Prediksi Soal UTBK 2022 Matematika Saintek dan Pembahasan

Berikut ini 15 Soal prediksi UTBK 2022 yaitu Soal Matematika Saintek dan Pembahasannya. Silahkan adik-adik pejuang PTN mempelajari secara mandiri atau berdiskusi dengan teman-temannya.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".
SELAMAT BELAJAR

---

Soal No. 1

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| x+4 \right| \le \sqrt{2x+8}$ adalah ...
(A) $-4 \le x < -2$
(B) $-6 \le x \le -3$
(C) $x \ge -4$
(D) $x \le -2$ atau $x \ge 3$
(E) $x \le -4$ atau $x \ge 0$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\left| x+4 \right| \le \sqrt{2x+8}$
1) Syarat:
$2x+8 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -4$
2) Kuadratkan kedua ruas:
$\begin{align}\left| x+4 \right| &\le \sqrt{2x+8} \\ \left( \left| x+4 \right| \right)^2 &\le \left( \sqrt{2x+8} \right)^2 \\ x^2+8x+16 &\le 2x+8 \\ x^2+6x+8 &\le 0 \\ (x+2)(x+4) &\le 0 \end{align}$
$-4 \le x \le -2$
3) Garis bilangan:

HP = {$-4 \le x \le -2$}
Jawaban: A

Soal No. 2

Diberikan $^a\log (x+1)-^a\log x = b$. Jika diketahui solusi persamaan logaritma yaitu $x = \frac{1}{2}$, maka $a^{2b+1}$ adalah ...
(A) $\frac{a}{9}$
(B) $\frac{a}{3}$
(C) 9a
(D) 3a
(E) $9a^2$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\begin{align}^a\log (x+1)-^a\log x &= b \\ ^a \log \left( \frac{x+1}{x} \right) &= b \\ a^b &= \frac{x+1}{x} \\ a^b &= \frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}} \\ a^{b} &= 3|kuadratkan \\ a^{2b} &= 9|kedua\,ruas\,\times a \\ a^{2b}.a &= 9a \\ a^{2b+1} &= 9a \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 3

Deret geometri $u_1$, $u_2$, $u_3$, ..., $u_n$ dengan rasio $r > 0$. Apabila $u_2+u_3=4(u_4+u_5)$ dan $u_6=1$, maka nilai dari $u_1+u_2+u_3+...$ adalah ...
(A) 16
(B) 32
(C) 48
(D) 64
(E) 72
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Deret Geometri:
TIPS: $u_n=u_x.r^{n-x}$
$\begin{align}u_2 + u_3 &= 4(u_4+u_5) \\ u_2+u_3 &= 4(u_2.r^2+u_3.r^2) \\ u_2+u_3) &= 4r^2(u_2+u_3) \\ 1 &= 4r^2 \\ r^2 &= \frac{1}{4} \\ r &= \frac{1}{2} \end{align}$
$u_n = ar^{n-1}$ maka:
$\begin{align}u_6 &= 1 \\ ar^5 &= 1 \\ a.\left( \frac{1}{2} \right)^5 &= 1 \\ \frac{a}{32} &= 1 \\ a &= 32 \end{align}$
$\begin{align}u_1+u_2+u_3+... &= S_{\infty } \\ &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{32}{1-\frac{1}{2}} \\ u_1+u_2+u_3+... &= 64 \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 4

Solusi dari persamaan $\left\{ \begin{matrix}x+2y = 5 \\ x^2+2xy+y^2 = 9 \\ \end{matrix} \right.$ adalah $(a,b)$. Nilai dari $2a+b$ = ...
(A) $-3$
(B) $-1$
(C) 3
(D) 4
(E) 6
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$x+2y=5\Rightarrow x=5-2y$
$x=5-2y$ substitusi ke:
$\begin{align}x^2+2xy+y^2 &= 9 \\ (x+y)^2-3^2 &= 0 \\ (x+y+3)(x+y-3) &= 0 \\ (5-2y+y+3)(5-2y+y-3) &= 0 \\ (8-y)(2-y) &= 0 \end{align}$
$y=2$ atau $y=8$
Substitusi ke: $x=5-2y$ maka:
$y=2\Rightarrow x=5-2.2=1$
$(a,b)=(1,2)$ maka $2a+b=2.1+2=4$
$y=8\Rightarrow x=5-2.8=-11$
$(a,b)=(-11,8)$maka $2a+b=2(-11)+8=-14$
Jadi, nilai $2a+b$ adalah 4 atau -11.
Jawaban: D

Soal No. 5

Diketahui fungsi $f(x)=\frac{x+1}{ax-b}$, $x\ne \frac{b}{a}$. Jika $f^{-1}(1)=-3$ dan $f^{-1}\left( \frac{1}{3} \right)=1$, maka nilai $f^{-1}\left( \frac{1}{4} \right)$ = ...
(A) $-1$
(B) 0
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) 2
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Invers Fungsi:
Jika $f^{-1}(p) = q \Leftrightarrow f(q) = p$
$f^{-1}(1) = -3 \Leftrightarrow f(-3) = 1$
$\begin{align}f(x) &= \frac{x+1}{ax-b} \\ f(-3) &= \frac{-3+1}{a(-3)-b} \\ 1 &= \frac{-2}{-3a-b} \\ -3a-b &= -2 \\ 3a+b &= 2,\,.......\,(1) \end{align}$
$f^{-1}\left( \frac{1}{3} \right) = 1 \Leftrightarrow f(1) = \frac{1}{3}$
$\begin{align}f(x) &= \frac{x+1}{ax-b} \\ f(1) &= \frac{1+1}{a.1-b} \\ \frac{1}{3} &= \frac{2}{a-b} \\ a-b &= 6,\,.......(2) \end{align}$
$\begin{align}3a+b &= 2 \\ a-b &= 6 \end{align}$
------------ (+)
$4a = 8 \Leftrightarrow a = 2$
$\begin{align}a-b &= 6 \\ 2-b &= 6 \\ 2-6 &= b \\ b &= -4 \end{align}$
$\begin{align}f(x) &= \frac{x+1}{ax-b} \\ f(x) &= \frac{x+1}{2x+4} \\ f^{-1}(x) &= \frac{-4x+1}{2x-1} \\ f^{-1}\left( \frac{1}{4} \right) &= \frac{-4.\frac{1}{4}+1}{2.\frac{1}{4}-1} \\ &= 0 \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 6

Diketahui fungsi $g(x) = 2x-1$ dan $(f\circ g)(x) = ax-2$. Jika $f(3)=10$, maka nilai $(f\circ g)(1)$ adalah ...
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 6
(E) 10
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\begin{align}(f\circ g)(x) &= ax-2 \\ f(g(x)) &= ax-2 \\ f(2x-1) &= ax-2 \\ f(3) &= 10 \end{align}$
Diperoleh:
Untuk $2x-1 = 3 \Leftrightarrow x = 2$ maka:
$\begin{align}ax-2 &= 10 \\ a.2-2 &= 10 \\ 2a &= 12 \\ a &= 6 \end{align}$
maka:
$\begin{align}(f\circ g)(x) &= ax-2 \\ (f\circ g)(x) &= 6x-2 \\ (f\circ g)(1) &= 6.1-2 \\ &= 4 \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 7

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-\sqrt{ax+4}}{x^2-1}=b$, maka nilai $12b-a$ = ...
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-\sqrt{ax+4}}{x^2-1}=b$
Karena bentuk limit $\frac{0}{0}$ maka:
Untuk $x=1$, diperoleh:
$\begin{align}3x-\sqrt{ax+4} &= 0 \\ 3.1-\sqrt{a.1+4} &= 0 \\ 3 &= \sqrt{a+4} \\ 9 &= a+4 \\ a &= 5 \end{align}$
Dengan dalil L’HOSPITAL:
$\begin{align}\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-\sqrt{ax+4}}{x^2-1} &= b \\ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\frac{a}{2\sqrt{ax+4}}}{2x} &= b \\ \frac{3-\frac{5}{2\sqrt{5.1+4}}}{2.1} &= b \\ 3-\frac{5}{6} &= 2b \\ 18-5 &= 12b \\ b &= \frac{13}{12} \end{align}$
Nilai $12b-a=12.\frac{13}{12}-5=8$
Jawaban: D

Soal No. 8

Diketahui vektor $\vec{u}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ dan $\vec{v}=p\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$. Proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{q}$. Jika panjang vektor $\vec{q}$ adalah $\frac{8}{3}$, maka panjang vektor $\vec{v}$ adalah ...
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Panjang proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah 9, maka:
$\begin{align}\left| {{{\vec{u}}}_{{\vec{v}}}} \right| &= \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left| {\vec{v}} \right|} \right| \\ \frac{8}{3} &= \frac{(1,2,2).(p,1,2)}{\sqrt{p^2+1^2+2^2}} \\ \frac{8}{3} &= \frac{p+2+4}{\sqrt{p^2+5}} \\ 8\sqrt{p^2+5} &= 3p+18 \\ 64(p^2+5) &= (3p+18) \\ 64p^2+320 &= 9p^2+108p+324 \\ 55p^2-108p-4 &= 0 \\ (55p+2)(p-2) &= 0 \end{align}$
$p = -\frac{2}{55}$ atau $p = 2$
Dengan melihat opsi (semua bilangan bulat) dapat kita ambil $p=2$, maka:
$\vec{v} = p\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\Leftrightarrow \vec{v} = 2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$
$\left| {\vec{v}} \right| = \sqrt{2^2+1^2+2^2} = 3$
Jawaban: B

Soal No. 9

Pada segitiga ABC diketahui $\tan A = \sqrt{3}$ dan $\cos B=\frac{1}{2}\sqrt{2}$. Jika panjang BC = 4 cm, maka panjang AC = ...
(A) $\frac{3}{4}\sqrt{6}$
(B) $\frac{4}{3}\sqrt{6}$
(C) $2\sqrt{3}$
(D) $2\sqrt{6}$
(E) $4\sqrt{6}$
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\tan A = \sqrt{3}\Rightarrow A = 60^\circ $
$\cos B = \frac{1}{2}\sqrt{2} \Rightarrow B = 45^\circ $
BC = a = 4
AC = b = ...
Aturan Sinus:
$\begin{align}\frac{b}{\sin B} &= \frac{a}{\sin A} \\ \frac{b}{\sin 45^\circ } &=\frac{4}{\sin 60^\circ } \\ \frac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} &= \frac{4}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ b &= \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ b &= \frac{4}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, panjang AC adalah $\frac{4}{3}\sqrt{6}$ cm.
Jawaban: B

Soal No. 10

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan 2x.\cos x-\tan 2x}{\sin x.{{\tan }^{2}}x}$ = ...
(A) $-2$
(B) $-1$
(C) $-\frac{1}{2}$
(D) $-\frac{1}{4}$
(E) 10
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan 2x.\cos x-\tan 2x}{\sin x.{{\tan }^{2}}x}$
= $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan 2x.(\cos x-1)}{\sin x.{{\tan }^{2}}x}$
= $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan 2x.(-2.{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}x)}{\sin x.{{\tan }^{2}}x}$
= $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan 2x.}{\sin x}.\frac{-2.\sin \frac{1}{2}x}{\tan x}.\frac{\sin \frac{1}{2}x}{\tan x}$
= $2.(-2).\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$
= -1
Jawaban: B

Soal No. 11

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ yang memenuhi persamaan $g(x) = (2x+1-f(x))^2$. Jika $f'$ dan $g'$ menyatakan turunan dari $f$ dan $g$ dengan $f'(3)=0$ dan $g'(3)=-4$, maka nilai dari $f(3)$ = ...
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$g(x) = (2x+1-f(x))^2$
$g'(x) = 2(2x+1-f(x).(2-f'(x))$
Untuk $x=3$ maka:
$\begin{align}g'(3) &= 2(2.3+1-f(3)).(2-f'(3)) \\ -4 &= 2(7-f(3)).(2-0) \\ -4 &= 4(7-f(3))\\ -1 &= 7-f(3) \\ f(3) &= 8 \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 12

Diketahui $f(x)=p+\sin (qx)$ dan $g(x)=\cos (px)-q$. Jika daerah hasil $f(x)$ sama dengan daerah hasil $g(x)$, maka $p+q+2$ = ...
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Video Pembahasan:

Pembahasan:
1) $-1 \le \sin (qx) \le 1$
$p-1 \le p+\sin (qx) \le p+1$
$p-1 \le f(x) \le p+1$
$Df = \left[ p-1,p+1 \right]$
2) $-1 \le \cos (px) \le 1$
$-1-q \le \cos (px)-q \le 1-q$
$-1-q \le g(x) \le 1-q$
$Dg=\left[ -1-q,1-q \right]$
$\begin{align}Df &= Dg \\ \left[ p-1,p+1 \right] &= \left[ -1-q,1-q \right] \end{align}$
$p-1 = -1-q \Leftrightarrow p = -q$
$p+1 = 1-q \Leftrightarrow p = -q$
Maka $p+q+2 = -q+q+2 = 2$.
Jawaban: C

Soal No. 13

Garis $2x-by=8$ adalah bayangan hasil pencerminan garis $ax+2y=4$ terhadap sumbu X. Nilai dari $a+b$ adalah ...
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Misal, titik (p,q) terletak pada garis $2x-by=8$ maka:
$(x,y)$ adalah salah satu titik pada garis $2x-by=8$
$(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah $(x,-y)=(x',y')$.
Diperoleh $x=x'$ dan $y=-y'$ substitusi ke garis:
$\begin{align}2x-by &= 8 \\ 2x'-b(-y') &= 8 \\ x + \frac{b}{2}y &= 4 \Leftrightarrow ax+2y = 4 \end{align}$
Dengan memperhatikan koefisien yang bersesuaian maka:
$a = 1$
$\frac{b}{2} = 2 \Leftrightarrow b = 4$
$a+b = 1+4 = 5$
Jawaban: C

Soal No. 14

Nilai $k$ yang memenuhi persamaan matriks $\left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & k \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 10 & 17 \\ 0 & 19 \\ \end{matrix} \right)$ adalah ...
(A) $-5$
(B) $-3$
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Video Pembahasan:

Pembahasan:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} 10 & 17 \\ 0 & 19 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & k \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 5+2 & 20-4 \\ 3-1 & 12+2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & k \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 7 & 16 \\ 2 & 14 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & k \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 10 & 17 \\ 0 & 19 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 10 & 17 \\ 0 & 14+k \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$14+k = 19 \Leftrightarrow k = 5$
Jawaban: E

Soal No. 15

Budi menabung uang sebesar Rp. 500.000,- di sebuah bank dengan bunga majemuk per tahun. Setelah 5 tahun, saldonya menjadi Rp. 2.000.000,-. Besar saldo Budi setelah 15 tahun menabung adalah ...
(A) Rp. 4.000.000,-
(B) Rp. 8.000.000,-
(C) Rp. 16.000.000,-
(D) Rp. 32.000.000,-
(E) Rp. 64.000.000,-
Video Pembahasan:

Pembahasan:
Bunga majemuk:
$M_n = M_0(1+i)^n$
$\begin{align}M_5 &= M_0(1+i)^5 \\ 2.000.000 &= (500.000)(1+i)^5 \\ 4 &= (1+i)^5 \end{align}$
$\begin{align}M_{15} &= M_0(1+i)^{15} \\ &= (500.000) \left( (1+i)^5 \right)^3 \\ &= (500.000).4^3 \\ &= (500.000) \times 64 \\ M_{15} &= 32.000.000 \end{align}$
Jadi, besar saldo Budi setelah 15 tahun menabung adalah Rp. 32.000.000,-
Jawaban: D