Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Pembahasan UTUL UGM 2015 Matematika IPA Kode 631

To the point aja ya...! Hari ini kembali Catatan Matematika berbagi yaitu Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2015 Kode 631 dengan harapan kiranya soal dan pembahasan ini bermanfaat bagi adik-adik sekalian yang ingin mengikuti ujian tulis Universitas Gadjah Mada (UTUL-UGM) dan untuk memenangkan suatu ujian/seleksi maka perlu banyak berlatih soal-soal terdahulu. Yukk... kita pelajari bersama..! Jika ada yang kurang jelas atau ada pembahasan yang ingin dikoreksi mari berdiskusi melalui kolom komentar.


Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 1
Jika garis $2x+y+4=0$ dan $2x+y-6=0$ menyinggung lingkaran dengan pusat $(1,p)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah …
A. $x^2+y^2-2x+2y-3=0$
B. $x^2+y^2-2x-2y-3=0$
C. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$
D. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$
E. $x^2+y^2-2x+4y=0$
Pembahasan:
Jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y+4=0$ sama dengan jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y-6=0$, maka:
$\left| \frac{2.1+p+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\left| \frac{2.1+p-6}{\sqrt{2^2+1^2}} \right|$
$\left| p+6 \right|=\left| p-4 \right|$
${{(p+6)}^{2}}={{(p-4)}^{2}}$
${{p}^{2}}+12p+36={{p}^{2}}-8p+16$
$20p=-20\Leftrightarrow p=-1$
Panjang jari-jari lingkaran adalah jarak titik $(1,p)=(1,-1)$ ke garis $2x+y+4=0$,
$r=\frac{2.1+(-1)+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}$
$r=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
Persamaan lingkaran:
${{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}={{(\sqrt{5})}^{2}}$
${{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+2y+1=5$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-3=0$
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 2
Nilai minimum fungsi $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ pada $0\le x\le 2\pi $ adalah …
A. -4   B. -3   C -2   D. -1  E. 0
Pembahasan:
$f(x)=2\sin x+\cos 2x$
$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x$
$f'(x)=0$
$2\cos x-2\sin 2x=0$
$\cos x-2\sin x\cos x=0$
$\cos x(1-2\sin x)=0$
$\cos x=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{90}^{o}},{{x}_{2}}={{270}^{o}}$
$\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{3}}={{30}^{o}},{{x}_{4}}={{150}^{o}}$
$f(x)=2\sin x+\cos 2x$
$f({{30}^{o}})=2\sin {{30}^{o}}+\cos {{2.30}^{o}}=\frac{3}{2}$
$f({{90}^{o}})=2\sin {{90}^{o}}+\cos {{2.90}^{o}}=1$
$f({{150}^{o}})=2\sin {{150}^{o}}+\cos {{2.150}^{o}}=\frac{3}{2}$
$f({{270}^{o}})=2\sin {{270}^{o}}+\cos {{2.270}^{o}}=-3$
Jadi, $f{{(x)}_{\min }}=-3$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 3
Hasil pencerminan titik $C(-4,-2)$ terhadap garis $ax+by+6=0$ adalah $C'(4,10)$. Nilai $a+2b$ adalah …
A. -8   B. -4  C. 2  D. 4   E. 8
Pembahasan:
$ax+by+6=0$ melalui titik tengah $C(-4,-2)$ dan $C'(4,10)$ yaitu: $\left( \frac{-4+4}{2},\frac{-2+10}{2} \right)=(0,4)$ maka $a.0+b.4+6=0\Rightarrow b=\frac{-3}{2}$.
Gradien garis $ax+by+6=0$ tegak lurus dengan garis $CC'$ maka:
$\frac{-a}{b}.\frac{10-(-2)}{4-(-4)}=-1$
$\frac{-a}{b}.\frac{3}{2}=-1$
$a=\frac{2}{3}b$
$a=\frac{2}{3}.\left( -\frac{3}{2} \right)=-1$
$a+2b=-1+2.\left( -\frac{3}{2} \right)=-4$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 4
Diketahui vektor $\vec{p}=a\hat{i}+b\hat{j}+2\hat{k}$, $\vec{q}=\hat{i}+2\hat{j}+c\hat{k}$, dan $\vec{r}=3\hat{i}+6\hat{j}+c\hat{k}$ dengan $a,b\ne 0$. Jika $p\bot q$ dan $p\bot r$, maka $\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}$ = ...
A. -8   B. -4   C. -2   D. 2  E. 4
Pembahasan:
$p\bot q\Rightarrow p.q=0$
$\left( \begin{matrix}   a  \\  b  \\   2  \\  \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}  1  \\   2  \\   c  \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow a+2b+2c=0$ … (1)
$p\bot r\Rightarrow p.r=0$
$\left( \begin{matrix}   a  \\   b  \\   2  \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}   3  \\   6  \\   c  \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow 3a+6b+2c=0$… (2)
Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1) diperoleh: $2a+4b\Leftrightarrow a=-2b$
$\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}=\frac{{{(-2b)}^{2}}+4{{b}^{2}}}{-2b.b}=-4$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4p. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan GP = BQ = GR = p. Sudut antara bidang yang melalui titik P, Q, R dan bidang ABCD adalah $\alpha$. Nilai $\tan \alpha$ adalah …
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$   B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$   C. 1   D. $\sqrt{2}$   E. $\sqrt{3}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2015
Perhatikan segitiga KMN siku-siku di titik N
Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2015
Jika $\alpha $ = $\angle $(Bidang PQR, bidang ABCD) maka:
$\tan \alpha =\frac{KN}{MN}=\frac{4p}{2p\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 6
Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi $|3x-4|=x+5$, maka nilai $x_1+x_2$ adalah …
A. $\frac{13}{4}$   B. $\frac{15}{4}$   C. $\frac{17}{4}$   D. $\frac{19}{4}$   E. $\frac{21}{4}$
Pembahasan:
$|3x-4|=x+5$
${{(3x-4)}^{2}}={{(x+5)}^{2}}$
$9{{x}^{2}}-24x+16={{x}^{2}}+10x+25$
$8{{x}^{2}}-34x-9=0$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{34}{8}=\frac{17}{4}$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 7
Jika 9, $x_1$, dan $x_2$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^3-6x^2-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_1+x_2+x_1.x_2$ = …
A. -7   B. -4   C. -1   D. 1   E. 3
Pembahasan:
$x^3-6x^2-ax+b=0$ akar-akarnya $x_1$, $x_2$, dan ${{x}_{3}}=9$
$x=9$maka:
${{9}^{3}}-{{6.9}^{2}}-9a+b=0$
$b-9a=-243$
$b-a=5$
-------------------- (-)
$-8a=-248\Rightarrow a=31,b=36$
${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-31x+36=0$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\frac{B}{A}=6$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+9=6\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=\frac{-D}{A}=-36$
$9{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-36\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-3+(-4)=-7$
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 8
Pertidaksamaan ${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$ mempunyai penyelesaian …
A. $x > 3$
B. $x < \frac{1}{9}$
C. $x < \frac{1}{3}$
D. $x < \frac{1}{3}$ atau $x > 9$
E. $x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$
Pembahasan:
(1) Syarat numerus: $3x > 0 \Rightarrow x > 0$
(2) Dari pertidaksamaan:
${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$
$3x.{{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 3x.27x$
${{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 27x$
${}^{3}\log {{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > {}^{3}\log 27x$
${}^{3}\log 3x.{}^{3}\log 3x > {}^{3}\log 9+{}^{3}\log 3x$
${{\left( {}^{3}\log 3x \right)}^{2}}-{}^{3}\log 3x-2 > 0$
$({}^{3}\log 3x+1)({}^{3}\log 3x-2) > 0$
${}^{3}\log 3x < -1$ atau ${}^{3}\log 3x > 2$
$3x < {{3}^{-1}}$ atau $3x > {{3}^{2}}$
$x < {{3}^{-2}}$ atau $x > 3$
$x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$
Himpunan penyelesaian adalah irisan dari hasil (1) dan (2) maka diperoleh:
$0 < x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 9
Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku di tengah dikalikan dengan $-\frac{5}{3}$ maka akan membentuk barisan aritmetika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut adalah …
A. 48   B. 50   C. 52   D. 54   E. 56
Pembahasan:
Barisan Geometri:
$a,ar,a{{r}^{2}}$
$a+ar+a{{r}^{2}}=42$
$a+a{{r}^{2}}=42-ar$
Barisan Aritmetika:
$a,-\frac{5}{3}ar,a{{r}^{2}}$
$2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=a+a{{r}^{2}}$
$2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=42-ar$
$-10ar=126-3ar$
$-7ar=126$
$ar=-18$
$a=\frac{-18}{r}$
$a+ar+a{{r}^{2}}=42$
$-\frac{18}{r}(1+r+{{r}^{2}})=42$
$-18-18r-18{{r}^{2}}=42r$
$18{{r}^{2}}+60r+18=0$
$3{{r}^{2}}+10r+3=0$
$(3r+1)(r+3)=0$
$r=-\frac{1}{3}$ atau $r=-3$
$a=\frac{-18}{r}$
$r=-\frac{1}{3}\Rightarrow a=54$ maka ketiga bilangan itu: 54, -18, 6
$r=-3\Rightarrow a=6$ maka ketiga bilangan itu: 6, -18, 54
Bilangan terbesar adalah 54.
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 10
Jika b, c $\ne$ 0 dan $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$, maka b = …
A. $2{{c}^{2}}d$
B. ${{c}^{2}}d$
C. $\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$
D. $-\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$
E. $-{{c}^{2}}d$
Pembahasan:
$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$
$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{-2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}c(x-a)}=d$
$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)}{-2\sin \frac{1}{2}c(x-a)}.\frac{\tan b(a-x)}{\sin \frac{1}{2}c(x-a)}=d$
$\frac{1}{-2.\frac{1}{2}c}.\frac{b.(-1)}{\frac{1}{2}c}=d$
$\frac{-b}{-\frac{1}{2}{{c}^{2}}}=d\Rightarrow b=\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 11
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(1)=2$ dan $f'(1)=1$. Jika $g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}$, dengan ${{f}^{2}}(x)=f(x).f(x)$, maka nilai $g'(1)$ adalah …
A. -2  B. $-\frac{3}{8}$   C. 0  D. $\frac{1}{4}$   E. $\frac{7}{3}$
Pembahasan:
$g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}=\frac{u}{v}$
$g'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$
$g'(x)=\frac{\frac{1+f'(x)}{2\sqrt{1+x+f(x)}}.{{f}^{2}}(x)-2f'(x)f(x)\sqrt{1+x+f(x)}}{{{[{{f}^{2}}(x)]}^{2}}}$
$g'(1)=\frac{\frac{1+f'(1)}{2\sqrt{1+1+f(1)}}.{{f}^{2}}(1)-2f'(1).f(1)\sqrt{1+1+f(1)}}{{{[{{f}^{2}}(1)]}^{2}}}$
$g'(1)=\frac{\frac{1+1}{2\sqrt{1+1+2}}{{.2}^{2}}-2.1.2\sqrt{1+1+2}}{{{[{{2}^{2}}]}^{2}}}$
$g'(1)=\frac{2-8}{16}=-\frac{3}{8}$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 12
Fungsi $f(x)=x-2\sqrt{x+a}$ mempunyai nilai minimum b di titik $x=-4$. Nilai $a+b$ adalah …
A. -2   B. -1   C. 1   D. 2   E. 3
Pembahasan:
$f(x)=x-2\sqrt{x+a}$
$f'(x)=1-2.\frac{1}{2\sqrt{x+a}}$
Nilai minimum di titik $x=-4$, maka:
$f'(-4)=0$
$1-\frac{1}{\sqrt{-4+a}}=0$
$1=\frac{1}{\sqrt{-4+a}}$
$\sqrt{-4+a}=1$
$-4+a=1\Leftrightarrow a=5$
Nilai minimum b di titik $x=-4$, maka:
$f(-4)=b$
$-4-2\sqrt{-4+5}=b\Leftrightarrow b=-6$
$a+b=5+(-6)=-1$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 13
Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan setelah bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin adalah …
A. 10   B. 21   C. 32   D. 56   E. 120
Pembahasan:
Tersedia 3 bola: M = bola merah, B = bola biru, H = bola hijau.
5 anak mengambil 1 bola bergiliran dan dikembalikan.
Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:
  • 5 M yaitu: MMMMM ada sebanyak 1.
  • 4 M yaitu: MMMMB, MMMMH ada sebanyak 2.
  • 3 M yaitu: MMMBB, MMMBH, MMMHH ada sebanyak 3.
  • 2 M yaitu: MMBBB, MMBBH, MMBHH, MHHHH ada sebanyak 4.
  • 1 M yaitu: MBBBB, MBBBH, MBBHH, MBHHH, MHHHH ada sebanyak 5.
  • 0 M yaitu: BBBBB, BBBBH, BBBHH, BBHHH, BHHHH, HHHHH ada sebanyak 6.
Seluruhnya = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 buah.
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 14
Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah …
A. $\frac{75}{6}$   B. $\frac{85}{6}$   C. $\frac{95}{6}$   D. $\frac{105}{6}$   E. $\frac{110}{6}$
Pembahasan:
Barisan Geometri: $a,ar,a{{r}^{2}}$
$a.ar.a{{r}^{2}}=125$
${{(ar)}^{3}}={{5}^{3}}\Leftrightarrow ar=5\Leftrightarrow a=\frac{5}{r}$
Barisan Aritmetika:
${{U}_{1}}=a$,  ${{U}_{3}}=ar$, ${{U}_{6}}=a{{r}^{2}}$
$b=\frac{{{U}_{3}}-{{U}_{1}}}{3-1}\Leftrightarrow b=\frac{ar-a}{2}$
${{U}_{6}}=a+5b=a{{r}^{2}}$
${{U}_{3}}=a+2b=ar$
---------------------- (-)
$3b=a{{r}^{2}}-ar$
$b=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$
$\frac{ar-a}{2}=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$
$\frac{r-1}{2}=\frac{{{r}^{2}}-r}{3}$
$2{{r}^{2}}-2r=3r-3$
$2{{r}^{2}}-5r+3=0$
$(2r-3)(r-1)=0$
$r=\frac{3}{2}$ atau $r=1$
Ambil $r=\frac{3}{2}$, maka $a=\frac{5}{r}=\frac{5}{3/2}\Leftrightarrow a=\frac{10}{3}$
Jumlah ketiga bilangan adalah:
$=a+ar+a{{r}^{2}}$
$=\frac{10}{3}+5+\frac{15}{2}=\frac{95}{6}$
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 15
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan garis $2x-y=0$ adalah …
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-17x=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-18x=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-19x=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$
E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-21x=0$
Pembahasan:
Titik potong $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan $2x-y=0$ adalah:
$-{{x}^{2}}+6x=2x$
${{x}^{2}}-4x=0$
$x(x-4)=0$
$x=0$ atau $x=4$
$2x-y=0\Leftrightarrow y=2x$
$x=0\Rightarrow y=0\Leftrightarrow (0,0)$
$x=4\Rightarrow y=8\Leftrightarrow (4,8)$
Lingkaran melalui titik $(0,0)$ dan $(4,8)$dan pusat berada pada sumbu X yaitu $(a,0)$, maka panjang jari-jari lingkaran adalah jarak titik $(a,0)$ ke titik $(0,0)$ atau jarak titik $(a,0)$ ke titik $(4,8)$ diperoleh:
$a=\sqrt{{{(4-a)}^{2}}+{{(8-0)}^{2}}}$
${{a}^{2}}=16-8a+{{a}^{2}}+64$
$8a=80\Leftrightarrow a=10\Rightarrow r=10$
Persamaan lingkaran dengan pusat $(10,0)$ dan $r=10$ adalah:
${{(x-10)}^{2}}+{{y}^{2}}={{10}^{2}}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$
Kunci: D

Baca Juga:

Post a comment for "Pembahasan UTUL UGM 2015 Matematika IPA Kode 631"