Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis - CATATAN MATEMATIKA

Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis

Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis

Jarak Titik ke Garis
Jarak titik A ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A ke garis g.
Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik A tegak lurus terhadap garis g seperti gambar berikut:
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis

Soal dan Pembahasan
No. 1 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.
Pembahasan:
Lukis garis dari titik B yang tegak lurus dengan DT (perhatikan gambar).
Dari gambar diperoleh bahwa jarak titik B ke garis DT adalah panjang ruas garis BE. Untuk itu perhatikan segitiga BDT.
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Kemudian lukis garis tinggi dari titik T ke garis BD (seperti gambar di atas). TB = TD = 6 cm, maka garis tinggi TO membagi dua sama panjang garis BD (OB = OD).
$\begin{align} BD &=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}} \\ BD &=3\sqrt{2} \end{align}$
$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga TOB:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{6}^{2}}-{{\left( \frac{3}{2}\sqrt{2} \right)}^{2}}} \\ & =\sqrt{36-\frac{9}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{63}{2}} \\ OT &=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga TDB maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TD.BE &=\frac{1}{2}.BD.OT \\ TD.BE &= BD.OT \\ 6.BE &= 3\sqrt{2}.\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ BE &= \frac{9\sqrt{7}}{6} \\ BE &= \frac{3\sqrt{7}}{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis DT adalah $\frac{3\sqrt{7}}{2}$.

No. 2 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Jarak titik B ke garis TE adalah panjang ruas garis BP.
Perhatikan segitiga TBE
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Karena ABCDEF adalah segi-6 beraturan, maka BE = 20 cm.
$OB=\frac{1}{2}BE=10$
TB = TE = AT = 13
Perhatikan segitiga BOT:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{13}^{2}}-{{10}^{2}}} \\ OT &=\sqrt{69} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga TBE, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TE.BP &=\frac{1}{2}.OT.BE \\ 13.BP &= \sqrt{69}\times 20 \\ BP &= \frac{20}{13}\sqrt{69} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis TE adalah $\frac{20}{13}\sqrt{69}$.

No. 3 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10 cm. Tentukan:
a. jarak titik F ke garis AC.
b. jarak titik H ke garis DF.
Pembahasan:
a. jarak titik F ke garis AC
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Perhatikan gambar di atas, jarak titik T ke garis AC adalah panjang garis OF.
Perhatikan segitiga AOF:
$AF=10\sqrt{2}$
$\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ & =\frac{1}{2}.10\sqrt{2} \\ OA &= 5\sqrt{2} \end{align}$
$\begin{align} OF &= \sqrt{A{{F}^{2}}-O{{A}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{(10\sqrt{2})}^{2}}-{{(5\sqrt{2})}^{2}}} \\ &=\sqrt{200-50} \\ &=\sqrt{150} \\ &=\sqrt{25\times 6} \\ OF &=5\sqrt{6} \end{align}$

b. jarak titik H ke garis DF
perhatikan gambar berikut!
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Jarak titik H ke garis DF adalah panjang garis PH.
Perhatikan segitiga DHF:
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Menggunakan luas DHF, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.DF.PH &=\frac{1}{2}.HF.DH \\ 10\sqrt{3}.PH &=10\sqrt{2}.10 \\ PH &=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ PH &=\frac{10}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik H ke garis DF adalah $\frac{10}{3}\sqrt{6}$.

No. 4 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG.
Pembahasan:
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Jarak titik M ke garis EG adalah panjang garis MN.
Perhatikan segitiga EBM siku-siku di B:
$\begin{align} EM &=\sqrt{B{{E}^{2}}+B{{M}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+{{4}^{2}}} \\ & =\sqrt{128+16} \\ EM &=12 \end{align}$
Perhatikan segitiga MCG siku-siku di C:
$\begin{align} MG &=\sqrt{C{{M}^{2}}+C{{G}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}} \\ &=\sqrt{80} \\ MG &= 4\sqrt{5} \end{align}$
Lihat segitiga EGM, berlaku aturan cosinus:
$\begin{align} \cos \angle EGM &= \frac{E{{G}^{2}}+M{{G}^{2}}-E{{M}^{2}}}{2.EG.MG} \\ &=\frac{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+(4\sqrt{5})-{{12}^{2}}}{2.8\sqrt{2}.4\sqrt{5}} \\ &=\frac{128+80-144}{64\sqrt{10}} \\ \cos \angle EGM &=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{\sqrt{{{(\sqrt{10})}^{2}}-1}}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{3}{\sqrt{10}} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga EGM, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.EG.MN &= \frac{1}{2}.EG.MG.\sin \angle EGM \\ MN &= MG.\sin \angle EGM \\ &= 4\sqrt{5}.\frac{3}{\sqrt{10}} \\ &=\frac{12}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ MN &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik M ke garis EG adalah $6\sqrt{2}$.

No. 5 (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!
Pembahasan:
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Berdasarkan gambar! Jarak titik T ke garis PQ adalah panjang garis TR.
OT adalah garis tinggi limas T.ABCD maka:
$\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ &=\frac{1}{2}.12\sqrt{2} \\ OA &=6\sqrt{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga TOA:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{12}^{2}}-{{(6\sqrt{2})}^{2}}} \\ &=\sqrt{72} \\ OT &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Dengan menggunakan konsep perbandingan sisi-sisi segitiga sebangun yaitu segitiga AOD dan ARQ maka $OR=\frac{1}{2}OA=3\sqrt{2}$.
Perhatikan segitiga ROT siku-siku di O, maka:
$\begin{align} TR &=\sqrt{O{{R}^{2}}+O{{T}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{(3\sqrt{2})}^{2}}+{{(6\sqrt{2})}^{2}}} \\ &= \sqrt{18+72} \\ TR &=3\sqrt{10} \end{align}$

Baca Juga:
Dapatkan UPDATE TERBARU dengan cara subscribe dan follow channel berikut ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika
Share postingan ini di media sosial kalian ya...! Terimakasih!

6 Responses to "Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis"

  1. Apakah ada link download buku nya Pak?

    ReplyDelete
  2. Buku Matematika Kelas Xll yang Covernya Notasi Tak Hingga itu Pak.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Klu buku tuh ada link downloadnya di website ini. Lihat di label BUKU

      Delete
  3. Yang nomor 2 maksudnya bagaimana kenapa BE bisa 20cm?

    ReplyDelete
    Replies
    1. ABCDEF adalah segi-6 beraturan dgn panjang sisi 10 cm. OB = 10 cm, OE = 10 cm maka BE = OB + OE = 20 cm.

      Delete

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.

close