Bank Soal: Induksi Matematika dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Induksi Matematika, yaitu salah satu materi pada mata pelajaran Matematika Wajib Kelas 11. Silahkan dipelajari dan jangan lupa share/bagikan ke media sosial kalian, agar manfaat postingan ini dapat dirasakan oleh siswa/i yang lain. Terima kasih.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".

Soal No. 1

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1=\frac{1(1+1)}{2}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1+2+3+...+k+(k+1)$
= $[1+2+3+...+k]+(k+1)$
= $\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$
= $\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}$
= $\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$
= $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 2

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1=\frac{1}{6}.1(1+1)(2.1+1)$
$1=\frac{1}{6}.2.3$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1) yaitu:
${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{(k+1)}^{2}}$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{(k+1)}^{2}}$
= $[{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}]+{{(k+1)}^{2}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{{(k+1)}^{2}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6{{(k+1)}^{2}}}{6}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)+6{{(k+1)}^{2}}}{6}$
= $\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}$
= $\frac{(k+1)[2{{k}^{2}}+k+6k+6]}{6}$
= $\frac{(k+1)[2{{k}^{2}}+7k+6]}{6}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
= $\frac{(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)}{6}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 3

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}={{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]}^{2}}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{3}}={{\left[ \frac{1.(1+1)}{2} \right]}^{2}}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}={{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1) yaitu:
${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}+{{(k+1)}^{3}}$ = ${{\left[ \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} \right]}^{2}}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}+{{(k+1)}^{3}}$
= $[{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}]+{{(k+1)}^{3}}$
= ${{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}+{{(k+1)}^{3}}$
= $\frac{{{k}^{2}}{{(k+1)}^{2}}}{4}+\frac{4{{(k+1)}^{3}}}{4}$
= $\frac{{{k}^{2}}{{(k+1)}^{2}}+4{{(k+1)}^{3}}}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}[{{k}^{2}}+4(k+1)]}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}({{k}^{2}}+4k+4)}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}{{(k+2)}^{2}}}{4}$
= $\frac{{{(k+1)}^{2}}{{[(k+1)+1]}^{2}}}{{{2}^{2}}}$
= ${{\left[ \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} \right]}^{2}}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 4

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{n}^{4}}$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)(3{{n}^{2}}+3n-1)}{30}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{4}}=\frac{1.(1+1)(2.1+1)({{3.1}^{2}}+3.1-1)}{30}$
${{1}^{4}}=\frac{1.2.3.5}{30}$
$1=1$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
${{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}=\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)}{30}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
${{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}+{{(k+1)}^{4}}$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1][3{{(k+1)}^{2}}+3(k+1)-1]}{30}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}+{{(k+1)}^{4}}$
= $[{{1}^{4}}+{{2}^{4}}+{{3}^{4}}+...+{{k}^{4}}]+{{(k+1)}^{4}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)}{30}+{{(k+1)}^{4}}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)}{30}+\frac{30{{(k+1)}^{4}}}{30}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)+30{{(k+1)}^{4}}}{30}$
= $\frac{(k+1)[k(2k+1)(3{{k}^{2}}+3k-1)+30{{(k+1)}^{3}}]}{30}$
= $\frac{(k+1)[(2{{k}^{2}}+k)(3{{k}^{2}}+3k-1)+30({{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1)]}{30}$
= $\frac{(k+1)[6{{k}^{4}}+9{{k}^{3}}+{{k}^{2}}-k+30{{k}^{3}}+90{{k}^{2}}+90k+30]}{30}$
= $\frac{(k+1)[6{{k}^{4}}+39{{k}^{3}}+91{{k}^{2}}+89k+30]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(6{{k}^{3}}+27{{k}^{2}}+37k+15]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3{{k}^{2}}+9k+5)}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3{{k}^{2}}+6k+3+3k+2)}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)[3({{k}^{2}}+2k+1)+3k+3-1]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)[3{{(k+1)}^{2}}+3(k+1)-1]}{30}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1][3{{(k+1)}^{2}}+3(k+1)-1]}{30}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 5

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=2+4+6+...+2n=n(n+1)$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$2=1.(1+1)$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
$2+4+6+...+2k=k(k+1)$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$2+4+6+...+2k+2(k+1)$ = $(k+1)[(k+1)+1]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$2+4+6+...+2k+2(k+1)$
= $[2+4+6+...+2k]+2(k+1)$
= $k(k+1)+2(k+1)$
= $(k+1)(k+2)$
= $(k+1)[(k+1)+1]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 6

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1+3+5+...+(2n-1)={{n}^{2}}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1={{1}^{2}}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1+3+5+...+(2k-1)={{k}^{2}}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]$ = ${{(k+1)}^{2}}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]$
= $[1+3+5+...+(2k-1)]+[2(k+1)-1]$
= ${{k}^{2}}+[2(k+1)-1]$
= ${{k}^{2}}+2k+2-1$
= ${{k}^{2}}+2k+1$
= ${{(k+1)}^{2}}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 7

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2n-1)}^{2}}$ = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{2}}=\frac{1.(2.1-1)(2.1+1)}{3}$
${{1}^{2}}=\frac{1.1.3}{3}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$ = $\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$
= $[{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{(2k-1)}^{2}}]+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+{{[2(k+1)-1]}^{2}}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+{{(2k+1)}^{2}}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+\frac{3{{(2k+1)}^{2}}}{3}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)+3{{(2k+1)}^{2}}}{3}$
= $\frac{(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2{{k}^{2}}-k+6k+3)}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2{{k}^{2}}+5k+3)}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2k+3)(k+1)}{3}$
= $\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$
= $\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 8

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)={{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2n-1)}^{3}}$ = ${{n}^{2}}(2{{n}^{2}}-1)$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
${{1}^{3}}={{1}^{2}}({{2.1}^{2}}-1)$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
${{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}={{k}^{2}}(2{{k}^{2}}-1)$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
${{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$ = ${{(k+1)}^{2}}[2{{(k+1)}^{2}}-1]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
${{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$
= $[{{1}^{3}}+{{3}^{3}}+{{5}^{3}}+...+{{(2k-1)}^{3}}]+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$
= ${{k}^{2}}(2{{k}^{2}}-1)+{{[2(k+1)-1]}^{3}}$
= $2{{k}^{4}}-{{k}^{2}}+{{(2k+1)}^{3}}$
= $2{{k}^{4}}-{{k}^{2}}+8{{k}^{3}}+12{{k}^{2}}+6k+1$
= $2{{k}^{4}}+8{{k}^{3}}+11{{k}^{2}}+6k+1$
= $(k+1)(2{{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+5k+1)$
= $(k+1)(k+1)(2{{k}^{2}}+4k+1)$
= ${{(k+1)}^{2}}[2({{k}^{2}}+2k+1)-1]$
= ${{(k+1)}^{2}}[2{{(k+1)}^{2}}-1]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 9

Dengan induksi matematika, buktikan: $1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!=(n+1)!-1$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.1!=(1+1)!-1$
$1.1=2.1-1$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!=(k+1)!-1$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!+(k+1).(k+1)!$ = $[(k+1)+1]!-1$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!+(k+1).(k+1)!$
= $[1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!]+(k+1).(k+1)!$
= $(k+1)!-1+(k+1).(k+1)!$
= $(k+1)!+(k+1).(k+1)!-1$
= $(k+1)![1+(k+1)]-1$
= $(k+1)!(k+2)-1$
= $(k+2).(k+1)!-1$
= $(k+2)!-1$
= $[(k+1)+1]!-1$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 10

Dengan induksi matematika, buktikan: $1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.2=\frac{1.(1+1)(1+2)}{3}$
$2=\frac{1.2.3}{3}$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$
= $[1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)]+(k+1)[(k+1)+1]$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)[(k+1)+1]$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$
= $\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 11

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+n{{.2}^{n}}$ = $2\left[ 1+(n-1){{.2}^{n}} \right]$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.2=2\left[ 1+(1-1){{.2}^{1}} \right]$
$2=2(1+0.2)$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}$ = $2\left[ 1+(k-1){{.2}^{k}} \right]$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}+(k+1){{.2}^{k+1}}$ = $2\left[ 1+\{(k+1)-1)\}{{.2}^{k+1}} \right]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $[1.2+{{2.2}^{2}}+{{3.2}^{3}}+...+k{{.2}^{k}}]+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $2[1+(k-1){{.2}^{k}}]+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $2(1+k{{.2}^{k}}-{{2}^{k}})+k{{.2}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}$
= $2+k{{.2}^{k+1}}-{{2}^{k+1}}+k{{.2}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}$
= $2+2k{{.2}^{k+1}}$
= $2(1+k{{.2}^{k+1}})$
= $2[1+(k+1-1){{.2}^{k+1}}]$
= $2[1+\{(k+1)-1\}{{.2}^{k+1}}]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).

Soal No. 12

Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=n(n+1)(n+5)$ adalah bilangan kelipatan 3 untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) kelipatan 3, yaitu:
$P(1)=1(1+1)(1+5)$
$P(1)=12$ adalah kelipatan 3
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) kelipatan 3, yaitu:
$P(k)=k(k+1)(k+5)$ adalah kelipatan 3,
maka akan kita buktikan bahwa P(k+1) juga kelipatan 3, yaitu:
$(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+5]$
= $(k+1)(k+2)(k+6)$
= $({{k}^{2}}+3k+2)(k+6)$
= ${{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+3{{k}^{2}}+18k+2k+12$
= ${{k}^{3}}+9{{k}^{2}}+20k+12$
= $({{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+5k)+(3{{k}^{2}}+15k+12)$
= $k({{k}^{2}}+6k+5)+3({{k}^{2}}+5k+4)$
= $k(k+1)(k+5)+3({{k}^{2}}+5k+4)$
Karena $k(k+1)(k+5)$ kelipatan 3 menurut hipotesis P(k) dan $3({{k}^{2}}+5k+4)$ juga kelipatan 3, akibatnya $k(k+1)(k+5)+3({{k}^{2}}+5k+4)$ adalah kelipatan 3. Jadi, $(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+5]$ adalah kelipatan 3. (Terbukti)

Soal No. 13

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 3 adalah faktor ${{4}^{n}}-1$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
3 adalah faktor ${{4}^{n}}-1$
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
${{4}^{1}}-1=3$
3 adalah faktor ${{4}^{1}}-1$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa 3 adalah faktor $P(k)={{4}^{k}}-1$ , maka akan kita buktikan bahwa:
3 adalah faktor $P(k+1)={{4}^{k+1}}-1$, yaitu
$\begin{align}P(k+1) &={{4}^{k+1}}-1 \\ &={{4}^{k+1}}-{{4}^{k}}+{{4}^{k}}-1 \\ &=({{4}^{k}}.4-{{4}^{k}})+({{4}^{k}}-1) \\ &={{4}^{k}}(4-1)+({{4}^{k}}-1) \\ &={{4}^{k}}.3+({{4}^{k}}-1)\end{align}$
Karena 3 adalah faktor ${{4}^{k}}.3$ dan 3 adalah faktor $({{4}^{k}}-1)$, maka 3 adalah faktor $({{4}^{k+1}}-1)$. Terbukti.

Soal No. 14

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{n}}-{{y}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
$x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{n}}-{{y}^{n}}$
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
${{x}^{1}}-{{y}^{1}}=x-y$
$x-y$ adalah faktor ${{x}^{1}}-{{y}^{1}}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa $(x-y)$ adalah faktor $P(k)={{x}^{k}}-{{y}^{k}}$, maka akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}}$, yaitu:
$\begin{align}{{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}} &={{x}^{k}}.x-{{y}^{k}}.y \\ &={{x}^{k}}.x-{{x}^{k}}y+{{x}^{k}}.y-{{y}^{k}}.y \\ &={{x}^{k}}(x-y)+({{x}^{k}}-{{y}^{k}})y \end{align}$
Karena $x-y$ adalah faktor ${{x}^{k}}(x-y)$ dan $x-y$ adalah faktor $({{x}^{k}}-{{y}^{k}})y$, maka $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}}$. Terbukti.

Soal No. 15

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa salah satu faktor dari $({{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+2n)$ adalah 3 untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
salah satu faktor dari $P(n)={{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+2n$ adalah 3
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
$P(1)={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}+2.1=6$
Salah satu faktor dari 6 adalah 3. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan untuk $n=k$ maka salah satu faktor dari $P(k)={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+k$ adalah 3, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka salah satu faktor dari $P(k+1)={{(k+1)}^{3}}+3{{(k+1)}^{2}}+2(k+1)$ adalah 3.
$\begin{align}P(k+1) &={{(k+1)}^{3}}+3{{(k+1)}^{2}}+2(k+1) \\ &={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+3{{k}^{2}}+6k+3+2k+2 \\ &=({{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k)+(3{{k}^{2}}+9k+6) \\ &=({{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k)+3({{k}^{2}}+3k+2) \end{align}$
Karena salah satu faktor dari  ${{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+k$ adalah 3 dan salah satu faktor dari $3({{k}^{2}}+3k+2)$adalah 3. Jadi, salah satu satu faktor dari $P(k+1)={{(k+1)}^{3}}+3{{(k+1)}^{2}}+2(k+1)$ adalah 3.
Terbukti.

Soal No. 16

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa salah satu faktor dari ${{2}^{2n+1}}+1$ adalah 3 untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
$P(1)={{2}^{2.1+1}}+1=9$
Salah satu faktor dari 9 adalah 3. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan untuk $n=k$ maka salah satu faktor dari $P(k)={{2}^{2k+1}}+1$ adalah 3, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka salah satu faktor dari $P(k+1)={{2}^{2(k+1)+1}}+1$ adalah 3.
$\begin{align}P(k+1)&={{2}^{2(k+1)+1}}+1 \\ &={{2}^{2k+3}}+1 \\ &={{2}^{2}}{{.2}^{2k+1}}+1 \\ &=(3+1){{.2}^{2k+1}}+1 \\ &=({{3.2}^{2k+1}})+({{2}^{2k+1}}+1) \end{align}$
Karena salah satu faktor dari  $({{3.2}^{2k+1}})$ adalah 3 dan salah satu faktor dari $({{2}^{2k+1}}+1)$adalah 3. Jadi, salah satu satu faktor dari $P(k+1)={{2}^{2(k+1)+1}}+1$ adalah 3.
Terbukti.

Soal No. 17

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{5}^{n}}-1$ habis dibagi 4 untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) habis dibagi 4, yaitu:
$P(1)={{5}^{1}}-1=4$
$P(1)=4$ habis dibagi 4. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) habis dibagi 4, yaitu $P(k)={{5}^{k}}-1$ habis dibagi 4. Kita akan buktikan bahwa P(k+1) juga habis dibagi 4, yaitu:
$\begin{align}P(k+1)&={{5}^{k+1}}-1 \\ &={{5.5}^{k}}-1 \\ &={{5.5}^{k}}-{{5}^{k}}+{{5}^{k}}-1 \\ &=(5-1){{.5}^{k}}+{{5}^{k}}-1 \\ &={{4.5}^{k}}+({{5}^{k}}-1) \end{align}$
Karena ${{4.5}^{k}}$ habis dibagi 4 dan $({{5}^{k}}-1)$ habis dibagi 4. Jadi, $P(k+1)={{5}^{k+1}}-1$ habis dibagi 4. Terbukti

Soal No. 18

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{3}^{2n}}-1$ habis dibagi 8 untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) habis dibagi 8, yaitu:
$P(1)={{3}^{2.1}}-1=8$
$P(1)=8$ habis dibagi 8. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) habis dibagi 8, yaitu $P(k)={{3}^{2k}}-1$ habis dibagi 8. Kita akan buktikan bahwa $P(k+1)={{3}^{2(k+1)}}-1$ juga habis dibagi 8, yaitu:
$\begin{align}P(k+1)&={{3}^{2(k+1)}}-1 \\ &={{3}^{2k+2}}-1 \\ &={{3}^{2}}{{.3}^{2k}}-1 \\ &={{9.3}^{2k}}-1 \\ &=(8+1){{.3}^{2k}}-\grave{\ }1 \\ &={{8.3}^{2k}}+({{3}^{2k}}-1) \end{align}$
Karena ${{8.3}^{2k}}$ habis dibagi 8 dan $({{3}^{2k}}-1)$ habis dibagi 8 maka $P(k+1)={{3}^{2(k+1)}}-1$ habis dibagi 8. Terbukti

Soal No. 19

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $4n<{{2}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 5$.

Pembahasan:
Langkah 1.
untuk n = 5 maka:
$\begin{align}4.5 &<{{2}^{5}} \\ 20 &<32 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka $4k<{{2}^{k}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $4(k+1)<{{2}^{(k+1)}}$ juga benar, yaitu:
$\begin{align}4k &<{{2}^{k}} \\ 4k+4 &<{{2}^{k}}+4 \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+4 \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+4k \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+{{2}^{k}} \\ 4(k+1) &<{{2.2}^{k}} \\ 4(k+1) &<{{2}^{k+1}} \end{align}$
Terbukti

Soal No. 20

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{(n+1)}^{2}}<2{{n}^{2}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 3$.

Pembahasan:
Langkah 1.
untuk n = 3 maka:
$\begin{align}{{(n+1)}^{2}} &<2{{n}^{2}} \\ {{(3+1)}^{2}} &<{{2.3}^{2}} \\ 16 &<18 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka ${{(k+1)}^{2}}<2{{k}^{2}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka ${{[(k+1)+1]}^{2}}<2{{(k+1)}^{2}}$ juga benar.
Untuk $k\ge 3$ kita memperoleh:
$\begin{align}{{[(k+1)+1]}^{2}} &={{(k+1)}^{2}}+2(k+1)+1 \\ & <2{{k}^{2}}+2(k+1)+1 \\ & <2{{k}^{2}}+2k+2+1 \\ & <2{{k}^{2}}+2k+1+2 \\ & <2{{k}^{2}}+2k+2k+2 \\ & <2{{k}^{2}}+4k+2 \\ {{[(k+1)+1]}^{2}} &<2{{(k+1)}^{2}} \end{align}$
Terbukti.

Soal No. 21

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $n!>{{2}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 4$.

Pembahasan:
Langkah 1.
untuk n = 4 maka:
$\begin{align}n!>{{2}^{n}} \\ 4! &>{{2}^{4}} \\ 4.3.2.1 &>16 \\ 24 &>16 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka $k!>{{2}^{k}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $(k+1)!>{{2}^{(k+1)}}$ juga benar.
$(k+1)!=(k+1).k!$ karena $k!>{{2}^{k}}$ maka:
$\begin{align}(k+1)! &>(k+1){{.2}^{k}} \\ &>{{2.2}^{k}} \\ (k+1)! &>{{2}^{k+1}} \end{align}$
Terbukti.

Soal No. 22

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{n}^{2}}-n+41$ merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan asli $n$.

Pembahasan:
$P(n):{{n}^{2}}-n+41$
Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) merupakan bilangan ganjil, yaitu:
$\begin{align}P(1) &={{1}^{2}}-1+41 \\ P(1) &=41 \\ \end{align}$
41 merupakan bilangan ganjil. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa $P(k)={{k}^{2}}-k+41$merupakan bilangan ganjil. Kita akan buktikan bahwa $P(k+1)={{(k+1)}^{2}}-(k+1)+41$ merupakan bilangan ganjil, yaitu:
${{(k+1)}^{2}}-(k+1)+41$
= ${{k}^{2}}+2k+1-k-1+41$
= $({{k}^{2}}-k+41)+2k$
Karena $({{k}^{2}}-k+41)$ adalah bilangan ganjil dan $2k$ adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut menghasilkan bilangan ganjil.
Jadi, $P(k+1)={{(k+1)}^{2}}-(k+1)+41$ merupakan bilangan ganjil.
Terbukti

Semoga postingan: Bank Soal: Induksi Matematika dan Pembahasan ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Subscribe and Follow Our Channel:

Share :