Vektor 4. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Sudut Antara Dua Vektor

pada postingan kali ini kita akan membahas bagaimana cara menentukan hasil perkalian skalar antara dua vektor dan cara menentukan sudut yang dibentuk antara dua vektor. Ayo kita belajar bersama...!

A. Perkalian Skalar Dua Vektor (Dot Product Vector)

Jika $\vec{a}=x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k}$ dan $\vec{b}=x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k}$ untuk $|\vec{a}|\ne 0$, $|\vec{b}|\ne 0$, dan $\theta $ adalah sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka:

1. $\vec{a}.\vec{b} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ \end{matrix} \right) = x_1.x_2+y_1.y_2+z_1.z_2$
2. $\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \theta $

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor:

1. Jika $\vec{a}\bot \vec{b}$ maka $\vec{a}.\vec{b}=0$
2. $|\vec{a}{{|}^{2}}=\vec{a}.\vec{a}$
3. $\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a}$
4. $\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$
5. $\vec{a}.(\vec{b}-\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}-\vec{a}.\vec{c}$

Contoh 1.
Diketahui $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=5$ dan $\angle (\vec{a},\vec{b})=60{}^\circ $. Tentukanlah hasil dari $\vec{a}(\vec{a}+\vec{b})$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\vec{a}(\vec{a}+\vec{b}) &= \vec{a}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{b} \\ &= |\vec{a}|^2+|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \angle (\vec{a},\vec{b}) \\ &= 6^2+6.5.\cos 60^\circ \\ &= 36+30.\frac{1}{2} \\ &= 36+15 \\ \vec{a}(\vec{a}+\vec{b}) &= 51 \end{align}$

Contoh 2.
Diketahui vektor $\vec{a}=\hat{i}-p\hat{j}-\hat{k}$ dan $\vec{b}=5\hat{i}+2\hat{j}+p\hat{k}$. Jika $\vec{a}.\vec{b}=-4$, tentukan nilai $p$.
Penyelesaian:
$\vec{a}=\hat{i}-p\hat{j}-\hat{k}\Rightarrow \vec{a}=\left( \begin{matrix} 1 \\ -p \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$
$\vec{b}=5\hat{i}+2\hat{j}+p\hat{k}\Rightarrow \vec{b}=\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ p \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align}\vec{a}.\vec{b} &= -4 \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ -p \\ -1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ p \\ \end{matrix} \right) &= -4 \\ 1.5+(-p).2+(-1).p &= -4 \\ 5-2p-p &= -4 \\ -3p &= -9 \\ p &= 3 \end{align}$

Contoh 3.
Diketahui titik $A(6,3,-1)$, $B(2,1,-1)$ dan $C(1,-4,2)$. Tentukan $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\ &= \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 6 \\ 3 \\ -1 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{AB} &= \left( \begin{matrix} -4 \\ -2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \\ &= \left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{BC} &= \left( \begin{matrix} -1 \\ -5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} &= \left( \begin{matrix} -4 \\ -2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} -1 \\ -5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= (-4)(-1)+(-2)(-5)+0.3 \\ &= 4+10+0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} &= 14 \end{align}$

Contoh 4.
Diketahui $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=3$, dan $|\vec{a}-\vec{b}|=7$. Tentukan $|\vec{a}+\vec{b}|$.
Penyelesaian:
Ingat: $\vec{a}.\vec{a}=|\vec{a}|^2$
$\begin{align}\left| \vec{a}-\vec{b} \right| &= 7 \\ {\left| \vec{a}-\vec{b} \right|}^2 &= 7^2 \\ (\vec{a}-\vec{b}).(\vec{a}-\vec{b}) &= 49 \\ \vec{a}.\vec{a}-2\vec{a}.\vec{b}+\vec{b}.\vec{b} &= 49 \\ {\left| {\vec{a}} \right|}^2-2\vec{a}.\vec{b}+{\left| {\vec{b}} \right|}^2 &= 49 \\ 6^2-2\vec{a}.\vec{b}+3^2 &= 49 \\ 36-2\vec{a}.\vec{b}+9 &= 49 \\ -2\vec{a}.\vec{b} &= 4 \\ \vec{a}.\vec{b} &= -2 \end{align}$
$\begin{align}{\left| \vec{a}+\vec{b} \right|}^2 &= (\vec{a}+\vec{b}).(\vec{a}+\vec{b}) \\ &= \vec{a}.\vec{a}+2\vec{a}.\vec{b}+\vec{b}.\vec{b} \\ &= {\left| {\vec{a}} \right|}^2+2\vec{a}.\vec{b}+{\left| {\vec{b}} \right|}^2 \\ &= 6^2+2(-2)+3^2 \\ &= 36-4+9 \\ {\left| \vec{a}+\vec{b} \right|}^2 &= 41 \\ \left| \vec{a}+\vec{b} \right| &= \sqrt{41} \end{align}$

Contoh 5.
Jika vektor $\vec{a}=m\hat{i}-2m\hat{j}-3\hat{k}$ tegak lurus vektor $\vec{b}=m\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}$, tentukan nilai $m$
Penyelesaian:
$\vec{a}=m\hat{i}-2m\hat{j}-3\hat{k}\Rightarrow \vec{a}=\left( \begin{matrix} m \\ -2m \\ -3 \\ \end{matrix} \right)$
$\vec{b}=m\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\Rightarrow \vec{b}=\left( \begin{matrix} m \\ 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)$
vektor $\vec{a}$ tegak lurus vektor $\vec{b}$ maka:
$\begin{align}a.b &= 0 \\ \left( \begin{matrix} m \\ -2m \\ -3 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} m \\ 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) &= 0 \\ m^2-4m-12 &= 0 \\ (m+2)(m-6) &= 0 \end{align}$
$m=-2$ atau $m=6$

B. Sudut Antara Dua Vektor

Dari rumus perkalian skalar dua vektor yaitu $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \theta $ kita dapat menentukan nilai $\theta $ yaitu besar sudut yang dibentuk oleh vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dengan menurunkan persamaan $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \theta $ diperoleh hasilnya sebagai berikut:
$\cos \theta =\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Contoh 6.
Tentukan besar sudut antara vektor $\vec{a}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ dengan $\vec{b}=-2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\cos \angle (\vec{a},\vec{b}) &= \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\ &= \frac{(1,3,2).(-2,1,3)}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}.\sqrt{(-2)^2+1^2+3^2}} \\ &= \frac{1.(-2)+3.1+2.3}{\sqrt{1+9+4}.\sqrt{4+1+9}} \\ &= \frac{-2+3+6}{\sqrt{14}.\sqrt{14}} \\ &= \frac{7}{14} \\ \cos \angle (\vec{a},\vec{b}) &= \frac{1}{2} \\ \angle (\vec{a},\vec{b}) &= 60^\circ \end{align}$

Contoh 7.
Diketahui titik-titik $A(4,4,1)$, $B(3,2,0)$, dan $C(2,3,2)$. Tentukan besar $\angle ABC$.
Penyelesaian:
$\angle ABC$ adalah sudut yang dibentuk oleh $\overrightarrow{BA}$ dan $\overrightarrow{BC}$.
$\begin{align}\overrightarrow{BA} &= \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \\ &= \left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{BA} &= \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \\ &= \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{BC} &= \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$

$\begin{align}\cos \angle ABC &= \cos \angle (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) \\ &= \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} \right|\left| \overrightarrow{BC} \right|} \\ &= \frac{(1,2,1).(-1,1,2)}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}.\sqrt{(-1)^2+1^2+2^2}} \\ &= \frac{1.(-1)+2.1+1.2}{\sqrt{1+4+1}.\sqrt{1+1+4}} \\ &= \frac{-1+2+2}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} \\ &= \frac{3}{6} \\ \cos \angle ABC &= \frac{1}{2} \\ \angle ABC &= 60^\circ \end{align}$

Contoh 8.
Diketahui $\vec{u}=\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ x \\ \end{matrix} \right)$ dan $v=\left( \begin{matrix} 3 \\ -6 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ adalah sama panjang. Tentukan nilai $x$ yang sesuai serta besar sudut antara vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left| {\vec{u}} \right| &= \left| {\vec{v}} \right| \\ \sqrt{2^2+3^2+x^2} &= \sqrt{3^2+(-6)^2+2^2} \\ 4+9+x^2 &= 9+36+4 \\ x^2 &= 36 \\ x &= \pm 6 \end{align}$
Untuk $x=-6$ diperoleh $\vec{u}=\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -6 \\ \end{matrix} \right)$ dan $v=\left( \begin{matrix} 3 \\ -6 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$\begin{align}\cos \angle (\vec{u},\vec{v}) &= \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left| {\vec{u}} \right|\left| {\vec{v}} \right|} \\ &= \frac{(2,3,-6).(3,-6,2)}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}.\sqrt{3^2+(-6)^2+2^2}} \\ &= \frac{2.3+3.(-6)+(-6).2}{\sqrt{4+9+36}.\sqrt{9+36+4}} \\ &= \frac{6-18-12}{\sqrt{49}.\sqrt{49}} \\ &= \frac{-24}{49} \\ \cos \angle (\vec{u},\vec{v}) &= -0,4898 \\ \angle (\vec{u},\vec{v}) &= 119,33^\circ \end{align}$

Untuk $x=6$ diperoleh $\vec{u}=\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$ dan $v=\left( \begin{matrix} 3 \\ -6 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$\begin{align}\cos \angle (\vec{u},\vec{v}) &= \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left| {\vec{u}} \right|\left| {\vec{v}} \right|} \\ &= \frac{(2,3,6).(3,-6,2)}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}.\sqrt{3^2+(-6)^2+2^2}} \\ &= \frac{2.3+3.(-6)+6.2}{\sqrt{4+9+36}.\sqrt{9+36+4}} \\ &= \frac{6-18+12}{\sqrt{49}.\sqrt{49}} \\ &= \frac{0}{49} \\ \cos \angle (\vec{u},\vec{v}) &= 0 \\ \angle (\vec{u},\vec{v}) &= 90^\circ \end{align}$

Contoh 9.
Diketahui titik $A(1,-1,-2)$, $B(4,3,-7)$ dan $C(2,-3,0)$. Tentukanlah tangen sudut antara $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\ &= \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \\ -7 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{AB} &= \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} \\ &= \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{AC} &= \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\cos \angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) &= \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\left| \overrightarrow{AC} \right|} \\ &= \frac{(3,4,-5).(1,-2,2)}{\sqrt{3^2+4^2+(-5)^2}.\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}} \\ &= \frac{3.1+4.(-2)+(-5).2}{\sqrt{9+16+25}.\sqrt{1+4+4}} \\ &= \frac{3-8-10}{\sqrt{50}.\sqrt{9}} \\ &= \frac{-15}{15\sqrt{2}} \\ \cos \angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) &= -\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{sa}{mi} \end{align}$
Karena nilai $\cos \angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ negatif, maka $\angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ adalah sudut tumpul, akibatnya $\tan \angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ bernilai negatif.
$\begin{align}\tan \angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) &= -\frac{de}{sa} \\ &= -\frac{\sqrt{mi^2-sa^2}}{sa} \\ &= -\frac{\sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^2}-1}}{1} \\ \tan \angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) &= -1 \end{align}$

Contoh 10.
Diketahui titik-titik $P(-1,1,-1)$, $Q(1,2,3)$, dan $R(2,-1,5)$. Tentukan nilai sinus $\angle PQR$.
Penyelesaian:
$\angle PQR=\angle (\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QR})$
$\begin{align}\overrightarrow{QP} &= \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ} \\ &= \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{QP} &= \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \\ -4 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\overrightarrow{QR} &= \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ} \\ &= \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ \overrightarrow{QR} &= \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\cos \angle PQR &= \cos \angle (\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QR}) \\ &= \frac{\overrightarrow{QP}.\overrightarrow{QR}}{\left| \overrightarrow{QP} \right|\left| \overrightarrow{QR} \right|} \\ &= \frac{(-2,-1,-4).(1,-3,2)}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-4)^2}.\sqrt{1^2+(-3)^2+2^2}} \\ &= \frac{-2.1+(-1).(-3)+(-4).2}{\sqrt{4+1+16}.\sqrt{1+9+4}} \\ &= \frac{-2+3-8}{\sqrt{21}.\sqrt{14}} \\ &= \frac{-7}{\sqrt{7.3}.\sqrt{7.2}} \\ &= \frac{-7}{7\sqrt{6}} \\ \cos \angle PQR &= -\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{sa}{mi} \end{align}$
Karena nilai $\cos \angle PQR$ negatif, maka $\angle PQR$ adalah sudut tumpul, akibatnya $\sin \angle PQR$bernilai positif.
$\begin{align}\sin \angle PQR &= \frac{de}{mi} \\ &= \frac{\sqrt{mi^2-sa^2}}{mi} \\ &= \frac{\sqrt{{{\left( \sqrt{6} \right)}^2}-1}}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{6}} \\ \sin \angle PQR &= \frac{5}{6}\sqrt{6} \end{align}$

C. Soal Latihan

1. Jika vektor $\vec{a}=x\hat{i}-4\hat{j}+8\hat{k}$ tegak lurus vektor $\vec{b}=2x\hat{i}+2x\hat{j}-3\hat{k}$, tentukan nilai $x$.
2. Diketahui vektor $\vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ dan $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{14}$, tentukan hasil dari $\vec{a}.\vec{b}$.
3. Diketahui vektor $\vec{a}=\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)$ dan $\vec{b}=\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -4 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukan besar sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
4. Diketahui vektor $\vec{a}=6\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}$, $\vec{b}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ dan $\vec{c}=-5\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$. Tentukan besar sudut antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}+\vec{c}$.
5. Diketahui segitiga ABC dengan $A(2,1,2)$, $B(6,1,2)$, dan $C(6,5,2)$. Jika $\vec{u}$ mewakili $\overrightarrow{AB}$ dan $\vec{v}$ mewakili $\overrightarrow{AC}$, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$.

Semoga postingan: Vektor 4. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Sudut Antara Dua Vektor ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :