Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Subscribe and Follow Our Channel:
Youtube Catatan Matematika Tiktok Catatan Matematika Instagram Catatan Matematika Facebook Catatan Matematika

Kaidah Pencacahan 5. Ekspansi Binomial Newton (Konsep Dasar dan Contoh Soal)

A. Segitiga Pascal

Perhatikan operasi aljabar berikut ini:
$(a+b)^0=1$
$(a+b)^1=a+b$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b)^4$ = $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
Dari operasi aljabar di atas, terlihat bahwa koefisien-koefisien memenuhi suatu aturan yang dikenal dengan Segitiga Pascal, yaitu:
$\begin{matrix} 1 \\ \begin{matrix} 1 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$
Dengan demikian, kita dapat menjabarkan $(a+b)^5$ menggunakan segitiga pascal yang hasilnya sebagai berikut:
segitiga-pascal

B. Binomial Newton dengan Notasi Kombinasi

Segitiga pascal dapat dituliskan dengan notasi kombinasi sebagai berikut:
$\begin{matrix} \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$
Dengan demikian, kita dapat menjabarkan $(a+b)^5$ menggunakan kombinasi yang hasilnya sebagai berikut:
binomial-newton
Bentuk ini disebutlah dengan Binomial Newton.
Binomial Newton, secara umum ditulis sebagai berikut:
teorema-binomial-newton
dengan:
suku ke-r = $\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1}$

Contoh 1.
Hitunglah koefisien $x^6$ dari $(3x+4)^7$.
Penyelesaian: Lihat/Tutup $(3x+4)^7$ identik dengan $(a+b)^n$ dengan:
$a=3x$; $b=4$; $n=7$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)(3x)^{7-r+1}.4^{r-1} \\ \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).4^{r-1}(3x)^{8-r} \end{align}$
Dengan memisalkan suku ke-r adalah $(...)x^6$ maka:
$\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).4^{r-1}(3x)^{8-r}=(...)x^6$
$\begin{align}8-r &=6 \\ 8-6 &=r \\ r &=2 \end{align}$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).4^{r-1}(3x)^{8-r} \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &=\left( \begin{matrix} 7 \\ 2-1 \\ \end{matrix} \right).4^{2-1}(3x)^{8-2} \\ &=\left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \right).4(3x)^6 \\ &=\frac{7!}{1!(7-1)!}.4.729x^6 \\ &=\frac{7!}{1!6!}.2916x^6 \\ &=\frac{7.\cancel{6!}}{1.\cancel{6!}}.2916x^6 \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &=20412x^6 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^6$ dari $(3x+4)^7$ adalah 20.412.


Contoh 2.
Hitunglah koefisien $x^{10}$ dari $(x^3-2x)^6$.
Penyelesaian: Lihat/Tutup $(x^3-2x)^6$ identik dengan $(a+b)^n$ dengan:
$a=x^3$; $b=2x$; $n=6$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)(x^3)^{6-r+1}.(2x)^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)(x^3)^{7-r}.2^{r-1}.x^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{21-3r}.x^{r-1} \\ \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{20-2r} \end{align}$
Dengan memisalkan suku ke-r adalah $(...)x^{10}$ maka:
$\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{20-2r}=(...)x^{10}$
$\begin{align}20-2r &=10 \\ 20-10 &=2r \\ 2r &=10 \\ r &=5 \end{align}$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{20-2r} \\ \text{suku}\,\text{ke-5} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ 5-1 \\ \end{matrix} \right).2^{5-1}.x^{20-2.5} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \\ \end{matrix} \right).2^4.x^{10} \\ &=\frac{6!}{4!(6-4)!}.16x^{10} \\ &=\frac{6!}{4!2!}.16x^{10} \\ &=\frac{\overset{3}{\mathop{\cancel{6}}}\,.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}.\cancel{2}.1}.16x^{10} \\ \text{suku}\,\text{ke-5} &=240x^{10} \end{align}$
Jadi, koefisien $x^{10}$ dari $(x^3-2x)^6$ adalah 240.

Contoh 3. Soal Olimpiade SCE USU 2016
Hitunglah koefisien $x^5y^2$ dari $(x+y^2)^6$.
Penyelesaian: Lihat/Tutup $(x+y^2)^6$ identik dengan $(a+b)^n$ dengan:
$a=x$; $b=y^2$; $n=6$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1} \\ & =\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{6-r+1}.(y^2)^{r-1} \\ \text{suku}\,\text{ke-r} &= \left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-r}.y^{2r-2} \end{align}$
Dengan memisalkan suku ke-r adalah $(...)x^5y^2$ maka:
$\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-r}.y^{2r-2}=(...)x^5y^2$
$\begin{align}7-r &=5 \\ 7-5 &=r \\ r &=2 \end{align}$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-r}.y^{2r-2} \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ 2-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-2}.y^{2.2-2} \\ &= \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) x^5y^2 \\ &= \frac{6!}{1!(6-1)!}.x^5y^2 \\ &= \frac{6.\cancel{5!}}{1.\cancel{5!}}.x^5y^2 \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &= 6x^5y^2 \end{align}$
Jadi, koefisien koefisien $x^5y^2$ dari $(x+y^2)^6$ adalah 6.

C. Soal Latihan

  1. Tentukan koefisien $x^2y^3$ dari $(2x-y)^5$.
  2. Tentukan suku kelima dari ekspansi binomial $(x+2y)^{10}$.
  3. Tentukan koefisien suku ke empat dari $(x-3y)^7$.
  4. Hitunglah koefisien $x^5$ dari uraian $\left( x^2+\frac{1}{2x} \right)^7$.
  5. Tentukan suku keempat dari ekspansi binomial $\left( 2x^2-\frac{1}{2}y^3 \right)^8$.
Semoga postingan: Kaidah Pencacahan 5. Ekspansi Binomial Newton (Konsep Dasar dan Contoh Soal) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Post a Comment for "Kaidah Pencacahan 5. Ekspansi Binomial Newton (Konsep Dasar dan Contoh Soal)"