Polinomial 6. Teorema Vieta - Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku Banyak

A. Teorema Vieta

Persamaan Kuadrat

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari $ax^2+bx+c=0$ maka:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1.x_2=\frac{c}{a}$

Persamaan Kubik

Jika $x_1$, $x_2$ dan $x_3$ adalah akar-akar dari $ax^3+bx^2+cx+d=0$ maka:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$
$x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a}$
$x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}$

Persamaan Kuartik

Jika $x_1$, $x_2$, $x_3$ dan $x_4$ adalah akar-akar dari $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ maka:

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}$
$x_1.x_2$+$x_1.x_3$+$x_1.x_4$+$x_2.x_3$+$x_2.x_4$+$x_3.x_4$=$\frac{c}{a}$
$x_1.x_2.x_3$+$x_1.x_2.x_4$+$x_1.x_3.x_4$+$x_2.x_3.x_4$=$-\frac{d}{a}$
$x_1.x_2.x_3.x_4=\frac{e}{a}$

Persamaan Suku Banyak Berderajat $n$

Jika persamaan sukubanyak berderajat $n$ adalah $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_0$ akar-akarnya adalah $x_1$, $x_2$, $x_3$, …, $x_n$ maka:

Jumlah akar-akar = $(-1)^1\frac{{{a}_{n-1}}}{a_n}$
Jumlah hasil kali setiap dua akar = $(-1)^2\frac{a_{n-2}}{a_n}$
Jumlah hasil kali setiap tiga akar = $(-1)^3\frac{{{a}_{n-3}}}{a_n}$
....
Hasil kali semua akar = $(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$

Contoh 1.
Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^3-9x^2+26x-24=0$ adalah $x_1$, $x_2$, $x_3$. Tentukan nilai $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.
Penyelesaian:
$x^3-9x^2+26x-24=0$
$a=1$, $b=-9$, $c=26$ dan $d=-24$
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{1}=9$
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}=\frac{26}{1}=26$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2$
= $(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$
= $9^2-2\times 26$
= 29

Contoh 2.
Diketahui $x_1$, $x_2$ dan $x_3$ merupakan akar-akar persamaan $x^3-6x^2+px-6=0$ dengan $x_1+x_3=2x_2$. Tentukan nilai $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.
Penyelesaian:
$x^3-6x^2+px-6=0$
$a=1$, $b=-6$, $c=p$ dan $d=-6$
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$
$\begin{align}x_1+x_3 &= 2x_2 \\ x_1+x_3+x_2 &= 2x_2+x_2 \\ x_1+x_2+x_3 &= 3x_2 \\ 6 &= 3x_2 \\ 2 &= x_2 \end{align}$
Substitusi $x=2$ ke persamaan $x^3-6x^2+px-6=0$ maka:
$\begin{align}x^3-6x^2+px-6 &= 0 \\ 2^3-6.2^2+p.2-6 &= 0 \\ 8-24+2p-6 &= 0 \\ 2p-22 &= 0 \\ 2p &= 22 \\ p &= 11 \end{align}$
Sehingga persamaannya adalah:
$x^3-6x^2+11x-6=0$
$a=1$, $b=-6$, $c=11$ dan $d=-6$
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11$
$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=-\frac{-6}{1}=6$
$\begin{align}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3} &= \frac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3} \\ &= \frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3} \\ &= \frac{11}{6} \end{align}$

Contoh 3.
Diketahui $x_1$, $x_2$, dan $x_3$ adalah akar-akar dari persamaan $x^3-64x+14=0$. Nilai dari $x_1^3+x_2^3+x_3^3$ adalah ....
Penyelesaian:
$x^3-64x+14=0$
$a=1$, $b=0$, $c=-64$, $d=14$
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{0}{1}=0$
Karena $x_1$, $x_2$, dan $x_3$ adalah akar-akar dari persamaan $x^3-64x+14=0$, akibatnya:
$x^3-64x+14=0\Leftrightarrow x^3=64x-14$
$\frac{\begin{align}x_1^3 &= 64x_1-14 \\ x_2^3 &= 64x_2-14 \\ x_3^3 &= 64x_3-14 \end{align}}{\begin{align}x_1^3+x_2^3+x_3^3 &= 64(x_1+x_2+x_3)-42 \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 &= 64.0-42 \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 &= -42 \end{align}}+$

Contoh 4.
Jika $x^3-8x^2+ax+10=0$ mempunyai akar $x=2$, tentukan jumlah dua akar lainnya.
Penyelesaian:
$x^3-8x^2+ax+10=0$, akar-akarnya $x_1=2$, $x_2$ dan $x_3$ maka $x_2+x_3$ = ....
$\begin{align}x_1+x_2+x_3 &= -\frac{b}{a} \\ x_1+x_2+x_3 &= -\frac{-8}{1} \\ 2+x_2+x_3 &= 8 \\ x_2+x_3 &= 6 \end{align}$

Contoh 5.
Akar-akar persamaan $x^4-3x^3-2x^2-12x+40=0$ adalah $x_1$, $x_2$, $x_3$dan $x_4$. Jika $x_4=2$, tentukan nilai dari $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.
Penyelesaian:
$x^4-3x^3-2x^2-12x+40=0$
$a=1$, $b=-3$, $c=-2$, $d=-12$ dan $e=40$
$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4$ = $-\frac{d}{a}$ = $-\frac{-12}{1}=12$
$x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}=\frac{40}{1}=40$
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}$=$\frac{x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_2x_3}{x_1x_2x_3x_4}$
$\begin{align}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4} &= \frac{12}{40} \\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{2} &= \frac{3}{10} \\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3} &= \frac{3}{10}-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3} &= -\frac{2}{10} \\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3} &= -\frac{1}{5} \end{align}$

Contoh 6.
Carilah nilai $p$ agar akar-akar persamaan $x^3+px^2+14x-8=0$ membentuk deret geometri.
Penyelesaian:
$x^3+px^2+14x-8=0$
$a=1$, $b=p$, $c=14$ dan $d=-8$
Misalkan, akar-akarnya $x_1$, $x_2$ dan $x_3$ membentuk deret geometri maka:
$\begin{align}x_2^2 &= x_1.x_3 \\ x_2^2.x_2 &= x_1.x_3.x_2 \\ x_2^3 &= x_1.x_2.x_3 \\ x_2^3 &= -\frac{d}{a} \\ x_2^3 &= -\frac{-8}{1} \\ x_2^3 &= 8 \\ x_2^3 &= 2^3 \\ x_2 &= 2 \end{align}$
$\begin{align}x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} \\ x_1.2.x_3 &= -\frac{-8}{1} \\ 2x_1.x_3 &= 8 \\ x_1.x_3 &= 4 \end{align}$
$\begin{align}x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3 &= \frac{c}{a} \\ x_1.2+4+2.x_3 &= \frac{14}{1} \\ 2x_1+2x_3+4 &= 14 \\ 2x_1+2x_3 &= 10 \\ x_1+x_3 &= 5 \end{align}$
$\begin{align}x_1+x_2+x_3 &= -\frac{b}{a} \\ x_2+(x_1+x_3) &= -\frac{p}{1} \\ 2+5 &= -p \\ 7 &= -p \\ -7 &= p \end{align}$
Jadi, nilai $p=-7$.

B. Soal Latihan

Diketahui persamaan $x^3-14x^2+56x-64=0$ akar-akarnya $p$, $q$ dan $r$. Tentukan nilai dari $p^2+q^2+r^2$.
Diberikan persamaan $x^3-ax^2+9x-2=0$, akar-akarnya $x_1$, $x_2$ dan $x_3$. Jika $x_1+x_2=2x_3$, tentukan nilai $a$ dan akar-akarnya.
Tentukan nilai $m$ agar akar-akar persamaan $x^3+mx^2-6x+8=0$ membentuk deret geometri.
Carilah nilai $k$ agar akar-akar persamaan $x^3-9x^2+kx-15=0$ membentuk deret aritmetika.
Diketahui persamaan $x^3-6x^2+11x+m=0$ akar-akarnya $x_1$, $x_2$ dan $x_3$. Tentukan nilai $m$ jika $x_1=2x_2$.

CATATAN MATEMATIKA