Pembahasan Soal UTUL UGM 2013 Matematika IPA

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261. Pembahasan ini saya buat untuk membantu adik-adik yang akan mengikuti seleksi tertulis ini diselenggarakan oleh Universitas Gadjah Mada (UGM) untuk menyeleksi mahasiswa baru yang akan masuk UGM pada tahun ajaran 2018-2019. Oh iya, adik-adik perlu mengetahui bahwa kalian yang alumni SMA 2018, 2017, dan 2016 diperbolehkan lho mengikuti seleksi tertulis ini. Dan jangan lupa ya..., pendaftaran terakhir tanggal 25 Juni 2018, dan tes tertulis dilaksanakan pada tanggal 08 Juli 2018. Dengan melihat rentang waktu yang ada, berarti kalian masih memiliki cukup waktu untuk belajar. Yuk... kita pelajari bersama Soal dan Pembahasan Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 berikut ini. Catatan Matematika menyediakan file soal untuk dapat didownload dan diprint.

Soal Utul UGM 2013 Matematika IPA No. 1

Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis $y=2$ di $(3,2)$ dan menyinggung garis $y=-x\sqrt3+2$ adalah ...
A. $(3,\sqrt3)$
B. $(3,3\sqrt3)$
C. $(3,2+\sqrt3)$
D. $(3,2+2\sqrt3)$
E. $(3,2+3\sqrt3)$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar berikut ini.

PR adalah jarak titik P(3,b) terhadap garis $y=-x\sqrt{3}+2$, maka:
$=\left| \frac{{{x}_{1}}.\sqrt{3}+{{y}_{1}}-2}{\sqrt{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|$
$=\left| \frac{3.\sqrt{3}+b-2}{2} \right|$
PQ adalah jarak titik $P(3,b)$ ke titik $Q(3,2)$, maka:
$PQ=b-2$
$PQ=PR=r$
$\begin{align}b-2&=\frac{3\sqrt{3}+b-2}{2} \\ 2b-4&=3\sqrt{3}+b-2 \\ b&=2+3\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, titik pusat lingkaran adalah P$(3,2+3\sqrt3)$.
Jawaban: E

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 2

Diberikan koordinat titik $O(0,0)$, $B(-3,\sqrt7)$, dan $A(a,0)$, dengan $a < 0$. Jika pada segitiga AOB, $\angle OAB=\alpha $ dan $\angle OBA=\beta $, maka $\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )$ = …
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{4}\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{4}\sqrt{6}$
D. $\frac{1}{4}\sqrt{7}$
E. $\frac{1}{4}\sqrt{14}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga OCB siku-siku di C, berlaku phytagoras
$BC=\sqrt{7}$, $OC=3$, maka:
$OB=\sqrt{B{{C}^{2}}+O{{C}^{2}}}$
$OB=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{(\sqrt{7})}^{2}}}$
$OB=4$
$\cos (\alpha +\beta )=\frac{OC}{OB}=\frac{3}{4}$
Ingat: $2{{\cos }^{2}}x=1+\cos 2x$, maka:
$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\cos (\alpha +\beta )$
$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\frac{3}{4}$
$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{4}$
${{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{8}$
$\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{14}$
Jawaban: E

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 3

Diketahui vektor-vektor $\vec{u}=(a,1,-a)$ dan $\vec{v}=(1,a,a)$. Jika ${{\vec{u}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, ${{\vec{v}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{v}$ pada $\vec{u}$, dan $\theta $ sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ dengan $\cos \theta =\frac{1}{3}$, maka luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ${{\vec{u}}_{1}}$ dan ${{\vec{v}}_{1}}$ adalah ….
A. $\frac{2}{9}\sqrt{2}$
B. $\frac{2}{9}\sqrt{6}$
C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D. $\frac{2}{3}\sqrt{6}$
E. 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\cos \theta =\frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$
$\frac{1}{3}=\frac{\left( \begin{matrix} a  \\ 1  \\ -a  \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1  \\ a  \\  a  \\  \end{matrix} \right)}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-a)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}$
$\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+1}.\sqrt{2{{a}^{2}}+1}}$
$\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+1}$
$2{{a}^{2}}+1=6a-3{{a}^{2}}$
$5{{a}^{2}}-6a+1=0$
$(5a-1)(a-1)=0$,
${{a}_{1}}=\frac{1}{5}$ atau ${{a}_{2}}=1$
Karena soal pilihan berganda, kita uji yang paling sederhana yaitu ${{a}_{2}}=1$.
$\vec{u}=(1,1,-1)$ dan $\vec{v}=(1,1,1)$ maka $u.v=\left( \begin{matrix}  1  \\  1  \\  -1  \\  \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}  1  \\  1  \\  1  \\  \end{matrix} \right)=1$
$|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{2{{a}^{2}}+1}=\sqrt{3}$
$|{{\vec{u}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$|{{\vec{v}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{v}.\vec{u}}{|\vec{u}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
Jika $\cos \theta =\frac{1}{3}\Rightarrow \sin \theta =\frac{2}{3}\sqrt{2}$
Luas jajaran genjang:
$=2.\frac{1}{2}.|{{u}_{1}}|.|{{v}_{1}}|.\sin \theta $
$=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{2}{3}\sqrt{2}$
$=\frac{2}{9}\sqrt{2}$
Jawaban: A

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 4

Panjang rusuk kubus PQRS.TUVW adalah 6 cm. Titik X, pada TW, Y pada UV dan Z pada QR. Jika $|TX|:|XW|=1:2$, $|UY|:|YV|=2:1$, dan $PXYZ$ membentuk bidang datar, maka volume bangun $TUYX.PQZ$ adalah … $c{{m}^{3}}$
A. 108
B. 80
C. 72
D. 60
E. 36

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar berikut ini!

${{V}_{Kubus}}={{6}^{3}}=216$
Jika kita perhatikan gambar! Maka bidang PXYZ membagi volume bangun ruang PQLK.TUMN, maka:
${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.{{V}_{PQLK.TUMN}}$
${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.{{V}_{Kubus}}$
${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{3}.216=72$
Jawaban: C

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 5

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dan tinggi limas $2\sqrt{3}$ cm. Jika T’ proyeksi T pada bidang alas dan titik P adalah perpotongan garis berat segitiga TBC, maka panjang sisi alas limas agar T’P tegak lurus segitiga TBC adalah … cm.
A. 2
B. $\sqrt{6}$
C. $\sqrt{8}$
D. 3
E. 4

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Perhatikan gambar berikut ini!

$TT'=2\sqrt{3}$
Perhatikan segitiga $TT'Q$, maka:
$TQ=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2\sqrt{3})}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+12}$
$T'P.TQ=TT'.T'Q$
$T'P=\frac{TT'.T'Q}{TQ}$
$T'P=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}}$
Karena P adalah titik berat segitiga TBC, maka:
$PQ=\frac{1}{3}TQ\Leftrightarrow PQ=\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12}$
Perhatikan segitiga T’PQ.
$T'{{Q}^{2}}=T'{{P}^{2}}+P{{Q}^{2}}$
${{a}^{2}}={{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12} \right)}^{2}}$
${{a}^{2}}=\frac{12{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+12}+\frac{{{a}^{2}}+12}{9}$
$9{{a}^{2}}({{a}^{2}}+12)=108{{a}^{2}}+{{({{a}^{2}}+12)}^{2}}$
$9{{a}^{4}}+108{{a}^{2}}=108{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+24{{a}^{2}}+144$
$8{{a}^{4}}-24{{a}^{2}}-144=0$
${{a}^{4}}-3{{a}^{2}}-18=0$
$({{a}^{2}}+3)({{a}^{2}}-6)=0$
$({{a}^{2}}+3)(a+\sqrt{6})(a-\sqrt{6})=0$
$a=\sqrt{6}$
Jadi, sisi alas limas $=2a=2\sqrt{6}$
Jawaban: Tidak Ada Opsi

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 6

Garis $g$ merupakan garis singgung kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ dengan gradien $m$. Jika garis $g$ membentuk sudut ${{45}^{o}}$ terhadap garis $2x-y+4=0$, dan $0 < m < 2$, maka persamaan $g$ adalah …
A. $3x+9y+11=0$
B. $3x+9y-11=0$
C. $-3x+9y+11=0$
D. $-3x+9y-11=0$
E. $3x-9y-11=0$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ maka ${{m}_{g}}=y'=4x-1$
Misal garis k: $2x-y+4=0$, ${{m}_{k}}=2$,  $\angle ({{m}_{g}},{{m}_{k}})={{45}^{o}}$, maka:
$tg{{45}^{o}}=\left| \frac{{{m}_{g}}-{{m}_{k}}}{1+{{m}_{g}}.{{m}_{k}}} \right|$
$1=\left| \frac{{{m}_{g}}-2}{1+{{m}_{g}}.2} \right|$, diketahui pada soal $0 < m_g < 2$, maka:
$1+2{{m}_{g}}=-{{m}_{g}}+2$
$3{{m}_{g}}=1$
${{m}_{g}}=\frac{1}{3}$
$4x-1=\frac{1}{3}$
$12x-3=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{3}$
$y=2{{x}^{2}}-x-1$
${{y}_{1}}=2{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-\frac{1}{3}-1=\frac{-10}{9}$
Garis g melalui titik $\left( \frac{1}{3},\frac{-10}{9} \right)$ dan $m=\frac{1}{3}$ adalah:
$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$
$y+\frac{10}{9}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3})$
$3x-9y-11=0$ atau $-3x+9y+11=0$
Jawaban: C/E

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 7

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{{{625}^{x-2}}}>\sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$ adalah …
A. $x > -\frac{8}{3}$
B. $x < -\frac{8}{3}$
C. $x < -\frac{8}{7}$
D. $x > -\frac{8}{7}$
E. $x < -\frac{12}{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\sqrt{{{625}^{x-2}}} > \sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$
${{\left( {{5}^{4}} \right)}^{\frac{x-2}{2}}} > {{\left( {{5}^{3}} \right)}^{\frac{x}{2}}}.{{\left( {{5}^{2}} \right)}^{\frac{6x}{3}}}$
${{5}^{2x-4}} > {{5}^{\frac{3x}{2}+4x}}$
$2x-4 > \frac{3x}{2}+4x$
$4x-8 > 3x+8x$
$x < -\frac{8}{7}$
Jawaban: C

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 8

Himpunan semua $x$ yang memenuhi $|x-2|-1\ge x$ adalah …
A. $\{x|0\le x\le \frac{7}{2}\}$
B. $\{x|x\ge 0\}$
C. $\{x|x\le \frac{1}{2}\}$
D. $\{x|0\le x\le \frac{5}{2}\}$
E. $\{x|-1\le x\le \frac{1}{2}\}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$|x-2|-1\ge x$
$|x-2|\ge x+1$
Untuk $x\ge 2$ maka:
$|x-2|-1\ge x$
$x-2\ge x+1\Leftrightarrow -2\ge 1$
$-2\ge 1$, tidak ada penyelesaian.
Untuk $x < 2$ maka:
$|x-2|-1\ge x$
$-(x-2)\ge x+1$
$-2x\ge -1$
$x\le \frac{1}{2}$
Jawaban: C

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 9

Suku banyak P(x) dibagi ${{x}^{2}}-x-2$ mempunyai hasil bagi Q(x) dan sisa $x+2$. Jika $Q(x)$ dibagi $x+2$ mempunyai sisa 3, maka sisa P(x) dibagi ${{x}^{2}}+3x+2$ adalah ….
A. $-11x-10$
B. $-10x-11$
C. $11x-10$
D. $10x+11$
E. $11x+10$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
$Q(x)=(x+2).Hasil+3$
$Q(-2)=(-2+2).Hasil+3=3$
$P(x)=({{x}^{2}}-x-2).Q(x)+x+2$
$P(x)=(x-2)(x+1).Q(x)+x+2$
Untuk x = -2, maka:
$P(-2)=(-2-2)(-2+1).Q(-2)+(-2)+2$
$P(-2)=-4.(-1).3-2+2=12$
Untuk x = -1, maka:
$P(-1)=(-1-2)(-1+1).Q(-1)+(-1)+2$
$P(-1)=1$
Pertanyaan:
$P(x)=({{x}^{2}}+3x+2).Hasil+ax+b$
$P(x)=(x+2)(x+1).Hasil+ax+b$
$P(-2)=-2a+b=12$
$P(-1)=-a+b=1$
---------------------------- (-)
$-a=11\Leftrightarrow a=-11,b=-10$
Jadi, sisa $ax+b=-11x-10$
Jawaban: A

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 10

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan ${{S}_{n}}$. Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$ membentuk barisan geometri maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}$ = …
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Barisan aritmetika: ${{S}_{4}}=2(2a+3b)$, ${{S}_{8}}=4(2a+7b)$, $8(2a+15b)$
Barisan geometri: ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$
${{({{S}_{8}})}^{2}}={{S}_{4}}.{{S}_{6}}$
${{[4(2a+7b)]}^{2}}=[2(2a+3b)][8(2a+15b)]$
$16(4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}})=16(4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}})$
$4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}}=4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}}$
$4{{b}^{2}}-8ab=0$
$4b(b-2a)=0$ maka $b=0$ atau $b=2a$
$b=0$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.0)}{2(2a+3.0)}=\frac{8a}{4a}=2$
$b=2a$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.2a)}{2(2a+3.2a)}=\frac{64a}{16a}=4$
Jawaban: A dan B

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 11

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$ = …
A. 0    B. $\frac{1}{2}$    C. $\frac{3}{4}$    D. $\frac{3}{2}$    E. 3

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1-\cos x)(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}x.(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sin \frac{1}{2}x.\sin \frac{1}{2}x}{x\tan x}(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)$
$=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.(1+1+1)$
$=\frac{3}{2}$
Jawaban: D

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 12

Jika kurva $f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$ mempunyai titik ekstrim $(1,-5)$ maka kurva tersebut naik pada …
A. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 2$}
B. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$}
C. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 0$}
D. {$x|x\le -\frac{1}{2}$ atau $x\ge 0$}
E. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 1$}

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$
$f(1)=a-b+1=-5$
$a-b=-6$
$a=b-6$
Titik ekstrim di $(1,-5)$, maka $f'(1)=0$
$f'(x)=3a{{x}^{2}}-2bx$
$f'(1)=3a-2b=0$
$3a-2b=0$
$3(b-6)-2b=0$
$b=18$
$a=b-6\Leftrightarrow a=18-6=12$
Kurva naik untuk $f'(1)\ge 0$
$3a{{x}^{2}}-2bx\ge 0$
$3.12{{x}^{2}}-2.18x\ge 0$
$36{{x}^{2}}-36x\ge 0$
$36x(x-1)\ge 0$
$x=0$ atau $x=1$
HP = {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$}
Jawaban: B

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 13

Dari 15 anak terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah …
A. 13
B. 11
C. 9
D. 5
E. 3

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal:
p = jumlah anak laki-laki
w = jumlah anak perempuan
p + w = 15, w = 15 – p
$C_{1}^{p}.C_{1}^{w}=26$
$p.w=26$
$p(15-p)=26$
$15p-{{p}^{2}}=26$
${{p}^{2}}-15p+26=0$
$(p-13)(p-2)=0$
$p=13$ atau $p=2$
$w=15-p$
$p=13\Rightarrow w=2\Rightarrow p-w=11$
$p=2\Rightarrow w=13\Rightarrow w-p=11$
Jawaban: B

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 14

Diketahui polinomial $f(x)$ habis dibagi $x-1$. Jika $f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa ${{a}^{2}}$ dan $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$ maka $a$ = …
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)$ habis dibagi $x-1$ maka $f(1)=0$
$f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $f'(1)={{a}^{2}}$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f'(x)}{1}=2a-1$
$f'(1)=2a-1$
${{a}^{2}}=2a-1$
${{a}^{2}}-2a+1=0$
$(a-1)(a-1)=0$
$a=1$
Jawaban: D

---

Soal UM UGM 2013 Matematika IPA No. 15

Jika sudut lancip $x$ memenuhi 1 = ${}^{2}\log 16$ +  ${}^{2}\log (\sin x)$ + ${}^{2}\log (\cos x)$ + ${}^{2}\log (\cos 2x)$ maka $x$ = …
A. $\frac{\pi }{2}$
B. $\frac{\pi }{4}$
C. $\frac{\pi }{6}$
D. $\frac{\pi }{24}$
E. $\frac{\pi }{36}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

1 = ${}^{2}\log 16$ +  ${}^{2}\log (\sin x)$ + ${}^{2}\log (\cos x)$ + ${}^{2}\log (\cos 2x)$
$1={}^{2}\log 16.\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=16.\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=8.2\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=8\sin 2x.\cos 2x$
$2=4.2\sin 2x.\cos 2x$
$2=4\sin 4x$
$\sin 4x=\frac{1}{2}$
$\sin 4x=\sin \frac{\pi }{6}\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{24}$
Jawaban: D

---

Share :