Aturan Cosinus dan Pembuktiannya

A. Aturan Cosinus dan Pembuktian

Pada segitiga ABC dengan panjang sisi BC = a, panjang sisi AC = b, dan panjang sisi AB = c, maka berlaku:

$a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C$
Pembuktian Aturan Cosinus:
(1) Pembuktian: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
Perhatikan gambar berikut ini!

Lihat segitiga ADC:
Dengan Perbandingan Trigonometri, maka:
$\sin A=\frac{CD}{AC}\Leftrightarrow \sin A=\frac{CD}{b}\Leftrightarrow CD=b.\sin A$
$\cos A=\frac{AD}{AC}\Leftrightarrow \cos A=\frac{AD}{b}\Leftrightarrow AD=b.\cos A$
$BD=AB-AD\Leftrightarrow BD=c-b\cos A$
Pada segitiga BDC, berlaku Teorema Phytagoras maka:
$\begin{align}BC^2 &=BD^2+CD^2 \\ a^2 &=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2 \\ &=c^2-2bc\cos A+b^2{\cos }^2 A+b^2{\sin }^2 A \\ &=c^2-2bc\cos A+b^2({\cos }^2 A+{\sin }^2 A) \\ &=c^2-2bc\cos A+b^2 \\ a^2 &=b^2+c^2-2bc\cos A \end{align}$
(terbukti)

(2) Pembuktian: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
Perhatikan segitiga BDC, berlaku perbandingan trigonometri:
$\sin B=\frac{CD}{BC}\Leftrightarrow \sin B=\frac{CD}{a}\Leftrightarrow CD=a\sin B$
$\cos B=\frac{BD}{BC}\Leftrightarrow \cos B=\frac{BD}{a}\Leftrightarrow BD=a\cos B$
$AD=AB-BD\Leftrightarrow AD=c-a\cos B$
Pada segitiga ADC, berlaku teorema phytagoras, maka:
$\begin{align}AC^2 &=AD^2+CD^2 \\ b^2 &=(c-a\cos B)^2+(a\sin B)^2 \\ &=c^2-2ac\cos B+a^2{\cos }^2B+a^2{\sin }^2 B \\ &=c^2-2ac\cos B+a^2({\cos }^2 B+{\sin }^2 B) \\ &=c^2-2ac\cos B+a^2 \\ b^2 &=a^2+c^2-2ac\cos B \end{align}$
(terbukti)

(3) Pembuktian: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
Perhatikan gambar berikut:

Lihat segitiga BEC, siku-siku di E, maka:
$\operatorname{sinC}=\frac{BE}{BC}\Leftrightarrow \sin C=\frac{BE}{a}\Leftrightarrow BE=a\sin C$
$\cos C=\frac{CE}{BC}\Leftrightarrow \cos C=\frac{CE}{a}\Leftrightarrow CE=a\cos C$
$AE=AC-EC\Leftrightarrow AE=b-a\cos C$
Pada segitiga AEB berlaku teorema pythagoras:
$\begin{align}AC^2 &=BE^2+AE^2 \\ c^2 &=(a\sin C)^2+(b-a\cos C)^2 \\ &=a^2{\sin }^2 C+b^2-2ab\cos C+a^2{\cos }^2 C \\ &=a^2({\sin }^2C+{\cos }^2C)+b^2-2ab\cos C \\ c^2 &=a^2+b^2-2ab\cos C \end{align}$
(terbukti)

B. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1.

Segitiga ABC panjang masing-masing sisinya adalah AC = b, AB = c, dan BC = a. Jika diketahui b = 8 cm, c = 5 cm, dan sudut A = $60^\circ $, maka a = ... cm.
Penyelesaian:
$\begin{align}a^2 &=b^2+c^2-2bc.\cos A \\ &=8^2+5^2-2.8.5.\cos 60{}^\circ \\ &=64+25-80.\frac{1}{2} \\ &=89-40 \\ a^2 &=49 \\ a &=7 \end{align}$

Contoh 2.

Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan $\sqrt{21}$ cm adalah ...
Penyelesaian:
Misal segitiga ABC dengan:
a = 5, b = 6, dan c = $\sqrt{21}$
TIPS:
Pada segitiga, jika sisi di depan sudut adalah sisi terpendek maka sudut tersebut adalah sudut terkecil, sebaliknya jika sisi di depan sudut adalah sisi terpanjang maka sudut tersebut adalah sudut terbesar.
Jadi, dari informasi soal yang diketahui maka diperoleh sudut terkecil terletak pada titik C maka:
$\begin{align}\cos C &=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ &=\frac{5^2+6^2-(\sqrt{21})^2}{2.5.6} \\ &=\frac{25+36-21}{60} \\ &=\frac{40}{60} \\ \cos C &=\frac{2}{3} \end{align}$
$\cos C=\frac{2}{3}=\frac{sa}{mi}$
$\begin{align}de &=\sqrt{mi^2-sa^2} \\ &=\sqrt{3^2-2^2} \\ de &=\sqrt{5} \end{align}$
$\sin C=\frac{de}{mi}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

Contoh 3.

Nilai sinus sudut A dalam segitiga ABC yang panjang sisi-sisinya: $a=\sqrt{7}$, $b=3$ dan $c=2$ adalah ...
Penyelesaian:
a = $\sqrt{7}$, b = 3, dan c = 2
$\begin{align}\cos A &=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &=\frac{3^2+2^2-(\sqrt{7})^2}{2.3.2} \\ &=\frac{9+4-7}{12} \\ &=\frac{6}{12} \\ \cos A &=\frac{1}{2} \\ A &=60^\circ \end{align}$
$\sin A=\sin 60^\circ =\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Contoh 4.

Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8 cm, dan BC = 7 cm. Nilai $\sin A$ adalah ...
Penyelesaian:
AB = c = 9
AC = b = 8
BC = a = 7
$\begin{align}\cos A &=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ &=\frac{8^2+9^2-7^2}{2.8.9} \\ &=\frac{64+81-49}{144} \\ &=\frac{96}{144} \\ \cos A &=\frac{2}{3} \end{align}$
$\cos A=\frac{2}{3}=\frac{sa}{mi}$
$\begin{align}de &=\sqrt{mi^2-sa^2} \\ &=\sqrt{3^2-2^2} \\ de &=\sqrt{5} \end{align}$
$\sin A=\frac{de}{mi}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

Contoh 5. SOAL HOTS (Jurusan Tiga Angka/Bering)

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah $044^\circ $ sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah $104^\circ $ sejauh 40 km ke arah pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah ... cm.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut!

Jarak pelabuhan A ke C adalah b km.
Dengan aturan cosinus:
$\begin{align}b^2 &=a^2+c^2-2ac.\cos B \\ &=40^2+50^2-2.40.50.\cos 120^\circ \\ &=1600+2500-4000.\left( -\frac{1}{2} \right) \\ b^2 &=6100 \\ b= &\sqrt{6100} \\ &=\sqrt{100\times 61} \\ b &=10\sqrt{61} \end{align}$
Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah $10\sqrt{61}$ km.

C. Soal Latihan Aturan Cosinus

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang sisi BC = 15 cm, AC = 20 cm, dan $\angle C=60^\circ $, maka AB = ... cm.
2. Diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi QR = 12 cm, PR = 16 cm, dan $\angle R=120^\circ $, maka PQ = ... cm.
3. Diberikan $\Delta $ABC, dengan $a-b$ = 10 cm, $c$ = 30 cm, dan $\angle C=60^\circ $. Tentukanlah nilai $a$ dan $b$.
4. Diberikan jajaran genjang ABCD, dengan AB = 44 cm, BC = 37 cm, dan $\angle BAD=30^\circ $. Hitunglah panjang diagonal-diagonal ABCD.
5. Suatu terowongan bawah tanah yang berbentuk tabung, dengan diameter terowongan 10 m dan $\angle AOB=120^\circ $. Tentukan lebar permukaan dan kedalaman air dalam terowongan itu.

by: Catatan Matematika

Semoga postingan: Aturan Cosinus dan Pembuktiannya ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :