Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Materi: Perbandingan Trigonometri (Definisi dan Contoh Soal)

Perbandingan Trigonometri Definisi dan Contoh Soal

A. Mengenal Jenis-jenis Sisi pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga siku-siku terdapat tiga jenis sisi. Berdasarkan posisinya terhadap sudut tertentu, kita dapat menamai ketiga sisi tersebut dengan:
  1. Sisi depan, yaitu sisi siku-siku yang berada di depan sudut.
  2. Sisi samping, yaitu sisi siku-siku yang berada di samping sudut.
  3. Sisi miring (hipotenusa), yaitu sisi yang berada di depan sudut siku-siku.
Untuk lebih memahaminya lukislah segitiga ABC dengan sudut siku-siku terletak di titik A. Berdasarkan sudut B maka dapat kita tentukan jenis-jenis sisi sebagai seperti pada gambar berikut.
Jenis-jenis Sisi pada Segitiga Siku-siku
Supaya semakin memahami, coba perhatikan gambar-gambar berikut ini! Pada gambar diberi tanda pada satu sudut, kemudian jenis-jenis sisi pada setiap sisi segitiga.
Jenis-jenis sisi pada segitiga siku-siku

B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perbandingan trigonometri ada 6 yaitu: 1. Sinus disingkat sin.
2. Cosinus disingkat cos.
3. Tangen disingkat tan.
4. Cosecan disingkat csc.
5. Secan disingkat sec.
6.Cotangen disingkat cot.

Definisi Perbandingan Trigonometri

Perhatikan gambar berikut!
Definisi Perbandingan Trigonometri
1. $\sin \theta =\frac{\text{sisi}\,\text{depan}}{\text{sisi}\,\text{miring}}=\frac{BC}{AC}$
2. $\cos \theta =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi}\,\text{miring}}=\frac{AB}{AC}$
3. $\tan \theta =\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}=\frac{BC}{AB}$
4. $\csc \theta =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}}=\frac{AC}{BC}$
5. $\sec \theta =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}}=\frac{AC}{AB}$
6. $\cot \theta =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}=\frac{AB}{BC}$
Cara mudah menghafal rumus perbandingan trigonometri:
1. $\sin \theta =\frac{\text{de}}{\text{mi}}$, baca “sindemi”
2. $\cos \theta =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}$, baca “cosami”
3. $\tan \theta =\frac{\text{de}}{\text{sa}}$, baca “tadesa”

C. Rumus Kebalikan dan Rumus Perbandingan

Perhatikan gambar berikut!
rumus kebalikan perbandingan trigonometri
Teorema phythagoras:
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
$x=\sqrt{r^2-y^2}$
$y=\sqrt{r^2-x^2}$
Perbandingan trigonometri: $\sin \theta =\frac{y}{r}$ dan $\csc \theta =\frac{r}{y}$
$\cos \theta =\frac{x}{r}$ dan $\sec \theta =\frac{r}{x}$
$\tan \theta =\frac{y}{x}$ dan $\cot \theta =\frac{x}{y}$
Dari perbandingan trigonometri tersebut dapat diturunkan rumus-rumus sebagai berikut:

Rumus Kebalikan

a) $\sin \theta =\frac{1}{\csc \theta }\Leftrightarrow \csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$
b) $\cos \theta =\frac{1}{\sec \theta }\Leftrightarrow \sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$
c) $\tan \theta =\frac{1}{\cot \theta }\Leftrightarrow \cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }$

Rumus Perbandingan

a) $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$
b) $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

Contoh 1.
Perhatikan gambar berikut!
Contoh-Soal-Perbandingan-Trigonometri
Tentukan nilai keenam perbandingan trigonometri untuk sudut $\beta $.
Penyelesaian:
Dengan Teorema Pythagoras:
$\begin{align}AB &=\sqrt{AC^2-BC^2} \\ &=\sqrt{4^2-3^2} \\ &=\sqrt{16-9} \\ AB &=\sqrt{7} \end{align}$
Berdasarkan sudut $\beta $ maka:
Sisi depan = AB = $\sqrt{7}$
Sisi samping = BC = 3
Sisi miring = AC = 4
$\sin \beta =\frac{de}{mi}=\frac{\sqrt{7}}{4}$
$\cos \beta =\frac{sa}{mi}=\frac{3}{4}$
$\tan \beta =\frac{de}{sa}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
$\csc \beta =\frac{mi}{de}=\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{4}{7}\sqrt{7}$
$\sec \beta =\frac{mi}{sa}=\frac{4}{3}$
$\cot \beta =\frac{sa}{de}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{7}$

Contoh 2.
Diketahui nilai $\tan \alpha =\frac{1}{3}$ untuk $0^\circ < \alpha < 90^\circ $. Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut $\alpha $ yang lain.
Penyelesaian:
$\tan \alpha =\frac{1}{3}=\frac{de}{sa}$
Kemudian gambar segitiga siku-siku sesuai perbandingan tersebut.
Perbandingan Trigonometri
$\begin{align}mi &=\sqrt{sa^2+de^2} \\ &=\sqrt{3^2+1^2} \\ &=\sqrt{9+1} \\ mi &=\sqrt{10} \end{align}$
$\sin \beta =\frac{de}{mi}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{1}{10}\sqrt{10}$
$\cos \beta =\frac{sa}{mi}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3}{10}\sqrt{10}$
$\tan \beta =\frac{de}{sa}=\frac{1}{3}$
$\csc \beta =\frac{mi}{de}=\sqrt{10}$
$\sec \beta =\frac{mi}{sa}=\frac{\sqrt{10}}{3}$
$\cot \beta =\frac{sa}{de}=\frac{3}{1}=3$

Contoh 3.
Diketahui nilai $\sin 25{}^\circ =p$, maka nilai $\tan 25^\circ $ = ...
Penyelesaian:
$\sin 25^\circ =p=\frac{p}{1}=\frac{de}{mi}$
Kemudian gambar segitiga siku-siku sesuai dengan perbandingan tersebut.
contoh perbandingan trigonometri
$\begin{align}sa &=\sqrt{mi^2-de^2} \\ &=\sqrt{1^2-p^2} \\ sa &=\sqrt{1-p^2} \end{align}$
$\tan 25^\circ =\frac{de}{sa}=\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$

Contoh 4.
Diketahui nilai $\cos A=0,6$. Jika sudut A adalah sudut lancip, maka $2\sin A\tan A$ = ...
Penyelesaian:
$\cos A=0,6=\frac{6}{10}=\frac{sa}{mi}$
Gambar segitiga siku-siku sesuai dengan perbandingan tersebut.
Perbandingan Trigonometri segitiga siku-siku
$\begin{align}de &=\sqrt{mi^2-sa^2} \\ &=\sqrt{10^2-6^2} \\ &=\sqrt{100-36} \\ &=\sqrt{64} \\ de &=8 \end{align}$
$\sin A=\frac{de}{mi}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\tan A=\frac{de}{sa}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
$2\sin A\tan A=2.\frac{4}{5}.\frac{4}{3}=\frac{32}{15}$
Contoh 4.
Diketahui nilai $\cos A=0,6$. Jika sudut A adalah sudut lancip, maka $2\sin A\tan A$ = ...
Penyelesaian:
$\cos A=0,6=\frac{6}{10}=\frac{sa}{mi}$
Gambar segitiga siku-siku sesuai dengan perbandingan tersebut.
Gambar 8.
$\begin{align}de &=\sqrt{mi^2-sa^2} \\ &=\sqrt{10^2-6^2} \\ &=\sqrt{100-36} \\ &=\sqrt{64} \\ de &=8 \end{align}$
$\sin A=\frac{de}{mi}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\tan A=\frac{de}{sa}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
$2\sin A\tan A=2.\frac{4}{5}.\frac{4}{3}=\frac{32}{15}$

Soal Latihan


  1. Diketahui segitiga ABC, siku-siku di titik C. Jika panjang AC = 24 cm, BC = 7 cm, dan $\angle BAC=\alpha $, maka tentukan nilai keenam perbandingan trigonometri untuk sudut $\alpha $.
  2. Jika diketahui $\cos \theta =\frac{1}{k}$ untuk $0^\circ < \theta < 90^\circ $ maka $\tan \theta $ = ...
  3. Diketahui sudut A adalah sudut lancip. Jika $\tan A=\frac{12}{5}$ maka $\sin A+\cos A$ = ...
  4. Diketahui $0^\circ < B < 90^\circ $. Jika $\cos B=\frac{2}{3}$ maka ${{\sin }^{2}}A-{{\tan }^{2}}A$ = ....
Update Postingan Terbaru dengan cara subscribe atau follow channel kami dengan klik ketiga tombol di bawah ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika

Post a comment for "Materi: Perbandingan Trigonometri (Definisi dan Contoh Soal)"