Polinomial 4. Teorema Sisa dan Teorema Faktor Suku Banyak

Jika $f(x)$ dibagi $g(x)$ memberikan hasil $h(x)$ dan sisa $s(x)$ maka $f(x)=g(x).h(x)+s(x)$, untuk mudahnya ingat saja:
$\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times \text{hasil}+\text{sisa}$

A. Teorema Sisa 1

Jika $f(x)$ dibagi $(x-k)$ maka sisa $s=f(k)$

Contoh 1.
Tentukan sisa pembagian suku banyak $f(x)=2x^3-4x^2+3x+7$ oleh $(x+2)$.
Penyelesaian:
$f(x)=2x^3-4x^2+3x+7$ dibagi $\underbrace{(x+2)}_{k=-2}$maka sisanya adalah:
$\begin{align}s &= f(k) \\ &= f(-2) \\ &= 2(-2)^3-4(-2)^2+3(-2)+7 \\ &= -16-16-6+7 \\ &= -31 \end{align}$
Jadi, $f(x)=2x^3-4x^2+3x+7$ dibagi $(x+2)$ sisanya $s=-31$.

---

Contoh 2.
Tentukan nilai $p$ jika $f(x)=x^3+px^2-4x+3$ dibagi $(x-5)$ sisanya 283.
Penyelesaian:
Berdasarkan teorema sisa:
$f(x)=x^3+px^2-4x+3$ dibagi $\underbrace{(x-5)}_{k=5}$ maka sisanya:
$\begin{align}f(k) &= 283 \\ f(5) &= 283 \\ 5^3+p.5^2-4.5+3 &= 283 \\ 125+25p-20+3 &= 283 \\ 25p &= 175 \\ p=7 \end{align}$

B. Teorema Sisa 2

Jika $f(x)$ dibagi $(ax-b)$ maka sisa $s=f\left( \frac{b}{a} \right)$

Contoh:
Tentukan sisa pembagian suku banyak $f(x)=2x^3-x^2-7x+5$ oleh $(2x+5)$.
Penyelesaian:
Pembagi = 0
$\begin{align}2x+5 &= 0 \\ 2x &= -5 \\ x &= -\frac{5}{2} \end{align}$
$f(x)=2x^3-x^2-7x+5$ dibagi $(2x+5)$ maka sisanya adalah:
$\begin{align}f\left( -\frac{5}{2} \right) &= 2\left( -\frac{5}{2} \right)^3-\left( -\frac{5}{2} \right)^2-7\left( -\frac{5}{2} \right)+5 \\ &= -\frac{125}{4}-\frac{25}{4}+\frac{35}{2}+5 \\ &= -\frac{150}{4}+\frac{35}{2}+5 \\ &= -\frac{75}{2}+\frac{35}{2}+5 \\ &= -15 \end{align}$
Jadi, $f(x)=2x^3-x^2-7x+5$ dibagi $(2x+5)$ maka sisanya $-15$.

C. Teorema Sisa 3

Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka sisa $s=px+q$ dengan $f(a)=p(a)+q$ dan $f(b)=p(b)+q$.

Contoh 1.
Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+3)$ sisanya 10, jika dibagi $(x-4)$ sisanya $-4$. Tentukan sisanya jika $f(x)$ dibagi $(x^2-x-12)$.
Penyelesaian:
$f(x):(x+3)\to sisa=f(-3)=10$
$f(x):(x-4)\to sisa=f(4)=-4$
$f(x)$ dibagi $(x^2-x-12)$ maka sisa $s=px+q$ dengan:
$f(a)=p(a)+q$ maka:
$f(-3)=-3p+q=10\,....\,(1)$
$f(b)=p(b)+q$
$f(4)=4p+q=-4\,....\,(2)$
Eliminasi $q$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}-3p+q &= 10 \\ 4p+q &= -4 \end{align}}{\begin{align}-7p &= 14 \\ p &= -2 \end{align}}-$
Substitusi $p=-2$ ke persamaan (1):
$\begin{align}-3p+q &= 10 \\ -3(-2)+q &= 10 \\ 6+q &= 10 \\ q &= 4 \end{align}$
$S(x)=px+q=-2x+4$
Jadi, $f(x)$ dibagi $(x^2-x-12)$ sisanya $S(x)=-2x+4$.

---

Contoh 2.
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x^2-4)$ sisanya $x+2$ dan dibagi $(x-3)$ sisanya 5. Tentukan sisa jika $f(x)$ dibagi $(x^2-5x+6)$.
Penyelesaian:
Ingat,
$\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times \text{hasil}+\text{sisa}$
$f(x):(x^2-4)$ sisanya $x+2$ maka:
$f(x)=(x^2-4)\times \text{hasil}+x+2$
$f(x)=\underbrace{(x+2)}_{x=-2}\underbrace{(x-2)}_{x=2}\times \text{hasil}+x+2$
$f(-2)=-2+2\Leftrightarrow f(-2)=0$
$f(2)=2+2\Leftrightarrow f(2)=4$
$f(x):(x-3)\to sisa=f(3)=5$
Jika $f(x)$ dibagi $(x^2-5x+6)$ sisanya $s=px+q$ maka:
$f(x)=(x^2-5x+6)\times hasil+px+q$
$f(x)=\underbrace{(x-2)}_{x=2}\underbrace{(x-3)}_{x=3}\times hasil+px+q$
$\frac{\begin{align}f(2)=2p+q &= 4 \\ f(3)=3p+q &= 5 \end{align}}{\begin{align}-p &= -1 \\ p &= 1 \end{align}}-$
$\begin{align}2p+q &= 4 \\ 2.1+q &= 4 \\ q &= 2 \end{align}$
$S(x)=px+q\Leftrightarrow S(x)=x+2$
Jadi, $f(x)$ dibagi $(x^2-5x+6)$ sisanya $(x+2)$.

---

Contoh 3.
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $-2$, sedangkan jika dibagi $(x-3)$ sisanya 7. Suku banyak $g(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya 3, dan jika dibagi $(x-3)$ sisanya 2. Diketahui suku banyak $h(x)=f(x).g(x)$, tentukan sisanya jika $h(x)$ dibagi $(x^2-2x-3)$.
Penyelesaian:
$f(x):(x+1)\to sisa=f(-1)=-2$
$f(x):(x-3)\to sisa=f(3)=7$
$g(x):(x+1)\to sisa=g(-1)=3$
$g(x):(x-3)\to sisa=g(3)=2$
$h(x)=f(x).g(x)$ dibagi $(x^2-2x-3)$ maka sisa $s=px+q$
$\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times \text{hasil}+\text{sisa}$
$f(x).g(x)=(x^2-2x-3)\times hasil+px+q$
$f(x).g(x)=\underbrace{(x+1)}_{x=-1}\underbrace{(x-3)}_{x=3}.hasil+px+q$
$\underbrace{f(-1).g(-1)}_{-2\times 3}=-p+q=-6\,....\,(1)$
$\underbrace{f(3).g(3)}_{7\times 2}=3p+q=14\,....\,(2)$
Eliminasi $q$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}-p+q &= -6 \\ 3p+q &= 14 \end{align}}{\begin{align}-4p &= -20 \\ p &= 5 \end{align}}-$
Substitusi $p=5$ ke persamaan (1):
$\begin{align}-p+q &= -6 \\ -5+q &= -6 \\ q &= -1 \end{align}$
$s=px+q\Leftrightarrow s=5x-1$
Jadi, $h(x)$ dibagi $(x^2-2x-3)$ sisanya $s=5x-1$.

---

Contoh 4.
Suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dibagi $(x-2)$ berturut-turut bersisa 20 dan 4. Jika dibagi oleh $(x-1)$ berturut-turut bersisa 2 dan $-2$. Jika $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, tentukan sisa pembagian $h(x)$ oleh $(x^2-3x+2)$.
Penyelesaian:
$f(x):(x-2)\to sisa=f(2)=20$
$g(x):(x-2)\to sisa=g(2)=4$
$f(x):(x-1)\to sisa=f(1)=2$
$g(x):(x-1)\to sisa=g(1)=-2$
$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ dibagi $(x^2-3x+2)$maka sisa $s=px+q$.
$\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times \text{hasil}+\text{sisa}$
$\frac{f(x)}{g(x)}=(x^2-3x+2).hasil+px+q$
$\frac{f(x)}{g(x)}=\underbrace{(x-2)}_{x=2}\underbrace{(x-1)}_{x=1}.hasil+px+q$
Untuk $x=2$ maka:
$\frac{f(2)}{g(2)}=2p+q=\frac{20}{4}\Leftrightarrow 2p+q=5\,....\,(1)$
Untuk $x=1$ maka:
$\frac{f(-1)}{g(-1)}=-p+q=\frac{2}{-2}\Leftrightarrow -p+q=-1\,....\,(2)$
Eliminasi $q$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}2p+q &= 5 \\ -p+q &= -1 \end{align}}{\begin{align}3p &= 6 \\ p &= 2 \end{align}}-$
Substitusi $p=2$ ke persamaan (1):
$\begin{align}2p+q &= 5 \\ 2.2+q &= 5 \\ q &= 1 \end{align}$
$s=px+q\Leftrightarrow s=2x+1$
Jadi, $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ dibagi $(x^2-3x+2)$ sisanya $s=2x+1$.

D. Teorema Faktor

Jika $(x-k)$ adalah faktor dari $f(x)$ maka $f(k)=0$
atau
Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi dengan $(x-k)$ maka $f(k)=0$

Contoh:
Salah satu faktor polinomial $x^3+px^2-4x+20$ adalah $(x+2)$. Tentukan faktor linear lainnya.
Penyelesaian:
$\underbrace{(x+2)}_{k=-2}$ adalah faktor dari $f(x)=x^3+px^2-4x+20$ maka:
$\begin{align}f(k) &= 0 \\ f(-2) &= 0 \\ (-2)^3+p(-2)^2-4(-2)+20 &= 0 \\ -8+4p+8+20 &= 0 \\ 4p &= -20 \\ p &= -5 \end{align}$
Diperoleh polinomial $x^3-5x^2-4x+20$.
Untuk memperoleh faktor lainnya, polinomial $x^3-5x^2-4x+20$ dibagi dengan $\underbrace{(x+2)}_{k=-2}$.

Hasil bagi adalah $x^2-7x+10$. Untuk menentukan faktor linear lainnya maka kita faktorkan $x^2-7x+10$ menjadi:
$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$.
Jadi, faktor linear lainnya adalah $(x-2)$ dan $(x-5)$.

E. Soal Latihan

1. Tentukan nilai $k$ jika polinomial $f(x)=5x^3-2kx^2+3x-3k$ dibagi $(x-3)$ sisanya 44.
2. Tentukan sisa pembagian suku banyak $f(x)=2x^3+5x^2+x-6$ oleh $(2x-1)$.
3. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+5)$ sisanya 2, jika dibagi $(x+2)$ sisanya $-10$. Tentukan sisanya jika $f(x)$ dibagi $(x^2+3x+10)$.
4. Polinomial $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa 11 dan jika dibagi $x^2-4x+3$ bersisa $3x+4$. Tentukan sisa pembagian polinomial $f(x)$ oleh $(x^2-5x+6)$.
5. Salah satu faktor polinomial $kx^3+11kx^2-6x-8$ adalah $(x+1)$. Tentukan nilai $k$ dan faktor lainnya.

Semoga postingan: Polinomial 4. Teorema Sisa dan Teorema Faktor Suku Banyak ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :