Barisan dan Deret Geometri

A. Definisi Barisan Geometri

Barisan $U_1$, $U_2$, $U_3$, …, $U_{n-1}$, $U_n$ disebut barisan geometri jika:
$\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=...=\frac{U_n}{U_{n-1}}=r$
dengan:
$\begin{align}U_n &= \text{suku ke-n} \\ r &= \text{rasio (perbandingan)}\end{align}$

Contoh:
Diberikan tiga bilangan: $(2k-3)$, $(k+1)$, $3k+3$ membentuk barisan geometri. Tentukan nilai $k$.
Penyelesaian:
Barisan geometri:
$(2k-3)$, $(k+1)$, $3k+3$Syarat:
$\begin{align}\frac{U_2}{U_1} &= \frac{U_3}{U_2} \\ \frac{k+1}{2k-3} &= \frac{3k+3}{k+1} \\ (k+1)(k+1) &= (2k-3)(3k+3) \\ k^2+k+k+1 &= 6k^2+6k-9k-9 \\ k^2+2k+1 &= 6k^2-3k-9 \\ -5k^2+5k+10 &= 0 \\ k^2-k-2 &= 0 \\ (k+1)(k-2) &= 0 \end{align}$
$k+1=0\to k=-1$
$k-2=0\to k=2$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah -1 atau 2.

B. Suku ke-n Barisan Geometri

Berdasarkan definisi barisan geometri:
$\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=...=\frac{U_n}{U_{n-1}}=r$
Misalkan, $U_1=a$ maka:
$\frac{U_2}{U_1} = r\Rightarrow U_2 = {U_1}r \Rightarrow U_2 = ar$
$\frac{U_3}{U_2}=r \Rightarrow U_3=U_2.r\Rightarrow U_3 = ar^2$
Dengan melihat polanya kita peroleh:
$\begin{matrix} U_1 & U_2 & U_3 & ... & U_n \\ a & ar & ar^2 & ... & ar^{n-1} \\ \end{matrix}$

Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri adalah:
$U_n=ar^{n-1}$
dengan:
$\begin{align}U_n &= \text{suku ke-n} \\ a &= U_1 = \text{suku pertama} \\ r &= \text{rasio} \end{align}$

Contoh 1.
Suatu barisan geometri 8, 4, 2, …. Tentukan suku sembilan dari barisan itu.
Penyelesaian:
$a=8$
$\begin{align}r &= \frac{U_2}{U_1} \\ &= \frac{4}{8} \\ r &= \frac{1}{2} \end{align}$
$\begin{align}U_n &= ar^{n-1} \\ U_9 &= ar^8 \\ &= 8.\left( \frac{1}{2} \right)^8 \\ &= \frac{8}{256} \\ U_9 &= \frac{1}{32} \end{align}$

Contoh 2.
Diketahui barisan geometri 3, -6, 12, -24, …. Tentukan nilai suku ke-$n$ barisan tersebut.
Penyelesaian:
$a=3$
$\begin{align}r &= \frac{U_2}{U_1} \\ &= \frac{-6}{3} \\ r &= -2 \end{align}$
$\begin{align}U_n &= ar^{n-1} \\ &= 3.(-2)^{n-1} \\ &= 3.\frac{(-2)^n}{-2} \\ U_n &= -\frac{3}{2}.(-2)^n \end{align}$

Contoh 3.
Suku ketiga dan keenam barisan geometri berturut-turut adalah 18 dan 486. Tentukan suku kedelapan barisan tersebut.
Penyelesaian:
Barisan geometri: $U_n=ar^{n-1}$
$U_3=18\to ar^2=18\,....\,(1)$
$\begin{align}U_6 &= 486 \\ ar^5 &= 486\,....\,(2) \\ \end{align}$
Bagikan persamaan (2) dengan persamaan (1):
$\begin{align}\frac{ar^5}{ar^2} &= \frac{486}{18} \\ r^3 &= 27 \\ r^3 &= 3^3 \\ r &= 3 \end{align}$
Substitusi $r=3$ ke persamaan (1):
$\begin{align}ar^2 &= 18 \\ a.3^2 &= 18 \\ a &= 2 \end{align}$
$\begin{align}U_n &= ar^{n-1} \\ U_8 &= ar^7 \\ &= 2.3^7 \\ &= 2\times 2187 \\ U_8 &= 4.374 \end{align}$

Contoh 4.
Diketahui tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlah ketiga bilangan itu 13 dan hasil kali ketiga bilangan itu 27, maka jumlah bilangan pertama dan ketiga adalah …
Penyelesaian:
Misalkan tiga bilangan yang membentuk barisan geometri tersebut adalah:
$a$, $ar$, $ar^2$
$\begin{align}a+ar+ar^2 &= 13 \\ a(1+r+r^2) &= 13\,....\,(1) \end{align}$
$\begin{align}a\times ar\times ar^2 &= 27 \\ {a^3}{r^3} &= 27 \\ (ar)^3 &= 3^3 \\ ar &= 3 \\ a &= \frac{3}{r} \end{align}$
Substitusi $a=\frac{3}{r}$ ke persamaan (1):
$\begin{align}a(1+r+r^2) &= 13 \\ \frac{3}{r}(1+r+r^2) &= 13 \\ 3(1+r+r^2) &= 13r \\ 3+3r+3r^2 &= 13r \\ 3r^2-10r+3 &= 0 \\ (3r-1)(r-3) &= 0 \end{align}$
$3r-1=0\to r=\frac{1}{3}$ atau
$r-3=0\to r=3$
Gunakan salah satu nilai $r$, misalkan kita pilih $r=3$ maka bilangan pertama adalah:
$\begin{align}a &= \frac{3}{r} \\ &= \frac{3}{3} \\ a &= 1 \end{align}$
Bilangan ketiga: $ar^2=1.3^2=9$
Jadi, jumlah bilangan pertama dan ketiga adalah 1 + 9 = 10.

Contoh 5.
Tiga buah bilangan berturut-turut merupakan barisan aritmetika yang berjumlah 12. Jika bilangan yang ketiga ditambah dua maka terbentuk barisan geometri. Tentukanlah hasil kali dari bilangan-bilangan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika tersebut adalah:
$a$, $a+b$, $a+2b$.
$\begin{align}a+(a+b)+(a+2b) &= 12 \\ 3a+3b &= 12 \\ a+b &= 4 \end{align}$
Jadi, barisan aritmetika: $4-b$, 4, $4+b$
Jika bilangan yang ketiga ditambah dua maka terbentuk barisan geometri, maka:
Barisan geometri: $4-b$, 4, $6+b$
Syarat barisan geometri:
$\begin{align}\frac{U_2}{U_1} &= \frac{U_3}{U_2} \\ \frac{4}{4-b} &= \frac{6+b}{4} \\ 16 &= (4-b)(6+b) \\ 16 &= 24+4b-6b-b^2 \\ b^2+2b-8 &= 0 \\ (b+4)(b-2) &= 0 \end{align}$
$b+4=0\to b=-4$ atau
$b-2=0\to b=2$
$\begin{align}a+b &= 4 \\ a+2 &= 4 \\ a &= 2 \end{align}$
Ketiga bilangan tersebut adalah:
$a$, $a+b$, $a+2b$.
2, 4, 6.
Jadi, hasil kali dari ketiga bilangan tersebut adalah: 2 x 4 x 6 = 48.

C. Suku Tengah Barisan Geometri

Barisan geometri: $U_1$, $U_2$, $U_3$, …, $U_n$ dengan $n$ ganjil maka suku tengahnya adalah:
$U_t=\sqrt{a.U_n}$ dengan:
$\begin{align}U_t &= \text{ suku tengah} \\ a &= \text{ suku pertama} \\ U_n &= \text{ suku terakhir} \\ n &= \text{ banyak suku pada barisan} \end{align}$

Contoh:
Diketahui barisan geometri 1, 4, 16, …, 4.096. Tentukan suku tengah dan suku ke berapakah suku tengah barisan tersebut?
Penyelesaian:
$a=1$, $U_n=4.096$, maka:
$\begin{align}U_t &= \sqrt{a.U_n} \\ &= \sqrt{1\times 4.096} \\ &= \sqrt{4.096} \\ U_t &= 64 \end{align}$
$\begin{align}r &= \frac{U_2}{U_1} \\ &= \frac{4}{1} \\ r &= 4 \end{align}$
$\begin{align}U_n &= 4.096 \\ ar^{n-1} &= 4.096 \\ 1\times 4^{n-1} &= 4.096 \\ 4^{n-1} &= 4^6 \\ n-1 &= 6 \\ n &= 7 \end{align}$
$\begin{align}t &= \frac{n+1}{2} \\ &= \frac{7+1}{2} \\ t &= 4 \end{align}$
Jadi, suku tengah barisan tersebut adalah 64 yaitu suku ke-4.

D. Suku Sisipan Barisan Geometri

Misalkan di antara dua bilangan $x$ dan $y$ disisipkan $k$ buah bilangan sehingga bilangan semula dengan bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri dengan suku pertama adalah$a=x$ dan rasionya adalah $r=\sqrt[k+1]{\frac{y}{x}}$

Contoh:
Di antara 3 dan 3.072 disisipkan 9 bilangan, sehingga bilangan semula dan bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan rumus suku ke-n barisan geometri tersebut.
Penyelesaian:
$x=3$, $y=3.072$ dan $k=9$
$a=x\to a=3$
$\begin{align}r &= \sqrt[k+1]{\frac{y}{x}} \\ &= \sqrt[9+1]{\frac{3.072}{3}} \\ &= \sqrt[10]{1024} \\ &= \sqrt[10]{2^{10}} \\ r &= 2 \end{align}$
$U_n=ar^{n-1}\to U_n=3.2^{n-1}$

E. Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan geometri yang ditulis dalam bentuk: $U_1+U_2+U_3+...+U_n=S_n$ dengan $U_n$ = suku ke-n dan $S_n$ = jumlah n suku pertama.
Rumus jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri adalah:
$S_n=\frac{a(r^n-1)}{(r-1)}$
dengan:
$\begin{align}S_n &= \text{ jumlah n suku pertama} \\ a &= U_1=\text{suku pertama} \\ r &= \text{ rasio} \\ n &= \text{ banyak suku pada barisan} \end{align}$

Contoh 1.
Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10 dan suku keenam adalah 160. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.
Penyelesaian:
Barisan geometri: $U_n=ar^{n-1}$
$U_2=10\to ar=10$
$\begin{align}U_6 &= 160 \\ ar^5 &= 160 \\ ar.r^4 &= 160 \\ 10.r^4 &= 160 \\ r^4 &= 16 \\ r^4 &= 2^4 \\ r &= 2 \end{align}$
$\begin{align}ar &= 10 \\ a.2 &= 10 \\ a &= 5 \end{align}$
$\begin{align}S_n &= \frac{a(r^n-1)}{(r-1)} \\ S_{10} &= \frac{5(2^{10}-1)}{2-1} \\ &= \frac{5(1024-1)}{1} \\ &= 5\times 1024 \\ S_{10} &= 5.120 \end{align}$

Contoh 2.
Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang tali terpanjang sama dengan 384 cm, tentukan panjang keseluruhan tali tersebut.
Penyelesaian:
Barisan geometri: $U_n=ar^{n-1}$
$n=7$
panjang tali terpendek = 6 cm maka $a=6$.
panjang tali terpanjang = 384 cm maka:
$\begin{align}U_7 &= 384 \\ ar^6 &= 384 \\ 6.r^6 &= 384 \\ r^6 &= 64 \\ r^6 &= 2^6 \\ r &= 2 \end{align}$
Panjang keseluruhan tali = ${{S}_{7}}$ maka:
$\begin{align}S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ S_7 &= \frac{6(2^7-1)}{2-1} \\ &= \frac{6(128-1)}{1} \\ &= 6\times 127 \\ S_7 &= 762 \end{align}$
Jadi, panjang keseluruhan tali adalah 762 cm.

Contoh 3.
Jumlah lima suku pertama suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2. Tentukan hasil kali suku ketiga dan suku keenam.
Penyelesaian:
$S_5=93$ dan $r=2$ maka $U_3 \times U_6=...$
$\begin{align}S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ S_5 &= \frac{a(2^5-1)}{2-1} \\ 93 &= \frac{a(32-1)}{1} \\ 93 &= 31a \\ a &= 3 \end{align}$
$U_n=ar^{n-1}$ maka:
$\begin{align}U_3 \times U_6 &= ar^2\times ar^5 \\ &= 3.2^2 \times 3.2^5 \\ &= 12\times 96 \\ U_3 \times U_6 &= 1.152 \end{align}$

F. Soal Latihan

Diketahui barisan geometri: 2, 6, 18, 54, …. Tentukan suku kedelapan barisan tersebut.
Suku keempat dan keenam barisan geometri berturut-turut 4 dan 36. Tentukan suku kedelapan barisan tersebut.
Selembar kertas dipotong menjadi 2 bagian, setiap bagian dipotong menjadi 2, dan seterusnya. Tentukn jumlah potongan kertas setelah potongan kelima.
Suku pertama dan rasio suatu barisan geometri berturut - berturut 2 dan 3. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut = 80, tentukan banyak suku dari barisan tersebut.
Dari deret geometri ditentukan suku kedua = 6, suku ke-5 = 48. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama barisan geometri tersebut.

Semoga postingan: Barisan dan Deret Geometri ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

CATATAN MATEMATIKA