Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Matriks 2. Transpose Matriks, Kesamaan Matriks dan Operasi Aljabar pada Matriks

Transpose Matriks, Kesamaan Matriks dan Operasi Aljabar pada Matriks

A. Transpose Matriks

Transpose dari matriks A dilambangkan dengan $A'$, $A^t$ atau $A^T$.
Transpose suatu matriks dapat ditentukan dengan cara:
  1. mengubah baris menjadi kolom dan
  2. mengubah kolom menjadi baris.
Catatan:
Jika matriks A saama dengan transpose matriks A yaitu$A=A^t$ maka matriks A disebut matriks simetris.
Contoh:
Tentukanlah transpose dari matriks-matriks berikut:
$A = \left( \begin{matrix} 7 & 6 \\ 13 & 2 \\ \end{matrix} \right)$; $B = \left( \begin{matrix} -5 & 6 & 7 \\ 2 & 1 & 8 \\ 3 & 4 & -7 \\ \end{matrix} \right)$; dan $C = \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 5 \\ 0 & -2 & -9 \\ \end{matrix} \right)$
Penyelesaian:
$A^t= \left( \begin{matrix} 7 & 13 \\ 6 & 2 \\ \end{matrix} \right)$
$B^t = \left( \begin{matrix} -5 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 4 \\ 7 & 8 & -7 \\ \end{matrix} \right)$
$C^t = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 4 & -2 \\ 5 & -9 \\ \end{matrix} \right)$

B. Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemen yang seletak bernilai sama.
Contoh:
Diketahui matriks $A=\left( \begin{matrix} 2x-y & -3 \\ -4 & -8 \\ \end{matrix} \right)$ dan matriks $B = \left( \begin{matrix} -2 & -3 \\ -4 & 3x+y \\ \end{matrix} \right)$. Jika $A=B$ maka nilai dari $2x+y$ adalah ...
Penyelesaian:
$\begin{align}A &= B \\ \left( \begin{matrix} 2x-y & -3 \\ -4 & -8 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -2 & -3 \\ -4 & 3x+y \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$2x-y=-2$
$3x+y=-8$
-------------- (+)
$\begin{align}5x &= -10 \\ x &= -2 \end{align}$
Substitusi $x=-2$ ke:
$\begin{align}3x+y &= -8 \\ 3(-2)+y &= -8 \\ y &= -2 \end{align}$
maka nilai $2x+y=2(-2)+(-2)=-6$

C. Operasi Aljabar pada Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat:
Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika matriks-matriks tersebut memiliki ordo yang sama, dinotasikan dengan:
$A_{m\times n}+B_{m\times n} = C_{m\times n}$
Cara menjumlahkan/mengurangkan dua matriks yaitu jumlahkan atau kurangkan elemen-elemen yang seletak.
Contoh 1.
Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 13 & -5 & 6 \\ 7 & -16 & 8 \\ \end{matrix} \right)$ dan $B = \left( \begin{matrix} -20 & -13 & 4 \\ 9 & 5 & -20 \\ \end{matrix} \right)$ maka $A+B$ = ...
Penyelesaian:
A + B
= $\left( \begin{matrix} 13 & -5 & 6 \\ 7 & -16 & 8 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -20 & -13 & 4 \\ 9 & 5 & -20 \\ \end{matrix} \right)$
= $\left( \begin{matrix} 13+(-20) & -5+(-13) & 6+4 \\ 7+9 & -16+5 & 8+(-20) \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -17 & -18 & 10 \\ 16 & -11 & -12 \\ \end{matrix} \right)$
Contoh 2.
Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 5m+2 & 4 \\ 3n+m & 22 \\ \end{matrix} \right)$; $B = \left( \begin{matrix} 3m+2 & 0 \\ 28 & 14 \\ \end{matrix} \right)$ dan $C = \left( \begin{matrix} 20 & -4 \\ 12 & -8 \\ \end{matrix} \right)$ . Jika $B-A=C$ maka $2m-3n$ = ...
Penyelesaian:
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
$-2m = 20 \Leftrightarrow m = -10$
$\begin{align}28-3n-m &= 12 \\ -3n-m &= -16 \\ -3n+10 &= -16 \\ -3n &= -26 \\ 3n &= 26 \end{align}$
maka $2m-3n=2(-10)-26=-46$.

2. Perkalian Skalar dengan Suatu Matriks

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real k, dalam hal ini k adalah skalar.
Cara mengalikan bilangan $k\in R$ terhadap suatu matriks adalah dengan mengalikan semua elemen pada matriks tersebut dengan $k$.
Contoh:
Jika matriks $A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$k.A = \left( \begin{matrix} k.a & k.b \\ k.c & k.d \\ \end{matrix} \right)$
$k.A = k\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$

3. Perkalian Matriks dengan Matriks

Syarat:
Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
$A_{m\times n}.B_{n\times p} = C_{m\times p}$
Contoh 1.
Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 7 & 5 \\ 4 & 3 \\ \end{matrix} \right)$, $B = \left( \begin{matrix} 2 & -6 \\ -1 & 8 \\ \end{matrix} \right)$ dan $C = \left( \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)$.
Tentukan hasil perkalian A.B dan B.A, kemudian periksa apakah AB sama dengan BA?
Penyelesaian:
Perkalian Matriks dengan Matriks
Dari hasil perkalian matriks di atas dapat disimpulkan bahwa pada perkalian matriks $A.B\ne B.A$.

Contoh 2.
Diketahui matriks $P=\left( \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)$ dan $Q = \left( \begin{matrix} 4 & 6 \\ 5 & 9 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix} \right)$ tentukan hasil perkalian dari $P.Q$ dan $Q.P$, kemudian periksa hubungan PQ dengan QP.
Penyelesaian:
Perkalian Dua Matriks
Jadi, $P.Q\ne Q.P$

Contoh 3.
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan Perkalian Matriks adalah ...
Penyelesaian:
Perkalian Matriks

D. Soal Latihan

  1. Diketahui matriks $P = \left( \begin{matrix} 4 & -10 \\ 12 & 11 \\ \end{matrix} \right)$ dan $Q = \left( \begin{matrix} 2 & -5 \\ 3 & 6 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukanlah $3P-5Q$.
  2. Diketahui matriks $M = \left( \begin{matrix} 2 & 7 \\ 4 & -2 \\ -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukanlah transpose matriks M.
  3. Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 6 & 4 \\ -3 & -2 \\ \end{matrix} \right)$, $B = \left( \begin{matrix} -1 & -5 \\ 0 & 3p+1 \\ \end{matrix} \right)$ dan $C = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 5 \\ \end{matrix} \right)$. Jika $3A+2B=C^T$ dimana $C^T$ adalah transpose matriks C, maka nilai $p$ adalah ...
  4. Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 7 & 9 \\ 8 & 11 \\ \end{matrix} \right)$ dan $B = \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)$. Tentukanlah AB dan BA.
  5. Nilai $a$ yang memenuhi Soal Latihan Perkalian Matriks adalah ...

Semoga postingan: Matriks 2. Transpose Matriks, Kesamaan Matriks dan Operasi Aljabar pada Matriks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
Channel Youtube b4ngrp
Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika

Post a Comment for "Matriks 2. Transpose Matriks, Kesamaan Matriks dan Operasi Aljabar pada Matriks"