Matriks 1. Definisi Matriks, Notasi Matriks, Ordo Matriks dan Jenis-Jenis Matriks

A. Definisi, Notasi dan Ordo Matriks

Definisi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang dibatasi tanda kurung yang berbentuk persegi panjang dan disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang menyusun baris ataupun kolom dari suatu matriks disebut elemen atau anggota dari matriks.
Notasi matriks menggunakan sebuah huruf kapital.
Bentuk Umum:
$A=\left( \begin{matrix} a_{(1,1)} & a_{(1,2)} & \cdots & a_{(1,n)} \\ a_{(2,1)} & a_{(2,2)} & \cdots & a_{(2,n)} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ a_{(m,1)} & a_{(m,2)} & \cdots & a_{(m,n)} \\ \end{matrix} \right)$
Ordo matriks menyatakan banyak baris dan banyak kolom suatu matriks.
Perhatikan matriks A di atas, banyak barisnya adalah m dan banyak kolomnya adalah n, maka matriks A memiliki ordo $m\times n$, ditulis $A_{m\times n}$.
$a_{(m,n)}$ artinya anggota matriks A pada baris ke-$m$ dan kolom ke-$n$.
Contoh:
Dikahui dua matriks yaitu:
$A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 4 & 3 \\ \end{matrix} \right)$;
$B=\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 6 & -8 \\ -3 & 5 & 3 & 7 \\ \end{matrix} \right)$ dan
$C=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 4 \\ 4 & 5 & 1 \\ -3 & 7 & 2 \\ \end{matrix} \right)$
Tentukan:
a) Ordo matriks A, B, dan C.
b) $a_{(2,1)}-b_{(1,4)}+5.c_{(3,2)}$
Penyelesaian:
a)
Anggota matriks A terdiri dari 2 baris dan 2 kolom, maka matriks A berordo $2\times 2$ ditulis $A_{2\times 2}$.
Anggota matriks B terdiri dari 2 baris dan 3 kolom, maka matriks B berordo $2\times 3$ ditulis $B_{2\times 3}$.
Anggota matriks C terdiri dari 3 baris dan 3 kolom, maka matriks C berordo $3\times 3$ ditulis $C_{3\times 3}$.
b)
$a_{(2,1)}$ = anggota matriks A pada baris ke-2 dan kolom ke-1.
$a_{(2,1)}$ = 4
$b_{(1,4)}$ = anggota matriks B pada baris ke-1 dan kolom ke-4
$b_{(1,4)}$ = -8
$c_{(3,2)}$ = anggota matriks C pada baris ke-3 dan kolom ke-2
$c_{(3,2)}$ = 7
Jadi, $a_{(2,1)}-b_{(1,4)}+5.c_{(3,2)} = 4-(-8)+5.7 = 47$.

B. Jenis-Jenis Matriks

1. Jenis Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Kolom

a) Matriks Baris yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris.
Contoh:
$A=\left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ \end{matrix} \right)$
$B=\left( \begin{matrix} -3 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right)$
$C=\left( \begin{matrix}-12 & 6 & 13 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

b) Matriks Kolom yaitu matriks yang yang hanya memiliki satu kolom.
Contoh:
$A = \left( \begin{matrix} -4 \\ 8 \\ \end{matrix} \right)$;

$B = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \\ -7 \\ \end{matrix} \right)$;

$C = \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 4 \\ -3 \\ \end{matrix} \right)$

c) Matriks Bujur Sangkat (Persegi) yaitu matriks yang banyak baris dan kolomnya sama.
Contoh:
$A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 0 & 6 \\ \end{matrix} \right)$;

$B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ -4 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 7 \\ \end{matrix} \right)$;

$C=\left( \begin{matrix} 5 & 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \\ 7 & 6 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

2. Jenis Matriks Berdasarkan Elemen-elemennya.

a) Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya adalah nol, kecuali elemen diagonal utamanya.
$A=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{matrix} \right)$;

$B=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{matrix} \right)$;

$C=\left( \begin{matrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{matrix} \right)$

b) Matriks Identitas
Matriks identitas terdiri dari 2 jenis yaitu matriks identitas penjumlahan dan matriks identitas perkalian.
Matriks identitas penjumlahan adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol, diberi notasi matriks O dan disebut juga matriks nol.
Berlaku: $O+A=A+O=A$.
Contoh:
$O_{2\times 3} = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$;

$O_{3\times 2} = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

c) Matriks identitas perkalian adalah matriks persegi yang elemennya nol, tetapi elemen diagonal utamanya semua bernilai 1. Matriks identias perkalian diberi notasi matriks I.
Berlaku: $A.I = I.A = A$.
Contoh:
$I_{2\times 2} = \left( \begin{matrix} \color{red}1 & 0 \\ 0 & \color{red}1 \\ \end{matrix} \right)$;

$I_{3\times 3} = \left( \begin{matrix} \color{red}1 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}1 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}1 \\ \end{matrix} \right)$; dan

$I_{4\times 4} = \left( \begin{matrix} \color{red}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}1 \\ \end{matrix} \right)$

d) Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh:
1) Segitiga atas berordo 2: $\left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ \color{red}0 & -5 \\ \end{matrix} \right)$

2) Segitiga atas berordo 3: $\left( \begin{matrix}5 & -3 & 7 \\ \color{red}0 & 2 & 4 \\ \color{red}0 & \color{red}0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

3) Segitiga atas berordo 4: $\left( \begin{matrix}2 & 5 & -6 & 10 \\ \color{red}0 & 3 & 7 & 8 \\ \color{red}0 & \color{red}0 & 4 & 9 \\ \color{red}0 & \color{red}0 & \color{red}0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
1) Segitiga bawah berordo 2: $\left( \begin{matrix}1 & \color{red}0 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

2) Segitiga bawah berordo 3: $\left( \begin{matrix}5 & \color{red}0 & \color{red}0 \\ 7 & 2 & \color{red}0 \\ 8 & 9 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

3) Segitiga bawah berordo 4: $\left( \begin{matrix} 2 & \color{red}0 & \color{red}0 & \color{red}0 \\ -1 & 3 & \color{red}0 & \color{red}0 \\ 8 & 0 & 4 & \color{red}0 \\ -9 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

C. Soal Latihan

Diketahui matriks $B = \left( \begin{matrix}12 & 8 & 1 & 0 \\ -5 & 4 & 6 & 13 \\ 17 & 2 & -3 & 20 \\ \end{matrix} \right)$ tentukan nilai $3b_{(2,1)}-4b_{(3,3)}+b_{(3,4)}$.
Diketahui matriks $C = \left( \begin{matrix}3 & 5 & -7 \\ 2 & -8 & x \\ 1 & 9 & 2 \\ \end{matrix} \right)$, tentukan nilai $4x-3$ jika $(b_{(1,3)}+b_{(3,1)})-(b_{(2,2)}+b_{(2,3)}) = 0$
Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut ini: $A=\left( \begin{matrix}-1 & 0 & 7 \\ 2 & 3 & 10 \\ \end{matrix} \right)$; $B=\left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ 0 & -3 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right)$; dan $C=\left( \begin{matrix}5 & 2 & -1 \\ 7 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix} \right)$.

Semoga postingan: Matriks 1. Definisi Matriks, Notasi Matriks, Ordo Matriks dan Jenis-Jenis Matriks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

CATATAN MATEMATIKA