Kumpulan Soal - Binomial Newton + Pembahasan
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara klik Lihat/Tutup .
Soal No. 1
Bentuk ekspansi dari $(2x+y)^5$ adalah …A. $32x^5$ + $80x^4y$ + $80x^3y^2$ + $80x^2y^3$ + $10xy^4$ + $y^5$
B. $32x^5$ + $80x^4y$ + $80x^3y^2$ + $40x^2y^3$ + $10xy^4$ + $y^5$
C. $32x^5$ + $80x^4y$ + $40x^3y^2$ + $40x^2y^3$ + $10xy^4$ + $y^5$
D. $32x^5$ + $40x^4y$ + $80x^3y^2$ + $80x^2y^3$ + $10xy^4$ + $y^5$
E. $32x^5$ + $40x^4y$ + $40x^3y^2$ + $80x^2y^3$ + $10xy^4$ + $y^5$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(a+b)^n$ = $C_0^n.a^n$ + $C_1^n.a^{n-1}b$ + $C_2^n.a^{n-2}b^2$ + … + $C_{n-2}^n.a^2b^{n-2}$ + $C_{n-1}^nab^{n-1}$ + $C_n^n.b^n$$(2x+y)^5$ = $C_0^5.(2x)^5$ + $C_1^5(2x)^4y$ + $C_2^5(2x)^3y^2$ + $C_3^5(2x)^2y^3$ + $C_4^5.(2x)y^4$ + $C_5^5.y^5$
$(2x+y)^5$ = $1.32x^5$ + $5.16x^4y$ + $10.8x^3y^2$ + $10.4x^2y^3$ + $5.2x.y^4$ + $1.y^5$
$(2x+y)^5$ = $32x^5$ + $80x^4y$ + $80x^3y^2$ + $40x^2y^3$ + $10xy^4$ + $y^5$
Jawaban: B
Soal No. 2
Koefisien dari $x^3y^3$ dalam ekspansi $(-2x+y)^6$ adalah …A. $-192$
B. $-160$
C. $-12$
D. 60
E. 240
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(a+b)^n$ maka suku ke-$r$ = $C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1}$$(-2x+y)^6$ maka $a=-2x$, $b=y$, dan $n=6$
Misalkan koefisien dari $x^3y^3$ adalah $k$ dan $kx^3y^3$ adalah suku ke-$r$, maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^3y^3 &= C_{r-1}^6.(-2x)^{6-r+1}.y^{r-1} \\ &= C_{r-1}^6.(-2x)^{7-r}.y^{r-1} \\ kx^3y^3 &= C_{r-1}^6.(-2)^{7-r}.x^{7-r}.y^{r-1} \end{align}$
Pangkat variabel $y$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$r-1=3\to r=4$
Substitusi $r=4$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^3y^3 &= C_{r-1}^6.(-2)^{7-r}.x^{7-r}.y^{r-1} \\ &= C_{4-1}^6.(-2)^{7-4}.x^{7-4}.y^{4-1} \\ &= C_3^6.(-2)^3.x^3.y^3 \\ &= \frac{6!}{3!.3!}.(-8x^3y^3) \\ &= \frac{6.5.4.\cancel{3!}}{3.2.1.\cancel{3!}}.(-8x^3y^3) \\ kx^3y^3 &= -160x^3y^3 \\ k &= -160 \end{align}$
Jadi, koesfisien dari $x^3y^3$ dalam ekspansi $(-2x+y)^6$ adalah $-160$.
Jawaban: B
Soal No. 3
Koefisien $x^2y^2$ dari $(5x+2y)^4$ adalah …A. 125
B. 160
C. 500
D. 525
E. 600
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(5x+2y)^4$ maka $a=5x$, $b=2y$, dan $n=4$Misalkan koefisien $x^2y^2$ adalah $k$ dan $kx^2y^2$ suku ke-r , maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^2y^2 &= C_{r-1}^4.(5x)^{4-r+1}.(2y)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^4.(5x)^{5-r}.(2y)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^4.5^{5-r}.x^{5-r}.2^{r-1}.y^{r-1} \\ kx^2y^2 &= C_{r-1}^4.5^{5-r}.2^{r-1}.x^{5-r}y^{r-1} \end{align}$
Pangkat variabel $y$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$r-1=2\to r=3$
Substitusi $r=3$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^2y^2 &= C_{r-1}^4.5^{5-r}.2^{r-1}.x^{5-r}y^{r-1} \\ &= C_{3-1}^4.5^{5-3}.2^{3-1}.x^{5-3}y^{3-1} \\ &= C_2^4.5^2.2^2.x^2y^2 \\ &= \frac{4!}{2!.2!}.25.4.x^2y^2 \\ &= \frac{4.3.\cancel{2!}}{2.1.\cancel{2!}}.25.4.x^2y^2 \\ kx^2y^2 &= 600x^2y^2 \\ k &= 600 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^2y^2$ adalah 600.
Jawaban: E
Soal No. 4
Koefisien suku yang mengandung $x^6$ dari ekspansi $\left( x+\frac{2}{x} \right)^8$ adalah …A. 16
B. 32
C. 112
D. 224
E. 448
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( x+\frac{2}{x} \right)^8$ maka $a=x$, $b=\frac{2}{x}$, dan $n=8$Misalkan $k$ adalah koefisien $x^6$ dan $kx^6$ adalah suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^6 &= C_{r-1}^8.x^{8-r+1}.\left( \frac{2}{x} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^8.x^{9-r}.\frac{{2^{r-1}}}{x^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^8.2^{r-1}.x^{9-r-r+1} \\ kx^6 &= C_{r-1}^8.2^{r-1}.x^{10-2r} \end{align}$
Pangkat variabel $x$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$\begin{align}6 &= 10-2r \\ 2r &= 4 \\ r &= 2 \end{align}$
Substitusi $r=2$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^6 &= C_{r-1}^8.2^{r-1}.x^{10-2r} \\ &= C_{2-1}^8.2^{2-1}.x^{10-2.2} \\ &= C_1^8.2x^6 \\ &= 8.2x^6 \\ kx^6 &= 16x^6 \\ k &= 16 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^6$ adalah 16.
Jawaban: A
Soal No. 5
Dari bentuk perpangkatan $(2x+3)^5$, perbandingan koefisien $x^3$ dan $x^5$ adalah …A. 45 : 2
B. 10 : 1
C. 5 : 2
D. 2 : 45
E. 2 : 5
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(2x+3)^5$ maka $a=2x$, $b=3$, $n=5$$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ &= C_{r-1}^5.(2x)^{5-r+1}.3^{r-1} \\ &= C_{r-1}^5.(2x)^{6-r}.3^{r-1} \\ \text{suku ke-}r &=C_{r-1}^5.2^{6-r}.3^{r-1}.x^{6-r} \end{align}$
$x^3$ diperoleh untuk $r=3$
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^5.2^{6-r}.3^{r-1}.x^{6-r} \\ \text{suku ke-}3 &= C_{3-1}^5.2^{6-3}.3^{3-1}.x^{6-3} \\ &= C_2^5.2^3.3^2.x^3 \\ &= \frac{5!}{2!.3!}.8.9.x^3 \\ &= \frac{5.4.\cancel{3!}}{2.1.\cancel{3!}}.8.9.x^3 \\ \text{suku ke-}3 &= 720x^3 \end{align}$
Diperoleh koefisien $x^3$ adalah 720.
$x^5$ diperoleh untuk $r=1$, maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^5.2^{6-r}.3^{r-1}.x^{6-r} \\ \text{suku ke-}1 &= C_{1-1}^5.2^{6-1}.3^{1-1}.x^{6-1} \\ &= C_0^5{{.2}^5}.3^0.x^5 \\ \text{suku ke-}1 &= 32x^3 \end{align}$
Diperoleh koefisien $x^5$ adalah 32.
perbandingan koefisien $x^3$ dan $x^5$ adalah $720:32=45:2$.
Jawaban: A
Soal No. 6
Koefisien $x^4$ dari hasil ekspansi $\left( x^2-\frac{1}{x^2} \right)^4$ adalah …A. $-15$
B. $-6$
C. $-4$
D. 6
E. 15
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( x^2-\frac{1}{x^2} \right)^4$ maka $a=x^2$, $b=-\frac{1}{x^2}$, dan $n=4$.Misalkan $k$ adalah koefisien $x^4$ dan $kx^4$ adalah suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^4 &= C_{r-1}^4.(x^2)^{4-r+1}.\left( -\frac{1}{x^2} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^4.(x^2)^{5-r}.\left( -\frac{1}{x^2} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^4.x^{10-2r}.\frac{(-1)^{r-1}}{(x^2)^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^4.(-1)^{r-1}.\frac{x^{10-2r}}{x^{2r-2}} \\ &= C_{r-1}^4.(-1)^{r-1}.x^{10-2r-2r+2} \\ kx^4 &= C_{r-1}^4.(-1)^{r-1}.x^{12-4r} \end{align}$
Pangkat varaibel $x^4$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$\begin{align}4 &= 12-4r \\ 4r &= 8 \\ r &= 2 \end{align}$
Substitusi $r=2$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^4 &= C_{r-1}^4.(-1)^{r-1}.x^{12-4r} \\ &= C_{2-1}^4.(-1)^{2-1}.x^{12-4.2} \\ &= C_1^4.(-1).x^4 \\ kx^4 &= -4x^4 \\ k &= -4 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^4$ adalah $-4$.
Jawaban: C
Soal No. 7
Koefisien $x$ dari hasil ekspansi $\left( 2x+\frac{1}{x} \right)^5$ adalah …A. 8
B. 10
C. 16
D. 40
E. 80
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( 2x+\frac{1}{x} \right)^5$ maka $a=2x$, $b=\frac{1}{x}$, dan $n=5$.Misalkan $k$ adalah koefisien $x$ dan $kx$ adalah suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^na^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx &= C_{r-1}^5.(2x)^{5-r+1}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^5.(2x)^{6-r}.\left( \frac{1}{x} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^5.2^{6-r}.x^{6-r}.\frac{1}{x^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^5.2^{6-r}.x^{6-r-r+1} \\ kx &= C_{r-1}^5.2^{6-r}.x^{7-2r} \end{align}$
Pangkat variabel $x$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$\begin{align}1 &= 7-2r \\ 2r &= 6 \\ r &= 3 \end{align}$
Substitusi $r=3$ ke persamaan:
$\begin{align}kx&=C_{r-1}^5.2^{6-r}.x^{7-2r} \\ &= C_{3-1}^5.2^{6-3}.{{x}^{7-2.3}} \\ &= C_2^5.2^3.x \\ &= \frac{5!}{2!.3!}.8x \\ &= \frac{5.4.\cancel{3!}}{2.1.\cancel{3!}}.8x \\ kx &= 80x \end{align}$
Jadi, koefisien $x$ adalah 80.
Jawaban: E
Soal No. 8
Nilai konstanta dari hasil ekspansi $\left( \frac{x}{2}+\frac{2}{x} \right)^6$ adalah …A. 1
B. 2
C. 8
D. 15
E. 20
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( \frac{x}{2}+\frac{2}{x} \right)^6$ maka $a=\frac{x}{2}$, $b=\frac{2}{x}$, dan $n=6$Misalkan $k=kx^0$ adalah konstanta dan suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^0 &= C_{r-1}^6.\left( \frac{x}{2} \right)^{6-r+1}.\left( \frac{2}{x} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^6.\left( \frac{x}{2} \right)^{7-r}.\left( \frac{2}{x} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^6.\frac{x^{7-r}}{2^{7-r}}.\frac{2^{r-1}}{x^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^6.x^{7-r-r+1}.2^{r-1-7+r} \\ kx^0 &= C_{r-1}^6.x^{8-2r}.2^{2r-8} \end{align}$
Pangkat variabel $x$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$\begin{align}0 &= 8-2r \\ 2r &= 8 \\ r &= 4 \end{align}$
Substitusi $r=4$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^0 &= C_{r-1}^6.x^{8-2r}.2^{2r-8} \\ k &= C_{r-1}^6.x^{8-2.4}{{.2}^{2.4-8}} \\ &= C_3^6.x^0{{.2}^{0}} \\ &= \frac{6!}{3!.3!}.1.1 \\ &= \frac{6.5.4.\cancel{3!}}{3.2.1.\cancel{3!}} \\ k &= 20 \end{align}$
Jadi, konstanta = 20.
Jawaban: E
Soal No. 9
Koefisien $x^0$ dari hasil ekspansi $\left( 3x-\frac{2}{3x} \right)^6$ adalah …A. $-160$
B. $-80$
C. $-8$
D. 80
E. 160
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( 3x-\frac{2}{3x} \right)^6$ maka $a=3x$, $b=-\frac{2}{3x}$, dan $n=6$.Misalkan $k$ adalah koefisien $x^0$ dan $kx^0$ adalah suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^0 &= C_{r-1}^6.(3x)^{6-r+1}.\left( -\frac{2}{3x} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^6.(3x)^{7-r}.\left( -\frac{2}{3x} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^6.3^{7-r}x^{7-r}.\frac{\left( -2 \right)^{r-1}}{(3x)^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^6.3^{7-r}.x^{7-r}.\frac{\left( -2 \right)^{r-1}}{3^{r-1}x^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^6.3^{7-r-r+1}.\left( -2 \right)^{r-1}.x^{7-r-r+1} \\ kx^0 &= C_{r-1}^6.3^{8-2r}.\left( -2 \right)^{r-1}.x^{8-2r} \end{align}$
Pangkat variabel $x$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$\begin{align}0 &= 8-2r \\ 2r &= 8 \\ r &= 4 \end{align}$
Substitusi $r=4$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^0 &= C_{r-1}^6.3^{8-2r}.\left( -2 \right)^{r-1}.x^{8-2r} \\ &= C_{4-1}^6.3^{8-2.4}.\left( -2 \right)^{4-1}.x^{8-2.4} \\ &= C_3^6.3^0.\left( -2 \right)^3x^0 \\ &= \frac{6!}{3!.3!}.\left( -8 \right)x^0 \\ &= \frac{6.5.4.\cancel{3!}}{3.2.1.\cancel{3!}}.\left( -8 \right)x^0 \\ kx^0 &= -160x^0 \\ k &= -160 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^0$ adalah $-160$.
Jawaban: A
Soal No. 10
Suku ke-4 dari hasil ekspansi $\left( x-\frac{1}{2x} \right)^7$ adalah …A. $-\frac{35}{16}x^{-1}$
B. $-\frac{35}{8}x^{-1}$
C. $-\frac{35}{8}x$
D. $-\frac{35}{16}x$
E. $\frac{35}{16}x$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( x-\frac{1}{2x} \right)^7$ maka $a=x$, $b=-\frac{1}{2x}$, dan $n=7$.$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ \text{suku ke-}4 &= C_{4-1}^7.x^{7-4+1}.\left( -\frac{1}{2x} \right)^{4-1} \\ &= C_3^7.x^4.\left( -\frac{1}{2x} \right)^3 \\ &= \frac{7!}{3!.4!}.x^4.\frac{-1}{8x^3} \\ &= \frac{7.6.5.\cancel{4!}}{3.2.1.\cancel{4!}}.\left( -\frac{1}{8} \right)x \\ \text{suku ke-}4 &= -\frac{35}{8}x \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 11
Suku kelima dari penjabaran $(3x+y)^7$ adalah …A. $2x^5y^2$
B. $12x^4y^3$
C. $945x^3y^4$
D. $1215x^2y^5$
E. $955x^3y^4$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(3x+y)^7$ maka $a=3x$, $b=y$, dan $n=7$.$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ \text{suku ke-}5 &= C_{5-1}^7.(3x)^{7-5+1}.y^{5-1} \\ &= C_4^7.(3x)^3.y^4 \\ &= \frac{7!}{4!.3!}.27x^3y^4 \\ &= \frac{7.6.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}.3.2.1}.27x^3y^4 \\ \text{suku ke-}5 &= 945x^3y^4 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 12
Koefisien dari $x^3y^2$ dari hasil perpangkatan $(2x+3y)^5$ adalah …A. 120
B. 360
C. 520
D. 720
E. 960
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(2x+3y)^5$ maka $a=2x$, $b=3y$, dan $n=5$.Misalkan $k$ adalah koefisien $x^3y^2$ dan $kx^3y^2$ adalah suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^3y^2 &= C_{r-1}^5.(2x)^{5-r+1}.(3y)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^5.(2x)^{6-r}.(3y)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^5.2^{6-r}x^{6-r}.3^{r-1}y^{r-1} \\ kx^3y^2 &= C_{r-1}^5.2^{6-r}.3^{r-1}x^{6-r}y^{r-1} \end{align}$
Pangkat variabel $y$ di ruas kanan dan kiri harus sama, maka:
$r-1=2\to r=3$
Substitusi $r=3$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^3y^2 &= C_{r-1}^5.2^{6-r}.3^{r-1}x^{6-r}y^{r-1} \\ &= C_{3-1}^5.2^{6-3}.3^{3-1}x^{6-3}y^{3-1} \\ &= C_2^5.2^3.3^2x^3y^2 \\ &= \frac{5!}{2!.3!}.72x^3y^2 \\ &= \frac{5.4.\cancel{3!}}{2.1.\cancel{3!}}.72x^3y^2 \\ kx^3y^2 &= 720x^3y^2 \\ k &= 720 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^3y^2$ adalah 720.
Jawaban: D
Soal No. 13
Soal Olimpiade Matematika Merdeka Science Olympiad (MSO) 2025Tentukan hasil dari $\sum\limits_{j=0}^{2022}{\left( \left( \begin{matrix} 2022 \\ j \\ \end{matrix} \right)\sum\limits_{i=0}^j{\left( \begin{matrix} j \\ i \\ \end{matrix} \right)2021^i} \right)}$.
A. $2021^{2024}$
B. $2022^{2022}$
C. $2023^{2022}$
D. $2024^{2023}$
E. $2025^{2022}$
Pembahasan: Lihat/Tutup
Ekspansi binomial newton, $\sum\limits_{k=0}^n{\left( \begin{matrix} n \\ k \\ \end{matrix} \right)}{{x}^{n-k}}{{y}^{k}}={{(x+y)}^n}$ maka:$\sum\limits_{j=0}^{2022}\left( \left( \begin{matrix} 2022 \\ j \\\end{matrix} \right)\sum\limits_{i=0}^j\left( \begin{matrix} j \\ i \\ \end{matrix} \right)2021^i \right)$
= $\sum\limits_{j=0}^{2022}{\left( \left( \begin{matrix} 2022 \\ j \\ \end{matrix} \right)\sum\limits_{i=0}^j\left( \begin{matrix} j \\ i \\ \end{matrix} \right){1^{j-i}}.2021^i \right)}$
= $\sum\limits_{j=0}^{2022}{\left( \left( \begin{matrix} 2022 \\ j \\ \end{matrix} \right)(1+2021)^j \right)}$
= $\sum\limits_{j=0}^{2022}{\left( \left( \begin{matrix} 2022 \\ j \\ \end{matrix} \right)(2022)^j \right)}$
= $\sum\limits_{j=0}^{2022}{\left( \left( \begin{matrix} 2022 \\ j \\ \end{matrix} \right)1^{2022-j}.2022^j \right)}$
= $(1+2022)^{2022}$
= $2023^{2022}$
Jawaban: C
Soal No. 14
Nilai dari $\sum\limits_{k=1}^{2007}{\left( \begin{matrix} 2008 \\ k \\ \end{matrix} \right).2008^k}$ adalah …A. $2008^{2008}-{{2007}^{2008}}-1$
B. $2008^{2008}-2008^{2008}-1$
C. $2009^{2008}-2008^{2008}-1$
D. $2000^{2007}-2008^{2007}-1$
E. $2009^{2009}-2008^{2008}-1$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\sum\limits_{k=1}^{2007}{\left( \begin{matrix} 2008 \\ k \\ \end{matrix} \right).2008^k}$= $\sum\limits_{k=1}^{2007}{C_{k}^{2008}.2008^k}$
= $C_1^{2008}.2008^1$ + $C_2^{2008}.2008^2$+ … + $C_{2007}^{2008}{{.2008}^{2007}}$
= $C_1^{2008}.1^{2008-1}.2008^1$ + $C_2^{2008}.1^{2008-2}.2008^2$ + … + $C_{2007}^{2008}.1^{2008-2007}2008^{2007}$
= $C_0^{2008}.1^{2008}$ + $C_1^{2008}.1^{2008-1}.2008^1$ + $C_2^{2008}.2^{2008-2}.2008^2$ + … + $C_{2007}^{2008}.1^{2008-2007}2008^{2007}$ + $C_{2008}^{2008}.2008^{2008}$ – $C_{2008}^{2008}.2008^{2008}$ – $C_0^{2008}.1^{2008}$
= $( 1+2008)^{2008}$ – $2008^{2008}$ – 1
= $2009^{2008}$ – $2008^{2008}$ – 1
Jawaban: C
Soal No. 15
Jumlah koefisien dari $(8x-7y)^{100}+(5x-6y)^{100}$ adalah …A. $-1$
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
Pembahasan: Lihat/Tutup
Jumlah koefisien sebuah ekspansi dapat dicari dengan mensubstitusi variabel dengan 1, pada soal ini substitusi $x=1$ dan $y=1$ ke:$(8x-7y)^{100}+(5x-6y)^{100}$
$(8.1-7.1)^{100}+(5.1-6.1)^{100}$ = $1^{100}+(-1)^{100}$ = 1 + 1 = 2.
