Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Lingkaran 4. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

A. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Perhatikan gambar berikut!
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Berdasarkan gambar kedudukan titik terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi yaitu:
  1. Titik A terletak di dalam lingkaran.
  2. Titik B terletak pada lingkaran.
  3. Titik C terletak di luar lingkaran.

B. Kedudukan Titik $(x_1,y_1)$ terhadap Lingkaran $x^2+y^2=r^2$

Perhatikan gambar berikut!
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Berdasarkan gambar jelas terlihat bahwa: titik A terletak di dalam lingkaran, titik B terletak pada lingkaran, dan titik C terletak di luar lingkaran.
Cara menentukan kedudukan titik $(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2=r^2$ yaitu dengan substitusi koordinat titik $(x_1,y_1)$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ akan diperoleh tiga kemungkinan, yaitu:
  1. Jika $x_1^2+y_1^2 < r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di dalam lingkaran.
  2. Jika $x_1^2+y_1^2 = r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran.
  3. Jika $x_1^2+y_1^2 > r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran.
Contoh 1.
Tanpa melukis lingkaran $x^2+y^2=169$, tentukanlah posisi titik $P(-1,13)$, $Q(5,12)$ dan $R(-1,10)$ terhadap lingkaran.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kedudukan titik (x,y) terhadap lingkaran $x^2+y^2=169$, kita substitusi nilai x dan y ke persamaan lingkaran, tanda “=” kita kosongkan terlebih dahulu. Kemudian pada hasil akhir kita berikan salah satu tanda berikut: “<”, “=”, atau “>” sesuai kondisi yang sebenarnya.
$P(-1,13)\Rightarrow x=-1,\,y=13$, maka:
$\begin{array}{*{35}{r}}x^2+y^2 & ... & 169 \\(-1)^2+13^2 & ... & 169 \\ 1+169 & ... & 169 \\ 170 & > & 169 \\ \end{array}$
Jadi, titik $P(-1,13)$ terletak di luar lingkaran.

$Q(5,12)\Rightarrow x=5,\,y=12$
$\begin{array}{*{35}{r}}x^2+y^2 & ... & 169 \\5^2+12^2 & ... & 169 \\ 25+144 & ... & 169 \\ 169 & = & 169 \\ \end{array}$
Jadi, titik $Q(5,12)$ terletak pada lingkaran.

$R(-1,10)\Rightarrow x=-1,\,y=10$
$\begin{array}{*{35}{r}}x^2+y^2 & ... & 169 \\ (-1)^2+10^2 & ... & 169 \\ 1+100 & ... & 169 \\ 101 & < & 169 \\ \end{array}$
Jadi, titik $R(-1,10)$ terletak di dalam lingkaran.

Contoh 2.
Tentukan nilai $a$ agar titik $Q(-4,a)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=20$.
Penyelesaian:
Titik $Q(-4,a)\Rightarrow x=-4,\,y=a$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=20$ maka:
$\begin{align}x^2+y^2 & < 20 \\ (-4)^2+a^2 & < 20 \\ 16+a^2 & < 20 \\ a^2-4 & < 0 \\ (a+2)(a-2) & < 0 \end{align}$
Pembuat nol: $a=-2$ atau $a=2$
Garis bilangan:
Tentukan Nilai a agar Q(-4,a) terletak di dalam lingkaran
$-2 < a < 2$
Jadi, agar titik $Q(-4,a)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=20$ maka batas-batas nilai $a$ adalah $-2 < a < 2$.

Contoh 3.
Tentukan nilai $k$ agar titik $A(2,k)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2=13$.
Penyelesaian:
Titik $A(2,k)\Rightarrow x=2,\,y=k$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2=13$ maka:
$\begin{align}x^2+y^2 &= 13 \\ 2^2+k^2 &= 13 \\ 4+k^2 &= 13 \\ k^2-9 &= 0 \\ (k+3)(k-3) &= 0 \end{align}$
$k=-3$ atau $k=3$

Contoh 4.
Tentukan nilai $m$ agar titik $P(\sqrt{m},m)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2=6$.
Penyelesaian:
Titik $P(\sqrt{m},m)\Rightarrow x=\sqrt{m},\,y=m$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2=6$ maka:
$\begin{align}x^2+y^2 &> 6 \\ \left( \sqrt{m} \right)^2+m^2 &> 6 \\ m+m^2 &> 6 \\ m^2+m-6 &> 0 \\ (m+3)(m-2) &> 0 \end{align}$
Pembuat nol: $m=-3$ atau $m=2$
Garis bilangan:
Syarat Titik Terletak di Luar Lingkaran
$m < -3$ atau $m >2$
Jadi, agar titik $P(\sqrt{m},m)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2=6$ maka batas-batas nilai $m$ adalah $m < -3$ atau $m > 2$.

C. Kedudukan Titik $(x_1,y_1)$ terhadap Lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Perhatikan gambar berikut!
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Berdasarkan gambar jelas terlihat bahwa: titik K terletak di dalam lingkaran, titik L terletak pada lingkaran, dan titik M terletak di luar lingkaran.

Cara menentukan kedudukan titik $(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ yaitu dengan substitusi koordinat titik $(x_1,y_1)$ ke persamaan lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ akan diperoleh tiga kemungkinan, yaitu:
  1. Jika $(x_1-a)^2+(y_1-b)^2 < r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di dalam lingkaran.
  2. Jika $(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran.
  3. Jika $(x_1-a)^2+(y_1-b)^2 > r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran.
Contoh 5.
Tentukan kedudukan titik $A(1,1)$, $B(5,-2)$ dan $C(3,-6)$ terhadap lingkaran $(x-1)^2+(y+2)^2=16$.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kedudukan titik (x,y) terhadap lingkaran $(x-1)^2+(y+2)^2=16$, kita substitusi nilai x dan y ke persamaan lingkaran, tanda “=” kita kosongkan terlebih dahulu. Kemudian pada hasil akhir kita berikan salah satu tanda berikut: “<”, “=”, atau “>” sesuai kondisi yang sebenarnya.
$A(1,1)\Rightarrow x=1,y=1$, maka:
$\begin{array}{*{35}{r}}(x-1)^2+(y+2)^2 & ... & 16 \\ (1-1)^2+(1+2)^2 & ... & 16 \\ 0+9 & ... & 16 \\ 9 & < & 16 \\ \end{array}$
Jadi, titik $A(1,1)$ terletak di dalam lingkaran.

$B(5,-2)\Rightarrow x=5,y=-2$, maka:
$\begin{array}{*{35}{r}}(x-1)^2+(y+2)^2 & ... & 16 \\ (5-1)^2+(-2+2)^2 & ... & 16 \\ 16+0 & ... & 16 \\ 16 & = & 16 \\ \end{array}$
Jadi, titik $B(5,-2)$ terletak pada lingkaran.

$C(3,-6)\Rightarrow x=3,y=-6$, maka:
$\begin{array}{*{35}{r}}(x-1)^2+(y+2)^2 & ... & 16 \\ (3-1)^2+(-6+2)^2 & ... & 16 \\ 4+16 & ... & 16 \\ 20 & > & 16 \\ \end{array}$
Jadi, titik $C(3,-6)$ terletak di luar lingkaran.

Contoh 6.
Tentukan nilai $p$ agar titik $A(-4,p)$ terletak pada lingkaran $(x+1)^2+(y-2)^2=25$.
Penyelesaian:
Titik $A(-4,p)\Rightarrow x=-4,y=p$ terletak pada lingkaran $(x+1)^2+(y-2)^2=25$ maka:
$\begin{align}(x+1)^2+(y-2)^2 &= 25 \\ (-4+1)^2+(p-2)^2 &= 25 \\ 9+p^2-4p+4 &= 25 \\ p^2-4p-12 &= 0 \\ (p+2)(p-6) &= 0 \end{align}$
$p+2=0\Rightarrow p=-2$
$p-6=0\Rightarrow p=6$
Jadi, nilai $p=-2$ atau $p=6$.

Contoh 7.
Tentukan nilai $m$ agar titik $B(m,2)$ terletak di luar lingkaran $(x+3)^2+(y-4)^2=20$.
Penyelesaian:
Titik $B(m,2)\Rightarrow x=m,y=2$ terletak di luar lingkaran $(x+3)^2+(y-4)^2=20$ maka:
$\begin{align}(x+3)^2+(y-4)^2 &> 20 \\ (m+3)^2+(2-4)^2 &> 20 \\ m^2+6m+9+4 &> 20 \\ m^2+6m-7 &> 0 \\ (m+7)(m-1) &> 0 \end{align}$
Pembuat nol: $m=-7$ atau $m=1$
Garis bilangan:
Nilai m agar titik B(m,2) terletak di luar lingkaran
$m < -7$ atau $m > 1$
Jadi, agar titik $B(m,2)$ terletak di luar lingkaran $(x+3)^2+(y-4)^2=20$ maka batas-batas nilai $m$ adalah $m < -7$ atau $m > 1$.

Contoh 8.
Diketahui titik $(6,k)$ terletak di dalam lingkaran $(x-2)^2+(y-5)^2=25$. Nilai $k$ yang memenuhi adalah ...
Penyelesaian:
Titik $(6,k)\Rightarrow x=6,y=k$ terletak di dalam lingkaran $(x-2)^2+(y-5)^2=25$ maka:
$\begin{align}(x-2)^2+(y-5)^2 & < 25 \\ (6-2)^2+(k-5)^2 & < 25 \\ 16+k^2-10k+25 & < 25 \\ k^2-10k+16 & < 0 \\ (k-2)(k-8) & < 0 \end{align}$
Pembuat nol: $k=2$ atau $k=8$
Garis bilangan:
Titik (6,k) terletak di dalam lingkaran
$2 < k < 8$
Jadi, agar titik $(6,k)$ terletak di dalam lingkaran $(x-2)^2+(y-5)^2=25$ maka batas-batas nilai $k$ adalah $2 < k < 8$.

D. Kedudukan Titik $(x_1,y_1)$ terhadap Lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Cara menentukan kedudukan titik $(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ yaitu dengan substitusi koordinat titik $(x_1,y_1)$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, akan diperoleh tiga kemungkinan, yaitu:
  1. Jika $x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C < 0$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di dalam lingkaran.
  2. Jika $x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C = 0$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran.
  3. Jika $x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C > 0$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran.
Contoh 9.
Tentukan kedudukan titik $K(2,1)$ dan $L(4,-2)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-2x-4y-14=0$.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kedudukan titik (x,y) terhadap lingkaran $x^2+y^2-2x-4y-14=0$, kita substitusi nilai x dan y ke persamaan lingkaran, tanda “=” kita kosongkan terlebih dahulu. Kemudian pada hasil akhir kita berikan salah satu tanda berikut: “<”, “=”, atau “>” sesuai kondisi yang sebenarnya.

Titik $K(2,1)\Rightarrow x=2,y=1$ maka:
$\begin{array}{*{35}{r}}x^2+y^2-2x-4y-14 & ... & 0 \\ 2^2+1^2-2.2-4.1-14 & ... & 0 \\ 4+1-4-4-14 & ... & 0 \\ -17 & < & 0 \\ \end{array}$
Jadi, titik $K(2,1)$ terletak di dalam lingkaran.

Titik $L(4,-2)\Rightarrow x=4,y=-2$ maka:
$\begin{array}{*{35}{r}} x^2+ y^2-2x-4y-14 & ... & 0 \\ 4^2+(-2)^2-2.4-4.(-2)-14 & ... & 0 \\ 16+4-8+8-14 & ... & 0 \\ 6 & > & 0 \\ \end{array}$
Jadi, titik $K(2,1)$ terletak di luar lingkaran.

Contoh 10.
Titik $(3,1)$ terletak pada lingkaran $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+px+8y+8=0$. Tentukan nilai $p$.
Penyelesaian:
Titik $(3,1)\Rightarrow x=3,y=1$ terletak pada lingkaran $2x^2+2y^2+px+8y+8=0$ maka:
$\begin{align}2x^2+2y^2+px+8y+8 &= 0 \\ 2.3^2+2.1^2+p.3+8.1+8 &= 0 \\ 18+2+3p+8+8 &= 0 \\ 3p+36 &= 0 \\ 3p &= -36 \\ p &= -12 \end{align}$
Jadi, nilai $p=-12$.

Contoh 11.
Jika titik $(-5,k)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$, tentukan nilai $k$.
Penyelesaian:
Titik $(-5,k)\Rightarrow x=-5,y=k$ terletak di luar lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-5y-21=0$, maka:
$\begin{align}x^2+y^2+2x-5y-21 &> 0 \\ (-5)^2+k^2+2(-5)-5.k-21 &> 0 \\ 25+k^2-10-5k-21 &> 0 \\ k^2-5k-6 &> 0 \\ (k+1)(k-6) &> 0 \end{align}$
Pembuat nol: $k=-1$ atau $k=6$
Garis bilangan:
titik (-5,k) terletak di luar lingkaran
$k < -1$ atau $k > 6$
Jadi, agar titik $(-5,k)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$ maka batas-batas nilai $k$ adalah $k < -1$ atau $k > 6$.

Contoh 12.
Titik $(a,3)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-5x-4y-3=0$. Dengan demikian batas-batas nilai $a$ adalah ...
Penyelesaian:
Titik $(a,3)\Rightarrow x=a,y=3$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-5x-4y-3=0$, maka:
$\begin{align}x^2+y^2-5x-4y-3 & < 0 \\ a^2+3^2-5.a-4.3-3 & < 0 \\ a^2+9-5a-12-3 & < 0 \\ a^2-5a-6 & < 0 \\ (a+1)(a-6) & < 0 \end{align}$
Pembuat nol: $a=-1$ atau $a=6$
Garis bilangan:
Titik (a,3) terletak di dalam lingkaran
$-1 < a < 6$
Jadi, agar titik $(a,3)$ terletak di dalam lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5x-4y-3=0$ maka batas-batas nilai $a$ adalah $-1 < a < 6$.

E. Soal Latihan Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

  1. Tentukan kedudukan titik $C(3,-2)$, $I(6,1)$, $N(4,-1)$, $T(7,-1)$ dan $A(-2,3)$ terhadap lingkaran $(x-3)^2+(y+2)^2=17$.
  2. Tentukan nilai $m$ agar titik $B(m-3,4)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2=41$.
  3. Titik $(2,b)$ terletak di luar lingkaran $(x-2)^2+(y-4)^2=25$, tentukan batas-batas nilai $b$.
  4. Tentukan nilai $a$ agar titik $A(a,5)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2-2x-10y+10=0$.
  5. Titik $(a,-5)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-14x+10y-95=0$, tentukan batas-batas nilai $a$.
Semoga postingan: Lingkaran 4. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Youtube Facebook Instagram Twitter Telegram Pinterest

Post a Comment for "Lingkaran 4. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran"