Pembahasan Soal SM UNNES 2017 Matematika Soshum - Seleksi Mandiri Universitas Negeri Semarang

Selamat datang di Website Catatan Matematika, website belajar matematika secara online dan mandiri. Pada postingan ini Catatan Matematika berbagi Pembahasan Soal Seleksi Mandiri Universitas Negeri Semarang (SM UNNES) Tahun 2017 Kode 1732 Matematika Soshum.

Tata Cara Belajar:
Jawablah soal berikut ini secara mandiri. Setelah itu periksa jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "Lihat Pembahasan:".

---

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 1

Jika ukuran panjang dan lebar suatu persegipanjang diperkecil dengan mengurangi masing-masing 10 cm maka ukuran lebarnya 20 cm kurangnya dari ukuran panjangnya. Jika ukuran panjang dan lebarnya diperbesar dengan menambah masing-masing 5 cm maka ukuran panjang dua kali ukuran lebarnya. Jumlah ukuran panjang dan lebar persegipanjang semula adalah ...
(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 45
(E) 50

Pembahasan:
Persegipanjang:
Panjang semula = p
Lebar semula = l
Panjang dan lebar masing-masing dikurang 10 cm, maka:
$\begin{align}l-10 &= (p-10)-20 \\ l &= p-20 \end{align}$
Panjang dan lebar masing-masing ditambah 5 cm, maka:
$\begin{align}p+5 &= 2(l+5) \\ p &= 2l+5 \\ p &= 2(p-20)+5 \\ p &= 2p-40+5 \\ -p &= -35 \\ p &= 35 \end{align}$
$\begin{align}l &= p-20 \\ &= 35-20 \\ l &= 15 \end{align}$
Jumlah ukuran panjang dan lebar persegipanjang semula adalah:
= $p+l$
= 35 + 15
= 50
Jawaban: E

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 2

Jika $g(x)=\frac{1}{2}x-1$ dan $(f\circ g)^{-1}(x)=x-2$ maka nilai $f(5)$ = ...
(A) $\frac{1}{2}$
(B) 7
(C) 12
(D) 14
(E) 16

Pembahasan:
$(f\circ g)^{-1}(x)=x-2$ maka:
$\begin{align}(f\circ g)(x-2) &= x \\ f(g(x-2)) &= x \\ f\left( \frac{1}{2}(x-2)-1 \right) &= x \\ f\left( \frac{1}{2}x-2 \right) &= x \end{align}$
Misal:
$\begin{align}\frac{1}{2}x-2 &= 5 \\ \frac{1}{2}x &= 7 \\ x &= 14 \end{align}$
Maka:
$\begin{align}f\left( \frac{1}{2}x-2 \right) &= x \\ f\left( \frac{1}{2}.14-2 \right) &= 14 \\ f(5) &= 14 \end{align}$
Jawaban: D

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 3

Agar garis $y=4x+a$ memotong grafik fungsi $f(x)=2x^2-2x+3$, maka nilai $a$ adalah ....
(A) $a\ge -\frac{3}{2}$
(B) $a\ge \frac{3}{2}$
(C) $a\le -\frac{3}{2}$
(D) $a\le \frac{3}{2}$
(E) $a\ge -\frac{3}{4}$

Pembahasan:
$y_1=4x+a$ dan $y_2=2x^2-2x+3$
$\begin{align}y_2 &= y_1 \\ 2x^2-2x+3 &= 4x+a \\ 2x^2-6x+3-a &= 0 \end{align}$
Syarat memotong, nilai diskriminannya positif.
$\begin{align}D &\ge 0 \\ b^2-4ac &\ge 0 \\ (-6)^2-4.2.(3-a) &\ge 0 \\ 36-24+8a &\ge 0 \\ 8a &\ge -12 \\ a &\ge -\frac{12}{8} \\ a &\ge -\frac{3}{2} \end{align}$
Jawaban: A

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 4

Jika diketahui tiga kali akar-akar persamaan $x^2+x+a=0$ adalah satu lebih besar dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2+bx-50=0$, maka nilai $a+b$ = ....
(A) $-11$
(B) $-1$
(C) 1
(D) 5
(E) 7

Pembahasan:
$x^2+x+a=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$.
$x^2+bx-50=0$ akar-akarnya $x_3$ dan $x_4$.
$3x_1=x_3+1$
$3x_2=x_4+1$
-------------------- (+)
$\begin{align}3x_1+3x_2 &= x_3+x_4+2 \\ 3(x_1+x_2) &= x_3+x_4+2 \\ 3.\frac{-1}{1} &= \frac{-b}{1}+2 \\ -3 &= -b+2 \\ b &= 5 \end{align}$
$\begin{align}3x_1.3x_2 &= (x_3+1)(x_4+1) \\ 9x_1.x_2 &= x_3.x_4+(x_3+x_4)+1 \\ 9.a &= -50-b+1 \\ 9a &= -50-5+1 \\ 9a &= -54 \\ a &= -6 \end{align}$
Maka: $a+b=-6+5=-1$
Jawaban: B

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 5

Jika $\frac{1}{2}{{(}^{a}}\log b)+\frac{1}{2}{{(}^{b}}\log a)=1$ dengan $a,b>0$, $a,b\ne 1$, maka nilai $a+b$ sama dengan ....
(A) $2a$
(B) $2a+1$
(C) $a^2$
(D) $a\sqrt{a}$
(E) $a^2+1$

Pembahasan:
$\begin{align}\frac{1}{2}(^a\log b)+\frac{1}{2}(^b\log a) &= 1 \\ ^a\log b+^b\log a &= 2 \\ ^a\log b+\frac{1}{^a\log b} &= 2 \\ (^a\log b)^2-2(^a\log b)+1 &= 0 \\ (^a\log b-1)^2 &= 0 \\ ^a\log b-1 &= 0 \\ ^a\log b &= 1 \\ b &= a \end{align}$
Maka: $a+b=a+a=2a$
Jawaban: A

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 6

Diketahui premis-premis berikut.
Premis 1: Jika semua siswa mempunyai semangat belajar, maka kualitas pendidikan di Indonesia meningkat.
Premis 2: Kualitas pendidikan di Indonesia tidak meningkat atau masyarakat sejahtera.
Premis 3: Masyarakat tidak sejahtera.
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ...
(A) Semua siswa mempunyai semangat belajar.
(B) Semua siswa tidak mempunyai semangat belajar.
(C) Beberapa siswa tidak mempunyai semangat belajar.
(D) Kualitas pendidikan di Indonesia tidak meningkat.
(E) Semua siswa tidak mempunyai semangat belajar dan kualitas pendidikan di Indonesia tidak meningkat.

Pembahasan:
Misalkan:
$p$ : semua siswa mempunyai semangat belajar
$q$ : kualitas pendidikan di Indonesia meningkat
$r$ : masyarakat sejahtera
Maka:
P1: $p\to q$
P2: $\sim q\vee r\equiv q\to r$
P3: $\sim r$
Kesimpulan: dengan menggunakan silogisme dan modus ponens maka:
$\sim p$: beberapa siswa tidak mempunyai semangat belajar.
Jawaban: C

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 7

Negasi dari pernyataan jika setiap mahasiswa rajin belajar maka setiap orang tua senang adalah ...
(A) Jika setiap mahasiswa tidak rajin belajar maka setiap orang tua tidak senang.
(B) Setiap mahasiswa rajin belajar dan ada orang tua tidak senang.
(C) Jika ada mahasiswa rajin belajar maka ada orang tua yang senang.
(D) Mahasiswa rajin belajar dan orang tua senang.
(E) Jika orang tua tidak senang maka mahasiswa tidak rajin belajar.

Pembahasan:
Misalkan:
$p$: setiap mahasiswa rajin belajar
$q$: setiap orang tua senang
$\sim (p\to q)\equiv \sim (\sim p\vee q)\equiv p\wedge \sim q$
Setiap mahasiswa rajin belajar dan ada orang tua tidak senang.
Jawaban: B

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 8

Tujuh anak terdiri atas 4 laki-laki dan 3 perempuan duduk berjajar. Peluang duduk berselang-seling laki-laki perempuan adalah ....
(A) $\frac{1}{120}$
(B) $\frac{1}{35}$
(C) $\frac{3}{7}$
(D) $\frac{4}{7}$
(E) $\frac{7}{12}$

Pembahasan:
n(S) = banyak cara 7 orang duduk berjajar.
n(S) = 7!
n(A) = banyak cara 4 laki-laki dan 3 perempuan duduk berselang-seling.
n(A) = 4!.3!
$\begin{align}P(A) &= \frac{n(A)}{n(S)} \\ &= \frac{4!.3!}{7!} \\ &= \frac{4!.3.2.1}{7.6.5.4!} \\ P(A) &= \frac{1}{35} \end{align}$
Jawaban: B

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 9

Tiga tenda disewakan untuk pendaki gunung. Tiap tenda dapat menampung 4 atau 3 orang, banyak cara menyewakan tenda tersebut kepada 10 pendaki adalah ...
(A) 30
(B) 720
(C) 2160
(D) 4200
(E) 12600

Pembahasan:
Tiap tenda dapat menampung 4 orang atau 3 orang, maka kemungkinan-kemungkinannya adalah:
Kemungkinan 1:
Tenda I, II dan III masing-masing memuat 4 orang, 3 orang dan 3 orang.
Banyak cara menyewakan tenda tersebut:
$\begin{align}C_4^{10}.C_3^6.C_3^3 &= \frac{10!}{4!.6!}.\frac{6!}{3!.3!}.\frac{\cancel{3!}}{\cancel{3!}.0!} \\ &= \frac{10.\cancel{\overset{3}{\mathop{9}}\,}.\cancel{8}.7.\cancel{6!}}{\cancel{4}.\cancel{3}.\cancel{2}.1.\cancel{6!}}.\frac{\cancel{6}.5.4.\cancel{3!}}{\cancel{3.2}.1.\cancel{3!}}.1 \\ &= 10.3.7.5.4 \\ C_4^{10}.C_3^6.C_3^3 &= 4200 \end{align}$
Kemungkinan 2:
Tenda I, II dan III masing-masing memuat 3 orang, 4 orang dan 3 orang.
Banyak cara menyewakan tenda tersebut:
$\begin{align}C_3^{10}.C_4^7.C_3^3 &= \frac{10!}{3!.7!}.\frac{7!}{4!.3!}.\frac{3!}{3!.0!} \\ &= \frac{10.\cancel{\overset{3}{\mathop{9}}\,}.\cancel{\overset{4}{\mathop{8}}\,}.\cancel{7!}}{\cancel{3}.\cancel{2}.1.\cancel{7!}}.\frac{7.\cancel{6}.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}.\cancel{3.2}.1}.1 \\ &= 10.3.4.7.5 \\ C_3^{10}.C_4^7.C_3^3 &= 4200 \end{align}$
Kemungkinan 3:
Tenda I, II dan III masing-masing memuat 3 orang, 3 orang dan 4 orang.
Banyak cara menyewakan tenda tersebut:
$\begin{align}C_3^{10}.C_3^7.C_4^4 &= \frac{10!}{3!.7!}.\frac{7!}{3!.4!}.\frac{\cancel{4!}}{\cancel{4!}.0!} \\ &= \frac{10.\cancel{\overset{3}{\mathop{9}}\,}.\cancel{\overset{4}{\mathop{8}}\,}.7!}{\cancel{3}.\cancel{2}.1.7!}.\frac{7.\cancel{6}.5.\cancel{4!}}{\cancel{3.2}.1.\cancel{4!}}.1 \\ &= 10.3.4.7.5 \\ C_3^{10}.C_3^7.C_4^4 &= 4200 \end{align}$
Seluruh cara adalah 4200 + 4200 + 4200 = 12600 cara.
Jawaban: E

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 10

Seorang pengrajin tas dapat membuat $x$ tas per hari dengan biaya sebesar $(2x^3-40x^2+1.000x)$ rupiah. Agar biaya membuat tas paling rendah maka per hari pengrajin membuat tas sebanyak ... tas.
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 30
(E) 40

Pembahasan:
B(x) = biaya membuat $x$ tas.
$B(x)=2x^3-40x^2+1000x$
$\begin{align}B(10) &= 2.10^3-40.10^2+1000.10 \\ &= 2.000-4.000+10.000 \\ B(10) &= 8.000 \end{align}$
$\begin{align}B(15) &= 2.15^3-40.15^2+1000.15 \\ &= 6.750-9.000+15.000 \\ B(15) &= 12.750 \end{align}$
$\begin{align}B(20) &= 2.20^3-40.20^2+1000.20 \\ &= 16.000-16.000+20.000 \\ B(20) &= 20.000 \end{align}$
$\begin{align}B(30) &= 2.30^3-40.30^2+1000.30 \\ &= 54.000-36.000+30.000 \\ B(30) &= 48.000 \end{align}$
$\begin{align}B(40) &= 2.40^3-40.40^2+1000.40 \\ &= 128.000-64.000+40.000 \\ B(40) &= 104.000 \end{align}$
Biaya minimal pada saat membuat 10 tas.
Jawaban: A

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 11

Nilai ujian seleksi pegawai di suatu instansi diperlihatkan tabel di bawah.

Seorang dinyatakan lulus jika nilainya di atas rata-rata. Jika rata-rata ujian tersebut adalah 76, maka persentase banyaknya calon pegawai yang lulus adalah ... %.
(A) 28
(B) 52
(C) 55
(D) 68
(E) 85

Pembahasan:
$\begin{align}\bar{x} &= \frac{60.40+70.k+80.30+90.20+100.15}{40+k+30+20+15} \\ 76 &= \frac{2.400+70k+2.400+1.800+1.500}{k+105} \end{align}$
$\begin{align}76k+7.980 &= 8.100+70k \\ 6k &= 120 \\ k &= 20 \end{align}$
Banyak pegawai yang mengikuti seleksi adalah:
= k + 105
= 20 + 105
= 125
Banyak pegawai yang lulus adalah:
= 30 + 20 + 15
= 65
Persentase pegawai yang lulus adalah:
= $\frac{65}{125}\times 100%$
= $52%$
Jawaban: B

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 12

Panitia konser musik menyediakan dua jenis tiket, tiket VIP dan ekonomi. Kapasitas tempat duduk 480 kursi. Setiap penonton kelas VIP mendapat suvenir seharga Rp. 60.000,00, sedangkan penonton kelas ekonomi mendapat suvenir seharga Rp. 20.000,00. Harga keseluruhan suvenir Rp. 14.400.000,00. Harga tiket kelas VIP Rp. 1.500.000,00 dan kelas ekonomi RP. 1.000.000,00. Agar pendapatan dari penjualan tiket pada saat penonton penuh mencapai maksimum, jumlah penonton VIP haruslah ...
(A) 0
(B) 120
(C) 240
(D) 360
(E) 480

Pembahasan:
$x$ = banyak tiket VIP
$y$ = banyak tiket ekonomi
$x+y \le 480$
$\begin{align}60.000x+20.000y &\le 14.400.000 \\ 3x+y &\le 720 \end{align}$
$f(x,y)=1.500.000x+1.000.000y$
Perhatikan sketsa grafik berikut:

Titik B adalah titik potong garis:
$\begin{align}3x+y &= 720 \\ x+y &= 480 \end{align}$
----------------------- (-)
$2x=240\Leftrightarrow x=120$
$\begin{align}x+y &= 480 \\ 120+y &= 480 \\ y &= 360 \end{align}$
Titik B(120,360)
Uji titik pojok:

Jadi, pendapatan maksimum diperoleh pada titik (120,360) yaitu 120 tiket VIP dan 360 tiket ekonomi.
Jawaban: B

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 13

Jika matriks $A=\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right]$, $B=\left[ \begin{matrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & x \\ \end{matrix} \right]$ dan $\det [3(AB)]=3$ maka nilai $x$ = ....
(A) $-\frac{8}{3}$
(B) $-2$
(C) 0
(D) 2
(E) $\frac{8}{3}$

Pembahasan:
$\begin{align}A.B &= \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & x \\ \end{matrix} \right] \\ A.B &= \left[ \begin{matrix} 1 & 4+2x \\ 0 & 3+x \\ \end{matrix} \right] \\ \det (AB) &= 3+x \end{align}$
$\begin{align}\det [3(AB)] &= 3 \\ 3^2\det (AB) &= 3 \\ 9(3+x) &= 3 \\ 27+9x &= 3 \\ 9x &= 24 \\ x &= \frac{24}{9} \\ x &= \frac{8}{3} \end{align}$
Jawaban: E

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 14

Nilai $\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{16x}-8}{4x-16}$ adalah ....
(A) 0
(B) $\frac{1}{4}$
(C) $\frac{1}{3}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) 1

Pembahasan:
$\begin{align}\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{16x}-8}{4x-16} &= \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{16x}-8}{4x-16}\times \frac{\sqrt{16x}+8}{\sqrt{16x}+8} \\ &= \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{16x-64}{(4x-16)(\sqrt{16x}+8)} \\ &= \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cancel{\overset{4}{\mathop{16}}\,}\cancel{(x-4)}}{\cancel{4}\cancel{(x-4)}(\sqrt{16x}+8)} \\ &= \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{\sqrt{16x}+8} \\ &= \frac{4}{\sqrt{16.4}+8} \\ &= \frac{4}{16} \\ &= \frac{1}{4} \end{align}$
Jawaban: B

SM UNNES 2017 Matematika Soshum No. 15

Seorang pegawai menabungkan seluruh gajinya setiap bulan. Gajinya selalu bertambah dengan jumlah yang tetap untuk bulan berikutnya. Jika gaji pada bulan ke-3 dan ke-6 berturut-turut Rp. 800.000,00 dan Rp. 1.700.000,00 maka selisih jumlah tabungan pada bulan ke-20 dan bulan ke-15 adalah ....
(A) Rp. 21.000.000,00
(B) Rp. 25.500.000,00
(C) Rp. 26.500.000,00
(D) Rp. 28.500.000,00
(E) Rp. 29.500.000,00

Pembahasan:
Barisan Aritmetika:
$U_n=a+(n-1)b$
$\begin{align}U_3 &= 800.000 \\ a+2b &= 800.000\,...\,(1) \end{align}$
$\begin{align}U_6 &= 1.700.000 \\ a+5b &= 1.700.000\,...(2) \end{align}$
Eliminasi $a$ dari persamaan (1) dan (2):
$\begin{align}a+5b &= 1.700.000 \\ a+2b &= 800.000 \\ 3b &= 900.000 \\ b &= 300.000 \end{align}$
$\begin{align}a+2b &= 800.000 \\ a+2(300.000) &= 800.000 \\ a &= 200.000 \end{align}$
$\begin{align}S_{20}-S_{15} &= \frac{20}{2}(2a+19b)-\frac{15}{2}(2a+14b) \\ &= 20a+190b-15a-105b \\ &= 5a+85b \\ &= 5(200.000)+85(300.000) \\ &= 1.000.000+25.500.000 \\ S_{20}-S_{15} &= 26.500.000 \end{align}$
Jawaban: C

By: Catatan Matematika

Semoga postingan: Pembahasan Soal SM UNNES 2017 Matematika Soshum - Seleksi Mandiri Universitas Negeri Semarang ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :