Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Eksponen 6. Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan Eksponen
Pada postingan sebelumnya Catatan Matematika telah membahas materi mengenai Persamaan Eksponen, pada saat ini kita akan belajar materi Pertidaksamaan Eksponen.

A. Definisi Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel.
Berikut contoh pertidaksamaan eksponen:
$a^{f(x)} > a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$, $a^{f(x)} < a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$

B. Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan penyelesaiannya:
  1. Jika $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$ dan $a > 1$ maka $f(x)\ge g(x)$.
  2. Jika $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ dan $a > 1$ maka $f(x)\le g(x)$.
  3. Jika $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$ dan $0 < a < 1 $ maka $f(x)\le g(x)$.
  4. Jika $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ dan $0 < a < 1$ maka $f(x)\ge g(x)$.
Contoh 1.
Tentukan penyelesaian dari $4^{x+1} > 32$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x+1} & > 32 \\ (2^2)^{x+1} & > 2^5 \\ 2^{2x+2} & > 2^5 \\ 2x+2 & > 5 \\ 2x & > 3 \\ x & > \frac{3}{2} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x > \frac{3}{2} \right\}$.

Contoh 2.
Tentukan penyelesaian dari $729^{x+3}\ge 9^{x^2-1}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}729^{x+3} &\ge 9^{x^2-1} \\ (9^3)^{x+3} &\ge 9^{x^2-1} \\ 9^{3x+9} &\ge 9^{x^2-1} \\ 3x+9 &\ge x^2-1 \\ -x^2+3x+10 &\ge 0 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ (x-5)(x+2) &\le 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-5=0\to x=5$
$x+2=0\to x=-2$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Eksponen
HP = $\left\{ x|-2\le x\le 5 \right\}$

Contoh 3.
Tentukan penyelesaian dari $81^{3-2x} < \frac{1}{3}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}81^{3-2x} & < \frac{1}{3} \\ (3^4)^{3-2x} & < 3^{-1} \\ 3^{12-8x} & < 3^{-1} \\ 12-8x & < -1 \\ -8x & < -13 \\ x & > \frac{13}{8} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x>\frac{13}{8} \right\}$


Contoh 4.
Tentukan penyelesaian dari $7^{x^2}\le 49^{3x-4}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}7^{x^2} &\le 49^{3x-4} \\ 7^{x^2} &\le (7^2)^{3x-4} \\ 7^{x^2} &\le 7^{6x-8} \\ x^2 &\le 6x-8 \\ x^2-6x+8 &\le 0 \\ (x-2)(x-4) &\le 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-2=0\to x=2$
$x-4=0\to x=4$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Eksponen
HP = $\{x|2\le x\le 4\}$

Contoh 5.
Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} > 1$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} & > 1 \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} & > \left( \frac{1}{2} \right)^0 \\ x^2-8x+7 & < 0 \\ (x-1)(x-7) & < 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-1=0\to x=1$
$x-7=0\to x=7$
Garis bilangan:
Penyelesaian Pertidaksamaan Eksponen
HP = $\{x|1 < x < 7\}$

Contoh 6.
Tentukan penyelesaian dari $\sqrt[4]{\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}} \ge \left( \frac{1}{27} \right)^{x+1}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\sqrt[4]{\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}} &\ge \left( \frac{1}{27} \right)^{x+1} \\ \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2x-1}{4}} &\ge \left( \left( \frac{1}{3} \right)^3 \right)^{x+1} \\ \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2x-1}{4}} &\ge \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+3};\,0 < a < 1 \\ \frac{2x-1}{4} &\le 3x+3 \\ 2x-1 &\le 12x+12 \\ 2x-12x &\le 12+1 \\ -10x &\le 13 \\ x &\ge -\frac{13}{10} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x\ge -\frac{13}{10} \right\}$


Contoh 7.
Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} < \left( \frac{1}{125} \right)^{x+3}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \frac{1}{125} \right)^{x+3} \\ \left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \left( \frac{1}{5} \right)^3 \right)^{x+3} \\ \left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \frac{1}{5} \right)^{3x+9};\,0 < a < 1 \\ x^2+5x+1 & > 3x+9 \\ x^2+2x-8 & > 0 \\ (x+4)(x-2) & > 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x+4=0\to x=-4$
$x-2=0\to x=2$
Garis bilangan:
Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Eksponen
HP = $\{x|x < -4\,\text{atau}\,x > 2\}$

Contoh 8.
Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{2}{9} \right)^{8-x}\le \left( \frac{4}{81} \right)^{3x-3}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \frac{4}{81} \right)^{3x-3} \\ \left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \left( \frac{2}{9} \right)^2 \right)^{3x-3} \\ \left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \frac{2}{9} \right)^{6x-6};\,0 < a < 1 \\ 8-x &\ge 6x-6 \\ -x-6x &\ge -6-8 \\ -7x &\ge -14 \\ x &\le 2 \end{align}$
HP = $\{x|x\le 2\}$

Contoh 9.
Tentukan penyelesaian dari $5^{x+1}+5^{1-x}-26\ge 0$.
Penyelesaian:
$\begin{align}5^{x+1}+5^{1-x}-26 &\ge 0 \\ 5.5^x+\frac{5}{5^x}-26 &\ge 0 \\ 5.(5^x)^2+5-26.5^x &\ge 0 \\ 5.(5^x)^2-26.(5^x)+5 &\ge 0 \end{align}$
Misalkan, $5^x=p$ maka:
$\begin{align}5.(5^x)^2-26.(5^x)+5 &\ge 0 \\ 5p^2-26p+5 &\ge 0 \\ (5p-1)(p-5) &\ge 0 \end{align}$
$p \le \frac{1}{5}$ atau $p \ge 5$
maka:
$\begin{align}p &\le \frac{1}{5} \\ 5^x &\le 5^{-1} \\ x &\le -1 \end{align}$
atau
$\begin{align}p &\ge 5 \\ 5^x &\ge 5^1 \\ x &\ge 1 \end{align}$
HP = $\{x|x\le -1\,\text{atau}\,x\ge 1\}$


Contoh 10.
Tentukan penyelesaian dari $3^{x+1}+9^{x+1} < 12$.
Penyelesaian:
$\begin{align}3^{x+1}+9^{x+1} & < 12 \\ 3.3^x+9.9^x-12 & < 0 \\ 3^x+3.9^x-4 & < 0 \\ 3^x+3.(3^2)^x-4 & < 0 \\ 3.(3^x)^2+(3^x)-4 & < 0 \end{align}$
Misalkan, $3^x=p$ maka:
$\begin{align}3.(3^x)^2+(3^x)-4 & < 0 \\ 3p^2+p-4 & < 0 \\ (3p+4)(p-1) & < 0 \end{align}$
$-\frac{4}{3} < p < 1$
Solusi 1:
$\begin{align}p & > -\frac{4}{3} \\ 2^x & > -\frac{4}{3} \end{align}$
HP1 = $\{x|x\in R\}$
Solusi 2:
$\begin{align}p & < 1 \\ 2^x & < 2^0 \\ x & < 0 \end{align}$
HP2 = $\{x|x < 0\}$
HP = HP1 $\cap $ HP2
HP = $\{x|x < 0\}$

C. Soal Latihan

  1. Tentukan penyelesaian dari $5^{x-4} > 625$.
  2. Tentukan penyelesaian dari $10^{1-2x}\le 1.000$.
  3. Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{7} \right)^{3-2x} < \left( \frac{1}{49} \right)^{x-9}$.
  4. Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{4} \right)^{x^2+8} \le \left( \frac{1}{64} \right)^{x+2}$.
  5. Tentukan penyelesaian dari $9^x-4.3^x+3 > 0$.
Semoga postingan: Eksponen 6. Pertidaksamaan Eksponen ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Youtube Facebook Instagram Twitter Telegram Pinterest

Post a Comment for "Eksponen 6. Pertidaksamaan Eksponen"