Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Bidang - CATATAN MATEMATIKA

Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Bidang

Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Bidang
Jarak Titik ke Bidang
Jarak antara titik A dan bidang $\alpha $ adalah panjang ruas garis AB, dengan titik B merupakan proyeksi titik A pada bidang $\alpha $. Perhatikan gambar berikut:
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang

Soal dan Pembahasan:
No. 1 (Latihan 1.3 Matematika Wajib kelas 12)
Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya $a$ cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ.
Pembahasan:
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik H ke bidang ACQ = jarak titik H ke garis OQ.
Perhatikan segitiga ODH siku-siku di D:
$\begin{align} OH &=\sqrt{O{{D}^{2}}+D{{H}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{\left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}} \\ &= \sqrt{\frac{2}{4}{{a}^{2}}+{{a}^{2}}} \\ &= \sqrt{\frac{6}{4}{{a}^{2}}} \\ OH &= \frac{1}{2}a\sqrt{6} \end{align}$
Perhatikan segitiga OBQ siku-siku di B:
$\begin{align} OQ &=\sqrt{O{{B}^{2}}+B{{Q}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{\left( \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2}a \right)}^{2}}} \\ & =\sqrt{\frac{2}{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{4}{{a}^{2}}} \\ & =\sqrt{\frac{3}{4}{{a}^{2}}} \\ OQ &=\frac{1}{2}a\sqrt{3} \end{align}$
Perhatikan segitiga HFQ siku-siku di F:
$\begin{align} HQ &=\sqrt{H{{F}^{2}}+F{{Q}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2}a \right)}^{2}}} \\ & =\sqrt{2{{a}^{2}}+\frac{1}{4}{{a}^{2}}} \\ & =\sqrt{\frac{9}{4}{{a}^{2}}} \\ HQ &=\frac{1}{2}a\sqrt{9} \end{align}$
Perhatikan segitiga HOQ, ternyata ukuran ketiga sisinya membentuk tripel pythagoras.
$\begin{align} H{{Q}^{2}} &= O{{H}^{2}}+O{{Q}^{2}} \\ {{\left( \frac{1}{2}a\sqrt{9} \right)}^{2}} &= {{\left( \frac{1}{2}a\sqrt{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2}a\sqrt{3} \right)}^{2}} \\ \frac{9}{4}{{a}^{2}} &= \frac{6}{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{4}{{a}^{2}} \\ \frac{9}{4}{{a}^{2}} &= \frac{9}{4}{{a}^{2}} \end{align}$
Maka diperoleh: $OH\bot OQ$
Jadi, Jarak titik H ke bidagn ACQ = jarak titik H ke garis OQ = panjang ruas garis OH yaitu $\frac{1}{2}a\sqrt{6}$.

No. 2 (Latihan 1.3 Matematika Wajib kelas 12)
Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut.
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Ternyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm dan BC = 12 cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE.
Pembahasan:
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Berdasarkan gambar. Jarak titik A ke BCFE = jarak titik A ke garis EB = panjang ruas garis AP.
Perhatikan segitiga BEF siku-siku di E:
EF = BC = 12 cm
$\begin{align} BE &= \sqrt{B{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{13}^{2}}-{{12}^{2}}} \\ BE &= 5 \end{align}$
Perhatikan segitiga ABE adalah segitiga sama sisi.
AB = BE = AE = 5 cm.
Garis tinggi AP membagi dua sama panjang sisi BE, maka:
$BP=\frac{1}{2}.BE=\frac{5}{2}$
$\begin{align} AP &= \sqrt{A{{B}^{2}}-B{{P}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}} \\ &= \sqrt{25-\frac{25}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{75}{4}} \\ AP &= \frac{5}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, jarak titik A ke bidang BCFE adalah $\frac{5}{2}\sqrt{3}$.

No. 3 (Latihan 1.3 Matematika Wajib kelas 12)
Dari gambar di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm dan EC = $5\sqrt{5}$. Tentukan jarak antara titik B dan bidang ACE.
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Pembahasan:
Jarak titik B ke bidang ACE = jarak titik B ke bidang ACGE = jarak titik B ke garis AC = panjang ruas garis BQ.
Perhatikan segitiga ABC:
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
$\begin{align} AC &= \sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}} \\ AB &= 10 \end{align}$
Dengan menggunakan luas ABC, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.AC.BQ &=\frac{1}{2}.AB.BC \\ AC.BQ &= AB.BC \\ 10.BQ &= 8.6 \\ BQ &= \frac{48}{10} \\ BQ &= \frac{24}{5} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke bidang ACE adalah $\frac{24}{5}$

No. 4 (Latihan 1.3 Matematika Wajib kelas 12)
Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang AB = 6 cm dan TA = 8 cm. Tentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC.
Pembahasan:
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik T ke bidang ABC adalah panjang garis tinggi limas yaitu TO.
Perhatikan alas limas T.ABC berbentuk segitiga sama sisi.
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Perhatikan segitiga ODC siku-siku di D:
$\angle OAD={{30}^{o}}$
$\begin{align} \cos \angle OCD &=\frac{CD}{OC} \\ \cos {{30}^{o}} &= \frac{3}{OC} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} &= \frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{OC} \\ OC &= 2\sqrt{3}
\end{align}$
Perhatikan segitiga TOC siku-siku di O:
$\begin{align} TO &= \sqrt{T{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{8}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}} \\ &= \sqrt{64-12} \\ &= \sqrt{52} \\ TO &= 2\sqrt{13} \end{align}$
Jadi, jarak titik T ke bidang ABC adalah $2\sqrt{13}$.

No. 5 (Latihan 1.3 Matematika Wajib kelas 12)
Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 294 $c{{m}^{2}}$. Tentukan:
a. Jarak antara titik F ke bidang ADHE
b. Jarak antara titik B ke bidang ACH.
Pembahasan:
L = 294
$\begin{align} L &= 294 \\ 6{{s}^{2}} &= 294 \\ {{s}^{2}} &= 49 \\ s &=7 \end{align}$
Jadi, rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 7 cm.
a. Jarak titik F ke bidang ADHE
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Dari gambar jarak titik F ke bidang ADHE = jarak titik F ke titik E = panjang ruas garis EF = 7 cm.

b. Jarak titik B ke bidang ACH.
Bidang ACH dapat diperluas dengan cara:
Perpanjang garis HA, sehingga diperoleh garis HP
Perpanjang garis HC, sehingga diperoleh garis HR
Perpanjang garis FB, sehingga diperoleh garis FQ
Maka kita peroleh perluasan bidang ACH menjadi bidang HPR
Untuk jelasnya, perhatikan gambar berikut
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik B ke bidang ACH = jarak titik B ke bidang HPR = jarak titik B ke garis HQ = panjang ruas garis BS.
Untuk menghitung panjang ruas garis BS perhatikan segitiga HFQ siku-siku di F:
Dimensi Tiga Jarak Titik ke Bidang
$\begin{align} HQ &= \sqrt{F{{Q}^{2}}+F{{H}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{14}^{2}}+{{\left( 7\sqrt{2} \right)}^{2}}} \\ &= \sqrt{196+98} \\ &= \sqrt{294} \\ HQ &=7\sqrt{6} \end{align}$
Segitiga HFQ sebangun dengan segitiga BSQ, maka diperoleh perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sebagai berikut:
$\begin{align} \frac{BS}{FH} &= \frac{BQ}{HQ} \\ \frac{BS}{7\sqrt{2}} &= \frac{7}{7\sqrt{6}} \\ BS &= \frac{7}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ BS &= \frac{7}{3}\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke bidang ACH adalah $\frac{7}{3}\sqrt{3}$.

Artikel Terkait:
Dapatkan UPDATE TERBARU dengan cara subscribe dan follow channel berikut ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika
Share postingan ini di media sosial kalian ya...! Terimakasih!

3 Responses to "Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Bidang"

  1. Terima Kasih Pak..
    Mantap sekali..

    ReplyDelete
  2. Mantap bg rp..
    Sangat terbantu saya..
    Jarak antara garis saling bersilangan juga dong bg? 😊

    ReplyDelete
    Replies
    1. Siap. Silahkan dipantau terus ya....! Btw di share juga ya.... supaya semakin bermanfaat buat yg lain juga. 😊

      Delete

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.

close