Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Eksponen 5. Persamaan Eksponen

Persamaan Eksponen
Pada postingan ini akan dibahas Persamaan Eksponen, Sistem Persamaan Eksponen, beserta contoh soal dan latihannya.

A. Persamaan Eksponen

Berikut ini beberapa bentuk persamaan eksponen dan penyelesaiannya:
1.Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$.
2.Jika $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ maka $f(x)=0$.
3.Jika $f(x)^{g(x)}=1$ maka:
(i)$f(x)=1$
(ii)$f(x)=-1$ dengan syarat $g(x)$ genap.
(iii)$g(x)=0$ dengan syarat $f(x)\ne 0$.
4.Jika $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$ maka:
(i)$f(x)=g(x)$
(ii)$f(x)=-g(x)$ dengan syarat $h(x)$ genap.
(iii)$h(x)=0$ dengan syarat $f(x)\ne 0$ dan $g(x)\ne 0$.
5.Jika $f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}$ maka:
(i)$g(x)=h(x)$
(ii)$f(x)=1$
(iii)$f(x)=-1$ dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ sama-sama bernilai genap atau ganjil.
6.Jika $a(p^x)^2+b(p^x)+c=0$ maka solusinya menggunakan sifat persamaan kuadrat.

Contoh 1.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $9^{x^2-6x-7}=1$.
Penyelesaian:
$\begin{align}9^{x^2-6x-7} &= 1 \\ 9^{x^2-6x-7} &= 9^0 \\ a^{f(x)} &= a^{g(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= g(x) \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \end{align}$
$x+1=0\to x=-1$
$x-7=0\to x=7$
HP = {-1, 7}
Contoh 2.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $8^{x+2}=0,125$.
Penyelesaian:
$\begin{align}8^{x+2} &= 0,125 \\ 8^{x+2} &= \frac{125}{1000} \\ 8^{x+2} &= \frac{1}{8} \\ 8^{x+2} &= 8^{-1} \\ a^{f(x)} &= a^{g(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= g(x) \\ x+2 &= -1 \\ x &= -3 \end{align}$
HP = {-3}
Contoh 3.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $25^{3x-4}=5.\left( 125^{x+1} \right)$.
Penyelesaian:
$\begin{align}25^{3x-4} &= 5.\left( 125^{x+1} \right) \\ \left( 5^2 \right)^{3x-4} &= 5.\left( 5^3 \right)^{x+1} \\ 5^{6x-8} &= 5^1.5^{3x+3} \\ 5^{6x-8} &= 5^{3x+4} \\ a^{f(x)} &= a^{g(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= g(x) \\ 6x-8 &= 3x+4 \\ 6x-3x &= 4+8 \\ 3x &= 12 \\ x &= 4 \end{align}$
HP = {4}
Contoh 4.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $4^{x^2-4x+1}=8^{x-4}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x^2-4x+1} &= 8^{x-4} \\ (2^2)^{x^2-4x+1} &= (2^3)^{x-4} \\ 2^{2x^2-8x+2} &= 2^{3x-12} \\ 2x^2-8x+2 &= 3x-12 \\ 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-7)(x-2) &= 0 \end{align}$
$2x-7=0 \to x=\frac{7}{2}$
$x-2=0 \to x=2$
HP = $\left\{ 2,\frac{7}{2} \right\}$

Contoh 5.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $\left( \frac{1}{9} \right)^{x-1}=\sqrt[2]{3^{3x+1}}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{9} \right)^{x-1} &= \sqrt[2]{3^{3x+1}} \\ \left( 3^{-2} \right)^{x-1} &= 3^{\frac{3x+1}{2}} \\ 3^{-2x+2} &= 3^{\frac{3x+1}{2}} \\ -2x+2 &= \frac{3x+1}{2} \\ -4x+4 &= 3x+1 \\ -4x-3x &= 1-4 \\ -7x &= -3 \\ x &= \frac{3}{7} \end{align}$
HP = $\left\{ \frac{3}{7} \right\}$
Contoh 6.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $4^{x^2+5x-6}=9^{x^2+5x-6}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x^2+5x-6} &= 9^{x^2+5x-6} \\ a^{f(x)} &= b^{f(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= 0 \\ x^2+5x-6 &= 0 \\ (x+6)(x-1) &= 0 \end{align}$
$x+6=0\to x=-6$
$x-1=0\to x=1$
HP = {-6, 1}
Contoh 7.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $\left( x^2-3x-11 \right)^{x+1}=1$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( x^2-3x-11 \right)^{x+1} &= 1 \\ f(x)^{g(x)} &= 1 \end{align}$
maka:
(i) $f(x)=1$
$x^2-3x-11=1$
$x^2-3x-12=0$
$\begin{align}x &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{3\pm \sqrt{(-3)^2-4.1.(-12)}}{2.1} \\ &= \frac{3\pm \sqrt{9+48}}{2} \\ x &= \frac{3\pm \sqrt{57}}{2} \end{align}$
$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{2}$ dan $x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{2}$
(ii)$f(x)=-1$
$\begin{align}x^2-3x-11 &= -1 \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \end{align}$
$x+2=0\to x=-2$
$x-5=0\to x=5$
Syarat: $g(x)=x+1$ (genap)
$x=-2\to g(-2)=-2+1=-1$, ganjil (tidak memenuhi).
$x=5\to g(5)=5+1=6$, genap (memenuhi).
(iii)$g(x)=0$
$x+1=0\to x=-1$
Syarat: $f(x)=x^2-3x-11\ne 0$
untuk $x=-1$ maka:
$\begin{align}f(-1) &= (-1)^2-3(-1)-11 \\ f(-1) &= -8 \\ f(-1) &\ne 0 \end{align}$
Jadi, $x=-1$ memenuhi.
$HP=\left\{ \frac{3-\sqrt{57}}{2},-1,5,\frac{3+\sqrt{57}}{2} \right\}$

Contoh 8.
Penyelesaian dari persamaan persamaan eksponen: $(3x+1)^{x+5}=(x+3)^{x+5}$ adalah ….
Penyelesaian:
$\begin{align}(3x+1)^{x+5} &= (x+3)^{x+5} \\ f(x)^{h(x)} &= g(x)^{h(x)} \end{align}$
Diperoleh $f(x)=3x+1$, $g(x)=x+3$ dan $h(x)=x+5$.
Solusi:
(i)$f(x)=g(x)$
$\begin{align}3x+1 &= x+3 \\ 3x-x &= 3-1 \\ 2x &= 2 \\ x_1 &= 1 \end{align}$
(ii)$f(x)=-g(x)$ dengan syarat $h(x)$ genap.
$\begin{align}3x+1 &= -(x+3) \\ 3x+1 &= -x-3 \\ 3x+x &= -3-1 \\ 4x &= -4 \\ x &= -1 \end{align}$
Cek syarat:
$\begin{align}h(x) &= x+5 \\ h(-1) &= -1+5 \\ h(-1) &= 4 \end{align}$
$h(-1)$ genap, maka $x_2=-1$ memenuhi.
(iii)$h(x)=0$ dengan syarat $f(x)\ne 0$ dan $g(x)\ne 0$.
$\begin{align}h(x) &= 0 \\ x+5 &= 0 \\ x &= -5 \end{align}$
Cek syarat:
$\begin{align}f(x) &= 3x+1 \\ f(-5) &= 3.(-5)+1 \\ f(-5) &= -14 \\ f(-5) &\ne 0 \end{align}$
$\begin{align}g(x) &= x+3 \\ g(-5) &= -5+3 \\ g(-5) &= -2 \\ g(-5) &\ne 0 \end{align}$
Nilai $x_3=-5$ memenuhi syarat.
Dari (i), (ii) dan (iii) diperoleh:
HP = {-5, -1, 1}

Contoh 9.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $\left( x-2 \right)^{3x^2+5x+1}=\left( x-2 \right)^{x^2-2x-2}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( x-2 \right)^{3x^2+5x+1} &= \left( x-2 \right)^{x^2-2x-2} \\ f(x)^{g(x)} &= f(x)^{h(x)} \end{align}$
Diperoleh $f(x)=x-2$, $g(x)=3x^2+5x+1$ dan $h(x)=x^2-2x-2$.
Solusi:
(i)$g(x)=h(x)$
$\begin{align}3x^2+5x+1 &= x^2-2x-2 \\ 2x^2+7x+3 &= 0 \\ (2x+1)(x+3) &= 0 \end{align}$
$2x+1=0\to x_1=-\frac{1}{2}$
$x+3=0\to x_2=-3$
(ii)$f(x)=1$
$x-1=0\to x_3=1$
(iii)$f(x)=-1$ dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ sama-sama bernilai genap dan ganjil.
$x-1=-1\to x=0$
$\begin{align}g(x) &= 3x^2+5x+1 \\ g(0) &= 3.0^2+5.0+1 \\ g(0) &= 1\,(\text{ganjil}) \end{align}$
$\begin{align}h(x) &= x^2-2x-2 \\ h(0) &= 0^2-2.0-2 \\ h(0) &= -2\,(\text{genap}) \end{align}$
Karena $g(0)$ ganjil dan $h(0)$ genap, maka nilai $x=0$ tidak memenuhi syarat.
Dari (i), (ii) dan (iii) diperoleh:
HP = $\left\{ -3,-\frac{1}{2},1 \right\}$.
Contoh 10.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $4^{x+1}+11.2^x-3=0$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x+1}+11.2^x-3 &= 0 \\ 4.4^x+11.2^x-3 &= 0 \\ 4.(2^2)^x+11.2^x-3 &= 0 \\ 4.(2^x)^2+11.(2^x)-3 &= 0 \end{align}$
Misalkan, $2^x=p$ maka:
$\begin{align}4.(2^x)^2+11.(2^x)-3 &= 0 \\ 4p^2+11p-3 &= 0 \\ (4p-1)(p+3) &= 0 \end{align}$
$\begin{align}4p-1 &= 0 \\ 4p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ 2^x &= 2^{-1} \\ x_1 &= -1 \end{align}$
$\begin{align}p+3 &= 0 \\ p &= -3 \\ 2^x &= -3\,(\text{tidak ada nilai x yang memenuhi}) \end{align}$
HP = {-1}

B. Sistem Persamaan Eksponen

Sistem persamaan eksponen adalah sekelompok persamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian simultan.
Contoh 11.
Diketahui sistem persamaan eksponen: $3^{x-2y}=\frac{1}{81}$ dan $2^{x-y}-16=0$. Tentukan nilai $x+y$.
Penyelesaian:
$\begin{align}3^{x-2y} &= \frac{1}{81} \\ 3^{x-2y} &= 3^{-4} \\ x-2y &= -4\,...\,(1) \end{align}$
$\begin{align}2^{x-y}-16 &= 0 \\ 2^{x-y} &= 16 \\ 2^{x-y} &= 2^4 \\ x-y &= 4\,...\,(2) \end{align}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2):
$\begin{align}x-2y &= -4 \\ x-y &= 4 \end{align}$
----------------------- (-)
$-y=-8\to y=8$
Substitusi $y=8$ ke persamaan (2):
$\begin{align}x-y &= 4 \\ x-8 &= 4 \\ x &= 12 \end{align}$
Nilai, $x+y=12+8=20$
Contoh 12.
Tentukan himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan eksponen: $\left\{ \begin{matrix}2^x+2^{y+2}=12 \\ 2^{x-1}+2^y=4 \\ \end{matrix} \right.$.
Penyelesaian:
$\begin{align}2^x+2^{y+2} &= 12 \\ 2^x+2^2.2^y &= 12 \\ 2^x+4.2^y &= 12\,...\,(1) \end{align}$
$\begin{align}2^{x-1}+2^y &= 4 \\ \frac{2^x}{2}+2^y &= 4 \\ 2^x+2.2^y &= 8\,...\,(2) \end{align}$
Eliminasi $2^x$ dari persamaan (1) dan (2):
$\begin{align}2^x+4.2^y &= 12 \\ 2^x+2.2^y &= 8 \end{align}$
-------------------------- (-)
$\begin{align}2.2^y &= 4 \\ 2^y &= 2^1 \\ y &= 1 \end{align}$
Substitusi $y=1$ ke persamaan (2):
$\begin{align}2^x+2.2^y &= 8 \\ 2^x+2.2^1 &= 8 \\ 2^x+4 &= 8 \\ 2^x &= 4 \\ 2^x &= 2^2 \\ x &= 2 \end{align}$
HP = $\{(2,1)\}$

C. Soal Latihan

  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari $3^{7x+6}=\left( \frac{1}{27} \right)^{-4x+3}$.
  2. Tentukan himpunan penyelesaian dari $8^{x-1}=32^{5+2x}$.
  3. Penyelesaian persamaan $\sqrt{8^{x^2-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}$ adalah $p$ dan $q$, dengan $p>q$. Tentukan nilai $p+6q$.
  4. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{4} \right)^{x-1}=\sqrt[3]{2^{3x+1}}$.
  5. Tentukan himpunan penyelesaian dari $(x^2-10)^{x^2-9x+14}=1$.
  6. Tentukan himpunan penyelesaian dari $(x+1)^{x^2+7x+10}=(3-2x)^{x^2+7x+10}$.
  7. Tentukan himpunan penyelesaian dari $(x^2)^x=x^{4x-x^2}$.
  8. Tentukan himpunan penyelesaian dari $3^{2x+2}+8.3^x-1=0$.
  9. Tentukan himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix}3^{x+2y}=\frac{1}{81} \\ x-y=-1 \\ \end{matrix} \right.$ .
  10. Tentukan himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix}2^x+2^{y+2}=12 \\ 2^{x-1}+2^y=4 \\ \end{matrix} \right.$.
Setelah mempelajari materi Persamaan Eksponen maka materi selanjutnya adalah Pertidaksamaan Eksponen.
Penilaian Harian 2
Semoga postingan: Eksponen 5. Persamaan Eksponen ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Youtube Facebook Instagram Twitter Telegram Pinterest

Post a Comment for "Eksponen 5. Persamaan Eksponen"