Logaritma 4. Pertidaksamaan Logaritma
![Pertidaksamaan Logaritma](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6YLOJ2olhW2O5t1QK1f78Kx4EGw-Do8yZOG7Ey8un5HGwVEat6R2bGqVT0CpKL7OpXxJIrdBh6clDjmtU8ZJksskwvplCjl0iHbnnQpLS06VkTp25b9-xyLeJBibkpm9zn19Z_ujrY5rFHk-N5Qq2mWBy_lVE6DK_WYEHrOzhuh0Bj4M9_7GWKy1QXA/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma.png)
A. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan Logaritma dan Penyelesaiannya
1. | Jika ${^a\log f(x)} \ge {^a\log g(x)}$ dan $a > 1$ maka: Solusi Sementara: HP1:$f(x)\ge g(x)$ Syarat: numerus > 0 HP: $f(x) > 0$ HP3: $g(x) > 0$ HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$ |
2. | Jika ${^a\log f(x)} \le {^a\log g(x)}$ dan $a > 1$ maka: Solusi Sementara: HP1: $f(x)\le g(x)$ Syarat: numerus > 0 HP: $f(x) > 0$ HP3: $g(x) > 0$ HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$ |
3. | Jika ${^a\log f(x)} \ge {^a\log g(x)}$ dan $0 < a < 1$ maka: Solusi Sementara: HP1: $f(x)\le g(x)$ Syarat: numerus > 0 HP: $f(x) > 0$ HP3: $g(x) > 0$ HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$ |
4. | Jika ${^a\log f(x)} \le {^a\log g(x)}$ dan $0 < a < 1$ maka: Solusi Sementara: HP1: $f(x)\ge g(x)$ Syarat: numerus > 0 HP: $f(x) > 0$ HP3: $g(x) > 0$ HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$ |
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^2\log (x-6) > 1$.Penyelesaian:
$\begin{align}^2\log (x-6) & > 1 \\ ^2\log (x-6) & > {^2\log 2} \\ {^a\log f(x)} & > {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=2 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & > g(x) \\ x-6 & > 2 \\ x & > 8 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x > 8 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x-6 & > 0 \\ x & > 6 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > 6 \right\}$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Logaritma 1](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFAyCXnoCWqDWPm83asmx2k0SHaYloDzSoWZ8MtN7-J7eOns7icXU6fJPiO_aw-xoKaU4r2V75raZZePydpxXZqxbvXapWnSsUx2zVPZeihiM3WnFBi3KnizHeoLURTJUAIDV38g7hsFOYOrBOW8S3myaJtOVCd6dUhspmwlVUsIaXFpQWI8Gjj4Ycuw/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%201.png)
HP = $HP1\cap HP2$
Jadi, HP = $\{x|x > 8\}$
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${^7\log (x^2-5x)} \ge {^7\log (x+7)}$.Penyelesaian:
$\begin{align}{^7\log (x^2-5x)} & \ge {^7\log (x+7)} \\ {^a\log f(x)} & \ge {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=7 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & \ge g(x) \\ x^2-5x & \ge x+7 \\ x^2-6x-7 & \ge 0 \\ (x+1)(x-7) & \ge 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x\le -1\,\text{atau}\,x\ge 7 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x^2-5x & > 0 \\ x(x-5) & > 0 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x < 0\,\text{atau}\,x > 5 \right\}$
$\begin{align}g(x) & > 0 \\ x+7 & > 0 \\ x & > -7 \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x > -7 \right\}$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtLKVrQHSKYA8I7VwAZIs0gMQ2gLl_S7vv2cye_BA4FcgyJJWgOQMH2JFe98e348yj0talnYW2d93AufXTBpdaYdnSfxB5atBqmMFAFV1w3pJl0ljhxjVbzGl1cLIpgMLH4G7XAplyQOiB6nkbTPNlPaJAyw4D0DgXh-BXL6ST3JetQI3ZNO5EaqahTQ/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%202.png)
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\{x|-7 < x\le 1\,\text{atau}\,x\ge 7\}$
Contoh 3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^3\log (x^2-16) < 2$.Penyelesaian:
$\begin{align}^3\log (x^2-16) & < 2 \\ ^3\log (x^2-16) & < {^3\log 3^2} \\ ^3\log (x^2-16) & < {^3\log 9} \\ ^a\log f(x) & < {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=3 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & < g(x) \\ x^2-16 & < 9 \\ x^2-25 & < 0 \\ (x+5)(x-5) & < 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|-5 < x < 5 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x^2-16 & > 0 \\ (x+4)(x-4) & > 0 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x < -4\,\text{atau}\,x > 4 \right\}$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirdGOc1ksSkHIieB9kr2fRBOPxREs8HtwlYXvnEYl0IFxV6IhSN_8Pnh41DDeVDA9aQHQ5F2S_RnTuzOJuTaW2cJHTAyGZWFjEW8Mq51K5JXCz3y3jWK_BkxrBSpCwT25O2J7S0BAN2svTBA9O0Vh20cInkPSKgNRZC-i6wLA7y6KAJNBR8Yu06kynvQ/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%203.png)
HP = $HP1\cap HP2$
Jadi, HP = {$-5 < x < 5$}
Contoh 4.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^5\log (x+5) \le {^5\log (x^2-1)}$.Penyelesaian:
$\begin{align}^5\log (x+5) & \le {^5\log (x^2-1)} \\ ^a\log f(x) & \le {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=5 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & \le g(x) \\ x+5 & \le x^2-1 \\ -x^2+x+6 & \le 0 \\ x^2-x-6 &\ge 0 \\ (x+2)(x-3) &\ge 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x\le -2\,\text{atau}\,x\ge 3 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x+5 & > 0 \\ x & > -5 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > -5 \right\}$
$\begin{align}g(x) & > 0 \\ x^2-1 & > 0 \\ (x+1)(x-1) & > 0 \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x < -1\,\text{atau}\,x > 1 \right\}$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsLmqcxZjTyZI5KlMiCZlq0dl-s18UVvHUljEvjLPYkSFpmQWi2WkN7MYFOGX0eK-bKfi_9BfBE15Y9iGtOU4zLJUGgndmZBoXojCCWGCqxKZaHUUkBNnTWBt28fYDvhzuoZPZx3mWGtewLdm3tQZYmTYYFgTzEizJ-ElRXYa3cXvdJ38bTGAve0W0hQ/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%204.png)
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\left\{ x|x\le -2\,\text{atau}\,x\ge 3 \right\}$
Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) < -2 $.Penyelesaian:
$\begin{align}^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < -2 \\ ^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < {^{\frac{1}{2}}\log \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}} \\ ^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < {^{\frac{1}{2}}\log \left( 2^{-1} \right)^{-2}} \\ ^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < {^{\frac{1}{2}}\log 4} \\ ^a\log f(x) & < {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=\frac{1}{2}$; $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & > g(x) \\ 3x-4 & > 4 \\ 3x & > 8 \\ x > \frac{8}{3} \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x > \frac{8}{3} \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ 3x-4 & > 0 \\ 3x & > 4 \\ x & > \frac{4}{3} \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > \frac{4}{3} \right\}$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5aWzqMxZdLoMFKvMtupa4t76ze9empeBG82NFsixJRgRYwxVN2NH0GyFpS6y6sKd3jhwOfYvG3kNJGYrMr0dhEjL5v_5rt-Kh5MPN0cgDeJtTVm_RnwKagOohZSrdd4ERbsFGzl_8YY5KDn4MDiTse0DM4PN1Y_TfL8ECuvETe7UqD05t3zTGKH_zuw/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%205.png)
HP = $HP1\cap HP2$
Jadi, HP = $\left\{ x|x>\frac{8}{3} \right\}$
Contoh 6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{\frac{2}{3}}\log (3x-5) \le {^{\frac{2}{3}}\log (15-2x)}$.Penyelesaian:
$\begin{align}^{\frac{2}{3}}\log (3x-5) & \le {^{\frac{2}{3}}\log (15-2x)} \\ ^a\log f(x) & \le {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=\frac{2}{3}$; $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & \ge g(x) \\ 3x-5 & \ge 15-2x \\ 3x+2x & \ge 15+5 \\ 5x & \ge 20 \\ x & \ge 4 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x\ge 4 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ 3x-5 & > 0 \\ 3x & > 5 \\ x & > \frac{5}{3} \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > \frac{5}{3} \right\}$
$\begin{align}g(x) & > 0 \\ 15-2x & > 0 \\ -2x & > -15 \\ x & < \frac{15}{2} \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x < \frac{15}{2} \right\}$
Garis bilangan:
![Catatan Matematika - Pertidaksamaan Logaritma](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTuc9MeFCMH0P4GZoYUmlqjBAlg9cwzUmcDUvnfEiO8JsLU1nqLepiAfwGYbsQ5mgATj_5eAmRyf-woz-ht-dm9eQ6RTnGmY814Efv5l-zzKy9GDhO7KqjRz7LGnxDGW66Twc2jSyYcbW_6vuWvCs8zuTNtmcmkh104BC4kkuRNZsXLlpTdYJJTn7xNQ/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%206.png)
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\left\{ x|4 \le x < \frac{15}{2} \right\}$
Contoh 7.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{\frac{3}{5}}\log (x^2+4x+4) > {^{\frac{3}{5}}\log (5x+10)}$.Penyelesaian:
$\begin{align}^{\frac{3}{5}}\log (x^2+4x+4) & > {^{\frac{3}{5}}\log (5x+10)} \\ ^a\log f(x) & < {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=\frac{3}{5}$; $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & < g(x) \\ x^2+4x+4 & < 5x+10 \\ x^2+4x-5x+4-10 & < 0 \\ x^2-x-6 & <0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|-2 < x < 3 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x^2+4x+4 & > 0 \\ (x+2)(x+2) & > 0 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x < -2\,\text{atau}\,x > 2 \right\}$ = $\left\{ x|x\ne -2 \right\}$
$\begin{align}g(x) & > 0 \\ 5x+10 & > 0 \\ 5x & > -10 \\ x & > -2 \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x > -2 \right\}$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Logaritma](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJDO-gkCxGJQvtbwUG0pTU4xUVojzz5swY6E7hFhfT6VmuKpdH9vMmzE5Q3PO0nwJRE-Na4pLt7KcBP5zBnJTSuSXb1oULwiwLz0_vJQa1aj4IgVW680g2pZccqZdOA_uVx4lIQMm6BB1CYsexs-oNJb9OZvBXL9VhcBPtJxoGcqcNI3y3LXbUh1CiVw/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%207.png)
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\left\{ x|-2<x<3 \right\}$
Contoh 8.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^3\log x+{^3\log (2x-3)} < 3$.Penyelesaian:
Solusi Sementara:
$\begin{align}^3\log x+{^3\log (2x-3)} & < 3 \\ ^3\log x(2x-3) & < 3 \\ x(2x-3) & < 3^3 \\ 2x^2-3x-27 & < 0 \\ (2x+3)(x-3) & < 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|-\frac{3}{2} < x < 3 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$x > 0$
HP2 = $\left\{ x|x > 0 \right\}$
$\begin{align}2x-3 & > 0 \\ 2x & > 3 \\ x & > \frac{3}{2} \end{align}$
HP3 = $\{x|x > \frac{3}{2}\}$
Garis bilangan:
![Materi Pertidaksamaan Logaritma](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl5sHvQk05joO_-QxJAu9_RQZrMfSSgEs6BytZUTlmyWaB_vpqcwk3EyvPP5bIdafMpjSoNM53UMRn1tGD0lpjG-4aoggzATv7KIPAxwz-cHwLEiuVb25RtHyRc6ktK2DWdCCuZYNx14F3oI4twoLtuLh2twQn85HhUnPpM0ZTCOntMct1ea36z8bPuA/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%208.png)
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
HP = $\left\{ x|\frac{3}{2} < x < 3 \right\}$
Contoh 9.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^5\log x-3.{^x\log 5 > 2}$.Penyelesaian:
Solusi Sementara:
$\begin{align}^5\log x-3.{^x\log 5} & > 2 \\ ^5\log x-\frac{3}{^5\log x} & > 2 \\ \left( ^5\log x \right)^2-3 & > 2.{^5\log x} \\ \left( ^5\log x \right)^2-2.{^5\log x}-3 & > 0 \end{align}$
Misalkan, $^5\log x=p$ maka:
