Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Subscribe and Follow Our Channel:
Youtube Catatan Matematika Tiktok Catatan Matematika Instagram Catatan Matematika Facebook Catatan Matematika

Logaritma 4. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan Logaritma
Sebelum mempelajari materi pertidaksamaan logaritma, tentu harus lah menguasai materi Persamaan Logaritma.

A. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan Logaritma dan Penyelesaiannya

1.Jika ${^a\log f(x)} \ge {^a\log g(x)}$ dan $a > 1$ maka:
Solusi Sementara: HP1:$f(x)\ge g(x)$
Syarat: numerus > 0
HP: $f(x) > 0$
HP3: $g(x) > 0$
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
2.Jika ${^a\log f(x)} \le {^a\log g(x)}$ dan $a > 1$ maka:
Solusi Sementara: HP1: $f(x)\le g(x)$
Syarat: numerus > 0
HP: $f(x) > 0$
HP3: $g(x) > 0$
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
3.Jika ${^a\log f(x)} \ge {^a\log g(x)}$ dan $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara: HP1: $f(x)\le g(x)$
Syarat: numerus > 0
HP: $f(x) > 0$
HP3: $g(x) > 0$
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
4.Jika ${^a\log f(x)} \le {^a\log g(x)}$ dan $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara: HP1: $f(x)\ge g(x)$
Syarat: numerus > 0
HP: $f(x) > 0$
HP3: $g(x) > 0$
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$

Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^2\log (x-6) > 1$.
Penyelesaian:
$\begin{align}^2\log (x-6) & > 1 \\ ^2\log (x-6) & > {^2\log 2} \\ {^a\log f(x)} & > {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=2 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & > g(x) \\ x-6 & > 2 \\ x & > 8 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x > 8 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x-6 & > 0 \\ x & > 6 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > 6 \right\}$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Logaritma 1
HP = $HP1\cap HP2$
Jadi, HP = $\{x|x > 8\}$

Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ${^7\log (x^2-5x)} \ge {^7\log (x+7)}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}{^7\log (x^2-5x)} & \ge {^7\log (x+7)} \\ {^a\log f(x)} & \ge {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=7 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & \ge g(x) \\ x^2-5x & \ge x+7 \\ x^2-6x-7 & \ge 0 \\ (x+1)(x-7) & \ge 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x\le -1\,\text{atau}\,x\ge 7 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x^2-5x & > 0 \\ x(x-5) & > 0 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x < 0\,\text{atau}\,x > 5 \right\}$
$\begin{align}g(x) & > 0 \\ x+7 & > 0 \\ x & > -7 \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x > -7 \right\}$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\{x|-7 < x\le 1\,\text{atau}\,x\ge 7\}$

Contoh 3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^3\log (x^2-16) < 2$.
Penyelesaian:
$\begin{align}^3\log (x^2-16) & < 2 \\ ^3\log (x^2-16) & < {^3\log 3^2} \\ ^3\log (x^2-16) & < {^3\log 9} \\ ^a\log f(x) & < {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=3 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & < g(x) \\ x^2-16 & < 9 \\ x^2-25 & < 0 \\ (x+5)(x-5) & < 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|-5 < x < 5 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x^2-16 & > 0 \\ (x+4)(x-4) & > 0 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x < -4\,\text{atau}\,x > 4 \right\}$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika
HP = $HP1\cap HP2$
Jadi, HP = {$-5 < x < 5$}

Contoh 4.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^5\log (x+5) \le {^5\log (x^2-1)}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}^5\log (x+5) & \le {^5\log (x^2-1)} \\ ^a\log f(x) & \le {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=5 > 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & \le g(x) \\ x+5 & \le x^2-1 \\ -x^2+x+6 & \le 0 \\ x^2-x-6 &\ge 0 \\ (x+2)(x-3) &\ge 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x\le -2\,\text{atau}\,x\ge 3 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x+5 & > 0 \\ x & > -5 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > -5 \right\}$

$\begin{align}g(x) & > 0 \\ x^2-1 & > 0 \\ (x+1)(x-1) & > 0 \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x < -1\,\text{atau}\,x > 1 \right\}$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\left\{ x|x\le -2\,\text{atau}\,x\ge 3 \right\}$

Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) < -2 $.
Penyelesaian:
$\begin{align}^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < -2 \\ ^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < {^{\frac{1}{2}}\log \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}} \\ ^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < {^{\frac{1}{2}}\log \left( 2^{-1} \right)^{-2}} \\ ^{\frac{1}{2}}\log (3x-4) & < {^{\frac{1}{2}}\log 4} \\ ^a\log f(x) & < {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=\frac{1}{2}$; $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & > g(x) \\ 3x-4 & > 4 \\ 3x & > 8 \\ x > \frac{8}{3} \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x > \frac{8}{3} \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ 3x-4 & > 0 \\ 3x & > 4 \\ x & > \frac{4}{3} \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > \frac{4}{3} \right\}$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Logaritma - Catatan Matematika
HP = $HP1\cap HP2$
Jadi, HP = $\left\{ x|x>\frac{8}{3} \right\}$

Contoh 6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{\frac{2}{3}}\log (3x-5) \le {^{\frac{2}{3}}\log (15-2x)}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}^{\frac{2}{3}}\log (3x-5) & \le {^{\frac{2}{3}}\log (15-2x)} \\ ^a\log f(x) & \le {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=\frac{2}{3}$; $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & \ge g(x) \\ 3x-5 & \ge 15-2x \\ 3x+2x & \ge 15+5 \\ 5x & \ge 20 \\ x & \ge 4 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x\ge 4 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ 3x-5 & > 0 \\ 3x & > 5 \\ x & > \frac{5}{3} \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x > \frac{5}{3} \right\}$
$\begin{align}g(x) & > 0 \\ 15-2x & > 0 \\ -2x & > -15 \\ x & < \frac{15}{2} \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x < \frac{15}{2} \right\}$
Garis bilangan:
Catatan Matematika - Pertidaksamaan Logaritma
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\left\{ x|4 \le x < \frac{15}{2} \right\}$

Contoh 7.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{\frac{3}{5}}\log (x^2+4x+4) > {^{\frac{3}{5}}\log (5x+10)}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}^{\frac{3}{5}}\log (x^2+4x+4) & > {^{\frac{3}{5}}\log (5x+10)} \\ ^a\log f(x) & < {^a\log g(x)} \end{align}$
$a=\frac{3}{5}$; $0 < a < 1$ maka:
Solusi Sementara:
$\begin{align}f(x) & < g(x) \\ x^2+4x+4 & < 5x+10 \\ x^2+4x-5x+4-10 & < 0 \\ x^2-x-6 & <0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|-2 < x < 3 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}f(x) & > 0 \\ x^2+4x+4 & > 0 \\ (x+2)(x+2) & > 0 \end{align}$
HP2 = $\left\{ x|x < -2\,\text{atau}\,x > 2 \right\}$ = $\left\{ x|x\ne -2 \right\}$
$\begin{align}g(x) & > 0 \\ 5x+10 & > 0 \\ 5x & > -10 \\ x & > -2 \end{align}$
HP3 = $\left\{ x|x > -2 \right\}$
Garis bilangan:
Pertidaksamaan Logaritma
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
Jadi, HP = $\left\{ x|-2<x<3 \right\}$

Contoh 8.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^3\log x+{^3\log (2x-3)} < 3$.
Penyelesaian:
Solusi Sementara:
$\begin{align}^3\log x+{^3\log (2x-3)} & < 3 \\ ^3\log x(2x-3) & < 3 \\ x(2x-3) & < 3^3 \\ 2x^2-3x-27 & < 0 \\ (2x+3)(x-3) & < 0 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|-\frac{3}{2} < x < 3 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$x > 0$
HP2 = $\left\{ x|x > 0 \right\}$
$\begin{align}2x-3 & > 0 \\ 2x & > 3 \\ x & > \frac{3}{2} \end{align}$
HP3 = $\{x|x > \frac{3}{2}\}$
Garis bilangan:
Materi Pertidaksamaan Logaritma
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
HP = $\left\{ x|\frac{3}{2} < x < 3 \right\}$

Contoh 9.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^5\log x-3.{^x\log 5 > 2}$.
Penyelesaian:
Solusi Sementara:
$\begin{align}^5\log x-3.{^x\log 5} & > 2 \\ ^5\log x-\frac{3}{^5\log x} & > 2 \\ \left( ^5\log x \right)^2-3 & > 2.{^5\log x} \\ \left( ^5\log x \right)^2-2.{^5\log x}-3 & > 0 \end{align}$
Misalkan, $^5\log x=p$ maka:
$\begin{align}\left( ^5\log x \right)^2-2.{^5\log x}-3 & > 0 \\ p^2-2p-3 & > 0 \\ (p+1)(p-3) & > 0 \end{align}$
$p < -1 $ atau $p > 3$
$\begin{align}p & < -1 \\ ^5\log x & < -1 \\ x & < 5^{-1} \\ x & < \frac{1}{5} \end{align}$
$\begin{align}p & > 3 \\ ^5\log x & > 3 \\ x & > 5^3 \\ x & > 125 \end{align}$
HP1 = $\left\{ x|x<\frac{1}{5}\,\text{atau}\,x>125 \right\}$
Syarat: numerus > 0
$x>0$
HP2 = $\left\{ x|x >0 \right\}$
Garis bilangan:
Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma
HP = $HP1\cap HP2$
HP = $\left\{ x|0 < x < \frac{1}{5}\,\text{atau}\,x>125 \right\}$

Contoh 10.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) > 2$.
Penyelesaian:
$^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) > 2$
Berdasarkan nilai basis yaitu $x-1$ maka ada penyelesaian pertidaksamaan ini kita bagi menjadi 2 kasus yaitu:
Kasus 1. Basis > 1
$\begin{align}x-1 & > 1 \\ x & > 2 \end{align}$
HP1 = $\{x|x > 2\}$
Solusi Sementara:
$\begin{align}^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) & > 2 \\ x^2+3x-4 > (x-1)^2 \\ x^2+3x-4 & > x^2-2x+1 \\ x^2-x^2+3x+2x & > 1+4 \\ 5x & > 5 \\ x & > 1 \end{align}$
HP2 = $\{x|x>1\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}x^2+3x-4 & > 0 \\ (x+4)(x-1) & > 0 \end{align}$
$x < -4 $ atau $x > 1$
HP3 = $\{x|x < -4\,\text{atau}\,x > 1\}$
Garis bilangan:
Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
HP = $\{x|x > 2\}$
Kasus 2. 0 < Basis < 1
$0 < x-1 < 1$
$0+1 < x-1+1 < 1+1$
$1 < x < 2$
HP1 = $\{x|1 < x < 2\}$
Solusi Sementara:
$\begin{align}^{(x-1)}\log (x^2+3x-4) & > 2 \\ x^2+3x-4 & < (x-1)^2 \\ x^2+3x-4 & < x^2-2x+1 \\ x^2-x^2+3x+2x & < 1+4 \\ 5x & < 5 \\ x & < 1 \end{align}$
HP2 = $\{x|x < 1\}$
Syarat: numerus > 0
$\begin{align}x^2+3x-4 & > 0 \\ (x+4)(x-1)& > 0 \end{align}$
$x < -4$ atau $x>1$
HP3 = $\{x|x <-4\,\text{atau}\,x>1\}$
Garis bilangan:
Contoh Pertidaksamaan Logaritma
HP = $HP1\cap HP2\cap HP3$
HP = $\{\}$
Dari kasus1 dan kasus 2, diperoleh HP = $\{x|x>2\}$

B. Soal Latihan

  1. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $^9\log (x^2+2x) < {\frac{1}{2}}$.
  2. Tentukan batas-batas nilai $x$ yang memenuhi $\log {(x-1)^2} > {\log (x-1)}$.
  3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan $\log (x-4)+\log (x+8) < {\log (2x+16)}$.
  4. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $2\log x \le \log (2x+5)+2\log 2$.
  5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2\log {(x^2-3x+2)} \ge {^2\log (2-x)}$.
Semoga postingan: Logaritma 4. Pertidaksamaan Logaritma ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Post a Comment for "Logaritma 4. Pertidaksamaan Logaritma"