Aturan Sinus dan Pembuktiannya
![Materi Aturan Sinus (Pembuktian dan Contoh Soal) Aturan Sinus (Pembuktian dan Contoh Soal)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieY97k3MU4GiflRwAZIG11LqClEN3ivORPtMt2pkeGJEbFgNYskmLKzC-DQXyI4eAvXiiBHwG7ZpzY4ajMKmnI3__wjop2BZiD01PtPCo9CmpcaUeT0s6lIUK1SQWagk6PBU1jzrcjc8IS/s0-rw/Materi+Aturan+Sinus+%2528Pembuktian+dan+Contoh+Soal%2529.png)
A. Aturan Sinus
Pada segitiga ABC dengan panjang sisi BC = a, panjang sisi AC = b, dan panjang sisi AB = c, maka berlaku:
![Aturan Sinus Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWRbVp-Pa_aNSfA4h_2OicFEe313QKrSK_lxNTpukUBQ1qDWI_DHrFwXSQxWzL87z1kw6IvjHpTzIIwu-_dfL1by0y2NlxYAES149RInJuAG6wSIf18orNM_Xs3EjDXbQChx4ATU0KGrtD/s0-rw/Aturan+Sinus.png)
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
Pembuktian Aturan Sinus:![Aturan Sinus Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWRbVp-Pa_aNSfA4h_2OicFEe313QKrSK_lxNTpukUBQ1qDWI_DHrFwXSQxWzL87z1kw6IvjHpTzIIwu-_dfL1by0y2NlxYAES149RInJuAG6wSIf18orNM_Xs3EjDXbQChx4ATU0KGrtD/s0-rw/Aturan+Sinus.png)
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
Perhatikan gambar berikut ini!
![Pembuktian Aturan Sinus Pembuktian-Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0apvNofyHHMVScXJUwcT6eFs48STfMD6dasD4mcB-aZBTBLrtV7kuOK5NBxFqeTsOCkWlU6aVrPZP1D-fjmCdJruUFj6uY0M5Gq940lvQ2Kc67mhW-NcYOQ0t-eeHk8oorrW4BIY8Q_Gl/s0-rw/Pembuktian+Aturan+Sinus.png)
Perhatikan segitiga BDC:
![Pembuktian Dalil Sinus Pembuktian-Dalil-Sinus-Segitiga-BDC](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV5kkawRpyAFy672qCtT-Bnt_HUeln5GTs9mTUa1hegUfSiEd-JrEMwoyqIcrku2TWwLjRF1zbIrQyuSvmBnzbR7pbQ5Pm_fh25IdyHr-HCroMBZsqnxa5lfXBwoFWPZa1ZisG1PEwmdu3/s0-rw/Pembuktian+Aturan+Sinus+%2528Segitiga+BDC.png)
$\begin{align}\sin B &=\frac{CD}{BC} \\ \sin B &=\frac{CD}{a} \\ CD &=a\sin B\,......\,(1) \end{align}$
Perhatikan segitiga ADC:
![Segitiga ADC Segitiga-ADC](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA9GPEqFGAfSPdI8kSvFcPtodH6d00pBzKT51bQKZhpCqtLB66lKT5zAVLGKj6qCLcs1ObiYfrSQwW9nHyaHtVX9Fc07dCn6LHgZZ68Q6WCISzfe0Evmapu49uwoiyIoPov4WrjISpTnxQ/s0-rw/Segitiga+ADC.png)
$\begin{align}\sin A &=\frac{CD}{AC} \\ \sin A &=\frac{CD}{b} \\ CD &=b\sin A\,......\,(2) \end{align}$
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
$a\sin B=b\sin A\Leftrightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ...... (3)
Perhatikan segitiga ABE:
![Segitiga ABE Segitiga-ABE](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV4XYe7vJHcZMwjrO5VOWOEUgCETY5O6CjSme9wPiBCDFLnswimHSKB9HdrlyLuDXfBHk1mXuf5ofpD6SVvAiBDwb5ERHmcCCfHmbcDIaTbhzmboyQ4_-6QvLBTTUzEBDkOM6-_vaK1ePP/s0-rw/Segitiga+ABE.png)
$\begin{align}\sin B &=\frac{AE}{AB} \\ \sin B &=\frac{AE}{c} \\ AE &=c\sin B\,......\,(4) \end{align}$
Perhatikan segitiga AEC:
![Segitiga AEC Segitiga-AEC](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvccBhjMx7flAyMBvtz2nrdnk5b8BvTGhzdyJbebpdtTQdjegjxb3dUTxyVfFGmmiHpQeGPw1sqWkGgd9-wbd2rSJzRE4U0QANge5chlMvLTZ-acNEs5x_5y9w2amjkVS-4LSf3tIunGOa/s0-rw/Segitiga+AEC.png)
$\begin{align}\sin C &=\frac{AE}{AC} \\ \sin C &=\frac{AE}{b} \\ AE &=b\sin C\,......\,(5) \end{align}$
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
$b\sin C=c\sin B\Leftrightarrow \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ...... (6)
Dari persamaan (3) dan (6) maka diperoleh:
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ (terbukti)
B. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1.
Diketahui segitiga ABC dengan besar $\angle A=60{}^\circ $, $\angle B=75{}^\circ $, dan panjang AB = 12 cm. Panjang BC adalah ... cm.Penyelesaian:
![Contoh 1 Aturan Sinus Contoh 1-Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNHxlxAoKeMgMiCDoGXrIDhTqMoJJpsV0IRs1oiJIndI6zx9bWiBGUCke2tt0ifSJ-G2l-9Gd0Bg1JKEUTXv_KFhmM3PxFQJp_4PyCNaGRkLfx2K7M1SFSjBEgTiJR7QnVYLlmPr0uyRg5/s0-rw/Contoh+1+Aturan+Sinus.png)
$\begin{align}\angle A+\angle B+\angle C &=180^\circ \\ 60^\circ +75^\circ +\angle C &=180^\circ \\ 135^\circ +\angle C &=180^\circ \\ \angle C &=180^\circ -135^\circ \\ \angle C &=45^\circ \end{align}$
Aturan Sinus:
$\begin{align}\frac{a}{\sin A} &=\frac{c}{\sin C} \\ \frac{a}{\sin 60^\circ } &=\frac{12}{\sin 45^\circ } \\ \frac{a}{\cancel{\frac{1}{2}}\sqrt{3}} &=\frac{12}{\cancel{\frac{1}{2}}\sqrt{2}} \\ a &=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ a &=\frac{12\sqrt{6}}{2} \\ a &=6\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, panjang sisi BC adalah $6\sqrt{6}$ cm.
Contoh 2.
Pada segitiga RST diketahui ST = 4 cm, $\angle R=30^\circ $ dan $\angle T=105^\circ $. Panjang sisi RT adalah ... cm.Penyelesaian:
![Contoh 2 Aturan Sinus Contoh 2-Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-3lCK-I77Baxq9oTzziY4FhnkXYgpsAfbn0Gu7tntrIcaQfUCogHgk8yKRCHHX5QcKDskPAphwsrVKgr8o0e-070ocuR-J6FbC7S27dIjwRdCc842uqLUaD5M4N_IAb73eZqxpMyZfNzP/s0-rw/Contoh+2+Aturan+Sinus.png)
$\begin{align}\angle R+\angle S+\angle T &=180^\circ \\ 30^\circ +\angle S+105^\circ &=180^\circ \\ 135^\circ +\angle S &=180^\circ \\ \angle S &=180^\circ -135^\circ \\ \angle S &=45^\circ \end{align}$
Aturan Sinus:
$\begin{align}\frac{s}{\sin S} &=\frac{r}{\sin R} \\ \frac{s}{\sin 45^\circ } &=\frac{4}{\sin 30^\circ } \\ \frac{s}{\cancel{\frac{1}{2}}\sqrt{2}} &=\frac{4}{\cancel{\frac{1}{2}}} \\ s &=4\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, panjang sisi RT adalah $4\sqrt{2}$ cm.
Contoh 3.
Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm, sisi AC = 4 cm dan $\sin A=\frac{1}{2}$. Nilai $\cos B$ = ...Penyelesaian:
![Contoh 3 Aturan Sinus Contoh 3-Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisVE9Aqb88Jp-Js_6kQd7uH4pbhL80dpbkSjSb35IodIdH8au8ij8hyphenhyphengp-GjeDGEjmB7DR1BbIX9VgVKMkaNMk3_PoLkuQDZ4BLvmUgf-YZefQvx1tfH4BdDBr07GHAcozQQq3kT731PYF/s0-rw/Contoh+3+Aturan+Sinus.png)
Aturan Sinus:
$\begin{align}\frac{\sin B}{b} &=\frac{\sin A}{a} \\ \frac{\sin B}{4} &=\frac{\frac{1}{2}}{3} \\ \sin B &=\frac{2}{3} \end{align}$
Silahkan Baca: Perbandingan Trigonometri
$\sin B=\frac{2}{3}=\frac{de}{mi}$
$\begin{align}sa &=\sqrt{mi^2-de^2} \\ &=\sqrt{3^2-2^2} \\ sa &=\sqrt{5} \end{align}$
$\cos B=\frac{sa}{mi}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Contoh 4.
Perhatikan gambar berikut!![Contoh 4 Aturan Sinus Contoh 4-Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZAa_faG65EWlO-Uuou0mRifr6Hv3wMi2DhJDlEPKrgefgrBgNhxW6nGsgeXyf1zJFyUX5UFSb3aKHLWlB4sL24NaEXugaL-7DCa9fphdHhBY8Ov9Jz_5Es8_Bi26EVNhX3M8qpIgo_OcN/s0-rw/Contoh+4+Aturan+Sinus.png)
Dua orang mulai berjalan masing-masing dari titik A dan titik B pada saat yang sama. Supaya keduanya sampai di titik C pada saat yang sama, maka kecepatan berjalan dari titik A harus ...
(A) 2 kali kecepatan orang yang dari B.
(B) $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ kali kecepatan orang yang dari B.
(C) $\sqrt{2}$ kali kecepatan orang yang dari B.
(D) $2\sqrt{2}$ kali kecepatan orang yang dari B.
(E) $\sqrt{3}$ kali kecepatan orang yang dari B.
Penyelesaian:
![Contoh Soal Aturan Sinus Contoh-Soal-Aturan-Sinus](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiLoXFkugjHdJoE0yWLv8IhYAzjCvYJFr2GwFOqgsB4cu6hOEe4g8ILJVupRNkPx5Y7NpFrg8QNpf1rYpuy3VP_DAWPLUHI0Fu0IVNSmIIkG4BwN0BFRsp_N8r_3qVt4t0Duu33dMdz-j6/s0-rw/Contoh+Aturan+Sinus.png)
Aturan Sinus:
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\sin A}$
a = $s_B$ = jarak tempuh orang dari titik B
b = $s_A$ jarak tempuh orang dari titik A
Ingat: $t=\frac{s}{v}$
$\begin{align}t_A &= t_B \\ \frac{s_A}{v_A} &= \frac{s_B}{v_B} \\ \frac{b}{v_A} &= \frac{a}{v_B} \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{b}{a} \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{\sin B}{\sin A} \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{\sin 30^\circ }{\sin 45^\circ } \\ \frac{v_A}{v_B} &= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ v_A &= \frac{1}{\sqrt{2}}.v_B \\ v_A &= \frac{1}{2}\sqrt{2}.v_B \end{align}$
Jadi, kecepatan berjalan dari titik A harus $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ kali kecepatan orang dari B.
Jawaban: B
Soal Latihan
- Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 12 cm, $\angle A=45^\circ $ dan $\angle B=60^\circ $ maka panjang sisi AC = ... cm.
- Diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi PR = 40 cm, $\angle P=62^\circ $ dan $\angle R=79^\circ $ maka panjang sisi QR = .. cm.
- Diketahui segitiga KLM dengan panjang sisi KM = 8 cm, KL = 6 cm dan $\angle KLM=45^\circ $, maka $\tan \angle KML$ = ....
Semoga postingan: Aturan Sinus dan Pembuktiannya ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Aturan Sinus dan Pembuktiannya"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.