Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Subscribe and Follow Our Channel:
Youtube Catatan Matematika Tiktok Catatan Matematika Instagram Catatan Matematika Facebook Catatan Matematika

Aturan Sinus dan Pembuktiannya

Aturan Sinus (Pembuktian dan Contoh Soal)

A. Aturan Sinus

Pada segitiga ABC dengan panjang sisi BC = a, panjang sisi AC = b, dan panjang sisi AB = c, maka berlaku:
Aturan-Sinus
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
Pembuktian Aturan Sinus:
Perhatikan gambar berikut ini!
Pembuktian-Aturan-Sinus
Perhatikan segitiga BDC:
Pembuktian-Dalil-Sinus-Segitiga-BDC

$\begin{align}\sin B &=\frac{CD}{BC} \\ \sin B &=\frac{CD}{a} \\ CD &=a\sin B\,......\,(1) \end{align}$
Perhatikan segitiga ADC:
Segitiga-ADC
$\begin{align}\sin A &=\frac{CD}{AC} \\ \sin A &=\frac{CD}{b} \\ CD &=b\sin A\,......\,(2) \end{align}$
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
$a\sin B=b\sin A\Leftrightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ...... (3)
Perhatikan segitiga ABE:
Segitiga-ABE
$\begin{align}\sin B &=\frac{AE}{AB} \\ \sin B &=\frac{AE}{c} \\ AE &=c\sin B\,......\,(4) \end{align}$
Perhatikan segitiga AEC:
Segitiga-AEC
$\begin{align}\sin C &=\frac{AE}{AC} \\ \sin C &=\frac{AE}{b} \\ AE &=b\sin C\,......\,(5) \end{align}$
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
$b\sin C=c\sin B\Leftrightarrow \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ...... (6)
Dari persamaan (3) dan (6) maka diperoleh:
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ (terbukti)

B. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1.
Diketahui segitiga ABC dengan besar $\angle A=60{}^\circ $, $\angle B=75{}^\circ $, dan panjang AB = 12 cm. Panjang BC adalah ... cm.
Penyelesaian:
Contoh 1-Aturan-Sinus
$\begin{align}\angle A+\angle B+\angle C &=180^\circ \\ 60^\circ +75^\circ +\angle C &=180^\circ \\ 135^\circ +\angle C &=180^\circ \\ \angle C &=180^\circ -135^\circ \\ \angle C &=45^\circ \end{align}$
Aturan Sinus:
$\begin{align}\frac{a}{\sin A} &=\frac{c}{\sin C} \\ \frac{a}{\sin 60^\circ } &=\frac{12}{\sin 45^\circ } \\ \frac{a}{\cancel{\frac{1}{2}}\sqrt{3}} &=\frac{12}{\cancel{\frac{1}{2}}\sqrt{2}} \\ a &=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ a &=\frac{12\sqrt{6}}{2} \\ a &=6\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, panjang sisi BC adalah $6\sqrt{6}$ cm.

Contoh 2.
Pada segitiga RST diketahui ST = 4 cm, $\angle R=30^\circ $ dan $\angle T=105^\circ $. Panjang sisi RT adalah ... cm.
Penyelesaian:
Contoh 2-Aturan-Sinus
$\begin{align}\angle R+\angle S+\angle T &=180^\circ \\ 30^\circ +\angle S+105^\circ &=180^\circ \\ 135^\circ +\angle S &=180^\circ \\ \angle S &=180^\circ -135^\circ \\ \angle S &=45^\circ \end{align}$
Aturan Sinus:
$\begin{align}\frac{s}{\sin S} &=\frac{r}{\sin R} \\ \frac{s}{\sin 45^\circ } &=\frac{4}{\sin 30^\circ } \\ \frac{s}{\cancel{\frac{1}{2}}\sqrt{2}} &=\frac{4}{\cancel{\frac{1}{2}}} \\ s &=4\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, panjang sisi RT adalah $4\sqrt{2}$ cm.

Contoh 3.
Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm, sisi AC = 4 cm dan $\sin A=\frac{1}{2}$. Nilai $\cos B$ = ...
Penyelesaian:
Contoh 3-Aturan-Sinus
Aturan Sinus:
$\begin{align}\frac{\sin B}{b} &=\frac{\sin A}{a} \\ \frac{\sin B}{4} &=\frac{\frac{1}{2}}{3} \\ \sin B &=\frac{2}{3} \end{align}$
Silahkan Baca: Perbandingan Trigonometri
$\sin B=\frac{2}{3}=\frac{de}{mi}$
$\begin{align}sa &=\sqrt{mi^2-de^2} \\ &=\sqrt{3^2-2^2} \\ sa &=\sqrt{5} \end{align}$
$\cos B=\frac{sa}{mi}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

Contoh 4.
Perhatikan gambar berikut!
Contoh 4-Aturan-Sinus
Dua orang mulai berjalan masing-masing dari titik A dan titik B pada saat yang sama. Supaya keduanya sampai di titik C pada saat yang sama, maka kecepatan berjalan dari titik A harus ...
(A) 2 kali kecepatan orang yang dari B.
(B) $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ kali kecepatan orang yang dari B.
(C) $\sqrt{2}$ kali kecepatan orang yang dari B.
(D) $2\sqrt{2}$ kali kecepatan orang yang dari B.
(E) $\sqrt{3}$ kali kecepatan orang yang dari B.
Penyelesaian:
Contoh-Soal-Aturan-Sinus
Aturan Sinus:
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\sin A}$
a = $s_B$ = jarak tempuh orang dari titik B
b = $s_A$ jarak tempuh orang dari titik A
Ingat: $t=\frac{s}{v}$
$\begin{align}t_A &= t_B \\ \frac{s_A}{v_A} &= \frac{s_B}{v_B} \\ \frac{b}{v_A} &= \frac{a}{v_B} \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{b}{a} \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{\sin B}{\sin A} \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{\sin 30^\circ }{\sin 45^\circ } \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ v_A &= \frac{1}{\sqrt{2}}.v_B \\ v_A &= \frac{1}{2}\sqrt{2}.v_B \end{align}$
Jadi, kecepatan berjalan dari titik A harus $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ kali kecepatan orang dari B.
Jawaban: B

Soal Latihan

  1. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 12 cm, $\angle A=45^\circ $ dan $\angle B=60^\circ $ maka panjang sisi AC = ... cm.
  2. Diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi PR = 40 cm, $\angle P=62^\circ $ dan $\angle R=79^\circ $ maka panjang sisi QR = .. cm.
  3. Diketahui segitiga KLM dengan panjang sisi KM = 8 cm, KL = 6 cm dan $\angle KLM=45^\circ $, maka $\tan \angle KML$ = ....
by: Catatan Matematika
Semoga postingan: Aturan Sinus dan Pembuktiannya ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Post a Comment for "Aturan Sinus dan Pembuktiannya"