Soal Perbandingan Trigonometri Sudut di Berbagai Kuadran dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal-soal Sudut di Berbagai Kuadran yaitu salah satu sub materi TRIGONOMETRI pada bidang studi Matematika. Selamat belajar, semoga bermanfaat bagi kita semua. Dan jangan lupa di share ya..., agar banyak orang lain yang ikut belajar secara mandiri. Terima kasih.

Soal No. 1

Jika $\sin \alpha .\cos \alpha < 0$ maka $\alpha $ berada di kuadran ….
A. I dan III
B. I dan IV
C. III dan IV
D. II dan III
E. II dan IV

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\sin \alpha .\cos \alpha  < 0$  maka:
i) $\sin \alpha > 0$ dan $\cos \alpha < 0$ maka $\alpha $ di kuadran II
ii) $\sin \alpha < 0$ dan $\cos \alpha > 0$ maka $\alpha $ di kuadran IV
Jawaban: E

Soal No. 2

Jika $\tan \alpha .\cos \alpha > 0$ maka $\alpha $ berada di kuadran ….
A. I dan II
B. I dan IV
C. III dan IV
D. II dan III
E. II dan IV

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\tan \alpha .\cos \alpha >0$ maka:
i) $\tan \alpha > 0$ dan $\cos \alpha > 0$ maka $\alpha $ di kuadran I
ii) $\tan \alpha < 0$ dan $\cos \alpha < 0$ maka $\alpha $ di kuadran II
Jawaban: A

Soal No. 3

Diketahui sudut $\alpha $ di kuadran IV dan $\sec \alpha =\sqrt{2}$. Nilai $\sin \alpha $ = …
A. $3\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. $-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
E. $-\frac{1}{3}\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align} \sec \alpha &=\sqrt{2} \\ \frac{1}{\cos \alpha } &=\sqrt{2} \\ \sqrt{2}.\cos \alpha &=1 \\ \cos \alpha &=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$
$\begin{align} \cos \alpha &=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{sa}{mi} &=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$
$\begin{align} de &=\sqrt{mi^2-sa^2} \\ &=\sqrt{{{(\sqrt{2})}^2}-1^2} \\ de &=1 \end{align}$
$\alpha $ di kuadran IV maka $\sin \alpha $ bernilai negatif:
$\sin \alpha =-\frac{de}{mi}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Jawaban: D

Soal No. 4

Bila $0 < a < 90$ dan $\tan a^\circ =\frac{5}{\sqrt{11}}$ maka $\sin a^\circ $ = ...
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{25}{36}$
C. $\frac{1}{6}\sqrt{11}$
D. $\frac{5}{36}$
E. $\frac{1}{36}\sqrt{11}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\tan a^\circ =\frac{5}{\sqrt{11}}=\frac{de}{sa}$
$\begin{align} mi &=\sqrt{de^2+sa^2} \\ &=\sqrt{{{5}^2}+{{(\sqrt{11})}^2}} \\ &=\sqrt{25+11} \\ mi &=6 \end{align}$
Karena $0 < a < 90$ maka $\sin a^\circ $ bernilai positif:
$\sin a^\circ =\frac{de}{mi}=\frac{5}{6}$
Jawaban: A

Soal No. 5

Diketahui $\tan A=-\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\pi }{2} < A < \pi $, maka nilai $\sin A.\cos A$ = ….
A. $-\frac{2}{3}$
B. $-\frac{1}{5}$
C. $-\frac{2}{7}$
D. $-\frac{2}{5}$
E. $-\frac{3}{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\tan A=-\frac{1}{2}=\frac{de}{sa}$
$\begin{align} mi &=\sqrt{de^2+sa^2} \\ &=\sqrt{{{1}^2}+{{2}^2}} \\ mi &=\sqrt{5} \end{align}$
Karena $\frac{\pi }{2} < A < \pi $, maka $\sin A$ bernilai positif dan $\cos A$ bernilai negatif.
$\sin A=\frac{de}{mi}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\cos A=-\frac{sa}{mi}=-\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\sin A.\cos A=\frac{1}{\sqrt{5}}.\left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right)=-\frac{2}{5}$
Jawaban: D

Soal No. 6

Jika $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ dan $\alpha $ berada di kuadran II maka $\tan \alpha $ = ….
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
C. $\sqrt{3}$
D. $-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
E. $-\sqrt{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\sin \alpha =\frac{1}{2}=\frac{de}{mi}$
$\begin{align} sa &=\sqrt{mi^2-de^2} \\ &=\sqrt{{{2}^2}-{{1}^2}} \\ sa &=\sqrt{3} \end{align}$
$\alpha $ berada di kuadran II maka $\tan \alpha $ bernilai negatif:
$\begin{align} \tan \alpha &=-\frac{de}{sa} \\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ \tan \alpha &=-\frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 7

Jika $\sec \alpha =3$ dan $\alpha $ berada di kuadran IV maka $\sin \alpha $ = ….
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$
C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D. $-\frac{1}{3}\sqrt{2}$
E. $-\frac{2}{3}\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align} \sec \alpha &=3 \\ \frac{1}{\cos \alpha } &=3 \\ 3\cos \alpha &=1 \\ \cos \alpha &=\frac{1}{3} \end{align}$
$\cos \alpha =\frac{1}{3}=\frac{sa}{mi}$
$\begin{align} de &=\sqrt{mi^2-sa^2} \\ &=\sqrt{{{3}^2}-{{1}^2}} \\ &=\sqrt{8} \\ de &=2\sqrt{2} \end{align}$
$\alpha $ berada di kuadran IV maka $\sin \alpha $ bernilai negatif:
$\sin \alpha =-\frac{de}{mi}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Jawaban: E

Soal No. 8

Diketahui $\tan x=2,4$ dengan $x$ dalam selang $\left( \pi ,\frac{3\pi }{2} \right)$, maka $\cos x$ = ….
A. $-\frac{12}{13}$
B. $-\frac{5}{13}$
C. $\frac{3}{13}$
D. $\frac{5}{13}$
E. $\frac{12}{13}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align} \tan x &=2,4 \\ \frac{de}{sa} &=\frac{24}{10} \\ \frac{de}{sa} &=\frac{12}{5} \end{align}$
$\begin{align} mi &=\sqrt{de^2+sa^2} \\ &=\sqrt{{{12}^2}+{{5}^2}} \\ &=\sqrt{144+25} \\ &=\sqrt{169} \\ mi &=13 \end{align}$
$x$ dalam selang $\left( \pi ,\frac{3\pi }{2} \right)$ atau di kuadran III, maka $\cos x$ bernilai negatif:
$\cos x=-\frac{sa}{mi}=-\frac{5}{13}$
Jawaban: B

Soal No. 9

Jika $x$ di kuadran II dan $\tan x=a$ maka $\sin x$ = …
A. $\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$
B. $-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$
C. $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$
D. $-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$
E. $-\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$x$ di kuadran II maka $\tan x$ bernilai negatif. $\tan x=a$ maka $a < 0$, misal $a=-k$ dengan $k > 0$ maka:
$\begin{align} \tan x &=a \\ \frac{de}{sa} &=\frac{-k}{1} \end{align}$
$mi=\sqrt{de^2+sa^2}=\sqrt{{{k}^2}+1}$
$x$ di kuadran II maka $\sin x$ bernilai positif:
ingat $a=-k\Leftrightarrow k=-a$ maka:
$\begin{align} \sin x &=\frac{de}{mi} \\ &=\frac{k}{\sqrt{1+{{k}^2}}} \\ \sin x &=\frac{-a}{\sqrt{1+a^2}} \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 10

Jika $\sin a^\circ =\frac{4}{5}$ dan $90 < a < 180$, maka $\tan a^\circ $ = …
A. $\frac{4}{3}$
B. $-\frac{4}{3}$
C. $-\frac{3}{4}$
D. $\frac{3}{4}$
E. $\frac{3}{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\sin a^\circ =\frac{4}{5}=\frac{de}{mi}$
$\begin{align} sa &=\sqrt{mi^2-de^2} \\ &=\sqrt{{{5}^2}-{{4}^2}} \\ &=\sqrt{25-16} \\ sa &=3 \end{align}$
$90 < a < 180$, maka $\tan a^\circ $ bernilai negatif:
$\tan a^\circ =-\frac{de}{sa}=-\frac{4}{3}$
Jawaban: B

Soal No. 11

Diketahui $\sin \alpha =a$, $\alpha $ sudut tumpul, $\tan \alpha $ = ….
A. $\frac{-a}{\sqrt{a^2-1}}$
B. $\frac{-a}{\sqrt{1-a^2}}$
C. $\frac{-a}{\sqrt{1+a^2}}$
D. $\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$
E. $\frac{-a}{1-a^2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align} \sin \alpha &=a \\ \frac{de}{mi} &=\frac{a}{1} \end{align}$
$\begin{align} sa &=\sqrt{mi^2-de^2} \\ &=\sqrt{{{1}^2}-a^2} \\ sa &=\sqrt{1-a^2} \end{align}$
$\alpha $ sudut tumpul maka $\tan \alpha $ bernilai negatif:
$\tan \alpha =-\frac{de}{sa}=-\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$
Jawaban: B

Soal No. 12

Jika $\frac{1}{2}\pi < x < \pi $ dan $\tan x=a$ maka ${{\left( \sin x+\cos x \right)}^2}$ sama dengan ….
A. $\frac{a^2+2a+1}{a^2+1}$
B. $\frac{a^2-2a+1}{a^2+1}$
C. $\frac{a^2+a+1}{a^2+1}$
D. $\frac{a^2-a-1}{a^2+1}$
E. $\frac{a^2-2a-1}{a^2-1}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\frac{1}{2}\pi < x < \pi $ dan $\tan x=a$ maka $a < 0$, misal $a=-k$ maka:
$\begin{align} \tan x &=a=-k \\ \frac{de}{sa} &=-k \\ \frac{de}{sa} &=-\frac{k}{1} \end{align}$
$mi=\sqrt{de^2+sa^2}=\sqrt{{{k}^2}+1}$
$a=-k\Leftrightarrow k=-a$ dan $\frac{1}{2}\pi < x <\pi $ maka $\sin x$ bernilai positif dan $\cos x$ bernilai negatif:
$\begin{align} \sin x &=\frac{de}{mi} \\ &=\frac{k}{\sqrt{{{k}^2}+1}} \\ \sin x &=\frac{-a}{\sqrt{a^2+1}} \end{align}$
$\begin{align} \cos x &=-\frac{sa}{mi} \\ &=-\frac{1}{\sqrt{{{k}^2}+1}} \\ \cos x &=\frac{-1}{\sqrt{a^2+1}} \end{align}$
${{\left( \sin x+\cos x \right)}^2}$
= ${{\sin }^2}x+2\sin x.\cos x+{{\cos }^2}x$
= ${{\left( \frac{-a}{\sqrt{a^2+1}} \right)}^2}+2.\frac{-a}{\sqrt{a^2+1}}.\frac{-1}{\sqrt{a^2+1}}+{{\left( \frac{-1}{\sqrt{a^2+1}} \right)}^2}$
= $\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{2a}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}$
= $\frac{a^2+2a+1}{a^2+1}$
Jawaban: A

Share :