Bank Soal: Induksi Matematika dan Pembahasan - CATATAN MATEMATIKA

Bank Soal: Induksi Matematika dan Pembahasan

Soal Induksi Matematika dan Pembahasan
Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Induksi Matematika, yaitu salah satu materi pada mata pelajaran Matematika Wajib Kelas 11. Silahkan dipelajari dan jangan lupa share/bagikan ke media sosial kalian, agar manfaat postingan ini dapat dirasakan oleh siswa/i yang lain. Terima kasih.
Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".

Soal No. 1
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1=\frac{1(1+1)}{2}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1+2+3+...+k+(k+1)$
= $[1+2+3+...+k]+(k+1)$
= $\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$
= $\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}$
= $\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$
= $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 2
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1=\frac{1}{6}.1(1+1)(2.1+1)$
$1=\frac{1}{6}.2.3$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1) yaitu:
${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{(k+1)}^{2}}$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{(k+1)}^{2}}$
= $[{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}]+{{(k+1)}^{2}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{{(k+1)}^{2}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6{{(k+1)}^{2}}}{6}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)+6{{(k+1)}^{2}}}{6}$
= $\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}$
= $\frac{(k+1)[2{{k}^{2}}+k+6k+6]}{6}$
= $\frac{(k+1)[2{{k}^{2}}+7k+6]}{6}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
= $\frac{(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)}{6}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 3
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}={{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]}^{2}}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{3}}={{\left[ \frac{1.(1+1)}{2} \right]}^{2}}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}={{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1) yaitu:
${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}+{{(k+1)}^{3}}$ = ${{\left[ \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} \right]}^{2}}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}+{{(k+1)}^{3}}$
= $[{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}]+{{(k+1)}^{3}}$
= ${{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}+{{(k+1)}^{3}}$
= $\frac{{{k}^{2}}{{(k+1)}^{2}}}{4}+\frac{4{{(k+1)}^{3}}}{4}$
= $\frac{{{k}^{2}}{{(k+1)}^{2}}+4{{(k+1)}^{3}}}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}[{{k}^{2}}+4(k+1)]}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}({{k}^{2}}+4k+4)}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}{{(k+2)}^{2}}}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}{{[(k+1)+1]}^{2}}}{{{2}^{2}}}$
= ${{\left[ \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} \right]}^{2}}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 4
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{n}^{4}}$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)(3{{n}^{2}}+3n-1)}{30}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{4}}=\frac{1.(1+1)(2.1+1)({{3.1}^{2}}+3.1-1)}{30}$
${{1}^{4}}=\frac{1.2.3.5}{30}$
$1=1$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
${{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}=\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)}{30}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
${{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}+{{(k+1)}^{4}}$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1][3{{(k+1)}^{2}}+3(k+1)-1]}{30}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}+{{(k+1)}^{4}}$
= $[{{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}]+{{(k+1)}^{4}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)}{30}+{{(k+1)}^{4}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)}{30}+\frac{30{{(k+1)}^{4}}}{30}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)+30{{(k+1)}^{4}}}{30}$
= $\frac{(k+1)[k(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)+30{{(k+1)}^{3}}]}{30}$
= $\frac{(k+1)[(2{{k}^{2}}+k)(3{{k}^{2}}+3k-1)+30({{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1)]}{30}$
= $\frac{(k+1)[6{{k}^{4}}+9{{k}^{3}}+{{k}^{2}}-k+30{{k}^{3}}+90{{k}^{2}}+90k+30]}{30}$
= $\frac{(k+1)[6{{k}^{4}}+39{{k}^{3}}+91{{k}^{2}}+89k+30]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(6{{k}^{3}}+27{{k}^{2}}+37k+15]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3{{k}^{2}}+9k+5)}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3{{k}^{2}}+6k+3+3k+2)}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)[3({{k}^{2}}+2k+1)+3k+3-1]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)[3{{(k+1)}^{2}}+3(k+1)-1]}{30}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1][3{{(k+1)}^{2}}+3(k+1)-1]}{30}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 5
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=2+4+6+...+2n=n(n+1)$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$2=1.(1+1)$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
$2+4+6+...+2k=k(k+1)$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$2+4+6+...+2k+2(k+1)$ = $(k+1)[(k+1)+1]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$2+4+6+...+2k+2(k+1)$
= $[2+4+6+...+2k]+2(k+1)$
= $k(k+1)+2(k+1)$
= $(k+1)(k+2)$
= $(k+1)[(k+1)+1]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 6
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1+3+5+...+(2n-1)={{n}^{2}}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1={{1}^{2}}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1+3+5+...+(2k-1)={{k}^{2}}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]$ = ${{(k+1)}^{2}}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]$
= $[1+3+5+...+(2k-1)]+[2(k+1)-1]$
= ${{k}^{2}}+[2(k+1)-1]$
= ${{k}^{2}}+2k+2-1$
= ${{k}^{2}}+2k+1$
= ${{(k+1)}^{2}}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 7
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2n-1)}^{2}}$ = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{2}}=\frac{1.(2.1-1)(2.1+1)}{3}$
${{1}^{2}}=\frac{1.1.3}{3}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$ = $\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$
= $[{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}]+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+{{(2k+1)}^{2}}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+\frac{3{{(2k+1)}^{2}}}{3}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)+3{{(2k+1)}^{2}}}{3}$
= $\frac{(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2{{k}^{2}}-k+6k+3)}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2{{k}^{2}}+5k+3)}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2k+3)(k+1)}{3}$
= $\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$
= $\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 8
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2n-1)}^{3}}$ = ${{n}^{2}}(2{{n}^{2}}-1)$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{3}}={{1}^{2}}({{2.1}^{2}}-1)$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
${{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}={{k}^{2}}(2{{k}^{2}}-1)$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
${{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$ = ${{(k+1)}^{2}}[2{{(k+1)}^{2}}-1]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$
= $[{{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}]+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$
= ${{k}^{2}}(2{{k}^{2}}-1)+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$
= $2{{k}^{4}}-{{k}^{2}}+{{(2k+1)}^{3}}$
= $2{{k}^{4}}-{{k}^{2}}+8{{k}^{3}}+12{{k}^{2}}+6k+1$
= $2{{k}^{4}}+8{{k}^{3}}+11{{k}^{2}}+6k+1$
= $(k+1)(2{{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+5k+1)$
= $(k+1)(k+1)(2{{k}^{2}}+4k+1)$
= ${{(k+1)}^{2}}[2({{k}^{2}}+2k+1)-1]$
= ${{(k+1)}^{2}}[2{{(k+1)}^{2}}-1]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 9
Dengan induksi matematika, buktikan: $1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!=(n+1)!-1$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.1!=(1+1)!-1$
$1.1=2.1-1$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!=(k+1)!-1$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!+(k+1).(k+1)!$ = $[(k+1)+1]!-1$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!+(k+1).(k+1)!$
= $[1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!]+(k+1).(k+1)!$
= $(k+1)!-1+(k+1).(k+1)!$
= $(k+1)!+(k+1).(k+1)!-1$
= $(k+1)![1+(k+1)]-1$
= $(k+1)!(k+2)-1$
= $(k+2).(k+1)!-1$
= $(k+2)!-1$
= $[(k+1)+1]!-1$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 10
Dengan induksi matematika, buktikan: $1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.2=\frac{1.(1+1)(1+2)}{3}$
$2=\frac{1.2.3}{3}$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$
= $[1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)]+(k+1)[(k+1)+1]$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)[(k+1)+1]$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$
= $\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 11
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+n{{.2}^{n}}$ = $2\left[ 1+(n-1){{.2}^{n}} \right]$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.2=2\left[ 1+(1-1){{.2}^{1}} \right]$
$2=2(1+0.2)$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}$ = $2\left[ 1+(k-1){{.2}^{k}} \right]$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}+(k+1){{.2}^{k+1}}$ = $2\left[ 1+\{(k+1)-1)\}{{.2}^{k+1}} \right]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $[1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}]+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $2[1+(k-1){{.2}^{k}}]+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $2(1+k{{.2}^{k}}-{{2}^{k}})+k{{.2}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}$
= $2+k{{.2}^{k+1}}-{{2}^{k+1}}+k{{.2}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}$
= $2+2k{{.2}^{k+1}}$
= $2(1+k{{.2}^{k+1}})$
= $2[1+(k+1-1){{.2}^{k+1}}]$
= $2[1+\{(k+1)-1\}{{.2}^{k+1}}]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 12
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=n(n+1)(n+5)$ adalah bilangan kelipatan 3 untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) kelipatan 3, yaitu:
$P(1)=1(1+1)(1+5)$
$P(1)=12$ adalah kelipatan 3
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) kelipatan 3, yaitu:
$P(k)=k(k+1)(k+5)$ adalah kelipatan 3,
maka akan kita buktikan bahwa P(k+1) juga kelipatan 3, yaitu:
$(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+5]$
= $(k+1)(k+2)(k+6)$
= $({{k}^{2}}+3k+2)(k+6)$
= ${{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+3{{k}^{2}}+18k+2k+12$
= ${{k}^{3}}+9{{k}^{2}}+20k+12$
= $({{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+5k)+(3{{k}^{2}}+15k+12)$
= $k({{k}^{2}}+6k+5)+3({{k}^{2}}+5k+4)$
= $k(k+1)(k+5)+3({{k}^{2}}+5k+4)$
Karena $k(k+1)(k+5)$ kelipatan 3 menurut hipotesis P(k) dan $3({{k}^{2}}+5k+4)$ juga kelipatan 3, akibatnya $k(k+1)(k+5)+3({{k}^{2}}+5k+4)$ adalah kelipatan 3. Jadi, $(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+5]$ adalah kelipatan 3. (Terbukti)

Soal No. 13
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 3 adalah faktor ${{4}^{n}}-1$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
3 adalah faktor ${{4}^{n}}-1$
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
${{4}^{1}}-1=3$
3 adalah faktor ${{4}^{1}}-1$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa 3 adalah faktor $P(k)={{4}^{k}}-1$ , maka akan kita buktikan bahwa:
3 adalah faktor $P(k+1)={{4}^{k+1}}-1$, yaitu
$\begin{align}P(k+1) &={{4}^{k+1}}-1 \\ &={{4}^{k+1}}-{{4}^{k}}+{{4}^{k}}-1 \\ &=({{4}^{k}}.4-{{4}^{k}})+({{4}^{k}}-1) \\ &={{4}^{k}}(4-1)+({{4}^{k}}-1) \\ &={{4}^{k}}.3+({{4}^{k}}-1)\end{align}$
Karena 3 adalah faktor ${{4}^{k}}.3$ dan 3 adalah faktor $({{4}^{k}}-1)$, maka 3 adalah faktor $({{4}^{k+1}}-1)$. Terbukti.

Soal No. 14
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{n}}-{{y}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
$x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{n}}-{{y}^{n}}$
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
${{x}^{1}}-{{y}^{1}}=x-y$
$x-y$ adalah faktor ${{x}^{1}}-{{y}^{1}}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa $(x-y)$ adalah faktor $P(k)={{x}^{k}}-{{y}^{k}}$, maka akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}}$, yaitu:
$\begin{align}{{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}} &={{x}^{k}}.x-{{y}^{k}}.y \\ &={{x}^{k}}.x-{{x}^{k}}y+{{x}^{k}}.y-{{y}^{k}}.y \\ &={{x}^{k}}(x-y)+({{x}^{k}}-{{y}^{k}})y \end{align}$
Karena $x-y$ adalah faktor ${{x}^{k}}(x-y)$ dan $x-y$ adalah faktor $({{x}^{k}}-{{y}^{k}})y$, maka $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}}$. Terbukti.
Soal No. 15
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa salah satu faktor dari $({{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+2n)$ adalah 3 untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
salah satu faktor dari $P(n)={{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+2n$ adalah 3
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
$P(1)={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}+2.1=6$
Salah satu faktor dari 6 adalah 3. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan untuk $n=k$ maka salah satu faktor dari $P(k)={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+k$ adalah 3, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka salah satu faktor dari $P(k+1)={{(k+1)}^{3}}+3{{(k+1)}^{2}}+2(k+1)$ adalah 3.
$\begin{align}P(k+1) &={{(k+1)}^{3}}+3{{(k+1)}^{2}}+2(k+1) \\ &={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+3{{k}^{2}}+6k+3+2k+2 \\ &=({{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k)+(3{{k}^{2}}+9k+6) \\ &=({{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k)+3({{k}^{2}}+3k+2) \end{align}$
Karena salah satu faktor dari  ${{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+k$ adalah 3 dan salah satu faktor dari $3({{k}^{2}}+3k+2)$adalah 3. Jadi, salah satu satu faktor dari $P(k+1)={{(k+1)}^{3}}+3{{(k+1)}^{2}}+2(k+1)$ adalah 3.
Terbukti.

Soal No. 16
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa salah satu faktor dari ${{2}^{2n+1}}+1$ adalah 3 untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
$P(1)={{2}^{2.1+1}}+1=9$
Salah satu faktor dari 9 adalah 3. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan untuk $n=k$ maka salah satu faktor dari $P(k)={{2}^{2k+1}}+1$ adalah 3, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka salah satu faktor dari $P(k+1)={{2}^{2(k+1)+1}}+1$ adalah 3.
$\begin{align}P(k+1)&={{2}^{2(k+1)+1}}+1 \\ &={{2}^{2k+3}}+1 \\ &={{2}^{2}}{{.2}^{2k+1}}+1 \\ &=(3+1){{.2}^{2k+1}}+1 \\ &=({{3.2}^{2k+1}})+({{2}^{2k+1}}+1) \end{align}$
Karena salah satu faktor dari  $({{3.2}^{2k+1}})$ adalah 3 dan salah satu faktor dari $({{2}^{2k+1}}+1)$adalah 3. Jadi, salah satu satu faktor dari $P(k+1)={{2}^{2(k+1)+1}}+1$ adalah 3.
Terbukti.

Soal No. 17
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{5}^{n}}-1$ habis dibagi 4 untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) habis dibagi 4, yaitu:
$P(1)={{5}^{1}}-1=4$
$P(1)=4$ habis dibagi 4. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) habis dibagi 4, yaitu $P(k)={{5}^{k}}-1$ habis dibagi 4. Kita akan buktikan bahwa P(k+1) juga habis dibagi 4, yaitu:
$\begin{align}P(k+1)&={{5}^{k+1}}-1 \\ &={{5.5}^{k}}-1 \\ &={{5.5}^{k}}-{{5}^{k}}+{{5}^{k}}-1 \\ &=(5-1){{.5}^{k}}+{{5}^{k}}-1 \\ &={{4.5}^{k}}+({{5}^{k}}-1) \end{align}$
Karena ${{4.5}^{k}}$ habis dibagi 4 dan $({{5}^{k}}-1)$ habis dibagi 4. Jadi, $P(k+1)={{5}^{k+1}}-1$ habis dibagi 4. Terbukti

Soal No. 18
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{3}^{2n}}-1$ habis dibagi 8 untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) habis dibagi 8, yaitu:
$P(1)={{3}^{2.1}}-1=8$
$P(1)=8$ habis dibagi 8. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) habis dibagi 8, yaitu $P(k)={{3}^{2k}}-1$ habis dibagi 8. Kita akan buktikan bahwa $P(k+1)={{3}^{2(k+1)}}-1$ juga habis dibagi 8, yaitu:
$\begin{align}P(k+1)&={{3}^{2(k+1)}}-1 \\ &={{3}^{2k+2}}-1 \\ &={{3}^{2}}{{.3}^{2k}}-1 \\ &={{9.3}^{2k}}-1 \\ &=(8+1){{.3}^{2k}}-\grave{\ }1 \\ &={{8.3}^{2k}}+({{3}^{2k}}-1) \end{align}$
Karena ${{8.3}^{2k}}$ habis dibagi 8 dan $({{3}^{2k}}-1)$ habis dibagi 8 maka $P(k+1)={{3}^{2(k+1)}}-1$ habis dibagi 8. Terbukti

Soal No. 19
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $4n<{{2}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 5$.
Pembahasan:
Langkah 1.
untuk n = 5 maka:
$\begin{align}4.5 &<{{2}^{5}} \\ 20 &<32 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka $4k<{{2}^{k}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $4(k+1)<{{2}^{(k+1)}}$ juga benar, yaitu:
$\begin{align}4k &<{{2}^{k}} \\ 4k+4 &<{{2}^{k}}+4 \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+4 \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+4k \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+{{2}^{k}} \\ 4(k+1) &<{{2.2}^{k}} \\ 4(k+1) &<{{2}^{k+1}} \end{align}$
Terbukti

Soal No. 20
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{(n+1)}^{2}}<2{{n}^{2}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 3$.
Pembahasan:
Langkah 1.
untuk n = 3 maka:
$\begin{align}{{(n+1)}^{2}} &<2{{n}^{2}} \\ {{(3+1)}^{2}} &<{{2.3}^{2}} \\ 16 &<18 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka ${{(k+1)}^{2}}<2{{k}^{2}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka ${{[(k+1)+1]}^{2}}<2{{(k+1)}^{2}}$ juga benar.
Untuk $k\ge 3$ kita memperoleh:
$\begin{align}{{[(k+1)+1]}^{2}} &={{(k+1)}^{2}}+2(k+1)+1 \\ & <2{{k}^{2}}+2(k+1)+1 \\ & <2{{k}^{2}}+2k+2+1 \\ & <2{{k}^{2}}+2k+1+2 \\ & <2{{k}^{2}}+2k+2k+2 \\ & <2{{k}^{2}}+4k+2 \\ {{[(k+1)+1]}^{2}} &<2{{(k+1)}^{2}} \end{align}$
Terbukti.

Soal No. 21
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $n!>{{2}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 4$.
Pembahasan:
Langkah 1.
untuk n = 4 maka:
$\begin{align}n!>{{2}^{n}} \\ 4! &>{{2}^{4}} \\ 4.3.2.1 &>16 \\ 24 &>16 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka $k!>{{2}^{k}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $(k+1)!>{{2}^{(k+1)}}$ juga benar.
$(k+1)!=(k+1).k!$ karena $k!>{{2}^{k}}$ maka:
$\begin{align}(k+1)! &>(k+1){{.2}^{k}} \\ &>{{2.2}^{k}} \\ (k+1)! &>{{2}^{k+1}} \end{align}$
Terbukti.

Soal No. 22
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{n}^{2}}-n+41$ merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan asli $n$.
Pembahasan:
$P(n):{{n}^{2}}-n+41$
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) merupakan bilangan ganjil, yaitu:
$\begin{align}P(1) &={{1}^{2}}-1+41 \\ P(1) &=41 \\ \end{align}$
41 merupakan bilangan ganjil. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa $P(k)={{k}^{2}}-k+41$merupakan bilangan ganjil. Kita akan buktikan bahwa $P(k+1)={{(k+1)}^{2}}-(k+1)+41$ merupakan bilangan ganjil, yaitu:
${{(k+1)}^{2}}-(k+1)+41$
= ${{k}^{2}}+2k+1-k-1+41$
= $({{k}^{2}}-k+41)+2k$
Karena $({{k}^{2}}-k+41)$ adalah bilangan ganjil dan $2k$ adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut menghasilkan bilangan ganjil.
Jadi, $P(k+1)={{(k+1)}^{2}}-(k+1)+41$ merupakan bilangan ganjil.
Terbukti
Update Postingan Terbaru dengan cara subscribe atau follow channel kami dengan klik ketiga tombol di bawah ini:


Fanspage FB Catatan Matematika
Channel Telegram Catatan Matematika
Share To:

Berlangganan update artikel terbaru via email:

2 Responses to "Bank Soal: Induksi Matematika dan Pembahasan"

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.

close