Definisi Lingkaran - Keliling dan Luas Lingkaran - Hubungan Sudut Pusat, Busur, dan Juring
A. Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan semua titik-titik yang memiliki jarak yang sama (jari-jari) pada satu titik tertentu (titik pusat).
Unsur-unsur Lingkaran:
- Titik pusat (titik O) adalah titik yang berada di pusat lingkaran.
- Jari-jari (OA=OB=OC=OD) adalah ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebuah titik pada lingkaran.
- Tali busur (AE, AD, dan CD) adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
- Diameter (AD) adalah tali busur yang melewati pusat lingkaran. Berlaku hubungan diameter = 2 $\times $ jari-jari.
- Busur ($\overset\frown{AB}$) adalah bagian dari lingkaran. Garis lengkung AB merupakan sebuah busur pada lingkaran O. Busur yang lebih kecil disebut busur minor dan busur yang lebih besar disebut busur mayor. Jika hanya disebutkan kata busur maka yang dimaksud adalah busur minor. Busur AB dituliskan $\overset\frown{AB}$. Besarnya busur $\overset\frown{AB}$ ditentukan oleh besarnya sudut AOB yaitu $\theta $.
- Juring (BOC) adalah daerah yang dibatasi dua jari-jari dan sebuah busur.
- Tembereng (AFE) adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur.
- Apotema (OG) adalah jarak dari titik pusat lingkaran ke tali busur.
B. Keliling dan Luas Lingkaran
Keliling lingkaran adalah busur terpanjang suatu lingkaran.
$K=2\pi r$ atau $K=\pi d$
Luas lingkaran adalah ukuran total area di dalam batas lingkaran.
$L=\pi r^2$ atau $L=\frac{1}{4}\pi {{d}^{2}}$
Keterangan:
K = keliling lingkaran
L = luas lingkaran
r = jari-jari lingkaran
d = diameter lingkaran = 2r
$\pi $ = phi $\approx $ 3,14 $\approx $ $\frac{22}{7}$
$K=2\pi r$ atau $K=\pi d$
Luas lingkaran adalah ukuran total area di dalam batas lingkaran.
$L=\pi r^2$ atau $L=\frac{1}{4}\pi {{d}^{2}}$
Keterangan:
K = keliling lingkaran
L = luas lingkaran
r = jari-jari lingkaran
d = diameter lingkaran = 2r
$\pi $ = phi $\approx $ 3,14 $\approx $ $\frac{22}{7}$
Contoh 1.
Diketahui sebuah lingkaran memiliki diameter 28 cm, berapa luas lingkaran tersebut? $\left( \pi \approx \frac{22}{7} \right)$
Penyelesaian:
$d$ = 28 cm maka $r$ = 14 cm
$L=\pi r^2=\frac{22}{7}\times 14\times 14=616\,\text{cm}^2$
Jadi, luas lingkaran adalah 616 $\text{cm}^2$.
Contoh 2.
Gloria memiliki rotan pinggang (hula hoop) dengan keliling 220 cm. Panjang jari-jari hula hoop itu adalah .... $\left( \pi \approx \frac{22}{7} \right)$
Penyelesaian:
K = 220 cm, $r$ = ...?
Ingat: $K=2\pi r$
$\begin{align}K &= 220 \\ 2\pi r &= 220 \\ 2.\frac{22}{7}.r &= 220 \\ \frac{44}{7}.r &= 220 \\ r &= 220\times \frac{7}{44} \\ r &= 35\,\text{cm} \end{align}$
Jadi, panjang jari-jari hula hoop itu adalah 35 cm.
Contoh 3.
Tentukan keliling daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini. $\left( \pi \approx \frac{22}{7} \right)$
Penyelesaian:
Perhatikan gambar!
Lingkaran besar, R = 14 cm
Lingkaran kecil, r = 7 cm
Keliling daerah arsiran adalah ½ keliling lingkaran besar + keliling lingkaran kecil.
$\begin{align}K_{arsiran} &= \frac{1}{2}.(2\pi R)+2\pi r \\ &= \frac{22}{7}\times 14+2\times \frac{22}{7}\times 7 \\ &= 22\times 2+2\times 22 \\ &= 88\,\text{cm} \end{align}$
Contoh 4.
Sebuah lapangan berbentuk lingkaran berdiameter 60 m. Deo berlari mengeliling lapangan tersebut sebanyak 3 kali. Jarak yang ditempuhnya adalah .... $(\pi \approx 3,14)$
Penyelesaian:
$d$ = 60 m
Keliling lapangan = $\pi d=3,14\times 60=188,4\,\text{m}$
Deo mengelilingi lapangan 3 kali, maka:
Jarak tempuh = 3 kali keliling lapangan = $3\times 188,4$ = 565,2 meter.
C. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring Lingkaran
$\frac{\text{sudut pusat}}{360^\circ}$ = $\frac{\text{panjang busur}}{\text{keliling lingkaran}}$ = $\frac{\text{Luas juring}}{\text{Luas lingkaran}}$
Contoh 1.Perhatikan gambar!
Jika sudut AOB sebesar $60^\circ $ dan jari-jari lingkaran sebesar 7 cm. Luas juring OAB adalah …
Penyelesaian:
$\begin{align}\frac{\text{Luas juring}\,AOB}{\text{Luas lingkaran}} &= \frac{\angle AOB}{360^\circ} \\ \frac{\text{Luas juring}\,AOB}{\pi r^2} &= \frac{60^\circ}{360^\circ} \\ \frac{\text{Luas juring}\,AOB}{\frac{22}{7}\times 7\times 7} &= \frac{1}{6} \\ \frac{\text{Luas juring}\,AOB}{154} &= \frac{1}{6} \\ \text{Luas juring}\,AOB &= \frac{154}{6} \\ &= \frac{77}{3} \\ &= 25\frac{2}{3}\,\text{cm}^2 \end{align}$
Contoh 2.
Jika lingkaran memiliki jari-jari sepanjang 21 cm dan sebuah tembereng lingkaran memiliki panjang busur 22 cm, maka besar sudut pusatnya adalah …
Penyelesaian:
$\begin{align}\frac{\text{sudut pusat}}{360^\circ} &= \frac{\text{panjang busur}}{\text{keliling lingkaran}} \\ \frac{\text{sudut pusat}}{360^\circ} &= \frac{\text{22}}{2\times \pi \times r} \\ \frac{\text{sudut pusat}}{360^\circ} &= \frac{\text{22}}{2\times \frac{22}{7}\times 21} \\ \frac{\text{sudut pusat}}{360^\circ} &= \frac{\text{22}}{2\times 22\times 3} \\ \frac{\text{sudut pusat}}{360^\circ} &= \frac{\text{1}}{6} \\ \text{sudut pusat} &= \frac{360^\circ}{6} \\ \text{sudut pusat} &= 60^\circ \end{align}$
Contoh 3.
Pada gambar di bawah, besar $\angle AOB=30^\circ $, panjang OB = 15 cm, dan BD = 5 cm. Keliling daerah yang diarsir dengan $\pi $ = 3,14 adalah …
Penyelesaian:
$\begin{align}\frac{\overset\frown{AB}}{K_{\text{lingkaran (r=OB=15)}}} &= \frac{30^\circ}{360^\circ} \\ \frac{\overset\frown{AB}}{2\pi r} &= \frac{1}{6} \\ \frac{\overset\frown{AB}}{2\times 3,14\times 15} &= \frac{1}{6} \\ \frac{\overset\frown{AB}}{94,2} &= \frac{1}{6} \\ \overset\frown{AB} &= \frac{94,2}{6} \\ \overset\frown{AB} &= 15,7 \end{align}$
$\begin{align}\frac{\overset\frown{CD}}{K_{\text{lingkaran\,(r=OD=20)}}} &= \frac{30^\circ}{360^\circ} \\ \frac{\overset\frown{CD}}{2\pi r} &= \frac{1}{6} \\ \frac{\overset\frown{CD}}{2\times 3,14\times 20} &= \frac{1}{6} \\ \frac{\overset\frown{CD}}{125,6} &= \frac{1}{6} \\ \overset\frown{CD} &= \frac{125,6}{6} \\ \overset\frown{CD} &= 20,93 \end{align}$
$\begin{align}K_{arsiran} &= \overset\frown{AB}+BD+\overset\frown{CD}+AC \\ &= 15,7+5+20,93+5 \\ &= 46,63\,\text{cm} \end{align}$
Contoh 4.
Perhatikan gambar berikut!
Jika luas juring LOM = 77 $\text{cm}^2$, $\angle LOM=45^\circ $, dan $\angle KOL=135^\circ $ maka panjang busur KL adalah … cm.
Penyelesaian:
$\begin{align}\frac{\text{Luas juring}\,LOM}{\text{Luas lingkaran}} &= \frac{\angle LOM}{360^\circ} \\ \frac{77}{\pi r^2} &= \frac{45^\circ}{360^\circ} \\ \frac{77}{\frac{22}{7}\times r^2} &= \frac{1}{8} \\ \frac{22}{7}\times r^2 &= 8\times 77 \\ r^2 &= 8\times 77\times \frac{7}{22} \\ r^2 &= 196 \\ r &= \sqrt{196} \\ r &= 14\,\text{cm} \end{align}$
$\begin{align}\frac{\overset\frown{KL}}{\text{keliling lingkaran}} &= \frac{\angle KOL}{360^\circ} \\ \frac{\overset\frown{KL}}{2\pi r} &= \frac{135^\circ}{360^\circ} \\ \frac{\overset\frown{KL}}{2\times \frac{22}{7}\times 14} &= \frac{3}{8} \\ \frac{\overset\frown{KL}}{88} &= \frac{3}{8} \\ \overset\frown{KL} &= \frac{3}{8}\times 88 \\ \overset\frown{KL} &= 33\,\text{cm} \end{align}$
Jadi, panjang busur KL = 33 cm.
Contoh 5.
Perhatikan gambar berikut!
Jika panjang busur PQ = 24 cm, maka panjang busur QR adalah … cm.
Penyelesaian:
$\begin{align}\frac{\overset\frown{QR}}{\overset\frown{PQ}} &= \frac{\angle QOR}{\angle POQ} \\ \frac{\overset\frown{QR}}{24} &= \frac{105^\circ}{15^\circ} \\ \frac{\overset\frown{QR}}{24} &= 7 \\ \overset\frown{QR} &= 168 \end{align}$
D. Soal Latihan
| 1. | Tentukan luas daerah yang diarsir. $\left( \pi =\frac{22}{7} \right)$ |
| 2. | Tentukan keliling daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini. $\left( \pi =3,14 \right)$ |
| 3. | Perhatikan gambar berikut! Diketahui jari-jari lingkaran 14 cm dan panjang busur AB adalah 20 cm, tentukan luas juring AOB. |
| 4. | Perhatikan lingkaran berikut! Jika panjang busur KL = 88 cm, panjang busur MN adalah ... |
| 5. | Perhatikan gambar lingkaran berikut! Panjang busur AB adalah 44 cm. Diameter lingkaran di atas adalah ... cm. $\left( \pi =\frac{22}{7} \right)$. |
Post a Comment for "Definisi Lingkaran - Keliling dan Luas Lingkaran - Hubungan Sudut Pusat, Busur, dan Juring"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.