Jawaban: D
Soal No. 16
Diketahui suku kedua dan suku ketiga dari penjabaran $\left( 1+\frac{1}{4} \right)^n$ nilainya sama. Nilai $n$ adalah …A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
E. 11
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( 1+\frac{1}{4} \right)^n$, maka $a=1$, $b=\frac{1}{4}$$\text{suku ke-}r=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1}$
Suku ke-2 = suku ke-3 maka:
$C_{2-1}^n.1^{n-2+1}.\left( \frac{1}{4} \right)^{2-1}$ = $C_{3-1}^n.1^{n-3+1}.\left( \frac{1}{4} \right)^{3-1}$
$\begin{align}C_1^n.\frac{1}{4} &= C_2^n.\left( \frac{1}{4} \right)^2 \\ C_1^n &= C_2^n.\frac{1}{4} \\ n &= \frac{n!}{2!(n-2)!}.\frac{1}{4} \\ n &= \frac{n(n-1)\cancel{(n-2)!}}{2.1.\cancel{(n-2)!}.4} \\ n &= \frac{n(n-1)}{8} \\ n^2-n &= 8n \\ n^2-9n &= 0 \\ n(n-9) &= 0 \\ n-9 &= 0 \\ n &= 9 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 17
Jika A menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d)^6$ dan B menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d+e)^4$, maka selisih A dan B adalah …A. 12
B. 14
C. 15
D. 16
E. 20
Pembahasan: Lihat/Tutup
Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^n$ adalah $C_n^{n+k-1}$ dengan $n$ adalah pangkat dan $k$ adalah banyak suku sebelum diekspansi.A = banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d)^6$
Pangkat = $n=6$ dan banyak suku sebelum ekspansi = $k=4$, maka:
$\begin{align}A &= C_n^{n+k-1} \\ &= C_6^{4+6-1} \\ &= C_6^9 \\ &= \frac{9!}{6!.3!} \\ &= \frac{9.8.7.\cancel{6!}}{\cancel{6!}.3.2.1} \\ A &= 84 \end{align}$
B = banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d+e)^4$
pangkat = $n=4$ dan banyak suku sebelum ekspansi = $k=4$, maka:
$\begin{align}B &= C_n^{n+k-1} \\ &= C_4^{5+4-1} \\ &= C_4^8 \\ &= \frac{8!}{4!.4!} \\ &= \frac{8.7.6.5.\cancel{4!}}{4.3.2.1.\cancel{4!}} \\ B &= 70 \end{align}$
Selisih A dan B adalah:
$A-B=84-70=14$
Jawaban: B
Soal No. 18
Nilai dari $C_0^{2020}$ + $C_1^{2020}$ + $C_2^{2020}$ + ... + $C_{2020}^{2020}$ adalah …A. 2020
B. $2^{1010}$
C. $2^{2019}$
D. $2^{2020}$
E. $10^{2020}$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$C_0^{2020}$ + $C_1^{2020}$ + $C_2^{2020}$ + ... + $C_{2020}^{2020}$= $C_0^{2020}.1^{2020}$ + $C_1^{2020}.1^{2019}.1^1$ + $C_2^{2020}.1^{2018}.1^2$ + ... + $C_{2020}^{2020}.1^{2020}$
= $(1+1)^{2020}$
= $2^{2020}$
Jawaban: D
Soal No. 19
Koefisien dari $a^2b^3c^6$ dari ekspansi $(a+b+c)^{11}$ adalah …A. 3.520
B. 3.880
C. 4.520
D. 4.620
E. 5.080
Pembahasan: Lihat/Tutup
Jika ${{(a+b+c)}^n}$ maka koefisien $a^pb^qc^r$ adalah $C_p^n.C_q^{n-p}.C_r^{n-p-q}$.$(a+b+c)^{11}$ maka $n=11$
suku $a^2b^3c^6$ maka $p=2$, $q=3$, dan $r=6$ maka koefisien dari $a^2b^3c^6$ adalah:
$C_p^n.C_q^{n-p}.C_r^{n-p-r}$
= $C_2^{11}.C_3^{11-2}.C_6^{11-2-3}$
= $C_2^{11}.C_3^9.C_6^6$
= $\frac{11!}{2!.9!}.\frac{9!}{3!.6!}.\frac{6!}{6!.0!}$
= $\frac{11.10.\cancel{9!}}{2.1.\cancel{9!}}.\frac{9.8.7.\cancel{6!}}{3.2.1.\cancel{6!}}.\frac{\cancel{6!}}{\cancel{6!}.1}$
= $55\times 84\times 1$
= 4.620
Jawaban: D
Soal No. 20
Konstanta dari penjabaran $\left( 3x^3-\frac{2}{x} \right)^8$ adalah …A. 14.328
B. 15.552
C. 16.112
D. 16.128
E. 16.136
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( 3x^3-\frac{2}{x} \right)^8$ maka $a=3x^3$, $b=-\frac{2}{x}$, dan $n=8$.Misalkan $k=kx^0$ adalah konstanta dan suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^0 &= C_{r-1}^8.(3x^3)^{8-r+1}.\left( -\frac{2}{x} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^8.(3x^3)^{9-r}.\frac{(-2)^{r-1}}{x^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^8.3^{9-r}.(x^3)^{9-r}.\frac{(-2)^{r-1}}{x^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^8.3^{9-r}.x^{27-3r}.\frac{(-2)^{r-1}}{x^{r-1}} \\ &= C_{r-1}^8.3^{9-r}(-2)^{r-1}x^{27-3r-r+1} \\ kx^0 &= C_{r-1}^8.3^{9-r}.(-2)^{r-1}x^{28-4r} \end{align}$
Pangkat variabel $x$ di ruas kiri dan kanan harus sama, maka:
$\begin{align}0 &= 28-4r \\ 4r &= 28 \\ r &= 7 \end{align}$
Substitusi $r=7$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^0 &= C_{r-1}^8.3^{9-r}.(-2)^{r-1}x^{28-4r} \\ &= C_{7-1}^8.3^{9-7}.(-2)^{7-1}x^{28-4.7} \\ &= C_6^8.3^2.(-2)^6x^0 \\ &= \frac{8!}{6!.2!}.9.64x^0 \\ &= \frac{8.7.\cancel{6!}}{\cancel{6!}.2.1}.576x^0 \\ kx^0 &= 16128x^0 \\ k &= 16128 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 21
Koefisien suku yang mengandung $x^4$ dari ekspansi $\left( \frac{2}{x}+\frac{x^2}{4} \right)^{14}$ adalah …A. $\frac{3003}{2}$
B. $\frac{3003}{4}$
C. $\frac{3003}{8}$
D. $\frac{3003}{16}$
E. $\frac{1551}{16}$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( \frac{2}{x}+\frac{x^2}{4} \right)^{14}$ maka $a=\frac{2}{x}$, $b=\frac{x^2}{4}$, dan $n=14$.Misalkan $k$ koefisien dari $x^4$ dan $kx^4$ suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &= C_{r-1}^8.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^4 &= C_{r-1}^{14}\left( \frac{2}{x} \right)^{14-r+1}\left( \frac{x^2}{4} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^{14}\left( \frac{2}{x} \right)^{15-r}\left( \frac{x^2}{2^2} \right)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^{14}.\frac{2^{15-r}}{x^{15-r}}.\frac{x^{2r-2}}{2^{2r-2}} \\ &= C_{r-1}^{14}.2^{15-r-2r+2}.x^{2r-2-15+r} \\ kx^4 &= C_{r-1}^{14}.2^{17-3r}.x^{3r-17} \end{align}$
Pangkat variabel $x$ di ruas kanan dan kiri harus sama, maka:
$\begin{align}3r-17 &= 4 \\ 3r &= 21 \\ r &= 7 \end{align}$
Substitusi $r=7$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^4 &= C_{r-1}^{14}.2^{17-3r}.x^{3r-17} \\ &= C_{7-1}^{14}.2^{17-3.7}.x^{3.7-17} \\ &= C_{6}^{14}.2^{-4}.x^4 \\ &= \frac{14!}{6!.8!}.\frac{1}{2^4}.x^4 \\ &= \frac{14.13.12.11.10.9.\cancel{8!}}{6.5.4.3.2.1.\cancel{8!}}.\frac{1}{16}x^4 \\ kx^4 &= \frac{3003}{16}x^4 \\ k &= \frac{3003}{16} \end{align}$
Jadi, koefisien $x^4$ adalah $\frac{3003}{16}$.
Jawaban: D
Soal No. 22
Koefisien suku yang mengandung $x^{14}$ dari ekspansi $(x+2x^3)^{10}$ adalah …A. 40
B. 90
C. 120
D. 180
E. 360
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(x+2x^3)^{10}$ maka $a=x$, $b=2x^3$, dan $n=10$.Misalkan $k$ koefisien dari $x^{14}$ dan $kx^{14}$ suku ke-r maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ kx^{14} &= C_{r-1}^{10}.x^{10-r+1}.(2x^3)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^{10}.x^{11-r}.2^{r-1}x^{3r-3} \\ &= C_{r-1}^{10}.2^{r-1}.x^{11-r+3r-3} \\ kx^{14} &= C_{r-1}^{10}.2^{r-1}.x^{2r+8} \end{align}$
Pangkat variabel $x$ di ruas kanan dan kiri harus sama, maka:
$\begin{align}2r+8 &= 14 \\ 2r &= 6 \\ r &= 3 \end{align}$
Substitusi $r=3$ ke persamaan:
$\begin{align}kx^{14} &= C_{r-1}^{10}.2^{r-1}.x^{2r+8} \\ &= C_{3-1}^{10}.2^{3-1}.x^{2.3+8} \\ &= C_2^{10}.2^2.x^{14} \\ &= \frac{10!}{2!.8!}.4x^{14} \\ &= \frac{10.9.8!}{2.1.8!}.4x^{14} \\ kx^{14} &= 180x^{14} \\ k &= 180 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^{14}$ adalah 180.
Jawaban: D
Soal No. 23
Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka suku keenam setelah $\left( 2x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}} \right)^9$ diekspansi adalah …A. $-\frac{63}{32}x^{\frac{13}{4}}$
B. $\frac{63}{32}x^{\frac{13}{4}}$
C. $-\frac{31}{16}x^{\frac{9}{4}}$
D. $\frac{31}{16}x^{\frac{9}{4}}$
E. $-\frac{15}{8}x^{\frac{5}{4}}$
Pembahasan: Lihat/Tutup
$\left( 2x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}} \right)^9$ maka $a=2x^{\frac{1}{2}}$, $b=-\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}}$, dan $n=9$.$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^n.a^{n-r+1}b^{r-1} \\ \text{suku ke-}6 &=C_{6-1}^9.\left( 2x^{\frac{1}{2}} \right)^{9-6+1}.\left( -\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}} \right)^{6-1} \\ &= C_{6-1}^9.\left( 2x^{\frac{1}{2}} \right)^4.\left( -\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}} \right)^5 \\ &= \frac{9!}{5!.4!}.2^4.x^2\left( -\frac{1}{4^5} \right)x^{\frac{5}{4}} \\ &= \frac{9.8.7.6.\cancel{5!}}{\cancel{5!}.4.3.2.1}.4^2.\left( \frac{-1}{4^5} \right)x^{2+\frac{5}{4}} \\ &= 126.\left( \frac{-1}{4^3} \right)x^{\frac{13}{4}} \\ &= -\frac{126}{64}x^{\frac{13}{4}} \\ \text{suku ke-}6 &=-\frac{63}{32}x^{\frac{13}{4}} \end{align}$
Jawaban: A
Soal No. 24
Misalkan $S=(x-1)^4+4(x-1)^3+6(x-1)^2+4(x-1)+1$ jika disederhanakan, maka S = …A. $(x-2)^4$
B. $(x-1)^4$
C. $x^4$
D. $(x+1)^4$
E. $x^4+1$
Pembahasan: Lihat/Tutup
Perhatikan,$(a+1)^4$ = $a^4+4a^3+6a^2+4a+1$
$S=(x-1)^4+4(x-1)^3+6(x-1)^2+4(x-1)+1$
Misalkan $x-1=a$ maka:
$S=(x-1)^4+4(x-1)^3+6(x-1)^2+4(x-1)+1$
$S=a^4+4a^3+6a^2+4a+1$
$S=(a+1)^4$
$S=(x-1+1)^4$
$S=x^4$
Jawaban: C
Soal No. 25
Banyaknya suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi $(3x^2-2y^3)^8$ adalah …A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Pembahasan: Lihat/Tutup
$(3x^2-2y^3)^8$ maka $a=3x^2$, $b=-2y^3$, dan $n=8$.Misalkan suku ke-r memuat $x^7$maka:
$\begin{align}\text{suku ke-}r &=C_{r-1}^na^{n-r+1}b^{r-1} \\ &= C_{r-1}^8.(3x^2)^{8-r+1}.(-2y^3)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^8.(3x^2)^{9-r}.(-2y^3)^{r-1} \\ &= C_{r-1}^8.3^{9-r}x^{18-2r}.(-2)^{r-1}y^{3r-3} \\ &= C_{r-1}^8.3^{9-r}.(-2)^{r-1}x^{18-2r}y^{3r-3} \end{align}$
Agar memuat $x^7$ maka pangkat variabel $x$ yaitu:
$\begin{align}18-2r &= 7 \\ -2r &= -11 \\ r &= \frac{11}{2}\,(\text{bukan bilangan asli}) \end{align}$
Karena $r=\frac{11}{2}$ bukan bilangan asli maka ekspansi $(3x^2-2y^3)^8$ tidak memuat $x^7$.
Jadi, banyaknya suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi $(3x^2-2y^3)^8$ adalah 0.
Jawaban: A
Post a Comment for "Kumpulan Soal - Binomial Newton + Pembahasan"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.