Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis

Jarak Titik ke Garis
Jarak titik A ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A ke garis g.
Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik A tegak lurus terhadap garis g seperti gambar berikut:

Soal dan Pembahasan

No. 1 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.
Pembahasan:
Lukis garis dari titik B yang tegak lurus dengan DT (perhatikan gambar).
Dari gambar diperoleh bahwa jarak titik B ke garis DT adalah panjang ruas garis BE. Untuk itu perhatikan segitiga BDT.

Kemudian lukis garis tinggi dari titik T ke garis BD (seperti gambar di atas). TB = TD = 6 cm, maka garis tinggi TO membagi dua sama panjang garis BD (OB = OD).
$\begin{align} BD &=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}} \\ BD &=3\sqrt{2} \end{align}$
$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga TOB:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{6}^{2}}-{{\left( \frac{3}{2}\sqrt{2} \right)}^{2}}} \\ & =\sqrt{36-\frac{9}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{63}{2}} \\ OT &=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga TDB maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TD.BE &=\frac{1}{2}.BD.OT \\ TD.BE &= BD.OT \\ 6.BE &= 3\sqrt{2}.\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ BE &= \frac{9\sqrt{7}}{6} \\ BE &= \frac{3\sqrt{7}}{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis DT adalah $\frac{3\sqrt{7}}{2}$.

No. 2 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!

Jarak titik B ke garis TE adalah panjang ruas garis BP.
Perhatikan segitiga TBE

Karena ABCDEF adalah segi-6 beraturan, maka BE = 20 cm.
$OB=\frac{1}{2}BE=10$
TB = TE = AT = 13
Perhatikan segitiga BOT:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{13}^{2}}-{{10}^{2}}} \\ OT &=\sqrt{69} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga TBE, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TE.BP &=\frac{1}{2}.OT.BE \\ 13.BP &= \sqrt{69}\times 20 \\ BP &= \frac{20}{13}\sqrt{69} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis TE adalah $\frac{20}{13}\sqrt{69}$.

No. 3 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10 cm. Tentukan:
a. jarak titik F ke garis AC.
b. jarak titik H ke garis DF.
Pembahasan:
a. jarak titik F ke garis AC

Perhatikan gambar di atas, jarak titik T ke garis AC adalah panjang garis OF.
Perhatikan segitiga AOF:
$AF=10\sqrt{2}$
$\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ & =\frac{1}{2}.10\sqrt{2} \\ OA &= 5\sqrt{2} \end{align}$
$\begin{align} OF &= \sqrt{A{{F}^{2}}-O{{A}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{(10\sqrt{2})}^{2}}-{{(5\sqrt{2})}^{2}}} \\ &=\sqrt{200-50} \\ &=\sqrt{150} \\ &=\sqrt{25\times 6} \\ OF &=5\sqrt{6} \end{align}$

b. jarak titik H ke garis DF
perhatikan gambar berikut!

Jarak titik H ke garis DF adalah panjang garis PH.
Perhatikan segitiga DHF:

Menggunakan luas DHF, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.DF.PH &=\frac{1}{2}.HF.DH \\ 10\sqrt{3}.PH &=10\sqrt{2}.10 \\ PH &=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ PH &=\frac{10}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik H ke garis DF adalah $\frac{10}{3}\sqrt{6}$.

No. 4 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG.
Pembahasan:

Jarak titik M ke garis EG adalah panjang garis MN.
Perhatikan segitiga EBM siku-siku di B:
$\begin{align} EM &=\sqrt{B{{E}^{2}}+B{{M}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+{{4}^{2}}} \\ & =\sqrt{128+16} \\ EM &=12 \end{align}$
Perhatikan segitiga MCG siku-siku di C:
$\begin{align} MG &=\sqrt{C{{M}^{2}}+C{{G}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}} \\ &=\sqrt{80} \\ MG &= 4\sqrt{5} \end{align}$
Lihat segitiga EGM, berlaku aturan cosinus:
$\begin{align} \cos \angle EGM &= \frac{E{{G}^{2}}+M{{G}^{2}}-E{{M}^{2}}}{2.EG.MG} \\ &=\frac{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+(4\sqrt{5})-{{12}^{2}}}{2.8\sqrt{2}.4\sqrt{5}} \\ &=\frac{128+80-144}{64\sqrt{10}} \\ \cos \angle EGM &=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{\sqrt{{{(\sqrt{10})}^{2}}-1}}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{3}{\sqrt{10}} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga EGM, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.EG.MN &= \frac{1}{2}.EG.MG.\sin \angle EGM \\ MN &= MG.\sin \angle EGM \\ &= 4\sqrt{5}.\frac{3}{\sqrt{10}} \\ &=\frac{12}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ MN &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik M ke garis EG adalah $6\sqrt{2}$.

No. 5 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)

Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.

Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!
Pembahasan:

Berdasarkan gambar! Jarak titik T ke garis PQ adalah panjang garis TR.
OT adalah garis tinggi limas T.ABCD maka:
$\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ &=\frac{1}{2}.12\sqrt{2} \\ OA &=6\sqrt{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga TOA:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{12}^{2}}-{{(6\sqrt{2})}^{2}}} \\ &=\sqrt{72} \\ OT &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Dengan menggunakan konsep perbandingan sisi-sisi segitiga sebangun yaitu segitiga AOD dan ARQ maka $OR=\frac{1}{2}OA=3\sqrt{2}$.
Perhatikan segitiga ROT siku-siku di O, maka:
$\begin{align} TR &=\sqrt{O{{R}^{2}}+O{{T}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{(3\sqrt{2})}^{2}}+{{(6\sqrt{2})}^{2}}} \\ &= \sqrt{18+72} \\ TR &=3\sqrt{10} \end{align}$

---

Baca Juga:

Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Titik. Cinta dan Logika Matematika. Barisan dan Deret Bilangan Bertingkat. Induksi Matematika.

Update Postingan Terbaru dengan cara subscribe atau follow channel kami dengan klik ketiga tombol di bawah ini:

Share :