PK4. Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat

A. Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$ dan $D=b^2-4ac$ maka:
• Jumlah akar: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
• Hasil Kali Akar: $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
• Selisih Akar: $x_1-x_2=\left| \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} \right|$

Rumus pendukung:
• Jumlah kuadrat akar-akar:
$x_1^2+x_2^2={{(x_1+x_2)}^{2}}-2x_1x_2$
• Selisih kuadrat akar-akar
$x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$
• Kuadrat jumlah akar-akar: $(x_1+x_2)^2$
• Kuadrat selisih akar-akar: $(x_1-x_2)^2$
• Jumlah pangkat tiga akar-akar:
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
• Selisih pangkat tiga akar-akar:
$x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)^3+3x_1x_2(x_1-x_2)$

Contoh 1.
Jika akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+5x-3=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ maka $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ = …
Penyelesaian:
$2x^2+5x-3=0$
$a=2$, $b=5$, $c=-3$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{2}$
$\begin{align}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} &= \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} \\ &= \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} \\ &= -\frac{5}{2}\times \left( -\frac{2}{3} \right) \\ &= \frac{5}{3} \end{align}$

Contoh 2.
Akar-akar persamaan $2x^2-6x-p=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1-x_2=5$, maka nilai $p$ adalah ...
Penyelesaian:
$2x^2-6x-p=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$
$a=2$, $b=-6$, $c=-p$
$\begin{align}x_1-x_2 &= \left| \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} \right| \\ 5 &= \left| \frac{\sqrt{(-6)^2-4.2.(-p)}}{2} \right| \\ 10 &= \left| \sqrt{36+8p} \right| \\ 100 &= 36+8p \\ 64 &= 8p \\ 8 &= p \end{align}$

Contoh 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat $3x^2+5x+1=0$ adalah α dan β, maka nilai $\frac{1}{\alpha ^2}+\frac{1}{\beta ^2}$ = …
Penyelesaian:
$3x^2+5x+1=0$, akar-akar $\alpha $ dan $\beta $
$a=3$, $b=5$, $c=1$
$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\frac{5}{3}$ dan $\alpha .\beta =\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$
$\begin{align}\frac{1}{\alpha ^2}+\frac{1}{\beta ^2} &= \frac{\beta ^2+\alpha ^2}{\alpha ^2.\beta ^2} \\ &= \frac{(\alpha +\beta )^2-2\alpha \beta }{(\alpha \beta )^2} \\ &= \frac{\left( -\frac{5}{3} \right)^2-2.\frac{1}{3}}{\left( \frac{1}{3} \right)^2} \\ &= \frac{\frac{25}{9}-\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} \\ &= \frac{19}{9}\times \frac{9}{1} \\ &= 19 \end{align}$

Contoh 4.
Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan $x^2-(2m+4)x+8m=0$ sama dengan 52 maka nilai $m$ = …
Penyelesaian:
$x^2-(2m+4)x+8m=0$, akar-akar $x_1$ dan $x_2$
$a=1$, $b=-(2m+4)=-2m-4$, $c=8m$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-(2m+4)}{1}=2m+4$
$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{8m}{1}=8m$
Jumlah kuadrat akar-akar sama dengan 52, maka:
$\begin{align}x_1^2+x_2^2 &= 25 \\ (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2 &= 25 \\ (2m+4)^2-2.8m &= 25 \\ 4m^2+16m+16-16m &= 25 \\ 4m^2 &= 25 \\ m^2 &= \frac{25}{4} \\ m &= \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ m &= \pm \frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $m=-\frac{5}{2}$ atau $m=\frac{5}{2}$

Contoh 5.
Akar-akar persamaan kuadrat $(p-2)x^2+4x+(p+2)=0$ adalah $\alpha $ dan $\beta $. Jika $\alpha \beta ^2+\alpha ^2\beta =-20$, maka $p$ = …
Penyelesaian:
$(p-2)x^2+4x+(p+2)=0$, akar-akar $\alpha $ dan $\beta $
$a=p-2$, $b=4$, $c=p+2$
$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}\to \alpha +\beta =-\frac{4}{p-2}$
$\alpha \beta =\frac{c}{a}\to \alpha \beta =\frac{p+2}{p-2}$
$\begin{align}\alpha \beta ^2+ \alpha ^2\beta &= -20 \\ \alpha \beta (\beta +\alpha ) &= 20 \\ \frac{p+2}{p-2}\times \frac{-4}{p-2} &= -20 \\ \frac{-4p-8}{p^2-4p+4} &= -20 \\ -4p-8 &= -20p^2+80p-80 \\ 20p^2-84p+72 &= 0 \\ 5p^2-21p+18 &= 0 \\ (5p-6)(p-3) &= 0 \end{align}$
$5p-6=0\to p=\frac{6}{5}$
$p-3=0\to p=3$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\frac{6}{5}$ atau 3.

Contoh 6.
Salah satu akar persamaan kuadrat $mx^2-3x+1=0$ dua kali akar yang lain, maka nilai m adalah …
Penyelesaian:
$mx^2-3x+1=0$, akar-akar $x_1$, $x_2$, dan $x_1=2x_2$
$a=m$, $b=-3$, $c=1$
$\begin{align}x_1+x_2 &= -\frac{b}{a} \\ 2x_2+x_2 &= -\frac{-3}{m} \\ 3x_2 &= \frac{3}{m} \\ x_2 &= \frac{1}{m} \end{align}$
$\begin{align}x_1.x_2 &= \frac{c}{a} \\ 2x_2.x_2 &= \frac{1}{m} \\ 2x_2^2 &= \frac{1}{m} \\ 2\left( \frac{1}{m} \right)^2 &= \frac{1}{m} \\ \frac{2}{m^2} &= \frac{1}{m} \\ m^2 &= 2m \\ m^2-2m &= 0 \\ m(m-2) &= 0 \end{align}$
$m=0$ (tidak memenuhi karena $a\ne 0$)
$m-2=0\to m=2$

B. Soal Latihan

1. Persamaan kuadrat $2x^2-3x-14=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Tentukan nilai $x_1+x_2+x_1x_2$.
2. Akar-akar persamaan kuadrat $x^2-6x+p=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1-x_2=2$ maka nilai $p$ = …
3. Persamaan kuadrat $2x^2-4x-5=0$ mempunyai akar-aka $x_1$ dan $x_2$. Tentukan nilai $x_1^2+x_2^2$.
4. Persamaan kuadrat $2x^2-4x+3=0$ mempunyai akar-akar $\alpha $ dan $\beta $. Tentukan nilai $\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }$.
5. Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+k=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ dan $x_1^2-x_2^2=15$, maka nilai $k$ = …

Share :