Pembahasan SIMAK UI 2014 Matematika IPA [KA1] - CATATAN MATEMATIKA

Pembahasan SIMAK UI 2014 Matematika IPA [KA1]

Pembahasan SIMAK UI 2014 Matematika IPA

SIMAK UI 2014. Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan SIMAK UI 2014 Matematika IPA dengan kode KA1. Semoga postingan ini bermanfaat bagi pengunjung setia Catatan Matematika.


Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 1
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2{{x}^{2}}+x-2=0$ maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah ${{m}^{3}}-{{n}^{2}}$ dan ${{n}^{3}}-{{m}^{2}}$ adalah …
(A) $32{{x}^{2}}+101x-124=0$
(B) $32{{x}^{2}}-101x+124=0$
(C) $-32{{x}^{2}}+101x-124=0$
(D) $-32{{x}^{2}}-101x-124=0$
(E) $-32{{x}^{2}}+101x+124=0$
Pembahasan:
$2{{x}^{2}}+x-2=0$ akar-akarnya $m$ dan $n$
$m+n=-\frac{1}{2}$ dan $mn=\frac{-2}{2}=-1$
$\begin{align} {{m}^{2}}+{{n}^{2}} &= {{(m+n)}^{2}}-2mn \\ &= {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}-2(-1) \\ {{m}^{2}}+{{n}^{2}} &= \frac{9}{2} \end{align}$
$\begin{align} {{m}^{3}}+{{n}^{3}} &= {{(m+n)}^{3}}-3mn(m+n) \\ &= {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}-3(-1)\left( -\frac{1}{2} \right) \\ {{m}^{3}}+{{n}^{3}} &= \frac{-13}{8} \end{align}$
$\begin{align} {{m}^{5}}+{{n}^{5}} &= ({{m}^{3}}+{{n}^{3}})({{m}^{2}}+{{n}^{2}})-{{(mn)}^{2}}(m+n) \\ &= \frac{-13}{8}.\frac{9}{4}-{{(-1)}^{2}}\left( \frac{-1}{2} \right) \\ {{m}^{5}}+{{n}^{5}} &= -\frac{101}{32} \end{align}$
Persamaan Kuadrat akar-akarnya ${{m}^{3}}-{{n}^{2}}$ dan ${{n}^{3}}-{{m}^{2}}$:
J (jumlah akar):
$\begin{align} J &= {{m}^{3}}-{{n}^{2}}+{{n}^{3}}-{{m}^{2}} \\ &= ({{m}^{3}}+{{n}^{3}})-({{m}^{2}}+{{n}^{2}}) \\ &= -\frac{13}{8}-\frac{9}{4} \\ J &= -\frac{31}{8} \end{align}$
K (hasil kali akar):
$\begin{align} K &= ({{m}^{3}}-{{n}^{2}})({{n}^{3}}-{{m}^{2}}) \\ &= {{(mn)}^{3}}-({{m}^{5}}+{{n}^{5}})+{{(mn)}^{2}} \\ &= {{(-1)}^{3}}-\left( -\frac{101}{32} \right)+{{(-1)}^{2}} \\ K &=\frac{101}{32} \end{align}$
Persamaan kuadrat:
$\begin{align} {{x}^{2}}-Jx+K &= 0 \\ {{x}^{2}}-\left( -\frac{31}{8} \right)x+\frac{101}{32} &= 0 \\ 32{{x}^{2}}+124x+101 &= 0 \end{align}$
Jawaban: Tidak ada opsi

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 2
Diketahui $p(x)$ dan $g(x)$ adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan $p(10)=m$ dan $g(10)=n$. Jika $p(x)h(x)=\left( \frac{p(x)}{g(x)}-1 \right)\left( p(x)+g(x) \right)$, $h(10)=-\frac{16}{15}$, maka nilai maksimum dari $|m+n|$ = …
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) 0
Pembahasan:
$p(x)h(x)=\left( \frac{p(x)}{g(x)}-1 \right)\left( p(x)+g(x) \right)$
$p(10)h(10)=\left( \frac{p(10)}{g(10)}-1 \right)\left( p(10)+g(10) \right)$
$m.\left( -\frac{16}{15} \right)=\left( \frac{m}{n}-1 \right)\left( m+n \right)$
$-16mn=15(m-n)(m+n)$
$15{{m}^{2}}-15{{n}^{2}}+16mn=0$ bagikan dengan ${{n}^{2}}$
$15{{\left( \frac{m}{n} \right)}^{2}}+16\left( \frac{m}{n} \right)-15=0$
$\left( 5\frac{m}{n}-3 \right)\left( 3\frac{m}{n}+5 \right)=0$
$\frac{m}{n}=\frac{3}{5}$ atau $\frac{m}{n}=\frac{-5}{3}$
Maka nilai:
$|m+n|=|3+5|=8$ atau $|m+n|=|-5+3|=2$
Jadi, nilai maksimum $|m+n|=8$
Jawaban: A

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 3
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\log |x+1|\ge \log 3+\log |2x-1|$ adalah …
(A) $\left\{ x\in R|\frac{2}{7}\le x\le \frac{4}{5},x\ne \frac{1}{2} \right\}$
(B) $\left\{ x\in R|\frac{1}{2}\le x\le \frac{4}{5} \right\}$
(C) $\left\{ x\in R|\frac{2}{7}\le x\le \frac{4}{5} \right\}$
(D) $\left\{ x\in R|x\le -1\,atau\,x > \frac{1}{2} \right\}$
(E) $\left\{ x\in R|x\le \frac{4}{5},x\ne \frac{1}{2} \right\}$
Pembahasan:
$\log |x+1|\ge \log 3+\log |2x-1|$
Syarat:
$|x+1|>0\Leftrightarrow x\ne -1$
$|2x-1|>0\Leftrightarrow x\ne \frac{1}{2}$
$\log |x+1|\ge \log 3+\log |2x-1|$
$\log |x+1|\ge \log 3|2x-1|$
$|x+1|\ge |6x-3|$
$(x+1+6x-3)(x+1-6x+3)\ge 0$
$(7x-2)(-5x+4)\ge 0$
$(7x-2)(5x-4)\le 0$
$\frac{2}{7}\le x\le \frac{4}{5}$; $x\ne \frac{1}{2}$
Jawaban: A

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 4
Diketahui suatu barisan aritmetika $\{{{a}_{n}}\}$ memiliki suku awal $a>0$ dan $2{{a}_{10}}=5{{a}_{15}}$. Nilai $n$ yang memenuhi agar jumlah $n$ suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah …
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
Pembahasan:
Barisan aritmetika:
$2{{a}_{10}}=5{{a}_{15}}$
$2(a+9b)=5(a+14b)$
$3a+52b=0\Leftrightarrow a=-\frac{52}{3}b$
$\begin{align} {{S}_{n}} &= \frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right) \\ &= \frac{n}{2}\left( 2\left( -\frac{52}{3}b \right)+bn-b \right) \\ &= \frac{n}{2}\left( -\frac{104b}{3}+bn-\frac{3b}{3} \right) \\ &= \frac{n}{2}\left( -\frac{107b}{3}+bn \right) \\ {{S}_{n}} &= \frac{1}{6}b(3{{n}^{2}}-107n) \end{align}$
Syarat ${{S}_{n}}$ maksimum:
$S_{n}^{'}=0$
$\begin{align} \frac{1}{6}b(6n-107) &= 0 \\  6n-107 &= 0 \\ n &= \frac{107}{6}\approx 18 \end{align}$
Jawaban: C

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 5
Misalkan diberikan vektor $\vec{b}=(y,-2z,3x)$ dan $\vec{c}=(2z,3x,-y)$. Diketahui vektor $\vec{a}$ membentuk sudut tumpul dengan sumbu $y$ dan $||\vec{a}||=2\sqrt{3}$. Jika $\vec{a}$ membentuk sudut yang sama dengan $\vec{b}$ maupun $\vec{c}$, dan tegak lurus dengan $\vec{d}=(1,-1,2)$ maka $\vec{a}$ = ….
(A) $(1,0,-1)$
(B) $(-2,-2,-2)$
(C) $(2,0,-2)$
(D) $(-2,0,2)$
(E) $(2,-2,-2)$
Pembahasan:
Misalkan: $\vec{a}=(p,q,r)$ maka
$|\vec{a}|=\sqrt{{{p}^{2}}+{{q}^{2}}+{{r}^{2}}}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$
Dengan memperhatikan opsi, maka kemungkinan $\vec{a}$ adalah (B) dan (E)
Karena $\vec{a}\bot \vec{d}\to \vec{a}.\vec{d}=0$
Cek opsi (B):
$\left( \begin{matrix} -2 \\ -2 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=-2+2-4=-4\ne 0$
Cek opsi (E):
$\left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=2+2-4=0$
maka $\vec{a}=(2,-2,-2)$
Jawaban: E

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 6
Banyaknya nilai $x$ dengan $0\le x\le 2014\pi $ yang memenuhi ${{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-4{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)=0$ adalah …
(A) 1.006
(B) 1.007
(C) 1.008
(D) 2.012
(E) 2.014
Pembahasan:
${{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-4{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)=0$
${{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-2.2{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2} \right)=0$
${{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-2(1+\cos x)=0$
${{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-2\cos x-2=0$
$({{\cos }^{2}}x-2)(\cos x+1)=0$
$\cos x=\pm \sqrt{2}$ (tidak ada $x$ yang memenuhi)
atau
$\cos x=-1$ pada interval $0\le x\le 2\pi $ maka $x=\pi $, sehingga dalam interval:
$0\le x\le 2.014\pi $
$0\le x\le 2.(1007)\pi $
Terdapat 1.007 nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Jawaban: B
Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 7
Semua nilai $x$ yang memenuhi $^{\sin x}\log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)=2$ adalah …
(A) $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi $, k bilangan bulat.
(B) $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi $, k bilangan bulat
(C) $x=\frac{\pi }{4}+k\pi $, k bilangan bulat
(D) $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi $, k bilangan bulat
(E) $x=\frac{\pi }{3}+k\pi $, k bilangan bulat
Pembahasan:
$^{\sin x}\log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)=2$
Syarat: $\sin x > 0$, $\sin x\ne 1$
$^{\sin x}\log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)=2$
$\frac{1}{2}\sin 2x={{\sin }^{2}}x$
$\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=0$
$2\sin x.\cos x-{{\sin }^{2}}x=0$
$\sin x(2\cos x-\sin x)=0$
$\sin x=0$ tidak memenuhi syarat.
$2\cos x-2\sin x=0$
$\sin x=\cos x$ bagi kedua ruas dengan $\cos x$ maka:
$\tan x=1\to \tan x=\tan \frac{\pi }{4}\to x=\frac{\pi }{4}+k\pi $
karena $\sin x>0$
maka $\sin x=\cos x$ untuk periode $2k\pi $
sehingga $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi $
Jawaban: A

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 8
Jika $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{3}A{{x}^{3}}+\frac{1}{2}B{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-8x+16}=-\frac{3}{10}$, maka nilai $20A+15B$ = …
(A) 99
(B) 72
(C) 45
(D) 32
(E) 16
Pembahasan:
$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{3}A{{x}^{3}}+\frac{1}{2}B{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-8x+16}=-\frac{3}{10}$
Substitusi $x=2$, merupakan bentuk tak tentu,
$\frac{1}{3}A{{.2}^{3}}+\frac{1}{2}B{{.2}^{2}}-3.2=0$
$\frac{8}{3}A+2B=6$; kedua ruas dikali $\frac{15}{2}$
$20A+15B=45$
Jawaban: C

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 9
Misalkan $f(1)=2$, $f'(1)=-1$, $g(1)=0$ dan $g'(1)=1$. Jika $F(x)=f(x)\cos (g(x))$, maka $F'(1)$ = …
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) $-1$
(E) $-2$
Pembahasan:
Teori: $y=u.v\Leftrightarrow y'=u'.v+v'.u$
$F(x)=f(x)\cos (g(x))$
$\begin{align} F'(x) &= f'(x).\cos (g(x))+g'(x)\sin (g(x)).f(x) \\ F'(1) &= -1.\cos (0)+1.\sin (0).2 \\ &= -1.1+1.0.2 \\ F'(1) &=-1 \end{align}$
Jawaban: D

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 10
Diberikan fungsi $f$ dan $g$ yang memenuhi sistem: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \int_{0}^{1}{f(x)dx}+{{\left( \int_{0}^{2}{g(x)dx} \right)}^{2}}=3 \\ f(x)=3{{x}^{2}}+4x+\int_{0}^{2}{g(x)dx} \\ \end{array} \right.$ dengan $\int_{0}^{2}{g(x)dx}\ne 0$. Nilai $f(1)$ = ….
(A) $-6$
(B) $-3$
(C) 0
(D) 3
(E) 6
Pembahasan:
Misal: $\int_{0}^{2}{g(x)dx}=k\ne 0$ maka:
$f(x)=3{{x}^{2}}+4x+\int_{0}^{2}{g(x)dx}$
$f(x)=3{{x}^{2}}+4x+k$
$\int_{0}^{1}{f(x)dx}+{{\left( \int_{0}^{2}{g(x)dx} \right)}^{2}}=3$
$\int_{0}^{1}{(3{{x}^{2}}+4x+k)dx}+{{k}^{2}}=3$
$\int_{0}^{1}{(3{{x}^{2}}+4x+k)dx}=3-{{k}^{2}}$
$\left. ({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+kx) \right|_{0}^{1}=3-{{k}^{2}}$
$1+2+k=3-{{k}^{2}}$
${{k}^{2}}+k=0$
$k(k+1)=0$, karena $k\ne 0$ maka $k=-1$
$f(x)=3{{x}^{2}}+4x+k$
$f(x)=3{{x}^{2}}+4x-1$
$f(1)={{3.1}^{2}}+4.1-1=6$
Jawaban: E

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 11
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik R terletak pada rusuk EH sedemikian sehingga ER = 3RH dan titik S berada di tengah rusuk FG. Bidang $\Omega $ melalui titik R, S, dan A. Jika U adalah titik potong antara bidang $\Omega $ dan rusuk BF, dan $\alpha $ adalah sudut yang terbentuk antara garis RS dan AU, maka $\tan \alpha $ = ….
(A) $\frac{\sqrt{18}}{12}$
(B) $\frac{\sqrt{21}}{12}$
(C) $\frac{\sqrt{24}}{12}$
(D) $\frac{5}{12}$
(E) $\frac{\sqrt{26}}{12}$
Pembahasan:
Pembahasan SIMAK UI 2014 Matematika IPA
Perhatikan segitiga RVS siku-siku di V, maka:$RS=\sqrt{V{{S}^{2}}+V{{R}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{17}$
$\Delta RVS$ sebangun dengan $\Delta SFT$, maka:
$\frac{ST}{RS}=\frac{SF}{RV}=\frac{FT}{EF}$
$\frac{ST}{\sqrt{17}}=\frac{2}{1}=\frac{FT}{4}$
$ST=2\sqrt{17}$ dan FT = 8
Perhatikan segitiga $\Delta AER$, maka:
$AR=\sqrt{A{{E}^{2}}+E{{R}^{2}}}$
$AR=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5$
Perhatikan $\Delta AET$ maka:
$\begin{align} A{{T}^{2}} &= A{{E}^{2}}+E{{T}^{2}} \\ &= {{4}^{2}}+{{(4+8)}^{2}} \\ A{{T}^{2}} &= 160 \\ AT &= 4\sqrt{10} \end{align}$
Perhatikan segitiga ATR dengan:
RT = RS + ST = $3\sqrt{17}$
Dengan aturan cosinus:
$\begin{align} \cos \alpha &= \frac{R{{T}^{2}}+A{{T}^{2}}-A{{R}^{2}}}{2.RT.AT} \\ &= \frac{{{(3\sqrt{17})}^{2}}+{{(4\sqrt{10})}^{2}}-{{5}^{2}}}{2.3\sqrt{17}.4\sqrt{10}} \\ &= \frac{153+160-25}{24\sqrt{170}} \\ \cos \alpha &= \frac{12}{\sqrt{170}}\Leftrightarrow \frac{sa}{mi} \end{align}$
$\begin{align} \tan \alpha &= \frac{de}{sa} \\ &= \frac{\sqrt{m{{i}^{2}}-s{{a}^{2}}}}{sa} \\ &= \frac{\sqrt{170-144}}{12} \\ \tan \alpha &= \frac{\sqrt{26}}{12} \end{align}$
Jawaban: E

Matematika IPA SIMAK UI 2014 No. 12
Misalkan $x$, $y$, dan $z$ memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \\ 2{{x}^{2}}-{{z}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.$. Jika $x$, $y$, $z$ adalah suku-suku berurutan pada suatu deret aritmetika, maka nilai $y$ = …
(1) $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4}$
(2) $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{6}}{4}$
(3) $\frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4}$
(4) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}$
Pembahasan:
Deret Aritmetika: $x$, $y$, $z$ maka:
$2y=x+z$ kuadratkan kedua ruas
$4{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2xz$
$4{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{z}^{2}}-2xz=0$ …. (1)
$2y=x+z$ substitusi ke:
$(-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5$
$(-(x+z)-2y)(x+z-y)+2xz=-5$
$(-2y-2y)(2y-y)+2xz=-5$
$-4{{y}^{2}}+2xz=-5$ …. (2)
Jumlahkan persamaan (1) dan (2):
$4{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{z}^{2}}-2xz=0$
$-4{{y}^{2}}+2xz=-5$
----------------------------- (+)
$-{{x}^{2}}-{{z}^{2}}=-5$
$2{{x}^{2}}-{{z}^{2}}=4$
---------------- (-)
$-3{{x}^{2}}=-9\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}\,;\,z=\pm \sqrt{2}$
$2y=x+z$
$y=\pm \frac{1}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
$y=\pm \frac{1}{4}(2\sqrt{2}+2\sqrt{3})$
$y=\pm \frac{1}{4}(\sqrt{8}+\sqrt{12})$
$y=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{12}}{4}$ atau $y=\frac{-\sqrt{8}-\sqrt{12}}{4}$
Jadi, pernyataan (1) dan (3) BENAR
Jawaban: B

Baca Juga:
Dapatkan UPDATE TERBARU dengan cara subscribe dan follow channel berikut ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika
Sahabat-sahabat yang baik hatinya. Bantu share/ bagikan postingan ini di media sosial kalian ya..., agar blog ini semakin berkembang. Terimakasih!

0 Response to "Pembahasan SIMAK UI 2014 Matematika IPA [KA1]"

Post a Comment

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.

close