Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Barisan dan Deret Geometri

A. Definisi Barisan Geometri

Barisan $U_1$, $U_2$, $U_3$, …, $U_{n-1}$, $U_n$ disebut barisan geometri jika:
$\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=...=\frac{U_n}{U_{n-1}}=r$
dengan:
$\begin{align}U_n &= \text{suku ke-n} \\ r &= \text{rasio (perbandingan)}\end{align}$

Contoh:
Diberikan tiga bilangan: $(2k-3)$, $(k+1)$, $3k+3$ membentuk barisan geometri. Tentukan nilai $k$.
Penyelesaian:

B. Suku ke-n Barisan Geometri

Berdasarkan definisi barisan geometri:
$\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=...=\frac{U_n}{U_{n-1}}=r$
Misalkan, $U_1=a$ maka:
$\frac{U_2}{U_1} = r\Rightarrow U_2 = {U_1}r \Rightarrow U_2 = ar$
$\frac{U_3}{U_2}=r \Rightarrow U_3=U_2.r\Rightarrow U_3 = ar^2$
Dengan melihat polanya kita peroleh:
$\begin{matrix} U_1 & U_2 & U_3 & ... & U_n \\ a & ar & ar^2 & ... & ar^{n-1} \\ \end{matrix}$
Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri adalah:
$U_n=ar^{n-1}$
dengan:
$\begin{align}U_n &= \text{suku ke-n} \\ a &= U_1 = \text{suku pertama} \\ r &= \text{rasio} \end{align}$

Contoh 1.
Suatu barisan geometri 8, 4, 2, …. Tentukan suku sembilan dari barisan itu.
Penyelesaian:
Contoh 2.
Diketahui barisan geometri 3, -6, 12, -24, …. Tentukan nilai suku ke-$n$ barisan tersebut.
Penyelesaian:
Contoh 3.
Suku ketiga dan keenam barisan geometri berturut-turut adalah 18 dan 486. Tentukan suku kedelapan barisan tersebut.
Penyelesaian:
Contoh 4.
Diketahui tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlah ketiga bilangan itu 13 dan hasil kali ketiga bilangan itu 27, maka jumlah bilangan pertama dan ketiga adalah …
Penyelesaian:
Contoh 5.
Tiga buah bilangan berturut-turut merupakan barisan aritmetika yang berjumlah 12. Jika bilangan yang ketiga ditambah dua maka terbentuk barisan geometri. Tentukanlah hasil kali dari bilangan-bilangan tersebut.
Penyelesaian:

C. Suku Tengah Barisan Geometri

Barisan geometri: $U_1$, $U_2$, $U_3$, …, $U_n$ dengan $n$ ganjil maka suku tengahnya adalah:
$U_t=\sqrt{a.U_n}$ dengan:
$\begin{align}U_t &= \text{ suku tengah} \\ a &= \text{ suku pertama} \\ U_n &= \text{ suku terakhir} \\ n &= \text{ banyak suku pada barisan} \end{align}$

Contoh:
Diketahui barisan geometri 1, 4, 16, …, 4.096. Tentukan suku tengah dan suku ke berapakah suku tengah barisan tersebut?
Penyelesaian:

D. Suku Sisipan Barisan Geometri

Misalkan di antara dua bilangan $x$ dan $y$ disisipkan $k$ buah bilangan sehingga bilangan semula dengan bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri dengan suku pertama adalah$a=x$ dan rasionya adalah $r=\sqrt[k+1]{\frac{y}{x}}$

Contoh:
Di antara 3 dan 3.072 disisipkan 9 bilangan, sehingga bilangan semula dan bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan rumus suku ke-n barisan geometri tersebut.
Penyelesaian:

E. Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan geometri yang ditulis dalam bentuk: $U_1+U_2+U_3+...+U_n=S_n$ dengan $U_n$ = suku ke-n dan $S_n$ = jumlah n suku pertama.
Rumus jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri adalah:
$S_n=\frac{a(r^n-1)}{(r-1)}$
dengan:
$\begin{align}S_n &= \text{ jumlah n suku pertama} \\ a &= U_1=\text{suku pertama} \\ r &= \text{ rasio} \\ n &= \text{ banyak suku pada barisan} \end{align}$

Contoh 1.
Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10 dan suku keenam adalah 160. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.
Penyelesaian:
Contoh 2.
Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang tali terpanjang sama dengan 384 cm, tentukan panjang keseluruhan tali tersebut.
Penyelesaian:
Contoh 3.
Jumlah lima suku pertama suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2. Tentukan hasil kali suku ketiga dan suku keenam.
Penyelesaian:

F. Soal Latihan

  1. Diketahui barisan geometri: 2, 6, 18, 54, …. Tentukan suku kedelapan barisan tersebut.
  2. Suku keempat dan keenam barisan geometri berturut-turut 4 dan 36. Tentukan suku kedelapan barisan tersebut.
  3. Selembar kertas dipotong menjadi 2 bagian, setiap bagian dipotong menjadi 2, dan seterusnya. Tentukn jumlah potongan kertas setelah potongan kelima.
  4. Suku pertama dan rasio suatu barisan geometri berturut - berturut 2 dan 3. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut = 80, tentukan banyak suku dari barisan tersebut.
  5. Dari deret geometri ditentukan suku kedua = 6, suku ke-5 = 48. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama barisan geometri tersebut.
Semoga postingan: Barisan dan Deret Geometri ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Youtube Facebook Instagram Twitter Telegram Pinterest

Post a Comment for "Barisan dan Deret Geometri"

Pantun Matematika: