Matematika IPA UM-UGM 2016 Kode 582 [Soal dan Pembahasan] - CATATAN MATEMATIKA

Matematika IPA UM-UGM 2016 Kode 582 [Soal dan Pembahasan]

Hai, teman-teman pecinta matematika. Catatan Matematika kembali berbagi soal dan pembahasan nih! Lho apa tidak bosan berbagi? Apa tidak lelah berbagi? Tentu tidak sebab berbagi itu indah. Dan saya berharap teman-teman pembaca juga jangan pernah lelah untuk belajar dan berdiskusi secara online di Catatan Matematika. Oh iya.... kalian juga bisa ikut berbagi kok! Caranya? gampang... silahkan share ke postingan ini ke teman-teman, saudara, siswa/i bapak ibu guru. Oke langsung aja disimak Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2016 Kode 582 berikut ini.

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 1
Semua nilai $x$ yang memenuhi $|x+1| > x+3$ dan $|x+2| < 3$ adalah …
A. $x < -2$
B. $-5 < x < -2$
C. $x > -5$
D. $-5 < x < 1$
E. $x > 1$
Pembahasan:
$|x+1| > x+3$
${{(x+1)}^{2}} > {{(x+3)}^{2}}$
${{x}^{2}}+2x+1 > {{x}^{2}}+6x+9$
$-4x > -8$
$-4x > -8$
$x < 2$…. (1)
$|x+2| < 3$
${{(x+2)}^{2}} < {{3}^{2}}$
${{x}^{2}}+4x+4 < 9$
${{x}^{2}}+4x-5 < 0$
$(x+5)(x-1) < 0$
$-5 < x < 1$ …. (2)
Dari irisan dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian: $-5 < x < 1$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 2
Diketahui sukubanyak $p(x)$ jika dibagi dengan $({{x}^{2}}-2x)$ sisanya $(2-3x)$ dan jika dibagi $({{x}^{2}}+x-2)$ sisanya $(x+2)$. Jika $p(x)$ dibagi dengan $({{x}^{2}}-3x+2)$ maka sisanya adalah ….
A. $x-10$
B. $-x+10$
C. $-7x-10$
D. $7x-10$
E. $-7x+10$
Pembahasan:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
$p(x)=({{x}^{2}}-2x).hasil+2-3x$
$p(x)=x(x-2).hasil+2-3x$
$p(2)=2(2-2).hasil+2-3.2$
$p(2)=-4$
$p(x)=({{x}^{2}}+x-2).hasil+x+2$
$p(x)=(x+2)(x-1).hasil+x+2$
$p(1)=(1+2)(1-1).hasil+1+2$
$p(1)=3$
$p(x)=({{x}^{2}}-3x+2).hasil+ax+b$
$p(x)=(x-2)(x-1).hasil+ax+b$
$p(2)=2a+b=-4$
$p(1)=a+b=3$
------------------------ (-)
$a=-7$
$a+b=3\Leftrightarrow -7+b=3\Leftrightarrow b=10$
Sisa = $ax+b=-7x+10$
Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 3
Jika ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ memenuhi persamaan $(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$ maka ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$ = …
A. $5\sqrt{10}$   B. $4\sqrt{10}$   C. $3\sqrt{10}$   D. $2\sqrt{10}$   E. $\sqrt{10}$
Pembahasan:
$(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$
$(2\log x-1).{}^{10}\log x=\log 10$
$(2\log x-1).\log x=1$
$2{{\log }^{2}}x-\log x-1=0$
$(2\log x+1)(\log x-1)=0$
$\log x=-\frac{1}{2}$ atau $\log x=1$
${{x}_{1}}={{10}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ atau ${{x}_{2}}=10$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.10=\sqrt{10}$
Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 4
Diketahui ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ merupakan akar-akar $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ dengan ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$. Jika ${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$, maka $4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ = ….
A. $\frac{19}{4}$   B. 4   C. $\frac{15}{4}$   D. $\frac{13}{4}$   E. 3 
Pembahasan:
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log {{2}^{-2}}-{}^{2}\log {{x}_{2}}$
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log \left( \frac{1}{4}.{{x}_{2}} \right)$
$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}$
$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}$
Dari $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ diperoleh:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{7}{4}$ 
${{x}_{1}}+\frac{4}{3}{{x}_{1}}=\frac{7}{4}$
$12{{x}_{1}}+16{{x}_{1}}=21$
${{x}_{1}}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$
${{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}.\frac{3}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$
$4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4.\frac{3}{4}+1=4$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 5
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=2\cos x$, $y=1$, sumbu $X$ dan sumbu $Y$ adalah …
A. $\frac{\pi }{6}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
B. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
C. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
D. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
E. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
Pembahasan:
Perhatikan sketsa gambar di bawah ini!
Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2016
L = Luas daerah berwarna pink + Luas berwarna hijau
$L=\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x)dx}$ 
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 6
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah …
A. 720  B. 360   C. 144   D. 72   E. 48
Pembahasan:
L = laki-laki
P = perempuan 
Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:
LLLLPPP = 4! x 3! = 144
LLLPPPL = 4! x 3! = 144
LLPPPLL = 4! x 3! = 144
LPPPLLL = 4! x 3! = 144
PPPLLLL = 4! x 3! = 144
Seluruhnya = 5 x 144 = 720 cara.
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 7
Untuk suatu sudut $x$ dan $y$ berlaku:
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$
${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
Jumlah semua nilai $a$ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas adalah …
A. -5   B. -4   C. -3   D. 3   E. 4
Pembahasan:
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$
${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
-------------------------- (+)
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y+{{\sin }^{2}}y=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
$1+1=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
$\frac{1}{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{2}a-2=0$
${{a}^{2}}+3a-4=0$
$(a+4)(a-1)=0$
$a=-4$ atau $a=1$
$a=-4$ tidak memenuhi ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$, jadi nilai a yang memenuhi hanya $a=1$.
Jumlah semua nilai a yang memenuhi adalah 1.
Kunci: Tidak ada opsi.

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 8
Diketahui 10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$ membentuk barisan geometri. Jika ${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai ${{x}_{4}}$ adalah …
A. $\frac{10}{27}$   B. $\frac{5}{4}$   C. 80   D. 270   E. 640
Pembahasan:
Barisan aritmetika:
${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$, maka:
$2({{x}_{3}}-10)={{x}_{2}}-10+{{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$
$2{{x}_{3}}-20={{x}_{4}}-{{x}_{3}}-20$
$3{{x}_{3}}={{x}_{4}}$
Barisan geometri:
10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$, maka:
$x_{2}^{2}=10{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$x_{3}^{2}={{x}_{2}}.{{x}_{4}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}={{x}_{2}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{3{{x}_{3}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$\frac{{{x}_{3}}}{3}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
${{x}_{3}}=3\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$x_{3}^{2}=90{{x}_{3}}$
${{x}_{3}}=90$
${{x}_{4}}=3{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{4}}=3.90=270$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 9
Jika $a$, 4, $b$ adalah tiga suku berurutan dari barisan aritmetika dan $a$, 3, $b$ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ = …
A. $\frac{1}{4}$   B. $\frac{1}{2}$   C. $\frac{3}{4}$   D. $\frac{8}{9}$   E. $\frac{9}{8}$ 
Pembahasan:
Barisan aritmetika: $a$, 4, $b$, maka:
$2.4=a+b=8$
Barisan geometri: $a$, 3, $b$, maka:
${{3}^{2}}=ab=9$ 
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{8}{9}$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 10
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$ = …
A. $-\frac{18}{5}$   B. $-\frac{9}{5}$   C. $\frac{9}{5}$   D. $\frac{18}{5}$   E. $\frac{27}{5}$
Pembahasan:
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$
$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan 2(x-3)}{(x+2)(x-3)}$
$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)}{(x+2)}.\frac{\tan 2(x-3)}{(x-3)}$
$=\frac{(3+6)}{(3+2)}.\frac{2}{1}=\frac{18}{5}$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 11
Jika fungsi $g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$ naik pada $\{x\in R|x\le -2\}$ dan turun pada $\{x\in R|x\ge 2\}$, maka himpunan semua nilai $p$ memenuhi adalah …
A. $\varnothing $
B. $\{p\in R|p\ge 2\}$
C. $\{p\in R|p > 0\}$
D. $\{p\in R|p < 0\}$
E. $\{p\in R|p\le -2\}$
Pembahasan:
$g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$
(1) fungsi g(x) naik maka $g'(x) > 0$
$g'(x)=p.2x{{({{x}^{2}}-4)}^{-\frac{1}{2}}} > 0$
$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} > 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:
$2px\ge 0$, karena $x < -2$ maka nilai $p < 0$.
(2) fungsi g(x) turun maka $g'(x) < 0$
$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} < 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:
$2px < 0$, karena $x > 2$ maka nilai $p < 0$.
Dari (1) dan (2) kita peroleh penyelesaiannya adalah $\{p\in R|p < 0\}$.
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 12
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$. Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,p)$ dan menyinggung garis $px+y=4$ adalah ….
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-1=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-2=0$
E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-1=0$
Pembahasan:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$ melalui titik $(1,p)$, maka:
${{1}^{2}}+{{p}^{2}}-2p=0$
${{(p-1)}^{2}}=0\Leftrightarrow p=1$
Panjang jari-jari lingkaran adalah jarak titik $(1,p)=(1,1)$ ke garis singgung $px+y=4$ $\Leftrightarrow x+y-4=0$, yaitu:
$r=\left| \frac{1+1-4}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 
Persaman lingkaran:
${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(\sqrt{2})}^{2}}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 13
Jika $0 < x <\frac{\pi }{2}$ dan $2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$ maka nilai $\tan x$ = …
A. $-\frac{3}{4}$   B. $-\frac{3}{5}$   C. $\frac{3}{4}$  D. $\frac{3}{5}$   E. $\frac{4}{5}$ 
Pembahasan:
$2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x+1=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x=\frac{9}{25}$; $0 < x <\frac{\pi }{2}$
$\sin x=\frac{3}{5}=\frac{de}{mi}$ 
$sa=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$ 
$\tan x=\frac{de}{sa}=\frac{3}{4}$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 14
Diketahui vektor OA = (1, 2) dan vektor OB = (2, 1). Jika titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 1 : 2, maka panjang vektor OP adalah …
A. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$
C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D. $\frac{1}{3}\sqrt{41}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{41}$
Pembahasan:
$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=1:2$
$\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}=\frac{1}{2}$
$2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$
$2(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$
$3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, misal titik P(x,y)
$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix}   1  \\   2  \\ \end{matrix} \right)+2\left( \begin{matrix}   2  \\   1  \\ \end{matrix} \right)$
$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix}   5  \\   4  \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix}   {}^{5}/{}_{3}  \\   {}^{4}/{}_{3}  \\ \end{matrix} \right)$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{25}{16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25.16+25.9}{9.16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25(16+9)}{9.16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\frac{25}{12}$
Kunci: Tidak ada opsi.

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 15
Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE : EC = 1 : 1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF : FE = 1 : 3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD adalah … kali sisi ABCD.
A. $\frac{9}{8}$   B. $\frac{5}{8}$  C. $\frac{4}{8}$  D. $\frac{3}{8}$  E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2016
Misalkan panjang sisi ABCD adalah 2a, maka panjang OE = a
Proyeksi FE pada ABCD adalah F’E
Perhatikan segitiga TOE, TO sejajar dengan FF’ maka berlaku intersept segitiga yaitu:
$TF:FE=OF':F'E$
$1:3=OF':F'E$
$F'E=3OF'$
$F'E=3(OE-F'E)$
$F'E=\frac{3}{4}OE$
$F'E=\frac{3}{4}a$
$F'E$ = y kali sisi ABCD, y = …?
$\frac{3}{4}a=y.2a\Leftrightarrow y=\frac{3}{8}$
Kunci: D
Bagikan ke:

0 Response to "Matematika IPA UM-UGM 2016 Kode 582 [Soal dan Pembahasan]"

Post a Comment

Terima kasih atas komentar dan kunjungannya. Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. #Berbagi Itu Indah.

Contact Form

Name

Email *

Message *