Fungsi Nilai Mutlak dan Grafiknya

A. Definisi Fungsi Nilai Mutlak

Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
$f:x\to \left| x \right|$ atau $f:x\to \left| ax+b \right|$
$f(x)=\left| x \right|$ artiya $f(x)=\left\{ \begin{matrix} x,\,\text{jika}\,x\ge 0 \\ -x,\,\text{jika}\,x < 0 \\ \end{matrix} \right.$
Grafik fungsi $f(x)=|x|$ ditunjukkan pada gambar berikut:

B. Sifat-sifat nilai mutlak

1. $\left| xy \right|=\left| x \right|\left| y \right|$
2. $\left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}$
3. $\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|$ (ketaksamaan segitiga)
4. $\left| x-y \right|\ge \left| x \right|-\left| y \right|$
5. $\left| ax \right|=a\left| x \right|$; $a$ adalah skalar.

C. Grafik Fungsi Nilai Mutlak

Untuk menggambar grafik fungsi nilai mutlak yang harus dilakukan adalah mengubah bentuk aturan fungsi nilai mutlak tersebut sehingga diperoleh suatu fungsi dengan banyak persamaan, selanjutnya menyelesaikan masing-masing persamaan tersebut berdasarkan aturan yang berlaku.
Contoh 1.
Ubahlah fungsi $f(x)=2\left| x \right|+\left| x-1 \right|$ ke bentuk yang tidak memuat tanda nilai mutlak serta gambarkan grafiknya.
Penyelesaian:
Langkah pertama, menghilangkan tanda mutlak untuk $\left| x \right|$ sehingga fungsi $f(x)$ berbentuk:
$f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2x+\left| x-1 \right|,\,x\ge 0 \\ -2x+\left| x-1 \right|,\,x < 0 \\ \end{matrix} \right.$
Selanjutnya menghilangkan tanda mutlak untuk $\left| x-1 \right|$, sehingga menghasilkan fungsi
$f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2x+(x-1);\,x\ge 0\,dan\,x-1\ge 0 \\ 2x-(x-1);\,x\ge 0\,dan\,x-1 < 0 \\ -2x+(x-1);\,x < 0\,dan\,x-1\ge 0 \\ -2x-(x-1);\,x < 0\,dan\,x-1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$
$f(x)=\left\{ \begin{matrix} 3x-1;\,\,x\ge 1 \\ x+1;\,0\le x < 1 \\ -x-1;\,x < 0\,dan\,x\ge 1 \\ -3x+1;\,x < 0 \\ \end{matrix} \right.$
$x+1$ untuk $0\le x < 1$ sama saja dengan $-x-1$ untuk $x < 0$ dan $x\ge 1$, maka:
$f(x)=\left\{ \begin{matrix} -3x+1;\,\text{untuk}\,x < 0 \\ x+1;\,\text{untuk}\,0\le x < 1 \\ 3x-1;\,\text{untuk}\,x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$
Grafik fungsi $f(x)=2\left| x \right|+\left| x-1 \right|$:

Contoh 2.
Ubahlah fungsi $f(x)=\left| 2\left| x \right|-x^2 \right|$ ke bentuk yang tidak memuat tanda nilai mutlak serta gambarkan grafiknya.
Penyelesaian:
Penghilangan tanda nilai mutlak pertama-tama dilakukan pada tanda nilai mutlak bagian dalam yaitu $\left| x \right|$, sehingga diperoleh fungsi:
$f(x)=\left\{ \begin{matrix} \left| 2x-x^2 \right|,\,\text{untuk}\,x\ge 0 \\ \left| -2x-x^2 \right|,\,\text{untuk}\,x < 0 \\ \end{matrix} \right.$
Selanjutnya menghilangkan tanda nilai mutlak pasa masing-masing fungsi, sehingga menghasilkan fungsi:
$f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2x-x^2,\,\text{untuk}\,x\ge 0\,\text{dan}\,2x-x^2\ge 0 \\ -2x+x^2,\,\text{untuk}\,x\ge 0\,\text{dan}\,-2x+x^2 < 0 \\ -2x-x^2,\,\text{untuk}\,x < 0\,\text{dan}\,-2x-x^2\ge 0 \\ 2x+x^2,\,\text{untuk}\,x < 0\,\text{dan}\,2x+x^2 < 0 \\ \end{matrix} \right.$
Setelah disederhanakan dan dilakukan pemeriksaan terhadap daerah definisi fungsi, maka diperoleh empat fungsi yang memenuhi persamaan yaitu:
$f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2x-x^2,\,\text{untuk}\,0\le x < 2 \\ x^2-2x,\,\text{untuk}\,x\ge 2 \\ -2x-x^2,\,\text{untuk}\,-2\le x < 0 \\ 2x+x^2,\,\text{untuk}\,x < -2 \\ \end{matrix} \right.$
Grafik fungsi $f(x)=\left| 2\left| x \right|+x^2 \right|$

Share :