Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Dimensi Tiga 2. Jarak Titik ke Garis pada Bangun Ruang

A. Definisi Jarak Titik ke Garis

Jarak titik A ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A ke garis g. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik A tegak lurus terhadap garis g.
Perhatikan gambar berikut:
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis

B. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.
Pembahasan:
Lukis garis dari titik B yang tegak lurus dengan DT (perhatikan gambar).
Dari gambar diperoleh bahwa jarak titik B ke garis DT adalah panjang ruas garis BE. Untuk itu perhatikan segitiga BDT.
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Kemudian lukis garis tinggi dari titik T ke garis BD (seperti gambar di atas). TB = TD = 6 cm, maka garis tinggi TO membagi dua sama panjang garis BD (OB = OD).
$\begin{align} BD &=\sqrt{AB^2+AD^2} \\ &=\sqrt{3^2+3^2} \\ BD &=3\sqrt{2} \end{align}$
$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga TOB:
$\begin{align} OT &=\sqrt{TB^2-OB^2} \\ & =\sqrt{6^2-\left( \frac{3}{2}\sqrt{2} \right)^2} \\ & =\sqrt{36-\frac{9}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{63}{2}} \\ OT &=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga TDB maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TD.BE &=\frac{1}{2}.BD.OT \\ TD.BE &= BD.OT \\ 6.BE &= 3\sqrt{2}.\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ BE &= \frac{9\sqrt{7}}{6} \\ BE &= \frac{3\sqrt{7}}{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis DT adalah $\frac{3\sqrt{7}}{2}$.

Contoh 2. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak Titik ke garis pada limas
Jarak titik B ke garis TE adalah panjang ruas garis BP.
Perhatikan segitiga TBE
Jarak Titik B ke rusuk TE
Karena ABCDEF adalah segi-6 beraturan, maka BE = 20 cm.
$OB=\frac{1}{2}BE=10$
TB = TE = AT = 13
Perhatikan segitiga BOT:
$\begin{align} OT &=\sqrt{TB^2-OB^2} \\ &=\sqrt{{13}^2-{10}^2} \\ OT &=\sqrt{69} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga TBE, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TE.BP &=\frac{1}{2}.OT.BE \\ 13.BP &= \sqrt{69}\times 20 \\ BP &= \frac{20}{13}\sqrt{69} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis TE adalah $\frac{20}{13}\sqrt{69}$.

Contoh 3. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10 cm. Tentukan:
a. jarak titik F ke garis AC.
b. jarak titik H ke garis DF.
Pembahasan:
a. jarak titik F ke garis AC
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Perhatikan gambar di atas, jarak titik T ke garis AC adalah panjang garis OF.
Perhatikan segitiga AOF:
$AF=10\sqrt{2}$
$\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ & =\frac{1}{2}.10\sqrt{2} \\ OA &= 5\sqrt{2} \end{align}$
$\begin{align} OF &= \sqrt{AF^2-OA^2} \\ &=\sqrt{(10\sqrt{2})^2-(5\sqrt{2})^2} \\ &=\sqrt{200-50} \\ &=\sqrt{150} \\ &=\sqrt{25\times 6} \\ OF &=5\sqrt{6} \end{align}$

b. jarak titik H ke garis DF
perhatikan gambar berikut!
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Jarak titik H ke garis DF adalah panjang garis PH.
Perhatikan segitiga DHF:
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Menggunakan luas DHF, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.DF.PH &=\frac{1}{2}.HF.DH \\ 10\sqrt{3}.PH &=10\sqrt{2}.10 \\ PH &=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ PH &=\frac{10}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik H ke garis DF adalah $\frac{10}{3}\sqrt{6}$.

Contoh 4. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG.
Pembahasan:
Jarak Titik M ke Garis EG
Jarak titik M ke garis EG adalah panjang garis MN.
Perhatikan segitiga EBM siku-siku di B:
$\begin{align} EM &=\sqrt{BE^2+BM^2} \\ & =\sqrt{(8\sqrt{2})^2+4^2} \\ & =\sqrt{128+16} \\ EM &=12 \end{align}$
Perhatikan segitiga MCG siku-siku di C:
$\begin{align} MG &=\sqrt{CM^2+CG^2} \\ &=\sqrt{4^2+8^2} \\ &=\sqrt{80} \\ MG &= 4\sqrt{5} \end{align}$
Lihat segitiga EGM, berlaku aturan cosinus:
$\begin{align} \cos \angle EGM &= \frac{EG^2+MG^2-EM^2}{2.EG.MG} \\ &=\frac{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+(4\sqrt{5})-{{12}^{2}}}{2.8\sqrt{2}.4\sqrt{5}} \\ &=\frac{128+80-144}{64\sqrt{10}} \\ \cos \angle EGM &=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{\sqrt{(\sqrt{10})^2-1}}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{3}{\sqrt{10}} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga EGM, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.EG.MN &= \frac{1}{2}.EG.MG.\sin \angle EGM \\ MN &= MG.\sin \angle EGM \\ &= 4\sqrt{5}.\frac{3}{\sqrt{10}} \\ &=\frac{12}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ MN &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik M ke garis EG adalah $6\sqrt{2}$.

Contoh 5. (Latihan 1.2 Matematika Wajib Kelas 12)
Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.
Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Garis
Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!
Pembahasan:
Jarak Titik T ke Garis PQ
Berdasarkan gambar! Jarak titik T ke garis PQ adalah panjang garis TR.
Perhatikan segitiga TAB:
Panjang TP pada Segitiga TAB
$\begin{align}TP &= \sqrt{AT^2-AP^2} \\ &= \sqrt{12^2-6^2} \\ &= \sqrt{108} \\ TP &= 6\sqrt{3} \end{align}$
Perhatikan segitiga QAP siku-siku di titik A.
Panjang PQ pada segitiga QAP
$\begin{align}PQ &= \sqrt{AQ^2+AP^2} \\ &= \sqrt{6^2+6^2} \\ PQ &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga TQP segitiga sama kaki TQ = TP.
Jarak Titik T ke garis PQ
$\begin{align}TR &= \sqrt{TP^2-PR^2} \\ &= \sqrt{(6\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{108-18} \\ &= \sqrt{90} \\ TR &= 3\sqrt{10} \end{align}$
Jadi, jarak titik T ke garis PQ adalah $3\sqrt{10}$ cm.

C. Soal Latihan

  1. Diketahui kubus ABCD.EFGH, rusuk-rusuknya 20 cm. Jarak titik E ke garis BD adalah … cm.
  2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik A ke garis DF adalah … cm.
  3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik M adalah titik tengah rusuk BC. Jarak titik M ke garis EG adalah … cm.
  4. Limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak $12\sqrt{2}$ cm. Jarak titik A ke garis TC adalah ... cm.
  5. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 24 cm, BC = 8 cm dan CG = 6 cm. Tentukan jarak titik B ke garis AG.
Semoga postingan: Dimensi Tiga 2. Jarak Titik ke Garis pada Bangun Ruang ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

10 comments for "Dimensi Tiga 2. Jarak Titik ke Garis pada Bangun Ruang"

  1. Apakah ada link download buku nya Pak?

    ReplyDelete
  2. Buku Matematika Kelas Xll yang Covernya Notasi Tak Hingga itu Pak.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Klu buku tuh ada link downloadnya di website ini. Lihat di label BUKU

      Delete
  3. Yang nomor 2 maksudnya bagaimana kenapa BE bisa 20cm?

    ReplyDelete
    Replies
    1. ABCDEF adalah segi-6 beraturan dgn panjang sisi 10 cm. OB = 10 cm, OE = 10 cm maka BE = OB + OE = 20 cm.

      Delete
  4. pak itu cos egm nya kok bisa jadi sin ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Coba ingat kembali materi Perbandingan Trigonometri, jika diketahui cos A = p/q maka sin A = ...?
      untuk mengingat kembali silahkan pelajari kembali materinya di https://www.catatanmatematika.com/2020/03/bank-soal-perbandingan-trigonometri-dan-pembahasan.html

      Delete
  5. pak no 5 jawaban akhirnya kok bisa jadi 3 akar 10 bukannya seharunya 10 ya pak?

    ReplyDelete
    Replies
    1. coba perhatikan lagi: $\sqrt{18+72} = \sqrt{90} = \sqrt{9\times10} = 3\sqrt{10}$

      Delete

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.