$\begin{align}\left( ^5\log x \right)^2-2.{^5\log x}-3 & > 0 \\ p^2-2p-3 & > 0 \\ (p+1)(p-3) & > 0 \end{align}$
$p < -1 $ atau $p > 3$
$\begin{align}p & < -1 \\ ^5\log x & < -1 \\ x & < 5^{-1} \\ x & < \frac{1}{5} \end{align}$
$\begin{align}p & > 3 \\ ^5\log x & > 3 \\ x & > 5^3 \\ x & > 125 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x<\frac{1}{5}\,\text{atau}\,x>125 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$x>0$
HP2 = $\left\{ x|x >0 \right\}$
Garis bilangan:
![Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNewklIBzuUChZp-Mls8y6brcUgtSnj-F6waybaLEPBAMNBW2QNPJRlZOrnmFsTKCGvdu9a2VqELIDmarNyJjDXE_tubeKt6SoaatovOwv1xPDxph1p2zm8KehK1HcBNWM89pOcH5iJAAC_QCDZ8TcZ6hLc2CXb6G5kRmQnz9cuCm-pO2mH1-FcwvQfA/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%209.png)
HP = $HP1\cap HP2$
HP = $\left\{ x|0 < x < \frac{1}{5}\,\text{atau}\,x>125 \right\}$
Contoh 10.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) > 2$.Penyelesaian:
$^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) > 2$
Berdasarkan nilai basis yaitu $x-1$ maka ada penyelesaian pertidaksamaan ini kita bagi menjadi 2 kasus yaitu:
Kasus 1. Basis > 1
$\begin{align}x-1 & > 1 \\ x & > 2 \end{align}$
HP1 = $\{x|x > 2\}$
Solusi Sementara:
$\begin{align}^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) & > 2 \\ x^2+3x-4 > (x-1)^2 \\ x^2+3x-4 & > x^2-2x+1 \\ x^2-x^2+3x+2x & > 1+4 \\ 5x & > 5 \\ x & > 1 \end{align}$
HP2 = $\{x|x>1\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}x^2+3x-4 & > 0 \\ (x+4)(x-1) & > 0 \end{align}$
$x < -4 $ atau $x > 1$
HP3 = $\{x|x < -4\,\text{atau}\,x > 1\}$
Garis bilangan:
![Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdaqiDyDJJsjg23qyjIdUtCC8L8MrVlzVnHpvoStSiiuUMcQq6yZVMSdEto-TDyVljjurtDSWCtPLUI2WvpQc0Ft3KFMxz1tIGAavRUYyLZ4m2eQ9SM5QIvjMgWE4nouz9Kl7z2unOojBf6D8oIdOeijCFeervVjmjU9yh_zCVDfhMBx6ehNXiIJhQFQ/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%2010.png)
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
HP = $\{x|x > 2\}$
Kasus 2. 0 < Basis < 1
$0 < x-1 < 1$
$0+1 < x-1+1 < 1+1$
$1 < x < 2$
HP1 = $\{x|1 < x < 2\}$
Solusi Sementara:
$\begin{align}^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) & > 2 \\ x^2+3x-4 & < (x-1)^2 \\ x^2+3x-4 & < x^2-2x+1 \\ x^2-x^2+3x+2x & < 1+4 \\ 5x & < 5 \\ x & < 1 \end{align}$
HP2 = $\{x|x < 1\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}x^2+3x-4 & > 0 \\ (x+4)(x-1)& > 0 \end{align}$
$x < -4$ atau $x>1$
HP3 = $\{x|x <-4\,\text{atau}\,x>1\}$
Garis bilangan:
![Contoh Pertidaksamaan Logaritma](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLY9CTtUGmLeehrqb3cavNjltBTftcG0_6qFR4AjsvmPLeRULZCUCOGL1zndI76wjy9W93iams7jlhuo-cYnNbSsYZb0twbPRYUY1Ff8XRZoKIliL8Y3rjtOtZ8L4Gl30gfT3xwCWTS6glWntnlkhW4GDoR-WWAWh1_4Y5ZIXffWiVqJHBczZA2gVctw/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Logaritma%2011.png)
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
HP = $\{\}$
Dari kasus1 dan kasus 2, diperoleh HP = $\{x|x>2\}$
B. Soal Latihan
- Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $^9\log (x^2+2x) < {\frac{1}{2}}$.
- Tentukan batas-batas nilai $x$ yang memenuhi $\log {(x-1)^2} > {\log (x-1)}$.
- Tentukan penyelesaian pertidaksamaan $\log (x-4)+\log (x+8) < {\log (2x+16)}$.
- Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $2\log x \le \log (2x+5)+2\log 2$.
- Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2\log {(x^2-3x+2)} \ge {^2\log (2-x)}$.
Semoga postingan: Logaritma 4. Pertidaksamaan Logaritma ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Logaritma 4. Pertidaksamaan Logaritma"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.