ) \\ \sin (-90^\circ) & \cos (-90^\circ) \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -1 \\ -3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} -1 \\ -3 \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} b \\ -a \\ \end{matrix} \right)$
$-a=-3\to a=3$ dan $b-1$
$2a+6b+5=2.3+6.(-1)+5=5$
Jawaban: C
Soal Rotasi No. 30
Suatu segitiga KLM dengan titik K(4,3), L(-1,2), M(3,5) dirotasi sejauh $180^\circ$ dengan pusat rotasi (2,2). Bayangan ketiga titik tersebut berturut-turut adalah ….A. (-4,-3), (1,-2), (-3,-5)
B. (-3,-4), (-2,1), (-5,-3)
C. (3,4), (2,-1), (5,3)
D. (0,1), (5,2), (1,-1)
E. (1,-1), (2,-5), (-1,1)
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$$(x,y)\xrightarrow{R[(2,2),180^\circ]}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-2 \\ y-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-2 \\ y-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -x+2 \\ -y+2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -x+4 \\ -y+4 \\ \end{matrix} \right)$
$(x,y)\xrightarrow{R[(2,2),180^\circ]}(-x+4,-y+4)$
$K(4,3)\to K'(-4+4,-3+4)=K'(0,1)$
$L(-1,2)\to L'(1+4,-2+4)=L'(5,2)$
$M(3,5)\to M'(-3+4,-5+4)=M'(1,-1)$
Jawaban: D
Soal Rotasi No. 31
Koordinat titik (5,-3) oleh rotasi $R(P,90^\circ )$ dengan koordinat titik P(-1,2) adalah ….A. (8,4)
B. (-8,4)
C. (8,-4)
D. (-4,-8)
E. (4,8)
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x,y)\xrightarrow{R[(a,b),\theta]}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$$(5,-3)\xrightarrow{R[P(-1,2),180^\circ]}(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 5+1 \\ -3-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 6 \\ -5 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\\end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 5 \\ 6 \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\\end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\\end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 4 \\ 8 \\\end{matrix} \right)$
Jadi, koordinat titik (5,-3) oleh rotasi $R(P,90^\circ )$ dengan koordinat titik P(-1,2) adalah (4,8).
Jawaban: E
Post a Comment for "Kumpulan Soal - Rotasi (Perputaran) + Pembahasan"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.